1、2017-2018学年辽宁省沈阳市郊联体高一（下）期末数学试卷（B卷）一、选择题(本大题共12小题每小题5分,计60分)1（5分）在数列an中，a11，an+1an2，则a51的值为（）A49B99C101D1022（5分）已知与均为单位向量，它们的夹角为60，那么等于（）ABCD43（5分）在ABC中，若c2acosB，则ABC的形状为（）A直角三角形B等腰三角形C等边三角形D锐角三角形4（5分）若是ABC的一个内角，且sincos，则sincos的值为（）ABCD5（5分）在等比数列an中，a7a116，a4+a145，则等于（）ABC或D或6（5分）在ABC中，如果sinA：sinB：s
2、inC2：3：4，那么cosC等于（）ABCD7（5分）数列an中，a11，an+1（nN*），则是这个数列的第（）项A100项B101项C102项D103项8（5分）如果log3m+log3n4，那么m+n的最小值是（）AB4C9D189（5分）等差数列an的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则an的前n项和Sn（）An（n+1）Bn（n1）CD10（5分）已知cos（）+sin，则sin（+）的值是（）ABCD11（5分）函数ylncosx（）的图象是（）ABCD12（5分）已知点，则（O为坐标原点）的最大值为（）AB2C1D0二、填空题(本大题共4小题每小题5分，计20分)13（5
3、分）已知向量（2，4），（1，1），若向量（+），则实数的值是 14（5分）已知，为锐角，且cos，cos，则+的值为 15（5分）在ABC中，若a3，cosA，则ABC的外接圆的半径为 16（5分）设x，y满足约束条件，则z3x+y的最大值为 三、解答题(共70分)17（10分）若不等式ax 2+5x20的解集是 x|x2，（1）求实数a的值；（2）求不等式ax 25x+a210的解集18（12分）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c向量（a，b）与（cos A，sin B）平行（）求A；（）若a，b2，求ABC的面积19（12分）已知各项均不相等的等差数列an的前四项和S41
4、4，且a1，a3，a7成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设Tn为数列的前n项和，若Tn对nN*恒成立，求实数的最大值20（12分）设f（x）sinxcosxcos2（x+）（）求f（x）的单调区间；（）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）0，a1，求ABC面积的最大值21（12分）在ABC中，A，AB6，AC3，点D在BC边上，ADBD，求AD的长22（12分）在数列an中，a12，an+14an3n+1，nN*，（1）证明数列ann为等比数列；（2）求数列an的前n项和Sn2017-2018学年辽宁省沈阳市郊联体高一（下）期末数学试卷（B卷）参考答案与试题解
5、析一、选择题(本大题共12小题每小题5分,计60分)1（5分）在数列an中，a11，an+1an2，则a51的值为（）A49B99C101D102【分析】由a11，an+1an2，知数列an是等差数列，由此能求出a51【解答】解：a11，an+1an2，a511+502101故选：C【点评】本题考查等差数列的前n项和公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答2（5分）已知与均为单位向量，它们的夹角为60，那么等于（）ABCD4【分析】由题意并且结合平面数量积的运算公式可得：，再根据可得答案【解答】解：因为与均为单位向量，它们的夹角为60，所以又因为，所以故选：A【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握
6、平面向量数量积的运算性质与公式，以及向量的求模公式，此题属于基础题主要细心的运算即可得到全分3（5分）在ABC中，若c2acosB，则ABC的形状为（）A直角三角形B等腰三角形C等边三角形D锐角三角形【分析】首先利用余弦定理代入已知条件，再根据化简的最终形式，判断三角形的形状【解答】解：利用余弦定理：则：c2acosB解得：ab所以：ABC的形状为等腰三角形故选：B【点评】本题考查的知识要点：余弦定理在三角形形状判定中的应用4（5分）若是ABC的一个内角，且sincos，则sincos的值为（）ABCD【分析】先由条件判断sin0，cos0，得到sincos，把已知条件代入运算，可得答案【解答
7、】解：是ABC的一个内角，且sincos，sin0，cos0，sincos，故选：D【点评】本题考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，把sincos 换成是解题的关键5（5分）在等比数列an中，a7a116，a4+a145，则等于（）ABC或D或【分析】根据等比中项的性质可知a7a11a4a14求得a4a14的值，进而根据韦达定理判断出a4和a14为方程x25x+60的两个根，求得a4和a14，则可求【解答】解：a7a11a4a146a4和a14为方程x25x+60的两个根，解得a42，a143或a43，a142或，故选：C【点评】本题主要考查等比数列的性质解题过程灵活利
8、用了韦达定理，把数列的两项当做方程的根来解，简便了解题过程6（5分）在ABC中，如果sinA：sinB：sinC2：3：4，那么cosC等于（）ABCD【分析】由正弦定理可得；sinA：sinB：sinCa：b：c，可设a2k，b3k，c4k（k0），由余弦定理可求得答案【解答】解：由正弦定理可得；sinA：sinB：sinCa：b：c2：3：4可设a2k，b3k，c4k（k0）由余弦定理可得，故选：D【点评】本题主要考查了正弦定理及余弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题7（5分）数列an中，a11，an+1（nN*），则是这个数列的第（）项A100项B101项C102项D103项【分析】由
9、an+1（nN*），两边取倒数可得：，利用等差数列的通项公式即可得出【解答】解：由an+1（nN*），两边取倒数可得：，即数列是等差数列，1+令，解得n100是这个数列的第100项故选：A【点评】本题考查了递推式、通过取倒数转化为等差数列求通项公式，属于基础题8（5分）如果log3m+log3n4，那么m+n的最小值是（）AB4C9D18【分析】利用对数的运算法则及对数的性质求出mn的范围，利用基本不等式求出m+n的最值【解答】解：log3m+log3n4m0，n0，mn3481m+n答案为18故选：D【点评】本题考查对数的运算法则、对数方程的解法、利用基本不等式求最值9（5分）等差数列an的
10、公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则an的前n项和Sn（）An（n+1）Bn（n1）CD【分析】由题意可得a42（a44）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得【解答】解：由题意可得a42a2a8，即a42（a44）（a4+8），解得a48，a1a4322，Snna1+d，2n+2n（n+1），故选：A【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题10（5分）已知cos（）+sin，则sin（+）的值是（）ABCD【分析】从表现形式上看不出条件和结论之间的关系，在这种情况下只有把式子左边分解再合并，约分整理，得到和要求结论只差的角的三角函数，通过用诱导公式，得出结论【解答】
11、解：，故选：C【点评】已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的或和这个角有关的角的三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解而本题应用了角之间的关系和诱导公式11（5分）函数ylncosx（）的图象是（）ABCD【分析】利用函数的奇偶性可排除一些选项，利用函数的有界性可排除一些个选项从而得以解决【解答】解：cos（x）cosx，是偶函数，可排除B、D，由cosx1lncosx0排除C，故选：A【点评】本小题主要考查复合函数的图象识别属于基础题12（5分）已知点，则（O为坐标原点）的最大值为（）AB2C1D0【分析】画出不等式组的可行域，判断出目标函数的几何意义，
12、结合图象得到最大值【解答】解：画出可行域，根据题意，分析可得：表示的是点P的纵坐标，由图知，可行域中点（1，）的纵坐标最大，故选：A【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域、关键给目标函数几何意义、数形结合的数学思想方法二、填空题(本大题共4小题每小题5分，计20分)13（5分）已知向量（2，4），（1，1），若向量（+），则实数的值是3【分析】由向量（2，4），（1，1），我们易求出向量若向量+的坐标，再根据（+），则（+）0，结合向量数量积的坐标运算公式，可以得到一个关于的方程，解方程即可得到答案【解答】解：+（2，4）+（1，1）（2+，4+）（+），（+）0，即（1，1）（2+，4+）
13、2+4+6+20，3故答案：3【点评】本题考查的知识点是数量积判断两个平面向量的垂直关系，及向量数乘的运算，解答的关键是求出各向量的坐标，再根据两个向量垂直，对应相乘和为零，构造方程14（5分）已知，为锐角，且cos，cos，则+的值为【分析】，均为非特殊角，可以先求出+的某种三角函数值，再利用特殊角三角函数值确定结果【解答】解：为锐角，且cos，所以sin为锐角，cos，所以sin所以cos（+）coscossinsin由已知，0+所以+【点评】本题考查两角和差三角公式的应用，求角一般方法就是先求角某种三角函数值，再利用特殊角三角函数值确定结果本题中之所以求余弦而不是正弦，还考虑到余弦函数在
14、0，上的单调性15（5分）在ABC中，若a3，cosA，则ABC的外接圆的半径为【分析】由已知可先求sinA的值，由正弦定理即可求ABC的外接圆的半径【解答】解：cosA，0A，sinA，由正弦定理可得：ABC的外接圆的半径R，故答案为：【点评】本题主要考查了同角的三角函数关系式，正弦定理的简单应用，属于基本知识的考查16（5分）设x，y满足约束条件，则z3x+y的最大值为7【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可【解答】解：作图易知可行域为一个三角形，当直线z3x+y过点A（3，2）时，z最大是7，故
15、答案为：7【点评】本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题三、解答题(共70分)17（10分）若不等式ax 2+5x20的解集是 x|x2，（1）求实数a的值；（2）求不等式ax 25x+a210的解集【分析】（1）由已知不等式的解集得到ax2+5x20的两个实数根为和2，利用韦达定理即可求出a的值；（2）代入a的值，求出不等式的解集即可【解答】解：（1）依题意可得：ax2+5x20的两个实数根为和2，由韦达定理得：+2，解得：a2；（2）由（1）不等式ax 25x+a210，即2x2+5x30，解得：3x，故不等式的解集是（3，）【点评】此题
16、考查了一元二次不等式的解法，韦达定理，利用了转化的思想，是一道基础题型18（12分）已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c向量（a，b）与（cos A，sin B）平行（）求A；（）若a，b2，求ABC的面积【分析】（1）利用向量平行得到坐标的等式，求出A；（2）利用余弦定理得到关于c的等式，求出c，然后由三角形的面积公式求面积【解答】解：（1）因为mn，所以asin Bbcos A0，由正弦定理，得sin Asin Bsin Bcos A0，又sin B0，从而tan A，由于0A，所以A（6分）（2）由余弦定理a2b2+c22bccos A，及a，b2，A，得74+c22c，即
17、c22c30，因为c0，所以c3故ABC的面积为bcsin A（12分）【点评】本题考查了平面向量的平行以及解三角形；正确求出A是解答的关键19（12分）已知各项均不相等的等差数列an的前四项和S414，且a1，a3，a7成等比数列（1）求数列an的通项公式；（2）设Tn为数列的前n项和，若Tn对nN*恒成立，求实数的最大值【分析】（1）由已知条件利用等差数列的通项公式和前n项和公式以及等比数列的性质能求出数列an的通项公式（2）由，利用裂项求和法能求出实数的最大值【解答】解：（1）设公差为d，各项均不相等的等差数列an的前四项和S414，且a1，a3，a7成等比数列，解得d1或d0（舍），所
18、以a12，故ann+1（5分）（2）因为，（6分）所以+，（8分）而Tn随着n的增大而增大，所以TnT1，（10分）因为Tn对nN*恒成立，即，所以实数的最大值为（12分）【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用20（12分）设f（x）sinxcosxcos2（x+）（）求f（x）的单调区间；（）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）0，a1，求ABC面积的最大值【分析】（）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）sin2x，由2k2x2k，kZ可解得f（x）的单调递增区间，由2k2x2k，kZ可解得单调递减
19、区间（）由f（）sinA0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc，且当bc时等号成立，从而可求bcsinA，从而得解【解答】解：（）由题意可知，f（x）sin2xsin2xsin2x由2k2x2k，kZ可解得：kxk，kZ；由2k2x2k，kZ可解得：kxk，kZ；所以f（x）的单调递增区间是k，k，（kZ）；单调递减区间是：k，k，（kZ）；（）由f（）sinA0，可得sinA，由题意知A为锐角，所以cosA，由余弦定理a2b2+c22bccosA，可得：1+bcb2+c22bc，即bc，且当bc时等号成立因此SbcsinA，所以ABC面积的最大值为【点评】本题主要考查了正弦函数的图
20、象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查21（12分）在ABC中，A，AB6，AC3，点D在BC边上，ADBD，求AD的长【分析】由已知及余弦定理可解得BC的值，由正弦定理可求得sinB，从而可求cosB，过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由ADBD得：cosDAEcosB，即可求得AD的长【解答】解：A，AB6，AC3，在ABC中，由余弦定理可得：BC2AB2+AC22ABACcosBAC90BC34分在ABC中，由正弦定理可得：，sinB，cosB8分过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由ADBD得：cosDAEcosB，RtADE中，AD12分【点评】本题主要考查了正弦定理
21、，余弦定理在解三角形中的应用，属于基本知识的考查22（12分）在数列an中，a12，an+14an3n+1，nN*，（1）证明数列ann为等比数列；（2）求数列an的前n项和Sn【分析】（1）由题意构造数列ann，利用等比数列的定义即可证明；（2）由ann为等比数列；求解数列an的通项公式，分组求和法可得前n项和Sn【解答】证明：（1）由a12，an+14an3n+1，nN*，an+1（n+1）4an3n+1（n+1）4an4n4（ann）ann为首项a111，公比q4的等比数列即数列ann的通项公式ann4n1解（2）ann4n1ann+4n1那么：Sn1+2+n+（1+4+4n1）+【点评】本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用分组求和法是解决本题的关键