1、 2017-2018学年江西省萍乡市高一（下）期末数学试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1（5分）不等式的解集为（ ） A0，1 B（0，1 C（，01，+） D（，0）1，+） 2（5分）下表为随机数表的一部分： 08015 17727 45318 22374 21115 78253 77214 77402 43236 00210 45521 64237 已知甲班有60位同学，编号为0059号，规定：利用上面随机数表，从第1行第4列的数开始，从左向右依次读取2个数，则抽到的第10位同学的编号是（ ） A14 B15 C2
2、5 D37 3（5分）在ABC中，已知AC2，BC3，则AB（ ） A1 B2 C4 D 4（5分）已知等差数列an各项都不相等，a12，且a4+a8a32，则d（ ） A0 B C2 D0或 5（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（ ） A B C D 6（5分）甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为（ ） A60% B40% C10% D50% 7（5分）等差数列an中，a24，它的前n项和，则（ ） A B C D 8（5分）下列不等式的证明过程正确的是（ ） A若a，bR，则 B若a0，则 C若a，b（0，+），则 D若aR，
3、则 9（5分）一路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒当你到达此路口时，看见的不是绿灯的概率为（ ） A B C D 10（5分）若x，y满足不等式组，则z2x+y的最小值是（ ） A9 B4 C3 D2 11（5分）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是（ ）海里 A10 B20 C10 D20 12（5分）在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若ac4，acosC+3ccosA
4、0，则ABC面积的最大值为（ ） A1 B C2 D4 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分 13（5分）等比数列an中，a11，a2a84，则 14（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数，则x的值为 15（5分）如图程序，其执行的结果为 16（5分）已知数列an满足a11，nan+12（n+1）an，则它的前100项和S100 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（12分）来自广西、四川的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道返乡过年，某市
5、在该国道沿线设立了多个休息站交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就对其省籍询问一次，询问结果如图所示： （1）交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？ （2）用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？ 18（12分）（1）已知a，b，c（0，+），且a+b+c1，求证：； （2）解关于x的不等式：ax222xax（a0） 19（12分）对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下： 分组 频
6、数 频率 10，15） 10 0.25 15，20） 25 n 20，25） m p 25，30） 2 0.05 合计 M 1 （1）求出表中M，p及图中a的值； （2）若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间15，20）内的人数； （3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多1人参加社区服务次数在区间20，25）内的概率 20（12分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，abtanA，且B为钝角 （1）求BA； （2）证明： 21（12分）已知数列an中，a11，记T2n为an的前2n项的和，bna2n （1）证明：数列
7、bn是等比数列，并求bn的通项公式bn； （2）若不等式T2nk对于一切nN+恒成立，求实数k的取值范围 22（10分）已知某校在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如下表： 学生的编号i 1 2 3 4 5 数学成绩x 80 75 70 65 60 物理成绩y 70 66 68 64 62 （1）求和y关于x的线性相关系数r； （2）求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01），试估计数学82分的同学的物理成绩（四舍五入到整数） 附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，线性相关系数r 参考值：）（yi）90， 2017-2018学年江西省萍乡市高一（下）期末数学试卷 参考答案
8、与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1（5分）不等式的解集为（ ） A0，1 B（0，1 C（，01，+） D（，0）1，+） 【分析】根据题意，原不等式可以转化为（1x）x0且x0，解可得x的取值范围，即可得答案 【解答】解：根据题意，（1x）x0且x0， 解可得：0x1， 即不等式的解集为（0，1， 故选：B 【点评】本题考查分式不等式的解法，关键将分式不等式转化为整式不等式，属于基础题 2（5分）下表为随机数表的一部分： 08015 17727 45318 22374 21115 78253 77214 7740
9、2 43236 00210 45521 64237 已知甲班有60位同学，编号为0059号，规定：利用上面随机数表，从第1行第4列的数开始，从左向右依次读取2个数，则抽到的第10位同学的编号是（ ） A14 B15 C25 D37 【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论 【解答】解：选取方法是从随机数表从第1行第4列的数开始， 从左向右依次读取2个数中小于60的编号依次为15，17，53，18，22，37，42，11，25，14， 则抽到的第10位同学的编号是14 故选：A 【点评】本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础 3（5分）在ABC中，已知A
10、C2，BC3，则AB（ ） A1 B2 C4 D 【分析】由已知利用余弦定理即可计算得解 【解答】解：AC2，BC3， 由余弦定理可得：AB2AC2+BC22ACBCcosC4+92234，解得：AB2 故选：B 【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握余弦定理是解题的关键，属于基础题 4（5分）已知等差数列an各项都不相等，a12，且a4+a8a32，则d（ ） A0 B C2 D0或 【分析】利用等差数列的通项公式表示已知条件，解方程即可求解 【解答】解：a12，且a4+a8a32， 2+3d+2+7d（2+2d）2 整理可得，4d22d0 d0 d 故选：B 【点评】本
11、题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用，属于基础试题 5（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（ ） A B C D 【分析】根据已知的框图，可知程序的功能是利用循环累加循环变量的值到累加变量S，并在循环变量k值大于等于8时，输出累加结果 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 s0，k0 满足条件k8，k2，s， 满足条件k8，k4，s+， 满足条件k8，k6，s+， 满足条件k8，k8，s+， 不满足条件k8，退出循环，输出s的值为 故选：A 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当程序的运行次数不多时，我们多采用模拟程序运行的方法得到程序的运行结果 6（5分）甲、乙两人下棋，甲获胜的
12、概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为（ ） A60% B40% C10% D50% 【分析】本题考查的是互斥事件的概率，甲不输的概率为90%，其中包括甲获胜和甲不输两种情况，两数相减即可 【解答】解：甲不输即为甲获胜或甲、乙二人下成和棋， 90%40%+p， p50% 故选：D 【点评】分清互斥事件和对立事件之间的关系，互斥事件是不可能同时发生的事件，对立事件是指一个不发生，另一个一定发生的事件 7（5分）等差数列an中，a24，它的前n项和，则（ ） A B C D 【分析】由等差数列an中，a24，它的前n项和，求出k1，从而求出a12，d2，进而求出Snn（n
13、+1），再由，能求出 【解答】解：等差数列an中，a24，它的前n项和， a1S11+k， a2S2S14+2k1k3+k4， 解得k1， a11+12，da2a1422， Sn2n+n（n+1）， ， + 故选：A 【点评】本题考查等差数列的前100项的倒数的和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 8（5分）下列不等式的证明过程正确的是（ ） A若a，bR，则 B若a0，则 C若a，b（0，+），则 D若aR，则 【分析】结合基本不等式的应用条件：一正，二定，三相等，分别检验选项即可判断 【解答】解：由于的符号不定，故选项A错误； a0， a（
14、a）+（）4，故B错误； 同选项 A，lga，lgb的符号不定，故选项C错误； 2a0，2a0 2，故D正确 故选：D 【点评】本题主要考查了基本不等式的应用条件的判断，属于基础试题 9（5分）一路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒当你到达此路口时，看见的不是绿灯的概率为（ ） A B C D 【分析】用几何概型的概率公式计算即可 【解答】解：由题意知红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒； 到达此路口时看见的不是绿灯的概率为P1 故选：C 【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题 10（5分）若x，y满足不等式组，则z2x+y的最
15、小值是（ ） A9 B4 C3 D2 【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC及其内部，再将目标函数z2x+y对应的直线进行平移，可得当xy1时，z2x+y取得最小值 【解答】解：作出x，y满足不等式组表示的平面区域， 得到如图的ABC及其内部，其中 A（1，1），B（3，3），C（2，0） 设zF（x，y）2x+y，将直线l：z2x+y进行平移， 当l经过点A时，目标函数z达到最小值 z最小值F（1，1）3， 故选：C 【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题 11（5分）一艘海轮从A处出发
16、，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是（ ）海里 A10 B20 C10 D20 【分析】根据题意画出图象确定BAC、ABC的值，进而可得到ACB的值，根据正弦定理可得到BC的值 【解答】解：如图，由已知可得，BAC30，ABC105，AB20， 从而ACB45 在ABC中，由正弦定理可得BCsin3010 故选：A 【点评】本题主要考查正弦定理的应用，考查三角形的解法，属于基本知识的考查 12（5分）在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a
17、，b，c，若ac4，acosC+3ccosA0，则ABC面积的最大值为（ ） A1 B C2 D4 【分析】ABC中，acosC+3ccosA0，利用余弦定理可得：2b2a2c2结合ac4，a，b都用c表示，利用余弦定理及其基本不等式的性质可得cosB的最小值，可得sinB的最大值，即可得出三角形面积的最大值 【解答】解：ABC中，acosC+3ccosA0， a+3c0，化为：2b2a2c2 ac4，a，b2 cosB，当且仅当c2，b2，a24时取等号 B sinB 则ABC面积的最大值acsinB1 故选：A 【点评】本题考查了余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积，考查了推理能力与计算
18、能力，属于难题 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分 13（5分）等比数列an中，a11，a2a84，则 2 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出 【解答】解：设等比数列an的公比为q，a11，a2a84， 4，可得：2， q2 则2 故答案为：2 【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 14（5分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数，则x的值为 7 【分析】根据平均数的公式进行计算即可 【解答】解：甲组数据的平均数等于乙组数据的平均数， （9+16+10
19、+x+19+26）（9+16+16+17+29）， 解得：x7， 故答案为：7 【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据平均数的公式是解决本题的关键，属于基础题 15（5分）如图程序，其执行的结果为 54 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是分别计算i，s的值，当s48时输出s+i的值，依次写出程序运行过程各变量的值，不难分析出结果 【解答】解：模拟程序的运行，可得 i0，s1 执行循环体，i2，s2 满足条件s20，执行循环体，i4，s8 满足条件s20，执行循环体，i6，s48 不满足条件s20，退出循环，输出s+i48+654 故答案为：54
20、 【点评】本题主要考查了程序框图的应用，模拟程序的运行，依次写出程序运行过程各变量的值是解题的关键，属于基础题 16（5分）已知数列an满足a11，nan+12（n+1）an，则它的前100项和S100 992100+1 【分析】数列an满足a11，nan+12（n+1）an，化为：2，利用等比数列的通项公式可得：ann2n1再利用错位相减法即可得出 【解答】解：数列an满足a11，nan+12（n+1）an， 化为：2， 数列是等比数列，首项为1，公比为2 2n1， ann2n1 Sn1+22+322+n2n1， 2Sn2+222+（n1）2n1+n2n Sn1+2+22+2n1n2nn2n
21、 可得：Sn（n1）2n+1 则它的前100项和S100992100+1 故答案为：992100+1 【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力、计算能力，属于中档题 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（12分）来自广西、四川的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道返乡过年，某市在该国道沿线设立了多个休息站交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就对其省籍询问一次，询问结果如图所示： （1）交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？ （2）用分层抽样的方法对被
22、询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？ 【分析】（1）直接判断可知，交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的系统抽样方法 （2）被询问了省籍的驾驶人员，广西籍的与四川籍名数，求出比例，利用所抽概率相等求出结果 【解答】解：（1）根据题意，因为有相同的间隔，符合系统抽样的特点，所以交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样方法 （2）从图中可知，被询问了省籍的驾驶人员中广西籍的有5+20+25+20+30100（人）， 四川籍的有15+10+5+5+540（人）， 设四川籍的驾驶人员应抽取x名，依题意得，解得x2， 即四川籍的应抽取2名 【点评】本
23、题考查的是折线统计图的综合运用读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键注意抽样方法的选择与应用 18（12分）（1）已知a，b，c（0，+），且a+b+c1，求证：； （2）解关于x的不等式：ax222xax（a0） 【分析】（1）将a+b+c1代入不等式左边的分子中，变形为展开式利用基本不等式可证明不等式成立； （2）解不等式变形为ax2+（a2）x20，然后因式分解为，讨论与1的大小关系，分三种，从而求出不等式的解集 【解答】解：（1）a+b+c1，代入不等式的左端， a，b，c（0，+）， （当且仅当时，等号成立） （2）原不等式可化为ax2+（a2）x20，化简为（x
24、+1）（ax2）0 a0， 1当2a0时，； 2当a2时，x1； 3当a2时， 综上所述，当2a0时，解集为； 当a2时，解集为x|x1； 当a2时，解集为 【点评】本题考查利用基本不等式以及二次不等式的解法，考查分类讨论思想与变形转化能力，属于中等题 19（12分）对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下： 分组 频数 频率 10，15） 10 0.25 15，20） 25 n 20，25） m p 25，30） 2 0.05 合计 M 1 （1）求出表中M，p及图中a的值；
25、（2）若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间15，20）内的人数； （3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多1人参加社区服务次数在区间20，25）内的概率 【分析】（1）由频率，能求出表中M、p及图中a的值 （2）由频数与频率的统计表和频率分布直方图能求出参加社区服务的平均次数 （3）在样本中，处于20，25）内的人数为3，可分别记为A，B，C，处于25，30内的人数为2，可分别记为a，b，由此利用列举法能求出至少1人参加社区服务次数在区间20，25）内的概率 【解答】（1）由分组10，15）内的频数是10，频率是0.25知，所
26、以M40 因为频数之和为40，所以 因为a是对应分组15，20）的频率与组距的商，所以 （2）因为该校高三学生有360人，分组15，20）内的频率是0.625， 所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为3600.625225人 （3）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有3+25人 设在区间20，25）内的人为a1，a2，a3，在区间25，30）内的人为b1，b2 则任选2人共有（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）10种情况，（9分） 而两人都在2
27、0，25）内共有（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3）3种情况， 至多一人参加社区服务次数在区间20，25）内的概率为 【点评】本题考查频率分布表和频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用 20（12分）设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，abtanA，且B为钝角 （1）求BA； （2）证明： 【分析】（1）由已知及正弦定理，诱导公式可得，结合B为钝角，可得 （2）由（1）及三角形内角和定理可得，利用余弦定理可得，化简即可得证 【解答】解：（1）由abtanA及正弦定理，得， 所以sinBcosA，（3分） 即，（4分） 又B为
28、钝角， 因此， 故，（5分） 即（6分） （2）证明：由（1）知， 所以，（8分） 所以，（9分） 即，（11分） 所以，（12分） 【点评】本题主要考查了正弦定理，诱导公式，三角形内角和定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题 21（12分）已知数列an中，a11，记T2n为an的前2n项的和，bna2n （1）证明：数列bn是等比数列，并求bn的通项公式bn； （2）若不等式T2nk对于一切nN+恒成立，求实数k的取值范围 【分析】（1）由等比数列的定义，结合条件，化简可得结论，由等比数列的通项公式即可得到所求通项； （2）讨论n为奇数或偶数，可得an的通项公式，运
29、用分组求和可得T2n，运用不等式的性质即可得到所求范围 【解答】解：（1）证明：， 所以bn是以，公比为的等比数列， 所以； （2）当n2k（kN+）时， 当n2k1（kN+）时， 即， ， 得T2n3， 因不等式T2nk对于一切nN+恒成立 所以，k的取值范围为3，+） 【点评】本题考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题 22（10分）已知某校在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如下表： 学生的编号i 1 2 3 4 5 数学成绩x 80 75 70 65 60 物理成绩y 70 66 68 64 62 （1）求和y关
30、于x的线性相关系数r； （2）求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01），试估计数学82分的同学的物理成绩（四舍五入到整数） 附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，线性相关系数r 参考值：）（yi）90， 【分析】（1）分别求出x，y的平均数，计算r的值即可； （2）分别求出修改系数，的值，求出回归方程即可 【解答】解：（1）由， （2分） 故（4分） （2），（6分） ，（8分） ，（9分） 估计数学82分的同学的物理成绩为0.3682+40.870.3270分（10分） 【点评】本题考查了相关系数和回归方程问题，考查计算能力，是一道中档题 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/11/15 9:12:08；用户：17746823402；邮箱：17746823402；学号：28261463 第21页（共21页）