1、 2018-2019学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等七校高一（下）期中数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1（5分）若ab0，则下列不等式不成立的是（ ） Aac2bc2 B|a|b| C D 2（5分）若0ab且a+b1，则下列四个数中最大的是（ ） A Bb C2ab Da2+b2 3（5分）在ABC中，sinA：sinB：sinC3：2：4，则cosB的值为（ ） A B C D 4（5分）设等差数列an的前n项和Sn，若S1155，则a2+a7+a9（ ） A15 B27 C18 D12 5（5分
2、）已知ABC中，则ABC的形状为（ ） A直角三角形 B等腰直角三角形 C等腰三角形 D等腰或直角三角形 6（5分）在公差不为0的等差数列an中，a11，a3，a7，a16成等比数列，则公差d（ ） A B C D1 7（5分）在ABC中，a10，b9，A45，则满足上述条件的三角形有（ ） A无数个 B2个 C0个 D1个 8（5分）若不等式axb0的解集为（，1），则关于x的不等式的解集为（ ） A（5，3） B（，5）（3，+） C（3，5） D（，3）（5，+） 9（5分）在等比数列an中，a6a126，a4+a145，则（ ） A或 B C或 D或 10（5分）设a0，b0若是3a与
3、3b的等比中项，则的最小值为（ ） A12 B4 C D 11（5分）在ABC中，已知b1，则（ ） A1或1 B2 C1 D2或2 12（5分）已知Sn为等差数列an的前n项和，若且Sn有最小值，则使前n项和Sn0成立的最小自然数n为（ ） A4038 B4039 C4040 D4041 二、填空题（本大题共4个小题.每小题5分，共20分） 13（5分）不等式的解集为 14（5分）已知数列an中，a11，且an+1an+3n1，则数列的通项公式an 15（5分）不等式（m1）x2+3（m1）xm0对任意的xR恒成立，则m的取值范围为 16（5分）下列说法中： 若x，y0，满足x+y2，则2x
4、+2y的最大值为4； 若，则函数的最小值为3； 若x，y0，满足2x+y5，则的最大值为； 若x，y0，满足x+y+xy3，则x+y的最小值为2； 函数的最小值为9 正确的有 （把你认为正确的序号全部写上） 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17（10分）已知等差数列an满足a74，a116 （1）求通项公式an； （2）设等比数列bn满足b1a3，b4a31，求bn的前n项和Tn 18（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC2bcosAccosA （1）求角A的大小； （2）若a4，求ABC周长的最大
5、值 19（12分）如图，D是直角ABC斜边BC上一点 （1）若，BAD60，求ADC的大小； （2）若ACDC，BD2DC，且，求AD的长 20（12分）解关于的不等式：ax2+（24a）x80 21（12分）2018年10月19日，由中国工信部、江西省政府联合主办的世界VR（虚拟现实）产业大会在南昌开幕，南昌在红谷滩新区建立VR特色小镇项目现某厂商抓住商机在去年用450万元购进一批VR设备，经调试后今年投入使用，计划第一年维修、保养费用22万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为180万元，设使用x年后设备的盈利额为y万元 （1）写出y与x之
6、间的函数关系式； （2）使用若干年后，当年平均盈利额达到最大值时，求该厂商的盈利额 22（12分）已知正项数列an的首项a11，前n项和Sn满足 （1）求数列an的通项公式； （2）记数列的前n项和为Tn，若对任意的nN*，不等式恒成立，求实数a的取值范围 2018-2019学年江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等七校高一（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1（5分）若ab0，则下列不等式不成立的是（ ） Aac2bc2 B|a|b| C D 【分析】根据不等式的基本性质以及指数函数
7、的单调性可得 【解答】解：c0时，A不正确；ab0时，|a|b|ab正确；0正确；（）a（）bab正确； 故选：A 【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题 2（5分）若0ab且a+b1，则下列四个数中最大的是（ ） A Bb C2ab Da2+b2 【分析】不妨令a0.4，b0.6，计算各个选项中的数值，从而得出结论 【解答】解：若0ab且a+b1，不妨令a0.4，b0.6， 则a2+b20.16+0.360.52，2ab20.40.60.48，故b最大， 故选：B 【点评】本题主要考查不等式与不等关系，不等式性质的应用，用特殊值代入法比较简单，属于基础题 3（5分）在ABC中，sinA
8、：sinB：sinC3：2：4，则cosB的值为（ ） A B C D 【分析】已知比例式利用正弦定理化简求出三边之比，再利用余弦定理求出cosB的值即可 【解答】解：在ABC中，sinA：sinB：sinC3：2：4， a：b：c3：2：4， 则由余弦定理得：cosB 故选：B 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题 4（5分）设等差数列an的前n项和Sn，若S1155，则a2+a7+a9（ ） A15 B27 C18 D12 【分析】推导出11a655，解得a65，再由a2+a7+a93a6，能求出a2+a7+a9的值 【解答】解：等差数列an的前n项和S
9、n，S1155， 11a655， 解得a65， a2+a7+a93a615 故选：A 【点评】本题考查等差数列的三项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查计算能力，是基础题 5（5分）已知ABC中，则ABC的形状为（ ） A直角三角形 B等腰直角三角形 C等腰三角形 D等腰或直角三角形 【分析】由已知及余弦定理可解得bc，即可判断得解 【解答】解：， 由余弦定理可得：， 整理可得：bc 故选：C 【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础题 6（5分）在公差不为0的等差数列an中，a11，a3，a7，a16成等比数列，则公差d（ ） A B C D1 【分析】利用等差数列和等比数列的
10、性质列出方程组，能求出公差d的值 【解答】解：在公差不为0的等差数列an中，a11，a3，a7，a16成等比数列， ， ， 解得公差d 故选：C 【点评】本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查计算能力，是基础题 7（5分）在ABC中，a10，b9，A45，则满足上述条件的三角形有（ ） A无数个 B2个 C0个 D1个 【分析】利用正弦定理列出关系式，将a，b，sinA的值代入求出sinB的值，利用三角形边角关系判断即可 【解答】解：a10，b9，A45， sinB， ab， AB，则B45，有一解， 故选：D 【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函
11、数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键 8（5分）若不等式axb0的解集为（，1），则关于x的不等式的解集为（ ） A（5，3） B（，5）（3，+） C（3，5） D（，3）（5，+） 【分析】先根据一元一次不等式的解法求出ab，且a0，利用分式不等式的解法进行求解即可 【解答】解：由不等式axb0的解集为（，1）， 得axb，得a0，且ab， 则不等式等价为，即0，得3x5， 即不等式的解集为（3，5）， 故选：C 【点评】本题主要考查不等式的求解，先根据一元一次不等式的解法求出，a，b的符号和值，结合分式不等式的解法进行求解是解决本题的关键 9（5分）在等比数列an中，a6a126，a4+
12、a145，则（ ） A或 B C或 D或 【分析】推导出a4a14a6a126，a4，a14是方程x25x+60的两个根，解方程得a42，a143或a43，a142，求出或q10，再由q20（q10）2，能求出结果 【解答】解：在等比数列an中，a6a126，a4+a145， a4a14a6a126， a4，a14是方程x25x+60的两个根， 解方程得a42，a143或a43，a142， 或， 或q10， q20（q10）2， 或 故选：A 【点评】本题考查等比数列的两项的比值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查计算能力，是基础题 10（5分）设a0，b0若是3a与3b的等比中项，则的
13、最小值为（ ） A12 B4 C D 【分析】由等比数列的性质可求a+b3，（）（a+b），利用基本不等式即可求解 【解答】解：a0，b0.是3a与3b的等比中项， 3a3b27，即a+b3， 则（）（a+b） 当且仅当且a+b3即ab时取等号 即的最小值为 故选：D 【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值的简单应用，解题的关键是1的代换， 11（5分）在ABC中，已知b1，则（ ） A1或1 B2 C1 D2或2 【分析】由正弦定理得：sinCcosA+sinCsinAsinB+sinA，即sinCcosA+sinCsinAsinAcosC+cosAsinC+sinA，所以2sin（C
14、）1，又C（，），所以C，即C，又，所以a2b，即a2，由平面向量数量积的运算得：|cosC11，得解 【解答】解：因为在ABC中， 由正弦定理可得： sinCcosA+sinCsinAsinB+sinA， 即sinCcosA+sinCsinAsinAcosC+cosAsinC+sinA， 即sinCsinAsinAcosC+sinA， 又sinA0， 所以sinCcosC1， 所以2sin（C）1， 又C（，）， 所以C， 即C， 又， 所以a2b， 即a2， 所以|cosC11， 故选：C 【点评】本题考查了正弦定理及平面向量数量积的运算，属中档题 12（5分）已知Sn为等差数列an的前n
15、项和，若且Sn有最小值，则使前n项和Sn0成立的最小自然数n为（ ） A4038 B4039 C4040 D4041 【分析】由Sn有最小值，可知数列an为递增数列且的前若干项为负数，从某一项后的项为正数使前n项和Sn0成立的最大自然数n应使0，从而a20190，a20200S40370，将1两端同时乘以a2020得：a2019a2020，即a2019+a20200S40380，可以求出n 【解答】解：因为数列an是等差数列，又因为Sn有最小值，所以数列an为递增数列且的前若干项为负数，从某一项后的项为正数 又因为，使前n项和Sn0成立的最大自然数n应使0， 所以a20190，a20200S4
16、0374037a20190； 将1两端同时乘以a2020得：a2019a2020，即a2019+a20200S403840380 所以使前n项和Sn0成立的最小自然数n为4038 故选：A 【点评】本题考查了等差数列的前n项和，等差数列的性质等，属于中档题 二、填空题（本大题共4个小题.每小题5分，共20分） 13（5分）不等式的解集为 （4，1） 【分析】根据分式不等式的解法进行求解即可 【解答】解：由得或 得或，得x无解或4x1， 即不等式的解集为（4，1）， 故答案为：（4，1） 【点评】本题主要考查不等式的求解，结合分式不等式的解法是解决本题的关键 14（5分）已知数列an中，a11，
17、且an+1an+3n1，则数列的通项公式an 【分析】因为an+1an+3n1，所以an+1an3n1，利用累加法可以求出数列an的通项公式 【解答】解：依题意，因为an+1an+3n1，所以an+1an3n1，所以 等式左右两端相加得：ana12+5+（3n4），（2+5+（3n4）为首项为2公差为3的等差数列的前（n1）项的和） 又因为a11， 所以an 故填： 【点评】本题考查了累加法求数列的通项公式，属于基础题 15（5分）不等式（m1）x2+3（m1）xm0对任意的xR恒成立，则m的取值范围为 【分析】由（m1）x2+3（m1）xm0对任意的xR恒成立，结合m1是否为0进行分类讨论，
18、结合二次函数的性质即可求解 【解答】解：（m1）x2+3（m1）xm0对任意的xR恒成立， m1时，10恒成立， m1时， 解可得， 综上可得， 故答案为：（ 【点评】本题主要考查了二次不等式的恒成立问题，体现了分类讨论思想的应用 16（5分）下列说法中： 若x，y0，满足x+y2，则2x+2y的最大值为4； 若，则函数的最小值为3； 若x，y0，满足2x+y5，则的最大值为； 若x，y0，满足x+y+xy3，则x+y的最小值为2； 函数的最小值为9 正确的有 （把你认为正确的序号全部写上） 【分析】利用削元法结合对勾函数的性质进行判断即可 利用基本不等式的性质进行判断 利用平方法结合基本不等
19、式的性质进行判断 利用消元法结合基本不等式的性质进行判断 利用1的代换结合基本不等式进行判断 【解答】解：由x+y2得y2x，则0x2， 则2x+2y2x+22x2x+， 设t2x则1t4， 则yt+则（1，2上为减函数，则2，4）上为增函数， 则t2时，y取得最小值4，当t1时，y5，故2x+2y的最大值为4；错误， 若，则函数2x1+2， 则2x10，y2x1+22+22+20，即函数的最大值为0，无最小值，故错误 若x，y0，满足2x+y5，则（）22x+1+y+25+1+（2x+1+y） 6+5+112，即+2，即+的最大值为；故正确， 若x，y0，满足x+y+xy3，则（x+1）y3
20、x，则y， 由y0，得0x3， 则x+yx+x+x+1x+1+222422， 当且仅当x+1，即（x+1）24得x+12，即x1时取等号， 即x+y的最小值为2故正确 + 1+4 5+25+49，当且仅当，即4sin4xcos4x， 即2sin2xcos2x时，取等号， 即函数的最小值为9故正确， 故正确的是， 故答案为： 【点评】本题主要考查基本不等式的综合应用，根据不同的条件，利用消元法，转化法和平方法是解决本题的关键 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应根据要求写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17（10分）已知等差数列an满足a74，a116 （1）求通项公式an；
21、（2）设等比数列bn满足b1a3，b4a31，求bn的前n项和Tn 【分析】（1）等差数列an的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式； （2）等比数列bn的公比设为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得公比，再由求和公式，计算可得所求和 【解答】解：（1）等差数列an的公差设为d，a74，a116 可得a1+6d4，a1+10d6， 解得a11，d， 则an1+（n1）； （2）等比数列bn的公比设为q， 可得b1a32， b4a3116b1q3， 解得q2， bn的前n项和Tn2n+12 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查方
22、程思想和运算能力，属于基础题 18（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC2bcosAccosA （1）求角A的大小； （2）若a4，求ABC周长的最大值 【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sinB2sinBcosA，结合sinB0，可求cosA，可求 （2）由（1）可得，利用余弦定理，基本不等式可求，即，即可得解三角形的周长的最大值 【解答】（本题满分为12分） 解：（1）因为acosC2bcosAccosA， 所以由正弦定理可得：sinAcosC2sinBcosAsinCcosA， 可得：sinAcosC+sinCcosA2sinB
23、cosA， 即：sinB2sinBcosA， 因为sinB0， 所以cosA， 即（6分） （2）由（1）可得，则， ，即，（10分） 当且仅当时取最大值 故当ABC为等腰三角形，周长最大为（12分） 【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 19（12分）如图，D是直角ABC斜边BC上一点 （1）若，BAD60，求ADC的大小； （2）若ACDC，BD2DC，且，求AD的长 【分析】（1）由已知可求DAC30，在ADC中，由正弦定理可得sinADC，又ADCB+BAD60，可求ADC135 （2）在
24、ABC中，由勾股定理可得9DC26+3DC2，令ADB，由余弦定理可得：，即可解得AD的值 【解答】（本题满分为12分） 解：（1）BAD60，BAC90， DAC30， 在ADC中，由正弦定理可得：， 即：， 可得：sinADC， 又ADCB+BADB+6060， ADC135（6分） （2）BD2DC，BC3DC， 在ABC中，由勾股定理可得：BC2AB2+AC2，可得：9DC26+3DC2， DC1，BD2， 令ADB，由余弦定理： 在ADB中，AB2AD2+BD22ADBDcos， 在ADC中，AC2AD2+CD22ADCDcos（）， 可得：， 解得：AD22，可得：（12分） 【点
25、评】本题考查了正弦定理，余弦定理的应用，以及解三角形的问题，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 20（12分）解关于的不等式：ax2+（24a）x80 【分析】不等式化为（ax+2）（x4）0，讨论a0、a0和a0时，求出不等式的解集 【解答】解：不等式ax2+（24a）x80可化为（ax+2）（x4）0， 当a0时，不等式的解为x|x4；（2分） 当a0时，不等式的解x|x4或；（5分） 当a0时，即， （1）当即时，不等式的解为x|， （2）当即时，不等式的解为x|， （3）当即时，不等式的解集为（12分） 【点评】本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法与应用问题，是中档题 21（
26、12分）2018年10月19日，由中国工信部、江西省政府联合主办的世界VR（虚拟现实）产业大会在南昌开幕，南昌在红谷滩新区建立VR特色小镇项目现某厂商抓住商机在去年用450万元购进一批VR设备，经调试后今年投入使用，计划第一年维修、保养费用22万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为180万元，设使用x年后设备的盈利额为y万元 （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）使用若干年后，当年平均盈利额达到最大值时，求该厂商的盈利额 【分析】（1）依题得：（xN*）， （2）先求出平均利润，然后利用基本不等式即可求解 【解答】解：（1）依题得：（xN
27、*）（6分） （2）， 当且仅当时，即x15时等号成立 使用15年后平均盈利额达到最大值，该厂商盈利额为1500万元（12分） 【点评】本题主要考查了基本不等式求解最值在实际问题中的应用，属于基础试题 22（12分）已知正项数列an的首项a11，前n项和Sn满足 （1）求数列an的通项公式； （2）记数列的前n项和为Tn，若对任意的nN*，不等式恒成立，求实数a的取值范围 【分析】（1）当n2时，可得，即，利用等差数列的通项公式可得Sn可得 （2）当n2时，利用裂项求和方法、数列的单调性即可得出 【解答】解：（1）当n2时，即， 所以数列是首项为1，公差为的等差数列， 故，（n2）， 因此（6分） （2）当n2时， ， 又，12a2a，解得a3或a4 即所求实数a的范围是a3或a4（12分） 【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/11/15 9:02:08；用户：17746823402；邮箱：17746823402；学号：28261463 第18页（共18页）