1、2017-2018学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合A1，2，3，4，B2，3，4，5，则AB（）A2，4B1，5C2，3，4D1，2，3，4，52（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，点（1，2，2）关于平面zOx的对称点是（）A（1，2，2）B（1，2，2）C（1，2，2）D（1，2，2）3（5分）下列函数既不是奇函数，也不是偶函数，且在（0，+）上单调递增的是（）Ayx2+1BCy|x+1|D4（5分）已知映射f：AB，其中Aa，b，B1，2，已知a的象为1，则b的象为（）A1
2、，2中的一个B1，2C2D无法确定5（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A7cm2B9cm2C11cm2D13cm26（5分）垂直于直线x3y+10且与圆x2+y210相切的直线的方程是（）Ax3y+100或x3y100B3x+y+100或3x+y100C或 D或7（5分）m，n为空间中不重合的两条直线，为空间中不重合的两个平面，则若m，n，则mn若m，mn，则n若m，n，则mn若，m，n，则mn上述说法正确的是（）ABCD8（5分）若两平行直线l1：x2y+m0（m0）与l2：2x+ny60之间的距离是，则m+n（）A0B1C2D19（5分）yf（x）的图象由两条
3、射线构成，如图所示，则f（x）log3|x|的解集为（）A（，1）（2，+）B（1，0）（0，2）C（1，3）D（1，0）（0，3）10（5分）函数，设，则有（）Af（a）f（c）f（b）Bf（b）f（a）f（c）Cf（c）f（a）f（b）Df（c）f（b）f（a）11（5分）棱长为1的正方体可以在一个棱长为a的正四面体的内部任意地翻转，则a的最小值为（）ABCD12（5分）定义：对于一个定义域为D的函数f（x），若存在两条距离为d的直线ykx+m1，ykx+m2，使得在xD时，恒有kx+m1f（x）kx+m2，则称f（x）在D上有一个宽度为d的通道下列函数：f（x）x2（x0）； ； ，其中
4、有一个宽度为2的通道的函数的序号为（）ABCD二、填空题：本题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上.13（5分）函数f（x）kxkax1（a0且a1）的图象必过定点 14（5分）已知水平放置的ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中BOCO1，BAC90，则原ABC的面积为 15（5分）函数，则满足f（3x）0的X的取值范围是 16（5分）已知函数的图象上存在一点P，函数g（x）lnx的图象上存在一点Q，恰好使P、Q两点关于直线yx对称，则满足上述要求的实数a的取值范围是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知集合，关于x的不等
5、式|x|2的解集为B（1）求ARB；（2）设Px|xARB，xZ，Qx|m1xm+1若P中只有两个元素属于Q，求m的取值范围18（12分）已知直线l1：xy+10，l2：x+y10相交于点P，直线l3：ax+ya+10（1）若点P在直线l3上，求a的值；（2）若直线l3交直线l1，l2分别为点A和点B，且点B的坐标为（3，2），求PAB的外接圆的标准方程19（12分）如图，已知在正四棱锥PABCD中，M为侧棱PD的中点（1）证明：PB面ACM；（2）证明：平面ACM平面PBD（3）设AB2，若质点从点A沿面PAD与面PCD的表面运动到点C的最短路径恰好经过点M，求正四棱锥PABCD的体积20（
6、12分）为迎接党的“十九大”胜利召开与对国务院“提速降费”的响应，某市移动公司欲提供新的资费套餐（资费包含手机月租费、手机拔打电话与家庭宽带上网费）其中一组套餐变更如下旧方案资费手机月租费手机拔打电话家庭宽带上网费（50M）18元/月0.2元/分钟50元/月新方案资费手机月租费手机拔打电话家庭宽带上网费（50M）58元/月前100分钟免费，超过部分a元/分钟（a0.2）免费（1）客户甲（只有一个手机号和一个家庭宽带上网号）欲从旧方案改成新方案，设其每月手机通话时间为x分钟（xN*），费用y旧方案每月资费新方案每月资费，写出y关于x的函数关系；（2）经过统计，移动公司发现，选这组套餐的客户平均月
7、通话时间不超过400分钟，为能起到降费作用，求a的取值范围21（12分）已知圆C的方程为：x2+y22mx+2my42m2（1）求圆C的圆心所在直线方程一般式；（2）若直线l：xy+40被圆C截得弦长为，试求实数m的值；（3）已知定点，且点A，B是圆C上两动点，当APB可取得最大值为90时，求满足条件的实数m的值22（12分）已知函数，函数g（x）4x2x+13（1）求函数f（x）的值域；（2）若不等式f（x）g（a）0对任意实数恒成立，试求实数x的取值范围2017-2018学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中
8、，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合A1，2，3，4，B2，3，4，5，则AB（）A2，4B1，5C2，3，4D1，2，3，4，5【分析】利用并集定义直接求解【解答】解：集合A1，2，3，4，B2，3，4，5，AB1，2，3，4，5故选：D【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题2（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，点（1，2，2）关于平面zOx的对称点是（）A（1，2，2）B（1，2，2）C（1，2，2）D（1，2，2）【分析】在空间直角坐标系Oxyz中，点（a，b，c）关于平面zOx的对称点是（a，b，c）【解答】解：在
9、空间直角坐标系Oxyz中，点（1，2，2）关于平面zOx的对称点是（1，2，2）故选：C【点评】本题考查空间中点的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题3（5分）下列函数既不是奇函数，也不是偶函数，且在（0，+）上单调递增的是（）Ayx2+1BCy|x+1|D【分析】对各个选项分别判断奇偶性和单调性，注意结合常见函数的奇偶性和单调性，即可得到所求函数【解答】解：对于A，yx2+1为偶函数；对于B，y1+在（0，+）递减；对于C，y|x+1|的图象关于直线x1对称，为非奇非偶函数，在（0，+）上单调递增，符合题意；对于D，y2x2x，有f（x）2
10、x2xf（x），即为奇函数故选：C【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查定义法和常见函数的奇偶性和单调性的运用，属于中档题4（5分）已知映射f：AB，其中Aa，b，B1，2，已知a的象为1，则b的象为（）A1，2中的一个B1，2C2D无法确定【分析】由映射的定义，即可得到所求值【解答】解：映射f：AB，其中Aa，b，B1，2，已知a的象为1，可得b1或2，故选：A【点评】本题考查映射的定义和应用，考查对应思想，属于基础题5（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A7cm2B9cm2C11cm2D13cm2【分析】由几何体的三视图得该几何体是一个底面半径为r1c
11、m，高为3cm的无盖圆柱，并且圆柱上面陷入一个半径为R1cm的半球，由此能求出该几何体的表面积【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是一个底面半径为r1cm，高为3cm的无盖圆柱，并且圆柱上面陷入一个半径为R1cm的半球，如图所示，该几何体的表面积为：S+6+29（cm2）故选：B【点评】本题考查几何体的表面积的求法，考查几何体的三视图、圆柱和球的表面积等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想6（5分）垂直于直线x3y+10且与圆x2+y210相切的直线的方程是（）Ax3y+100或x3y100B3x+y+100或3x+y100C或 D或【分析】设垂直于直线x3y+10的
12、直线方程为3x+y+c0，由所求直线垂直于直线x3y+10且与圆x2+y210相切，得到圆心O（0，0）到直线3x+y+c0的距离等于圆半径，由此能出直线方程【解答】解：设垂直于直线x3y+10的直线方程为3x+y+c0，所求直线垂直于直线x3y+10且与圆x2+y210相切，圆心O（0，0）到直线3x+y+c0的距离：d，解得c10，垂直于直线x3y+10且与圆x2+y210相切的直线的方程是3x+y+100或3x+y100故选：B【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线与直线垂直、直线与圆相切、点到直线距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，
13、是中档题7（5分）m，n为空间中不重合的两条直线，为空间中不重合的两个平面，则若m，n，则mn若m，mn，则n若m，n，则mn若，m，n，则mn上述说法正确的是（）ABCD【分析】根据空间线面关系的定义，判断定理性质定理及几何特征，逐一分析给定四个结论的真假，可得答案【解答】解：若m，n，则由线面垂直的性质定理可得：mn，正确；若m，mn，则n或n，错误；若m，则存在b，使mb，由n得nb，则mn，正确若，m，n，则m，n关系不能确定，错误，故选：A【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题目综合性一般较强，难度中档8（5分）若两平行直线l1：x2y+m0（m0）与l2：2x+ny
14、60之间的距离是，则m+n（）A0B1C2D1【分析】化简直线l2，利用两直线之间的距离为d，求出m，即可得出结论【解答】解：由题意，解得n4，即直线l2：x2y30，所以两直线之间的距离为d，解得m2，所以m+n2，故选：C【点评】本题考查两条平行线间的距离，考查学生的计算能力，属于中档题9（5分）yf（x）的图象由两条射线构成，如图所示，则f（x）log3|x|的解集为（）A（，1）（2，+）B（1，0）（0，2）C（1，3）D（1，0）（0，3）【分析】在同一坐标系中画出函数yf（x）与ylog3|x|的图象，数形结合，可得答案【解答】解：在同一坐标系中画出函数yf（x）与ylog3|x
15、|的图象如下图所示：由图可得：若f（x）log3|x|，则x（1，0）（0，3），故选：D【点评】本题考查的知识点是函数的图象，数形结合思想，难度中档10（5分）函数，设，则有（）Af（a）f（c）f（b）Bf（b）f（a）f（c）Cf（c）f（a）f（b）Df（c）f（b）f（a）【分析】由函数是减函数，再利用对数函数和指数函数的单调性，通过比较a，b，c的大小关系即可得出【解答】解：函数是减函数，log210，01，bcaf（c）f（b）f（a），故选：D【点评】本题考查了对数函数和指数函数的单调性，属于基础题11（5分）棱长为1的正方体可以在一个棱长为a的正四面体的内部任意地翻转，则a的
16、最小值为（）ABCD【分析】由题意，正方体在正四面体的内切球内，求出内切球的直径，就是正方体的对角线的长，然后求出正方体的棱长【解答】解：设球的半径为：r，由正四面体的体积得：4ra2，解得ra，正方体的棱长为1，解得a3故选：A【点评】本题考查正四面体的最小棱长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题12（5分）定义：对于一个定义域为D的函数f（x），若存在两条距离为d的直线ykx+m1，ykx+m2，使得在xD时，恒有kx+m1f（x）kx+m2，则称f（x）在D上有一
17、个宽度为d的通道下列函数：f（x）x2（x0）； ； ，其中有一个宽度为2的通道的函数的序号为（）ABCD【分析】分析函数的值域及导数的取值范围，结合f（x）在D上有一个宽度为d的通道的定义，逐一分析可得答案【解答】解：当x0时，f（x）x20且函数单调递增，故不存在宽度为2的通道；0，2，故存在y0和y2，满足有一个宽度为2的通道；（1，1），故存在y1和y1，满足有一个宽度为2的通道；，0）（0，故存在y1和y1，满足有一个宽度为2的通道；故有一个宽度为2的通道的函数的序号为，故选：D【点评】本题主要考查了对新定义性质的理解和运用，熟知已知四个函数的图象和性质，是解决本题的关键考查学生的推
18、理和判断能力二、填空题：本题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上.13（5分）函数f（x）kxkax1（a0且a1）的图象必过定点（1，1）【分析】由x1时，kxk0恒成立，以及a01恒成立，即可得到所求定点【解答】解：yf（x）kxkax1，a0且a1，可令x1，可得ykka0011，则f（x）的图象恒过定点（1，1）故答案为：（1，1）【点评】本题考查函数的图象恒过定点问题，注意运用指数函数的图象的特点，考查方程思想和运算能力，属于基础题14（5分）已知水平放置的ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中BOCO1，BAC90，则原ABC的面积为2【分析】
19、根据“斜二测画法”原理还原出ABC，利用边长对应关系计算原ABC的面积即可【解答】解：根据“斜二测画法”原理，还原出ABC，如图所示；由BOCO1，BAC90，OABC1，原ABC的面积为SBCOA222故答案为：2【点评】本题考查了斜二测画法中原图和直观图面积的计算问题，是基础题15（5分）函数，则满足f（3x）0的X的取值范围是（2，3）【分析】根据题意，分析可得f（x）在（0，+）上为减函数，且f（1）0，进而可以将不等式变形为f（3x）f（1），结合单调性和定义域03x1，解可得x的取值范围即可得答案【解答】解：根据题意，f（x），（x0），分析易得f（x）在（0，+）上为减函数，且f
20、（1）0，若f（3x）0，则有f（3x）f（1），则有03x1，解可得2x3；即x的取值范围是（2，3）；故答案为：（2，3）【点评】本题考查函数单调性的性质以及应用，关键是分析函数的单调性16（5分）已知函数的图象上存在一点P，函数g（x）lnx的图象上存在一点Q，恰好使P、Q两点关于直线yx对称，则满足上述要求的实数a的取值范围是（，【分析】设P（m，n），则Q（n，m），从而，进而，由此得到a+em（e2m2em），由此能求出实数a的取值范围【解答】解：函数的图象上存在一点P，函数g（x）lnx的图象上存在一点Q，恰好使P、Q两点关于直线yx对称，设P（m，n），则Q（n，m），整理得：
21、，a+em（e2m2em）（em1）+实数a的取值范围是（，故答案为：（，【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查函数性质、均值定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已知集合，关于x的不等式|x|2的解集为B（1）求ARB；（2）设Px|xARB，xZ，Qx|m1xm+1若P中只有两个元素属于Q，求m的取值范围【分析】（1）解不等式得集合A、B，根据补集和交集的定义写出ARB；（2）用列举法写出集合P，根据题意列不等式组求出m的取值范围【解答】解：集合x|3x4，关于x的不等
22、式|x|2的解集为Bx|2x2；（1）RBx|x2或x2，集合ARBx|3x2或2x4；（2）Px|xARB，xZ2，2，3，Qx|m1xm+1，若P中只有两个元素属于Q，则，或，解得m，或2m3，m的取值范围是2m3【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了元素与集合的应用问题，是综合题18（12分）已知直线l1：xy+10，l2：x+y10相交于点P，直线l3：ax+ya+10（1）若点P在直线l3上，求a的值；（2）若直线l3交直线l1，l2分别为点A和点B，且点B的坐标为（3，2），求PAB的外接圆的标准方程【分析】（1）联立方程组求得P的坐标，代入直线l3：ax+ya+10即可
23、求得a值；（2）把B的坐标代入l3：ax+ya+10，求得a值，可得l3，进一步求得A的坐标，设出圆的一般方程，利用待定系数法求得D、E、F的值，则圆的一般方程可求，利用配方法化为标准方程【解答】解：（1）联立，解得P（0，1），点P在直线l3上，1a+10，即a2；（2）如图，直线l3：ax+ya+10过B（3，2），3a2a+10，即a，可得直线l3：x+2y+10A（1，0），又P（0，1），设PAB的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F0则，解得D2，E2，F3PAB的外接圆的方程为x2+y22x+2y30，化为标准方程：（x1）2+（y+1）25【点评】本题考查直线与圆的位置关系
24、，考查圆的标准方程的求法，是中档题19（12分）如图，已知在正四棱锥PABCD中，M为侧棱PD的中点（1）证明：PB面ACM；（2）证明：平面ACM平面PBD（3）设AB2，若质点从点A沿面PAD与面PCD的表面运动到点C的最短路径恰好经过点M，求正四棱锥PABCD的体积【分析】（1）设ACBDO，连结OM，推导出OMPB，由此能证明PB平面ACM（2）推导出BDAC，从而AC平面PBD，由此能证明平面ACM平面PBD（3）推导出PAD和PCD是全等的等边三角形，ADCDPAPBPCPD2，由此能出正四棱锥PABCD的体积【解答】证明：（1）设ACBDO，连结OM，正四棱锥PABCD中，ABC
25、D是正方形，O是BD中点，M为侧棱PD的中点，OMPB，PB平面ACM，OM平面ACM，PB平面ACM（2）正四棱锥PABCD中，ACBDO，POAC，BDAC，POBDO，AC平面PBD，AC平面ACM，平面ACM平面PBD；解：（3）AB2，若质点从点A沿面PAD与面PCD的表面运动到点C的最短路径恰好经过点M，PAD和PCD是全等的等边三角形，ADCDPAPBPCPD2，AO，PO，S正方形ABCD224，正四棱锥PABCD的体积：V【点评】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查正四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求
26、解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题20（12分）为迎接党的“十九大”胜利召开与对国务院“提速降费”的响应，某市移动公司欲提供新的资费套餐（资费包含手机月租费、手机拔打电话与家庭宽带上网费）其中一组套餐变更如下旧方案资费手机月租费手机拔打电话家庭宽带上网费（50M）18元/月0.2元/分钟50元/月新方案资费手机月租费手机拔打电话家庭宽带上网费（50M）58元/月前100分钟免费，超过部分a元/分钟（a0.2）免费（1）客户甲（只有一个手机号和一个家庭宽带上网号）欲从旧方案改成新方案，设其每月手机通话时间为x分钟（xN*），费用y旧方案每月资费新方案每月资费，写出
27、y关于x的函数关系；（2）经过统计，移动公司发现，选这组套餐的客户平均月通话时间不超过400分钟，为能起到降费作用，求a的取值范围【分析】（1）当x100时，y68+0.2x580.2x+10，当x100时，y68+0.2x58+（x100）a10+100a+（0.2a）x，由此能出y关于x的函数关系式（2）由客户平均月通话时间不超过400分钟，为能起到降费作用，则y0，由此能出a的取值范围【解答】解：（1）当x100时，y68+0.2x580.2x+10，当x100时，y68+0.2x58+（x100）a10+100a+（0.2a）x，（a0.2）y关于x的函数关系式为：（a0.2）（2）客
28、户平均月通话时间不超过400分钟，为能起到降费作用，y0，当x100时，y0.2x+100，当100x400时，y10+100a+（0.2a）x0，a0.2解得0.2a0.3a的取值范围是（0.2，0.3）【点评】本题考查函数关系式的求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题21（12分）已知圆C的方程为：x2+y22mx+2my42m2（1）求圆C的圆心所在直线方程一般式；（2）若直线l：xy+40被圆C截得弦长为，试求实数m的值；（3）已知定点，且点A，B是圆C上两动点，当APB可取得最大值为90时，
29、求满足条件的实数m的值【分析】（1）根据题意，将圆的方程变形为标准方程，分析可得圆心的坐标，进而分析可得答案；（2）由圆的方程分析可得圆心坐标以及圆的半径，由直线与圆的位置关系分析可得圆心到直线距离，解可得m的值，即可得答案；（3）当PA、PB为圆的两条切线时，APB取最大值，结合题意分析可得四边形PACB为正方形，进而可得P到圆心C的距离即|CP|，解可得m的值，即可得答案【解答】解：（1）根据题意，圆C的方程为：x2+y22mx+2my42m2，变形可得：（xm）2+（y+m）24所以圆心为（m，m），所以圆心在直线方程为x+y0；（2）由（1）可得：圆C的方程为：（xm）2+（y+m）2
30、4；圆的半径为2，又由直线l：xy+40被圆C截得弦长为，所以圆心到直线距离为所以，解得m1或m3；（3）根据题意，当PA、PB为圆的两条切线时，APB取最大值此时APB90，又CAPA，CBPB，CACB所以四边形PACB为正方形，则|CP|即P到圆心C的距离；解得【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆的方程的综合应用，注意求出圆的标准方程，分析圆的圆心与半径22（12分）已知函数，函数g（x）4x2x+13（1）求函数f（x）的值域；（2）若不等式f（x）g（a）0对任意实数恒成立，试求实数x的取值范围【分析】（1）根据对数的运算性质即可得到f（x）（log2x1）24，即可求出
31、函数的值域，（2）先求出g（a）的最小值，再得到（log2x1）2（1）2，解得即可【解答】解：（1），（log2xlog28）（log22+log2x），（log2x3）（1+log2x），log22x2log2x3（log2x1）244，即f（x）的值域为4，+），（2）不等式f（x）g（a）0对任意实数恒成立，f（x）g（a）min，g（x）4x2x+13（2x）222x3（2x1）24，实数g（a）（2a1）24，g（a）在，2上为增函数，g（a）ming（）12，f（x）（log2x1）2412，（log2x1）232（1）2，1log2x1+1，log2x+2，解得（）x，故x的取值范围为（），【点评】本题考查了指数函数和对数函数的性质，以及函数恒成立的问题，属于中档题