1、2018-2019学年辽宁省丹东市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）实数数列1，a，4，b2为等比数列，则a（）A2B2C2D22（4分）已知（3，1），向量（4，3），则向量（）A（7，4）B（7，4）C（1，4）D（1，4）3（4分）要得到函数ysin（2x）的图象，需将函数ysin2x的图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位4（4分）sin54sin66+cos126sin24（）ABCD5（4分）在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张
2、，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是（）A至多有一张移动卡B恰有一张移动卡C都不是移动卡D至少有一张移动卡6（4分）已知是非零向量，若|2|，且（），则与的夹角为（）A30B60C120D1507（4分）已知P（1，t）在角终边上，若sin，则t（）AB2C2D28（4分）算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁？试问这位公公年龄最小的儿子年龄为
3、（）A8岁B11岁C20岁D35岁9（4分）在ABC中，cosA，AC3AB，则sinC（）ABCD10（4分）已知（0，），sin+2cos2，则tan（+）（）ABC7D7二、多项选择填（每题4分，满分12分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的）11（4分）某赛季甲乙两名篮球运动员各6场比赛得分情况如表：场次123456甲得分31162434189乙得分232132113510则下列说法正确的是（）A甲运动员得分的极差小于乙运动员得分的极差B甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数C甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值D甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定12（
4、4分）已知数列an是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（）ABlog2（an）2Can+an+1Dan+an+1+an+213（4分）已知函数f（x）|tanx|cosx，则下列说法正确的是（）Af（x）的最小正周期为Bf（x）的值域为1，1Cf（x）在区间（）上单调递减Df（x）的图象关于（）中心对称三、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）14（4分）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是0.3，甲获胜的概率是0.2，则乙获胜的概率为 ；乙不输的概率为 15（4分）如图，已知函数f（x）2sin（x+）（0）的部分图象，则 ；f（0） 16（4分）数列an中，a11，an+
5、1an+n+1，则a15 ；+ 17（4分）如图，在ABC中，C90，AD是BAC的平分线，若sinB，AD7，则sinADB ；AB 四、解答题：共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18（12分）在直角坐标系xOy中，A（1，4），B（4，1），点C在直线x1上（1）若A，B，C三点共线，求点C的坐标；（2）若BAC90，求点C的坐标19（14分）记Sn为等差数列an的前n项和，已知a36，S728（1）求an的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值20（14分）ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinCcsin2A（1）求A；（2）若a，b2，求ABC的面积
6、21（14分）设函数f（x）4sin2（+）sinx+cos2x（1）已知f（x）图象的相邻两条对称轴的距离为，求正数的值；（2）已知函数f（x）在区间，上是增函数，求正数的最大值22（14分）某“双一流A类”大学就业部从该校2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在人民币1，.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率分布直方图：（1）为感谢同学们对这项调查工作的支持，该校利用分层抽样的方法从样本的前两组中抽出6人，各赠送一份礼品，并从这6人中再抽取2人，各赠送某款智能手机1部，求获赠智能手机的
7、2人月薪都不低于1.75万元的概率；（2）同一组数据用该区间的中点值作代表（i）求这100人月薪收入的样本平均数和样本方差s2；（ii）该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人，决定于2019国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：方案一：设s0.018，+s+0.018），月薪落在区间左侧的每人收取400元，月薪落在区间内的每人收到600元，月薪落在区间右侧的每人收取800元方案二：按每人一个月薪水的3%收取；用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用？参考数据：13.223（14分）数列an的前n项和Sn1+a
8、n（1）求an的通项公式；（2）设bnnan，求数列bn的前n项和Tn，并求使Tnm成立的实数m最小值2018-2019学年辽宁省丹东市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）实数数列1，a，4，b2为等比数列，则a（）A2B2C2D2【分析】根据题意，由等比中项的定义可得，解可得a的值，即可得答案【解答】解：根据题意，实数数列1，a，4，b2为等比数列，则有，解可得：a2，故选：B【点评】本题考查等比数列的通项公式以及等比数列的性质，属于基础题2（4分）已知（3，1），向量（4
9、，3），则向量（）A（7，4）B（7，4）C（1，4）D（1，4）【分析】根据向量的加减的坐标运算即可求出【解答】解：（3，1），向量（4，3），则向量（4，3）（3，1）（7，4），故选：A【点评】本题考查了向量的坐标运算，属于基础题3（4分）要得到函数ysin（2x）的图象，需将函数ysin2x的图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位【分析】根据函数sin2（x），以及 yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：由于函数sin2（x），故将函数ysin2x的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象，故选：B【点评】本题主要考查函数 yAsin（x
10、+）的图象变换规律，属于基础题4（4分）sin54sin66+cos126sin24（）ABCD【分析】直接利用三角函数关系式的变换和和角公式的应用求出结果【解答】解：sin54sin66+cos126sin24，sin54cos24cos54sin24，sin30，故选：C【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，和角公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型5（4分）在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是（）A至多有一张移动卡B恰有一张移动卡C都不是移动卡D至少有一张移动卡【分析】由已知得概率是的
11、事件是“2张全是移动卡”的对立事件，由此能求出结果【解答】解：在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，概率是的事件是“2张全是移动卡”的对立事件，概率是的事件是“至多有一张移动卡”故选：A【点评】本题考查事件的对立事件的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件的性质的合理运用6（4分）已知是非零向量，若|2|，且（），则与的夹角为（）A30B60C120D150【分析】根据平面向量的数量积与夹角公式，计算即可【解答】解：|2|，则|，又（），则（+）+0，cos，又0，180，与的夹角为150故选：D【点评】本题考查了平面向量的数量积与夹
12、角公式计算问题，是基础题7（4分）已知P（1，t）在角终边上，若sin，则t（）AB2C2D2【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得t的值【解答】解：P（1，t）在角终边上，若sin，求得t2，故选：C【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题8（4分）算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁？试问这位公公年龄最小的儿子年龄为（）A8岁B11岁
13、C20岁D35岁【分析】设这位公公9个儿子的年龄从小到大成等差数列，设年龄最小的儿子年龄为a1，则公差为d3，再利用S9207，求得a1的值，可得结论【解答】解：设这位公公9个儿子的年龄从小到大成等差数列，设年龄最小的儿子年龄为a1，则公差为d3，由题意，S99a1+9a1+363207，求得a111，故选：B【点评】本题主要考查等差数列的前n项和公式的应用，属于基础题9（4分）在ABC中，cosA，AC3AB，则sinC（）ABCD【分析】由余弦定理求解边的关系，在利用正弦即可求解答案【解答】解：由cosA，AC3AB，即b3c余弦定理可得：可得：a；正弦定理：可得；sinC故选：A【点评】
14、本题考查了正余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10（4分）已知（0，），sin+2cos2，则tan（+）（）ABC7D7【分析】首先利用已知条件建立方程组求出cos的值，进一步求出tan，再利用和角公式的应用求出结果【解答】解：已知（0，），sin+2cos2，则，整理得：5cos28cos+30，解得：，由于（0，），所以：cos，所以：，故：tan，所以：故选：C【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，和角公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型二、多项选择填（每题4分，满分12分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的）1
15、1（4分）某赛季甲乙两名篮球运动员各6场比赛得分情况如表：场次123456甲得分31162434189乙得分232132113510则下列说法正确的是（）A甲运动员得分的极差小于乙运动员得分的极差B甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数C甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值D甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定【分析】分别求出甲、乙运动员得分的极差、中位数、平均数，能判断A，B，C的正误，由统计表得乙的数据相对分散，甲的数据相对集中，得到甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定【解答】解：在A中，甲运动员得分的极差为：34925，乙运动员得分的极差为：351025，甲运动员得分的极差等于
16、乙运动员得分的极差，故A错误；在B中，甲运动员得分的中位数为：21，乙运动员得分的中位数为：22，甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数，故B正确；在C中，甲运动员得分的平均数为：（31+16+24+34+18+9）22，乙运动员得分的平均数为：（23+21+32+11+35+10）22，甲运动员得分的平均值等于乙运动员得分的平均值，故C错误；在D中，由统计表得乙的数据相对分散，甲的数据相对集中，甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定，故D正确故选：BD【点评】本题考查命题真假的判断，考查极差、中位数、平均数、方差等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题12（4分）已知数列an是等比数
17、列，那么下列数列一定是等比数列的是（）ABlog2（an）2Can+an+1Dan+an+1+an+2【分析】利用等比数列的性质直接求解【解答】解：由数列an是等比数列，知：在A中，一定是等比数列，故A正确；在B中，假设an2n，则log2（an）2log222n2n，不是等比数列，故B错误；在C中，an+an+1an（1+q），q1时，an+an+1不是等比数列，故C错误；在D中，an+an+1+an+2an（1+q+q2），an+an+1+an+2是等比数列，故D正确故选：AD【点评】本题考查等比数列的判断，考查等比数列的性质等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题13（4分）已知函
18、数f（x）|tanx|cosx，则下列说法正确的是（）Af（x）的最小正周期为Bf（x）的值域为1，1Cf（x）在区间（）上单调递减Df（x）的图象关于（）中心对称【分析】去绝对值，化为分段函数，画出函数的图象，即可判断【解答】解：函数f（x）|tanx|cosx，画出函数f（x）的图象，如图所示：f（x+2）|tan（x+2）|cos（x+2）|tanx|cosx，f（x）的最小正周期是2，f（x）的值域为（1，1），f（x）在区间（，）上单调递增，根据f（x）的图象，f（x）的图象关于（，0）中心对称，说法正确的是D故选：D【点评】本题考查了三角函数的图象的性质的应用，属于中档题三、填空题
19、（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）14（4分）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是0.3，甲获胜的概率是0.2，则乙获胜的概率为0.5；乙不输的概率为0.8【分析】利用对立事件概率计算公式直接求解【解答】解：甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是0.3，甲获胜的概率是0.2，乙获胜的概率为p10.30.20.5；乙不输的概率为p10.20.8故答案为：0.5；0.8【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查了推理能力与计算能力，是基础题15（4分）如图，已知函数f（x）2sin（x+）（0）的部分图象，则2；f（0）【分析】根据，可得周期，即可求解的值；根据图
20、象过点（），即可求解，从而求解f（0）【解答】解：根据图象，可得周期T；那么；根据图象过点（），可得2sin（2+）2令sin（+）sin（）可得；那么f（0）2sin故答案为：2，【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键要求熟练掌握函数图象之间的变化关系16（4分）数列an中，a11，an+1an+n+1，则a15120；+【分析】根据数列的递推公式，利用累加法求出数列的通项公式，结合裂项法进行求和即可【解答】解：an+1an+n+1，an+1ann+1，即a2a12，a3a23，anan1n，等式两边同时相加得ana12+3+4+n，即ana1+2
21、+3+4+n1+2+3+4+n，则，+2（1）2（1）故答案为：120；【点评】本题考查数列递推式，涉及累加法和裂项法，属于综合题型17（4分）如图，在ABC中，C90，AD是BAC的平分线，若sinB，AD7，则sinADB；AB15【分析】在ABC中，由直角三角形的正弦函数、余弦函数的定义，结合诱导公式和二倍角公式可得sinADB，再在三角形ADB中运用正弦定理可得所求值【解答】解：在ABC中，C90，AD是BAC的平分线，若sinB，AD7，可得cosBACsinB，即为2cos21，解得cos，由题意可得sinADBsin（90+）cos，在ABD中，AD7，sinB，可得，即有AB1
22、5故答案为：，15【点评】本题考查三角形的正弦定理和三角函数的恒等变换，考查方程思想和运算能力，属于基础题四、解答题：共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18（12分）在直角坐标系xOy中，A（1，4），B（4，1），点C在直线x1上（1）若A，B，C三点共线，求点C的坐标；（2）若BAC90，求点C的坐标【分析】（1）设点C（1，y），利用两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求得y的值，可得点C的坐标（2）设点C（1，z），利用两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求得z的值，可得点C的坐标【解答】解：（1）设点C（1，y），则 （3，3），（2，y4），
23、因为A，B，C三点共线，所以，3（y4）32，求得y6，可得C（ 1，6）（2）因为BAC90，所以，32+（3）（z4）0，解得z2，故点C的坐标为（1，2）【点评】本题主要考查两个向量共线、垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题19（14分）记Sn为等差数列an的前n项和，已知a36，S728（1）求an的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值【分析】（1）设an的公差为d，利用等差数列通项公式求出a110，d2由此能求出an的通项公式（2）由n211n（n5.5）2，推导出当n5或n6时，Sn取得最小值，最小值为30【解答】解：（1）设an的公差为d，由题意得a1+2d6，7（
24、a1+3d）28，解得a110，d2所以an的通项公式为an2n12（2）由（1）得n211n（n5.5）2，因为nN*，所以当n5或n6时，Sn取得最小值，最小值为30【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和的最小值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题20（14分）ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinCcsin2A（1）求A；（2）若a，b2，求ABC的面积【分析】（1）利用正弦定理和二倍角公式化简即可求解；（2）利用余弦定理求解c，即可求解ABC的面积【解答】解：（1）因为知asinCcsin2A由正弦定理：sinAsinCsinCsin
25、2A因为sin2A2sinAcosA，sinAsinC0，所以cosA因为0A，所以A（2）因为a，b2，A由余弦定理：a2b2+c22cbcosA得c26c+50，解得：c1或c5，均适合题当c1时，ABC的面积为SbcsinA当c5时，ABC的面积为SbcsinA【点评】本题考查正、余弦定理和面积公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21（14分）设函数f（x）4sin2（+）sinx+cos2x（1）已知f（x）图象的相邻两条对称轴的距离为，求正数的值；（2）已知函数f（x）在区间，上是增函数，求正数的最大值【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的
26、图象特征，求得正数的值（2）由题意利用正弦函数的单调性，求得正数的最大值【解答】解：（1）函数f（x）4sin2（+）sinx+cos2x42+2sinxsinx+cos2x2sinx+2sin2x+12sin2x2sinx+1，因为f（x）图象的相邻两条对称轴的距离为，1（2）在区间，上，x，0，函数f（x）在区间，上是增函数，且，求得，故正数的最大值为【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象特征，正弦函数的单调性，属于中档题22（14分）某“双一流A类”大学就业部从该校2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月
27、薪收入在人民币1，.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率分布直方图：（1）为感谢同学们对这项调查工作的支持，该校利用分层抽样的方法从样本的前两组中抽出6人，各赠送一份礼品，并从这6人中再抽取2人，各赠送某款智能手机1部，求获赠智能手机的2人月薪都不低于1.75万元的概率；（2）同一组数据用该区间的中点值作代表（i）求这100人月薪收入的样本平均数和样本方差s2；（ii）该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人，决定于2019国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：方案一：设s0.018，+s+0.018），月薪落在区间左侧的每人收取4
28、00元，月薪落在区间内的每人收到600元，月薪落在区间右侧的每人收取800元方案二：按每人一个月薪水的3%收取；用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用？参考数据：13.2【分析】（1）第一组有2人，第二组有10人按照分层抽样抽6人时，第一组抽1人，记为A，第二组抽5人，记为B，C，D，E，F从这6人中抽2人，利用列举法能求出获赠智能手机的2人月薪都超过1.75万元的概率（2）（i）由频率分布直方图能求出这100人月薪收入的样本平均数和样本方差（ii）由方案一求出这50人共收活动费用约为3.01万元由方案二求出这50人共收活动费用约为500.033
29、万元从而方案一能收到更多的费用【解答】解：（1）第一组有0.20.11002人，第二组有1.00.110010人按照分层抽样抽6人时，第一组抽1人，记为A，第二组抽5人，记为B，C，D，E，F从这6人中抽2人共有15种，分别为：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）获赠智能手机的2人月薪都不低于1.75万元的10种，分别为：（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）于是获赠智能手机
30、的2人月薪都超过1.75万元的概率P（2）（i）这100人月薪收入的样本平均数和样本方差S2，0.021.7+0.101.8+0.241.9+0.312+0.22.1+0.092.2+0.042.32，S20.02（1.72）2+0.10（1.82）2+0.24（1.92）2+0.31（22）2+0.2（2.12）2+0.09（2.22）2+0.04（2.32）20.0174（ii）方案一：S0.132，1.85，2.15），月薪落在区间左侧收活动费用约为（0.02+0.10）40050100000.24（万元）；月薪落在区间收活动费用约为（0.24+0.31+0.20）60050100002
31、.25（万元）；月薪落在区间右侧收活动费用约为（0.09+0.04）80050100000.52（万元）；、因此方案一，这50人共收活动费用约为3.01（万元）方案二：这50人共收活动费用约为500.033（万元）故方案一能收到更多的费用【点评】本题考查概率、平均数、方差的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题23（14分）数列an的前n项和Sn1+an（1）求an的通项公式；（2）设bnnan，求数列bn的前n项和Tn，并求使Tnm成立的实数m最小值【分析】（1）已知和an与Sn的关系可得数列an是等比数列，继而可求通项公式；（2）用错位相减法求和，再解不等式可得m的最小值【解答】解：（1）由得由，可知，可得，即2an+1an因为a10，所以an0，故，因此an是首项为，公比为的等比数列，故（2）由（1）知所以两边同乘以得相减得（1+）Tn+，从而，于是，当n是奇数时，因为，所以当n是偶数时，因此因为Tnm，所以m，m的最小值为【点评】本题考查数列的递推式，涉及了等比数列的知识和错位相减法求和等，属于中档题