1、2018-2019学年辽宁省朝阳市建平县高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合Ax|x2且ABA，则集合B可以是（）Ax|x24Bx|yCy|yx22，xRD1，0，1，2，32（5分）命题“xR，x10”的否定是（）AxR，x10BxR，x10CxR，x10DxR，x103（5分）下面四个命题：“直线a直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；“直线l平面内所有直线”的充要条件是“l平面”；“直线a、b为异面直线”的必要不充分条件是“直线a、b不相交”；“平面平面”的充分不必要条件是“内存在不
2、共线的三点到的距离相等”；其中正确命题的序号是（）ABCD4（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.120.05，lg1.30.11，lg20.30）A2018年B2019年C2020年D2021年5（5分）已知sincos，则sin2（）ABCD6（5分）三棱锥PABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，PA底面ABC，且PA2，则此三棱锥外接球的半径为（）ABC2D7（5分）已知直线x是函数f（x）sin（2x
3、+）的一条对称轴，则f（x）的一个单调递减区间是（）ABCD8（5分）设矩形的长为a，宽为b，其比满足b：a0.618，这种矩形给人以美感称为黄金矩形黄金矩形常应用于工艺品设计中下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是（）A甲批次的总体平均数与标准值更接近B乙批次的总体平均数与标准值更接近C两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D两个批次总体平均数与标准值接近程
4、度不能确定9（5分）设函数f（x）2sin（x+），xR，其中0，|若f（）2，f（）0且f（x）的最小正周期大于2，则（）A，B，C，D，10（5分）函数y的部分图象大致为（）ABCD11（5分）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2，则|ab|（）ABCD112（5分）过ABC的重心任作一直线分别交边AB，AC于点D、E若x，y，xy0，则4x+y的最小值为（）A4B3C2D1二.填空题：本大题共4小题，每小题5分13（5分）设向量，若，则x 14（5分）函数ysinxcosx的图象可由函数y2sinx的图象至少向右平移 个单位
5、长度得到15（5分）设奇函数f（x）的定义域为R，且对任意实数x满足f（x+1）f（x），若当x0，1时，f（x）2x1，则f（） 16（5分）一艘轮船按照北偏西30的方向以每小时21海里的速度航行，一个灯塔M原来在轮船的北偏东30的方向，经过40分钟后，测得灯塔在轮船的北偏东75的方向，则灯塔和轮船原来的距离是 海里三、解答题：本大题共6小题，满分70分.其中17题满分70分，18、19、20、21、21、各满分70分解答须写出文字说明、证明过程、演算步骤17（10分）从含有两件正品a1，a2和一件次品b的3件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次（1）写出基本事件空间；（2）求取
6、出的两件产品中恰有一件次品的概率18（12分）若x3不等式1恒成立，求实数a的取值范围19（12分）如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EFBC（I）证明FO平面CDE；（II）设BCCD，证明：EO平面CDF20（12分）已知，为锐角，tan，cos（+）（1）求cos2的值；（2）求tan（）的值21（12分）已知函数f（x）（cos2xsin2x+）2cos2（x），xR（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）1，b2，求ABC的面积的最大值22（12分）已知二次函数f（x）a
7、x2+bx+5（xR）满足以下要求：函数f（x）的值域为1，+）；f（2+x）f（2x）对xR恒成立求：（1）求函数f（x）的解析式；（2）设M（x），求xe，e2时M（x）的值域2018-2019学年辽宁省朝阳市建平县高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合Ax|x2且ABA，则集合B可以是（）Ax|x24Bx|yCy|yx22，xRD1，0，1，2，3【分析】化简各选项中的集合得到B，根据A与B并集为A，即可做出判断【解答】解：A、由集合中的不等式解得：x2或x2，即Bx|x2或
8、x2，集合Ax|x2，ABx|x2A，不合题意；B、函数y中，x+20，即x2，Bx|x2，集合Ax|x2，ABx|x2B，不合题意；C、由yx222，得到By|y2，集合Ax|x2，ABx|x2B，不合题意；D、若B1，0，1，2，3，集合Ax|x2，ABx|x2A，符合题意，故选：D【点评】本题考查了并集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题2（5分）命题“xR，x10”的否定是（）AxR，x10BxR，x10CxR，x10DxR，x10【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论【解答】解：命题为全称命题，命题“xR，x10”的否定是xR，x10，故选：B【点评】本题主要考查含有量词
9、的命题的否定，比较基础3（5分）下面四个命题：“直线a直线b”的充要条件是“a平行于b所在的平面”；“直线l平面内所有直线”的充要条件是“l平面”；“直线a、b为异面直线”的必要不充分条件是“直线a、b不相交”；“平面平面”的充分不必要条件是“内存在不共线的三点到的距离相等”；其中正确命题的序号是（）ABCD【分析】由线线的位置关系可判断；由线面垂直的定义可判断；由两直线的位置关系可判断；由面面的位置关系可判断【解答】解：“直线a直线b”推不到“a平行于b所在的平面”，反之，也推不到，故为不充分也不必要，故错误；“直线l平面内所有直线”的充要条件是“l平面”，故正确；“直线a、b为异面直线”可
10、得“直线a、b不相交”，反之，a，b可能平行，故正确；“平面平面”可得“内存在不共线的三点到的距离相等”，反之，可能相交，故错误故选：B【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，考查充分必要条件的判断，考查推理能力，属于基础题4（5分）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.120.05，lg1.30.11，lg20.30）A2018年B2019年C2020年D2021年【分析】设第n年开始超过200万元，可得130
11、（1+12%）n2015200，两边取对数即可得出【解答】解：设第n年开始超过200万元，则130（1+12%）n2015200，化为：（n2015）lg1.12lg2lg1.3，n20153.8取n2019因此开始超过200万元的年份是2019年故选：B【点评】本题考查了等比数列的通项公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5（5分）已知sincos，则sin2（）ABCD【分析】由条件，两边平方，根据二倍角公式和平方关系即可求出【解答】解：sincos，（sincos）212sincos1sin2，sin2，故选：A【点评】本题考查了二倍角公式，属于基础题6（5分）三棱锥P
12、ABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，PA底面ABC，且PA2，则此三棱锥外接球的半径为（）ABC2D【分析】由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，代入R，可得球的半径R【解答】解：根据已知中底面ABC是边长为2的正三角形，PA底面ABC，可得此三棱锥外接球，即为以ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球ABC是边长为2的正三角形，ABC的外接圆半径r，球心到ABC的外接圆圆心的距离d1故球的半径R故选：D【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，熟练掌握球的半径R公式R，是解答的关键7（
13、5分）已知直线x是函数f（x）sin（2x+）的一条对称轴，则f（x）的一个单调递减区间是（）ABCD【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和正弦型函数性质的应用求出结果【解答】解：直线x是函数f（x）sin（2x+）的一条对称轴，则：（kZ），解得：（kZ）当k0时，令：（kZ），解得：（kZ），当k0时，函数的单调递减区间为（），故选：B【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型8（5分）设矩形的长为a，宽为b，其比满足b：a0.618，这种矩形给人以美感称为黄金矩形黄金矩形常应用于工艺品设计中下面是某工艺品厂随机
14、抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是（）A甲批次的总体平均数与标准值更接近B乙批次的总体平均数与标准值更接近C两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定【分析】本题考查的知识点是平均数，要计算哪个批次的总体平均数与标准值更接近，我们可分别抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595
15、0.639与乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620，分别代入平均数计算公式，计算出平均数后，再与标准值0.618比较，越接近说明总体平均数与标准值更接近【解答】解：甲批次的平均数为0.617，乙批次的平均数为0.613故甲批次的总体平均数与标准值更接近故选：A【点评】平均数反映的是数据的总体平均水平，其值越大，则其总体平均水平越高；其值越小，则其总体平均水平越低；其值与标准值之间的差越小，则其总体平均水平与标准越接近9（5分）设函数f（x）2sin（x+），xR，其中0，|若f（）2，f（）0且f（x）的最小正周期大于2，则（）A，B，C，D，【分析】由题意求得，再
16、由周期公式求得，最后由若f（）2求得值【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2，得 ，又f（）2，f（）0，得，T，则，即f（x）2sin（x+）2sin（x+），由f（）2sin（+）2，得sin（+）1+2k，kZ取k0，得，故选：B【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查yAsin（x+）型函数的性质，是中档题10（5分）函数y的部分图象大致为（）ABCD【分析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可【解答】解：函数y，可知函数是奇函数，排除选项B，当x时，f（），排除A，x时，f（）0，排除D故选：C【点评】本题考查函数的图形的判断，三角函数化简，函数的奇偶性以及函数的
17、特殊点是判断函数的图象的常用方法11（5分）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2，则|ab|（）ABCD1【分析】推导出cos22cos21，从而|cos|，进而|tan|ab|由此能求出结果【解答】解：角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A（1，a），B（2，b），且cos2，cos22cos21，解得cos2，|cos|，|sin|，|tan|ab|故选：B【点评】本题考查两数差的绝对值的求法，考查二倍角公式、直线的斜率等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题12（5分）过ABC的重心任
18、作一直线分别交边AB，AC于点D、E若x，y，xy0，则4x+y的最小值为（）A4B3C2D1【分析】本题主要考查向量的线性运算和基本不等式的运用【解答】解：设ABC的重心为M，由题意可知D、E、M三点共线存在使得且，化简得：故选：B【点评】M、D、E三点共线则有，基本不等式求最值时，常用“1”来代换二.填空题：本大题共4小题，每小题5分13（5分）设向量，若，则x【分析】根据即可得出，进而得出，根据x的范围即可求出的范围，从而得出x的值【解答】解：；又；故答案为：【点评】考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，不等式的性质，以及已知三角函数值求角的方法14（5分）函数ysinxcosx
19、的图象可由函数y2sinx的图象至少向右平移个单位长度得到【分析】令f（x）2sinx，则f（x）2in（x），依题意可得2sin（x）2sin（x），由2k（kZ），可得答案【解答】解：ysinxcosx2sin（x），令f（x）2sinx，则f（x）2in（x）（0），依题意可得2sin（x）2sin（x），故2k（kZ），即2k+（kZ），当k0时，正数min，故答案为：【点评】本题考查函数ysinx的图象变换得到yAsin（x+）（A0，0）的图象，得到2k（kZ）是关键，属于中档题15（5分）设奇函数f（x）的定义域为R，且对任意实数x满足f（x+1）f（x），若当x0，1时，f（x
20、）2x1，则f（）【分析】利用已知的f（x+1）f（x）得到函数的周期，再利用奇偶性结合周期性将给定值转换到给定区间，求得结果即可【解答】解：f（x+1）f（x），f（x）f（x+1）f（x+1）f（x+2）f（x）f（x+2）f（x）为周期为2的奇函数f（x）周期为2，故【点评】这道题目考察了简单的周期性和奇偶性的应用，利用所得周期和奇偶性将要求值转换到已知范围内进行求解16（5分）一艘轮船按照北偏西30的方向以每小时21海里的速度航行，一个灯塔M原来在轮船的北偏东30的方向，经过40分钟后，测得灯塔在轮船的北偏东75的方向，则灯塔和轮船原来的距离是7（）海里【分析】由题意画出图形，分别求出
21、AOM的三个内角及AO的值，再由正弦定理求解【解答】解：如图，AOBBOM30，OBM105，AMO45，OAM75，OA21海里在AOM中，由正弦定理可得：，OM海里故答案为：【点评】本题考查三角形模型的建立，考查学生的计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，满分70分.其中17题满分70分，18、19、20、21、21、各满分70分解答须写出文字说明、证明过程、演算步骤17（10分）从含有两件正品a1，a2和一件次品b的3件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次（1）写出基本事件空间；（2）求取出的两件产品中恰有一件次品的概率【分析】（1）利用列举法能求出基本事件空间（2
22、）利用列举法求出取出的两件产品中恰有一件次品包含的基本事件个数，由此能求出取出的两件产品中恰有一件次品的概率【解答】解：（1）从含有两件正品a1，a2和一件次品b的3件产品中每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次基本事件空间：（a1，a2），（a1，b），（a2，a1），（a2，b），（b，a1），（b，a2），共有6个基本事件（2）取出的两件产品中恰有一件次品包含的基本事件有：（a1，b），（a2，b），（b，a1），（b，a2），共有4个基本事件，取出的两件产品中恰有一件次品的概率p【点评】本题考查概率求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用18（12分）若x3不等式1恒
23、成立，求实数a的取值范围【分析】讨论a0时不等式1恒成立，a0时不等式1等价于a，求出f（x）在x3的最小值，从而求得不等式恒成立时a的取值范围【解答】解：当a0时，由x3知0，所以0恒成立，所以不等式1恒成立；当a0时，不等式1等价于a；设f（x），其中x3，则f（x）1是单调增函数，且f（x）f（3）1，即a；综上知，不等式1恒成立时，实数a的取值范围是a【点评】本题考查了不等式恒成立的应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题19（12分）如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EFBC（I）证明FO平面CDE；（II）设BCCD，证明：EO
24、平面CDF【分析】（I）要证明FO平面CDE，在平面CDE中：取CD中点M，连接OM证明FOEM即可；（II）证明EO平面CDF，只需证明EOFM，CDEO，即可证明结论【解答】解：（I）证明：取CD中点M，连接OMEM在矩形ABCD中，又，则连接EM，于是四边形EFOM为平行四边形FOEM又因为FO不在平面CDE，且EM平面CDE，FO平面CDE（II）证明：连接FM由（I）和已知条件，在等边CDE中，CMDM，EMCD且因此平行四边形EFOM为菱形，从而EOFMCDOM，CDEM，CD平面EOM，从而CDEO而FMCDM，所以EO平面CDF【点评】本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等
25、基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力20（12分）已知，为锐角，tan，cos（+）（1）求cos2的值；（2）求tan（）的值【分析】（1）由已知结合平方关系求得sin，cos的值，再由倍角公式得cos2的值；（2）由（1）求得tan2，再由cos（+）求得tan（+），利用tan（）tan2（+），展开两角差的正切求解【解答】解：（1）由，解得，cos2；（2）由（1）得，sin2，则tan2，（0，），+（0，），sin（+）则tan（+）tan（）tan2（+）【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题21（12分）已知函数f（x）（c
26、os2xsin2x+）2cos2（x），xR（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（B）1，b2，求ABC的面积的最大值【分析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的单调区间（2）利用函数的值，首先求出B的值，进一步利用余弦定理和基本关系式点的应用求出结果【解答】解：（1）函数f（x）（cos2xsin2x+）2cos2（x），xRcos2x+，2cos（）令：（kZ），整理得：（kZ），所以函数的单调递增区间为：（kZ）（2）ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f
27、（B）1，b2，所以：，解得：根据余弦定理，b2a2+c22accosB，4a2+c22accosBa2+c2+ac3ac，所以：，所以：，则ABC的面积的最大值为【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型和余弦型函数的性质的应用，正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，基本不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型22（12分）已知二次函数f（x）ax2+bx+5（xR）满足以下要求：函数f（x）的值域为1，+）；f（2+x）f（2x）对xR恒成立求：（1）求函数f（x）的解析式；（2）设M（x），求xe，e2时M（x）的值域【分析】（1）配方，利用对称轴和值域求参数，（2）将M（x）化简，然后通过换元法利用基本不等式求值域【解答】解：（1）f（x）ax2+bx+5a（x+）2+5，又f（2+x）f（2x），对称轴为x2，值域为1，+），a0且51，a1，b4，则函数f（x）x2+4x+5，（2）M（x），xe，e2，令tlnx+1，则t2，3，t+2，t2，3，t+25，所求值域为：5，【点评】本题考查二次函数的性质和换元法求函数的值域，难点是换元法的使用，注意换元要注明范围