1、 2018-2019学年江西省赣州市南康中学高一（下）期中数学试卷（理科） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1（5分）已知（2，1），（k，3），（1，2），若（2），则|（ ） A B3 C D 2（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（A+B），a3，c4，则sinA（ ） A B C D 3（5分）记Sn为等差数列an的前n项和若a4+a524，S648，则an的公差为（ ） A1 B2 C4 D8 4（5分）设D为ABC所在平面内一点，+，若（R），则（ ） A2 B3 C2 D3 5（5分）如图在矩形ABCD中，AB，BC4，点E为B
2、C的中点，点F在CD上，若，则的值是（ ） A B C D 6（5分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若a2，c2，cosA且bc，则b（ ） A B2 C2 D3 7（5分）已知数列an，a11，前n项和为Sn，且点P（an，an+1）（nN*）在直线xy+10上，则（ ） A B C D 8（5分）O为ABC内一点，且2+，t，若B，O，D三点共线，则t的值为（ ） A B C D 9（5分）在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c若cacosB（2ab）cosA，则ABC的形状为（ ） A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形 10（5分
3、）在锐角ABC中，已知BC1，B2A，则AC的取值范围是（ ） A B C D 11（5分）甲船在岛B的正南方A处，AB10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ） A分钟 B分钟 C21、5分钟 D2.15分钟 12（5分）若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”若各项均为正数的等比数列an是一个“2019积数列”，且a11，则当其前n项的乘积取最大值时n的值为（ ） A1010 B1009 C1009或1010 D1008或1009 二、填空题（本大题
4、共4小题，每小题5分，共20分） 13（5分）已知|4，与的夹角为，则在方向上的投影为 14（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a1，c2，cosC，则ABC的面积为 15（5分）已知数列an的前n项和为Snn2，某三角形三边之比为a2：a3：a4，则该三角形最大角为 16（5分）已知等比数列an的首项为，公比为，其前n项和为Sn，若对任意nN*恒成立，则BA的最小值为 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17（10分）已知等差数列an满足a32，前3项和S3 （）求an的通项公式； （）设等比数列bn满足b1a1，b4a15，求bn前n项和Tn 18（12分）在
5、ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2BbsinA （1）求B； （2）已知cosA，求sinC的值 19（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2，acosB（2cb）cosA （1）求角A的大小； （2）求ABC周长的最大值 20（12分）数列an中，a13，an+12an+2 （I）求证：an+2是等比数列，并求数列an的通项公式； （II）设bn，求Snb1+b2+bn，并证明：nN*，Sn 21（12分）已知函数f（x），其中（2cosx，sin2x），（cosx，1），xR （1）求函数yf（x）的最小正周期和单调递增区间： （2）
6、在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）2，a且sinB2sinC，求ABC的面积 22（12分）已知数列an中，a11，an+1 （1）求a2，a3，a4的值； （2）求证：数列a2n是等比数列； （3）求数列an的前n项和Sn，并求满足Sn0的所有正整数n的值 2018-2019学年江西省赣州市南康中学高一（下）期中数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1（5分）已知（2，1），（k，3），（1，2），若（2），则|（ ） A B3 C D 【分析】利用平面向量坐标运算法则求出，再由向量垂直的性质求出k，由此能求出结果
7、 【解答】解：（2，1），（k，3），（1，2）， （22k，7）， （2）， （2）22k+140，解得k6， （6，3）， |3 故选：A 【点评】本题考查等比数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用 2（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（A+B），a3，c4，则sinA（ ） A B C D 【分析】由内角和定理及诱导公式知sin（A+B）sinC，再利用正弦定理求解 【解答】解：A+B+C， sin（A+B）sinC， 又a3，c4， ， 即， sinA， 故选：B 【点评】本题考查了三角形内角和定理及诱导公式
8、，正弦定理的综合应用 3（5分）记Sn为等差数列an的前n项和若a4+a524，S648，则an的公差为（ ） A1 B2 C4 D8 【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出an的公差 【解答】解：Sn为等差数列an的前n项和，a4+a524，S648， ， 解得a12，d4， an的公差为4 故选：C 【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用 4（5分）设D为ABC所在平面内一点，+，若（R），则（ ） A2 B3 C2 D3 【分析】若（R），可得，化简与+比较，即可得出 【解答】解：若（R
9、）， 化为：+， 与+比较，可得：，解得3 则3 故选：D 【点评】本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 5（5分）如图在矩形ABCD中，AB，BC4，点E为BC的中点，点F在CD上，若，则的值是（ ） A B C D 【分析】由题意得选择基向量和，求出它们的长度和，由向量加法的三角形法则求出，代入式子由数量积运算求出，同理求出和，代入进行化简求值 【解答】解：选基向量和，由题意得，4， ， +， 即cos0，解得1， 点E为BC的中点，1， ， （）（） 5+， 故选：B 【点评】本题考查了向量数量积的性质和运算律在几何中的应用，以及向量加法的三角形
10、法则，关键是根据题意选基向量，其他向量都用基向量来表示 6（5分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若a2，c2，cosA且bc，则b（ ） A B2 C2 D3 【分析】运用余弦定理：a2b2+c22bccosA，解关于b的方程，结合bc，即可得到b2 【解答】解：a2，c2，cosA且bc， 由余弦定理可得， a2b2+c22bccosA， 即有4b2+124b， 解得b2或4， 由bc，可得b2 故选：B 【点评】本题考查三角形的余弦定理及应用，主要考查运算能力，属于中档题和易错题 7（5分）已知数列an，a11，前n项和为Sn，且点P（an，an+1）（nN*）在直线xy+
11、10上，则（ ） A B C D 【分析】由“P（an，an+1）（nN*）在直线xy+10上”可得到数列的类型，再求其通项，求其前n项和，进而得到新数列的规律，选择合适的方法求新数列的和 【解答】解：点P（an，an+1）（nN*）在直线xy+10上 anan+1+10 数列an是以1为首项，以1为公差的等差数列 ann 故选：C 【点评】本题主要是通过转化思想将解析几何问题转化为数列问题，来考查数列的通项公式及前n项和的求法 8（5分）O为ABC内一点，且2+，t，若B，O，D三点共线，则t的值为（ ） A B C D 【分析】以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与 BC相交于
12、点E，E为BC的中点2+，可得22，因此点O是直线AE的中点可得B，O，D三点共线，t，点D是BO与AC的交点过点O作OMBC交AC于点M，点M为AC的中点利用平行线的性质即可得出 【解答】解：以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与 BC相交于点E，E为BC的中点 2+，22， 点O是直线AE的中点 B，O，D三点共线，t，点D是BO与AC的交点 过点O作OMBC交AC于点M，则点M为AC的中点 则OMECBC， ， ， ADAMAC，t， t 另解：由2+，点O是直线AE的中点 B，O，D三点共线，存在实数k使得k+（1k）k+（1k）t， k，（1k）t，解得t 故选：B 【点
13、评】本题考查了向量三角形法则、平行线的性质定理、向量共线定理三角形中位线定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题 9（5分）在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c若cacosB（2ab）cosA，则ABC的形状为（ ） A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形 【分析】由正弦定理将已知化简为三角函数关系式，可得cosA（sinBsinA）0，从而可得A或BA或BA（舍去） 【解答】解：cacosB（2ab）cosA，C（A+B）， 由正弦定理得：sinCsinAcosB2sinAcosAsinBcosA， sinAcosB+cosAsinBsinAcosB
14、2sinAcosAsinBcosA， cosA（sinBsinA）0， cosA0，或sinBsinA， A或BA或BA（舍去）， 故选：D 【点评】本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理的应用与化简运算的能力，属于中档题 10（5分）在锐角ABC中，已知BC1，B2A，则AC的取值范围是（ ） A B C D 【分析】根据正弦定理和B2A及二倍角的正弦公式化简得到AC2cosA，要求AC的范围，只需找出2cosA的范围即可，根据锐角ABC和B2A求出A的范围，然后根据余弦函数的增减性得到cosA的范围即可 【解答】解：ABC是锐角三角形，C为锐角， A+B，由B2A得到A+2A，且2AB
15、， 解得：A， 2cosA， 根据正弦定理，B2A， 得到，即AC2cosA， 则AC的取值范围为（.） 故选：C 【点评】此题考查了正弦定理，以及二倍角的正弦公式化简求值，本题的突破点是根据三角形为锐角三角形、内角和定理及B2A变换角得到角的范围，属于中档题 11（5分）甲船在岛B的正南方A处，AB10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ） A分钟 B分钟 C21、5分钟 D2.15分钟 【分析】设经过x小时距离最小，然后分别表示出甲乙距离B岛的距离，再由余弦定理表示出两船的距离，
16、最后根据二次函数求最值的方法可得到答案 【解答】解：假设经过x小时两船相距最近，甲乙分别行至C，D如图示 可知BC104x，BD6X，CBD120 CD2BC2+BD22BCBDcosCBD（104x）2+36x2+2（104x）6x 28x220x+100 当x小时即分钟时距离最小 故选：A 【点评】本题主要考查余弦定理的应用，关键在于画出图象属基础题 12（5分）若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”若各项均为正数的等比数列an是一个“2019积数列”，且a11，则当其前n项的乘积取最大值时n的值为（ ） A1010 B1009 C1009或1010 D10
17、08或1009 【分析】根据题意得a1a2a3a1008a1009a1010a2016a2017a20181，根据等比数列的性质得到a1a2018a2a2017a3a2016a1009a10101，由a10，q0，得到该数列为递减的等比数列，从而a10091，0a10101，由此能求出当其前n项的乘积取最大值时n的值 【解答】解：各项均为正数的等比数列an是一个“2019积数列”，且a11， 由题意得a1a2a3a1008a1009a1010a2016a2017a20181， 根据等比数列的性质得到： a1a2018a2a2017a3a2016a1009a10101， a10，q0，该数列为递
18、减的等比数列， a10091，0a10101， 当其前n项的乘积取最大值时n的值为1009 故选：B 【点评】本题考查等比数列的前n项积取最大值时项数n的值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13（5分）已知|4，与的夹角为，则在方向上的投影为 2 【分析】根据投影公式计算 【解答】解：在方向上的投影为|cos4cos2 故答案为2 【点评】本题考查了平面向量的投影计算，属于基础题 14（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a1，c2，cosC，则ABC的面积为 【分析】由已知利用同角三角
19、函数基本关系式可求sinC的值，根据余弦定理可求b的值，利用三角形的面积公式即可计算得解 【解答】解：a1，c2，cosC， sinC， 由余弦定理可得：41+b22，解得：b2，（负值舍去）， SABCabsinC 故答案为： 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题 15（5分）已知数列an的前n项和为Snn2，某三角形三边之比为a2：a3：a4，则该三角形最大角为 120 【分析】由数列an的前n项和为Snn2可以求得a2，a3，a3，再利用余弦定理即可求得该三角形最大角 【解答】解：由Snn2得a2s2s14
20、13，同理得a35，a47， 3，5，7作为三角形的三边能构成三角形， 可设该三角形三边为3，5，7，令该三角形最大角为， ， 又 0180 120 故答案为：120 【点评】本题考查余弦定理，关键是利用等差数列的前n项和公式求得三角形三边之比为a2：a3：a4，为容易题 16（5分）已知等比数列an的首项为，公比为，其前n项和为Sn，若对任意nN*恒成立，则BA的最小值为 【分析】先利用等比数列的求和公式求出Sn，求出Sn的范围，确定ySn，求出最小值、最大值，即可求出BA的最小值 【解答】解：等比数列an的首项为，公比为， Sn 令t，则，Sn1t， Sn的最小值为，最大值为， 对任意nN
21、*恒成立，则BA的最小值为 故答案为： 【点评】本题考查等比数列的求和公式，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17（10分）已知等差数列an满足a32，前3项和S3 （）求an的通项公式； （）设等比数列bn满足b1a1，b4a15，求bn前n项和Tn 【分析】（I）设等差数列an的公差为d，由a32，前3项和S3可得a1+2d2，3a1+3d，解得a1，d即可得出 （II）b1a11，b4a158，可得等比数列bn的公比q满足q38，解得q利用求和公式即可得出 【解答】解：（I）设等差数列an的公差为d，a32，前3项和S3 a
22、1+2d2，3a1+3d，解得a11，d an1+（n1） （II）b1a11，b4a158，可得等比数列bn的公比q满足q38，解得q2 bn前n项和Tn2n1 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 18（12分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asin2BbsinA （1）求B； （2）已知cosA，求sinC的值 【分析】（1）利用正弦定理将边化角即可得出cosB； （2）求出sinA，利用两角和的正弦函数公式计算 【解答】解：（1）asin2BbsinA， 2sinAsinBcosBsinBsinA， c
23、osB，B （2）cosA，sinA， sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB 【点评】本题考查了正弦定理解三角形，两角和的正弦函数，属于基础题 19（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a2，acosB（2cb）cosA （1）求角A的大小； （2）求ABC周长的最大值 【分析】（1）由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式得sinC2sinCcosA，结合sinC0，可求cosA由范围0A，可求A的值 （2）由余弦定理，基本不等式可求b+c4，即可得解 【解答】解：（1）由已知，得acosB+bcosA2ccosA 由正弦定理，得sinAcosB+
24、sinBcosA2sinCcosA， 即sin（A+B）2sinCcosA，（2分） 因为sin（A+B）sinC， 所以sinC2sinCcosA 因为sinC0， 所以cosA（4分） 因为0A， 所以A（6分） （2）由余弦定理a2b2+c22bccosA， 得bc+4b2+c2， 即（b+c）23bc+4（8分） 因为bc（）2，（10分） 所以（b+c）2（b+c）2+4即b+c4（当且仅当bc2 时等号成立） 所以a+b+c6（12分） 【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 20（12分）
25、数列an中，a13，an+12an+2 （I）求证：an+2是等比数列，并求数列an的通项公式； （II）设bn，求Snb1+b2+bn，并证明：nN*，Sn 【分析】（）把原数列递推式变形，可得an+2是等比数列，求出其通项公式后可求数列an的通项公式； （）把数列an的通项公式代入，整理后利用错位相减法求Snb1+b2+bn，然后放缩得答案 【解答】（）证明：由an+12an+2，得an+1+22（an+2）， a1+250， an+2是首项为5，公比为2的等比数列， 则， ； （）解：， 得： ； ， Sn单调递增，则， 【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法
26、求数列的和，考查放缩法证明数列不等式，属中档题 21（12分）已知函数f（x），其中（2cosx，sin2x），（cosx，1），xR （1）求函数yf（x）的最小正周期和单调递增区间： （2）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（A）2，a且sinB2sinC，求ABC的面积 【分析】（1）求出f（x）2sin（2x+）+1，由此能求出函数yf（x）的最小正周期和函数yf（x）的单调增区间 （2）由f（A）2，求出A，由，利用余弦定理得b2c由此能求出ABC的面积 【解答】解：（1）（2cosx，sin2x），（cosx，1），xR， f（x） 2sin（2x+）+1， 函数
27、yf（x）的最小正周期为T， 单调递增区间满足+2k+2k，kZ 解得+kx+k，kZ 函数yf（x）的单调增区间是+k，kZ （2）f（A）2，2sin（2A+）+12，即sin（2A+）， 又0A，A， ，由余弦定理得a2b2+c22bccosA（b+c）23bc7， sinB2sinC，b2c 由得c2， 【点评】本题考查三角函数的最小正周期、单调递增区间的求法，考查三角形面积的求法，考查同角三角函数、三角函数的最小正周期、三角函数的增区间、作弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题 22（12分）已知数列an中，a11，an+1 （
28、1）求a2，a3，a4的值； （2）求证：数列a2n是等比数列； （3）求数列an的前n项和Sn，并求满足Sn0的所有正整数n的值 【分析】（1）直接由数列递推式求得a2，a3，a4的值； （2）设，由结合数列递推式证得数列是以，即为首项，以为公比的等比数列； （3）由（2）求出a2n，并进一步得到a2n1，从而得到a2n1+a2n，求得S2n，再由S2n1S2na2n求得S2n1，得到满足Sn0的所有正整数n的值 【解答】（1）解：由a11，an+1， 得，； （2）证明：设， ， 数列是以，即为首项，以为公比的等比数列； （3）解：由（2）得， 即， 由，得， ， S2n（a1+a2）+（a3+a4）+（a2n1+a2n） 显然当nN*时，S2n单调递减， 又当n1时，0，当n2时，0， 当n2时，S2n0； ， 同理，当且仅当n1时，S2n10， 综上，满足Sn0的所有正整数n为1和2 【点评】本题考查数列的函数特性，考查等比关系的确定，考查逻辑思维能力和运算推理能力，属难题 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/11/15 9:00:34；用户：17746823402；邮箱：17746823402；学号：28261463 第18页（共18页）