1、14.2.2 完全平方公式,第十四章 整式的乘法与因式分解,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,14.2 乘法公式,八年级数学上（RJ）教学课件,1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释.（重点） 2.灵活应用完全平方公式进行计算.（难点）,导入新课,情境引入,一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较.,直接求：总面积=（a+b)(a+b),间接求：总面积=a2+ab+ab+b2,你发现了什么？,（a+b)2=a2+2ab+b2,讲授新课,问题1 计算下列多项式的积，
2、你能发现什么规律？,（1） （p+1)2=(p+1)(p+1)= .,p2+2p+1,（2） （m+2)2=(m+2)(m+2)= .,m2+4m+4,（3） （p-1)2=(p-1)(p-1)= .,p2-2p+1,（4） （m-2)2=(m-2)(m-2)= .,m2-4m+4,问题2 根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？,（a+b)2= .,a2+2ab+b2,（a-b)2= .,a2-2ab+b2,合作探究,完全平方公式,也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式.,简记为： “首平方，尾平方，积的2
3、倍放中间”,问题3 你能根据下图中的面积说明完全平方公式吗?,设大正方形ABCD的面积为S.,S= =S1+S2+S3+S4= .,(a+b)2,a2+b2+2ab,S1,S2,S3,S4,几何解释:,=,+,+,+,a2,ab,ab,b2,和的完全平方公式：,a2,ab,b(ab),=,a22ab+b2 .,=,(ab)2,ab,ab,b(ab),(ab)2,几何解释:,差的完全平方公式：,(a+b)2= a2+2ab+b2.,(a-b)2=a2-2ab+b2.,问题4 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：,1.说一说积的次数和项数.,2.两个完全平方式的积有相同的项吗？与a,b有
4、什么关系？,3.两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与 a,b有什么关系？它的符号与什么有关？,公式特征：,4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.,1.积为二次三项式；,2.积中两项为两数的平方和；,3.另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同.,想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？,(1)(x+y)2=x2 +y2,(2)(x -y)2 =x2 -y2,(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2,(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2,(x +y)2 =x2+2xy +y2,(x -y)2 =x2 -2xy +y2,(-x +y)2
5、=x2 -2xy +y2,(2x +y)2 =4x2+4xy +y2,例1 运用完全平方公式计算：,解: (4m+n)2=,=16m2,(1)(4m+n)2；,(a +b)2= a2 + 2 ab + b2,(4m)2,+2(4m) n,+n2,+8mn,+n2；,(a - b)2 = a2 - 2 ab + b2,y2,解： =,+,-2y,(2),利用完全平方公式计算： (1)(5a)2； (2)(3m4n)2； (3)(3ab)2.,针对训练,(3)(3ab)29a26abb2.,解：(1)(5a)22510aa2；,(2)(3m4n)29m224mn16n2；,(1) 1022；,解：
6、 1022,= (100+2)2,=10000+400+4,=10404.,(2) 992.,992,= (100 1)2,=10000 -200+1,=9801.,例2 运用完全平方公式计算：,方法总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式,利用乘法公式计算： (1)98210199； (2)201622016403020152.,针对训练,(20162015)21.,解：(1)原式(1002)2(1001)(1001),1002400410021395；,(2)原式2016222016201520152,例3 已知xy6，xy8.求:
7、(1) x2y2的值； (2)(x+y)2的值.,361620；,解：(1)xy6，xy8，,(xy)2x2y22xy，,x2y2(xy)22xy,(2)x2y220，xy8，,(x+y)2x2y22xy,20164.,方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式： x2y2(xy)22xy(x+y)22xy,(xy)2(x+y)24xy.,1.已知x+y=10,xy=24,则x2+y2=_,52,变式：已知 则 _,98,2.如果x2+kx+81是运用完全平方式得到的结果， 则k=_,8或-8,变式：如果x2+6x+m2是完全平方式，则m的值是_,3或-3,3.已知ab=2,(a+b)2=9,
8、则(a-b)2的值为_,变式：若题目条件不变，则a-b的值为_,1,1,a+(b+c) = a+b+c; a- (b+c) = a - b c.,a + b + c = a + ( b + c) ; a b c = a ( b + c ) .,去括号,把上面两个等式的左右两边反过来，也就添括号：,添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号（简记为“负变正不变”）.,知识要点,添括号法则,例5 运用乘法公式计算: (1) (x+2y-3)(x-2y+3) ; (2) (a+b+c)2.,典例精析,(2)原式 = (a+b)+c2,= x
9、2-(2y-3)2,= x2-(4y2-12y+9),= x2-4y2+12y-9.,= (a+b)2+2(a+b)c+c2,=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.,方法总结：第1小题选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.第2小题要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.,计算：(1)(abc)2；(2)(12xy)(12xy),针对训练,14x24xyy2.,解：(1)原式(ab)c2,(ab)2c22(ab)c,a22abb2c22ac2bc；,(2)原式1(2xy)1(2xy),12(2xy)2,当堂练习,2.下列计算结果
10、为2aba2b2的是( )A(ab)2 B(ab)2C(ab)2 D(ab)2,1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（ ） Aa2-4a+4 Ba2-2a+4 Ca2-4 Da2-4a-4,A,D,3.运用完全平方公式计算:,(1) (6a+5b)2=_； (2) (4x-3y)2=_ ； (3) (2m-1)2 =_； (4)(-2m-1)2 =_.,36a2+60ab+25b2,16x2-24xy+9y2,4m2+4m+1,4m2-4m+1,4.由完全平方公式可知：3223552(35)264，运用这一方法计算：4.32128.6420.6790.6792_,25,5.计算 (1)(3
11、ab2)(3ab2)； (2)(xymn)(xymn),(2)原式(xy)(mn)(xy)(mn),解：(1)原式3a(b2)3a(b2),(3a)2(b2)2,9a2b24b4.,(xy)2(mn)2,x22xyy2m22mnn2.,6.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2.7.已知x+y=8,x-y=4,求xy.,解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2(-6)=37；,a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.,解：x+y=8, (x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64;,x-y=4, (x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16;,由-得,4xy=48,xy=12.,课堂小结,完全平方公式,法则,注意,(ab)2= a2 2ab+b2,1.项数、符号、字母及其指数,2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行,常用 结论,3.弄清完全平方公式和平方差公式不同（从公式结构特点及结果两方面）,a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2.,