1、24.2 直线和圆的位置关系,第3课时 切线长定理,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,学习目标,1.掌握切线长的定义及切线长定理.（重点） 2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明. （难点）,导入新课,情境引入,同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？,讲授新课,互动探究,问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？,A,B,1.切线长的定义： 切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长,A,O,切线是直线，不能度量.,切线长是线段的
2、长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量,2.切线长与切线的区别在哪里？,知识要点,问题2 PA为O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B,OB是O的一条半径吗？,PB是O的切线吗？,（利用图形轴对称性解释）,PA、PB有何关系？,APO和BPO有何关系？,B,P,O,A,切线长定理:过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.,PA、PB分别切O于A、B,PA = PB,OPA=OPB,几何语言:,切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.,知识要点,已知，如图PA、PB是O的两条切线，A、B为切点. 求证：PA=PB，A
3、PO=BPO.,证明：PA切O于点A， OAPA.,同理可得OBPB.,OA=OB，OP=OP，,RtOAPRtOBP，,PA=PB，APO=BPO.,推理验证,想一想：若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.,OP垂直平分AB.,证明：PA，PB是O的切线,点A，B是切点PA = PB ，OPA=OPBPAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线OP垂直平分AB.,M,想一想：若延长PO交O于点C，连结CA、CB，你又能得出什么新的结论?并给出证明.,证明：PA，PB是O的切线,点A，B是切点，PA = PB ，OPA=OPB.PC=PC. PCA PCB， AC
4、=BC.,CA=CB,C,典例精析,例1 已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、 DA与O分别相切与点E、F、G、H.,求证：AB+CD=AD+BC.,O,证明：AB、BC、CD、DA与O分别相切与点E、F、G、H，,E,F,G,H, AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH., AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.,AB+CD=AD+BC.,例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径,解析：
5、欲求半径OP，取圆的圆心为O，连OA，OP，由切线性质知OPA为直角三角形，从而在RtOPA中由勾股定理易求得半径,在RtOPA中，PA5，POA30，,Q,解：过O作OQAB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.,AP、AQ为O的切线，AO为PAQ的平分线，即PAOQAO.,又BAC60，PAOQAOBAC180，PAOQAO60.,即铁环的半径为,PA、PB是O的两条切线，A,B是切点，OA=3.,（1）若AP=4,则OP= ;,（2）若BPA=60 ,则OP= .,5,6,练一练,小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可
6、能大呢？,互动探究,问题1 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？,最大的圆与三角形三边都相切,问题2 如何求作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？,(1) 如果半径为r的I与ABC的三边都相切，那么圆心I应满足什么条件？,(2) 在ABC的内部，如何找到满足条件的圆心I呢？,已知：ABC. 求作：和ABC的各边都相切的圆.,作法： 1.作B和C的平分线BM和CN，交点为O. 2.过点O作ODBC.垂足为D. 3.以O为圆心，OD为半径作 圆O.,O就是所求的圆.,做一做,1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.,2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.,3.这个三角形
7、叫做这个圆的外切三角形.,I是ABC的内切圆，点I是ABC的内心，ABC是I的外切三角形.,知识要点,问题1 如图，I是ABC的内切圆，那么线段OA，OB ,OC有什么特点？,互动探究,问题2 如图，分别过点作AB、AC、BC的垂线，垂足分别为E、F，G，那么线段IE、IF、IG之间有什么关系？,IE=IF=IG,知识要点,三角形内心的性质,三角形的内心在三角形的角平分线上.,三角形的内心到三角形的三边距离相等.,IA，IB，IC是ABC的角平分线，IE=IF=IG.,例3 如图，ABC中， B=43，C=61 ，点I是ABC的内心，求 BIC的度数.,解：连接IB，IC.,A,B,C,I,点
8、I是ABC的内心，,IB，IC分别是 B，C的平分线，,在IBC中，,例4 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径.,该木模可以抽象为几何如下几何图形.,C,A,B,r,O,D,解： 如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD.,圆O是ABC的内切圆,AO、BO是BAC、ABC的角平分线, ABC是等边三角形, OAB=OBA=30o,ODAB，AB=3cm，,AD=BD= AB=1.5(cm),OD=AD tan30o= (cm),答:圆柱底面圆的半径
9、为 cm.,例5 ABC的内切圆O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的长.,想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？,B,解:,设AF=xcm，则AE=xcm.,CE=CD=AC-AE=9-x(cm)，BF=BD=AB-AF=13-x(cm).,由 BD+CD=BC，可得(13-x)+(9-x)=14，, AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm).,方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.,解得 x=4.,比一比,三角形三边 中垂线的交 点,1.OA=OB=OC
10、 2.外心不一定在三角形的内部,三角形三条 角平分线的 交点,1.到三边的距离相等； 2.OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB 3.内心在三角形内部,1.求边长为6 cm的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.,解：如图，由题意可知BC=6cm, ABC=60，ODBC，OB平分ABC.,OBD=30，BD=3cm,OBD为直角三角形.,内切圆半径,外接圆半径,练一练,变式： 求边长为a的等边三角形的内切圆半径r与外接圆半径R的比.,sinOBD = sin30=,2.设ABC的面积为S，周长为L， ABC内切圆 的半径为r，则S，L与r之间存在怎样的数量关系？,A,B,C,O,c,D
11、,E,r,3.如图，直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c，则其内切圆的半径r为_（以含a、b、c的代数式表示r）.,解析：过点O分别作AC，BC，AB的垂线，垂足分别为D，E，F.,F,则AD=AC-DC=b-r,BF=BC-CE=a-r,因为AF=AD，BF=BE，AF+BF=c,所以a-r+b-r=c,所以,当堂练习,20 ,4,110 ,（3）若BIC=100 ，则A = 度.,（2）若A=80 ，则BIC = 度.,130,20,3.如图，在ABC中，点I是内心， （1）若ABC=50， ACB=70，BIC=_.,（4）试探索： A与BIC之间存在怎样的数量关系？,120,4.
12、如图所示，已知在ABC中，B90，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，与AC相切于点D.求证：DEOC.,证明：连接OD， AC切O点D，ODAC， ODC=B=90. 在RtOCD和RtOCB中，ODOB ，OCOC RtODCRtOBC（HL）， DOC=BOC. OD=OE，ODE=OED， DOB=ODE+OED，,BOC=OED， DEOC,方法二： 证明：连接BD， AC切O于点D，AC切O于点B，DC=BC，OC平分DCB. OCBD. BE为O的直径，DEBD. DEOC,5.如图，ABC中，I是内心，A的平分线和ABC的外接圆相交于点D. 求证：DIDB.,证明：连接BI. I是ABC的内心， BAD=CAD，ABI=CBI， CBD=CAD， BAD=CBD， BID=BAD+ABI，IBD=CBI+CBD， BID=IBD， BD=ID,切线长,切线长定理,作用,图形的轴对称性,原理,提供了证线段和 角相等的新方法,辅助线,分别连接圆心和切点； 连接两切点； 连接圆心和圆外一点.,三角形内切圆,运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.,有关概念,内心概念及性质,应用,课堂小结,见学练优本课时练习,课后作业,