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2020高中数学专题06 解三角形(含答案)

1、2020高中数学专题06解三角形考纲解读三年高考分析1.正弦定理和余弦定理:掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.2.应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.正余弦定理和三角形面积公式是考查的重点,考查学生的数学运算能力、直观想象能力、数据分析能力,题型以选择填空题、解答题为主,中等难度.1、以利用正弦、余弦定理解三角形为主,常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查,加强数形结合思想的应用意识题型多样,中档难度.2、以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主,常与三角恒等变换、三角函数的性质

2、结合考查,加强数学知识的应用性题型主要为选择题和填空题,中档难度.1【2018年新课标2理科06】在ABC中,cos,BC1,AC5,则AB()A4BCD2【解答】解:在ABC中,cos,cosC2,BC1,AC5,则AB4故选:A2【2018年新课标3理科09】ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c若ABC的面积为,则C()ABCD【解答】解:ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,cABC的面积为,SABC,sinCcosC,0C,C故选:C3【2019年全国新课标2理科15】ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c若b6,a2c,B,则ABC的面积为【解答】解:由余弦定理有b

3、2a2+c22accosB,b6,a2c,B,c212,故答案为:4【2019年浙江14】在ABC中,ABC90,AB4,BC3,点D在线段AC上,若BDC45,则BD,cosABD【解答】解:在直角三角形ABC中,AB4,BC3,AC5,sinC,在BCD中,可得,可得BD;CBD135C,sinCBDsin(135C)(cosC+sinC)(),即有cosABDcos(90CBD)sinCBD,故答案为:,5【2018年浙江13】在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c若a,b2,A60,则sinB,c【解答】解:在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,ca,b2,A60,由

4、正弦定理得:,即,解得sinB由余弦定理得:cos60,解得c3或c1(舍),sinB,c3故答案为:,36【2017年浙江11】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率,理论上能把的值计算到任意精度,祖冲之继承并发展了“割圆术”,将的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6【解答】解:如图所示,单位圆的半径为1,则其内接正六边形ABCDEF中,AOB是边长为1的正三角形,所以正六边形ABCDEF的面积为S6611sin60故答案为:7【2017年浙江14】已知ABC,ABAC4,BC2,点D为AB延长线上一点,BD2,连

5、结CD,则BDC的面积是,cosBDC【解答】解:如图,取BC得中点E,ABAC4,BC2,BEBC1,AEBC,AE,SABCBCAE2,BD2,SBDCSABC,BCBD2,BDCBCD,ABE2BDC在RtABE中,cosABE,cosABE2cos2BDC1,cosBDC,故答案为:,8【2019年天津理科15】在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c已知b+c2a,3csinB4asinC()求cosB的值;()求sin(2B)的值【解答】解()在三角形ABC中,由正弦定理,得bsinCcsinB,又由3csinB4asinC,得3bsinC4asinC,即3b4a又因为b

6、+c2a,得b,c,由余弦定理可得cosB()由()得sinB,从而sin2B2sinBcosB,cos2Bcos2Bsin2B,故sin(2B)sin2Bcoscos2Bsin9【2019年新课标3理科18】ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c已知asinbsinA(1)求B;(2)若ABC为锐角三角形,且c1,求ABC面积的取值范围【解答】解:(1)asinbsinA,即为asinacosbsinA,可得sinAcossinBsinA2sincossinA,sinA0,cos2sincos,若cos0,可得B(2k+1),kZ不成立,sin,由0B,可得B;(2)若ABC为锐角三角

7、形,且c1,由余弦定理可得b,由三角形ABC为锐角三角形,可得a2+a2a+11且1+a2a+1a2,解得a2,可得ABC面积Sasina(,)10【2019年新课标1理科17】ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c设(sinBsinC)2sin2AsinBsin C(1)求A;(2)若a+b2c,求sinC【解答】解:(1)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c设(sinBsinC)2sin2AsinBsin C则sin2B+sin2C2sinBsinCsin2AsinBsinC,由正弦定理得:b2+c2a2bc,cosA,0A,A(2)a+b2c,A,由正弦定理得,解得sin(

8、C),C,C,sinCsin()sincoscossin11【2019年北京理科15】在ABC中,a3,bc2,cosB()求b,c的值;()求sin(BC)的值【解答】解:()a3,bc2,cosB由余弦定理,得b2a2+c22accosB,b7,cb25;()在ABC中,cosB,sinB,由正弦定理有:,bc,BC,C为锐角,cosC,sin(BC)sinBcosCcosBsinC12【2019年江苏15】在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c(1)若a3c,b,cosB,求c的值;(2)若,求sin(B)的值【解答】解:(1)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,ca3c

9、,b,cosB,由余弦定理得:cosB,解得c(2),由正弦定理得:,2sinBcosB,sin2B+cos2B1,sinB,cosB,sin(B)cosB13【2018年江苏17】某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O的一段圆弧(P为此圆弧的中点)和线段MN构成已知圆O的半径为40米,点P到MN的距离为50米现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚内的地块形状为矩形ABCD,大棚内的地块形状为CDP,要求A,B均在线段MN上,C,D均在圆弧上设OC与MN所成的角为(1)用分别表示矩形ABCD和CDP的面积,并确定sin的取值范围;(2)若大棚I内种植甲种蔬菜,大棚内种植乙种蔬菜,且甲、乙两

10、种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3求当为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【解答】解:(1)S矩形ABCD(40sin+10)80cos800(4sincos+cos),SCDP80cos(4040sin)1600(coscossin),当B、N重合时,最小,此时sin;当C、P重合时,最大,此时sin1,sin的取值范围是,1);(2)设年总产值为y,甲种蔬菜单位面积年产值为4t(t0),乙种蔬菜单位面积年产值为3t,则y3200t(4sincos+cos)+4800t(coscossin)8000t(sincos+cos),其中sin,1);设f()sincos+cos,则f()co

11、s2sin2sin2sin2sin+1;令f()0,解得sin,此时,cos;当sin,)时,f()0,f()单调递增;当sin(,1)时,f()0,f()单调递减;时,f()取得最大值,即总产值y最大S矩形ABCD800(4sincos+cos),SCDP1600(coscossin),sin,1);答:时总产值y最大14【2018年新课标1理科17】在平面四边形ABCD中,ADC90,A45,AB2,BD5(1)求cosADB;(2)若DC2,求BC【解答】解:(1)ADC90,A45,AB2,BD5由正弦定理得:,即,sinADB,ABBD,ADBA,cosADB(2)ADC90,cos

12、BDCsinADB,DC2,BC515【2018年北京理科15】在ABC中,a7,b8,cosB()求A;()求AC边上的高【解答】解:()ab,AB,即A是锐角,cosB,sinB,由正弦定理得得sinA,则A()由余弦定理得b2a2+c22accosB,即6449+c2+27c,即c2+2c150,得(c3)(c+5)0,得c3或c5(舍),则AC边上的高hcsinA316【2018年天津理科15】在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c已知bsinAacos(B)()求角B的大小;()设a2,c3,求b和sin(2AB)的值【解答】解:()在ABC中,由正弦定理得,得bsinA

13、asinB,又bsinAacos(B)asinBacos(B),即sinBcos(B)cosBcossinBsincosB,tanB,又B(0,),B()在ABC中,a2,c3,B,由余弦定理得b,由bsinAacos(B),得sinA,ac,cosA,sin2A2sinAcosA,cos2A2cos2A1,sin(2AB)sin2AcosBcos2AsinB17【2017年新课标1理科17】ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ABC的面积为(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC1,a3,求ABC的周长【解答】解:(1)由三角形的面积公式可得SABCacsinB,3

14、csinBsinA2a,由正弦定理可得3sinCsinBsinA2sinA,sinA0,sinBsinC;(2)6cosBcosC1,cosBcosC,cosBcosCsinBsinC,cos(B+C),cosA,0A,A,2R2,sinBsinC,bc8,a2b2+c22bccosA,b2+c2bc9,(b+c)29+3cb9+2433,b+c周长a+b+c318【2017年新课标2理科17】ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)8sin2(1)求cosB;(2)若a+c6,ABC的面积为2,求b【解答】解:(1)sin(A+C)8sin2,sinB4(1cosB

15、),sin2B+cos2B1,16(1cosB)2+cos2B1,16(1cosB)2+cos2B10,16(cosB1)2+(cosB1)(cosB+1)0,(17cosB15)(cosB1)0,cosB;(2)由(1)可知sinB,SABCacsinB2,ac,b2a2+c22accosBa2+c22a2+c215(a+c)22ac153617154,b219【2017年新课标3理科17】ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinAcosA0,a2,b2(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积【解答】解:(1)sinAcosA0,tanA,0A,A,由

16、余弦定理可得a2b2+c22bccosA,即284+c222c(),即c2+2c240,解得c6(舍去)或c4,故c4(2)c2b2+a22abcosC,1628+4222cosC,cosC,CDCDBCSABCABACsinBAC422,SABDSABC20【2017年上海18】已知函数f(x)cos2xsin2x,x(0,)(1)求f(x)的单调递增区间;(2)设ABC为锐角三角形,角A所对边a,角B所对边b5,若f(A)0,求ABC的面积【解答】解:(1)函数f(x)cos2xsin2xcos2x,x(0,),由2k2x2k,解得kxk,kZ,k1时,x,可得f(x)的增区间为,);(2

17、)设ABC为锐角三角形,角A所对边a,角B所对边b5,若f(A)0,即有cos2A0,解得2A,即A,由余弦定理可得a2b2+c22bccosA,化为c25c+60,解得c2或3,若c2,则cosB0,即有B为钝角,c2不成立,则c3,ABC的面积为SbcsinA5321【2017年北京理科15】在ABC中,A60,ca(1)求sinC的值;(2)若a7,求ABC的面积【解答】解:(1)A60,ca,由正弦定理可得sinCsinA,(2)a7,则c3,CA,sin2C+cos2C1,又由(1)可得cosC,sinBsin(A+C)sinAcosC+cosAsinC,SABCacsinB7362

18、2【2017年天津理科15】在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c已知ab,a5,c6,sinB()求b和sinA的值;()求sin(2A)的值【解答】解:()在ABC中,ab,故由sinB,可得cosB由已知及余弦定理,有13,b由正弦定理,得sinAb,sinA;()由()及ac,得cosA,sin2A2sinAcosA,cos2A12sin2A故sin(2A)1【安徽省黄山市2019届高三毕业班第三次质量检测】设的内角所对边的长分别是,且,则的值为( )AB4CD【答案】C【解析】在ABC中,A2B,b3,c1,可得,整理得a6cosB,由余弦定理可得:a6,a2,故选C.2

19、【江西省新八校2019届高三第二次联考】我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”,设的三个内角所对的边分别为,面积为,则“三斜求积”公式为,若,则用“三斜求积”公式求得的面积为( )ABCD【答案】A【解析】,因为,所以,从而的面积为,故选A.3【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测】已知的内角,的对边分别是,若,则的面积为( )ABCD【答案】B【解析】由结合正弦定理可得,则.由余弦定理,可得,解得,则.又,所以.故选B.4【湖北省黄冈市2019届高三2月联考】如图,在中,则的面积为( )ABCD【答案】B【解析】过点分别作和的垂线,垂足分别为,由,得,则

20、为的平分线,又,即,解得;在中,.故选B.5【江西省名校(临川一中、南昌二中)2019届高三5月联合考试】在中,则( )ABCD【答案】B【解析】设所以,所以,所以,得所以故选:B6【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考】在中,角,的对边分别为,,若,且 ,则的面积为( )ABC或D或【答案】C【解析】因为,所以,故,因此或;因为,所以舍去;故;所以;当时,由得,又,所以,根据余弦定理可得,解得,因此,;当时,由得,又,所以,根据余弦定理可得,解得,因此,.故选C7【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷】设锐角三角形的内角所对的边分别为,若,则的取值范围为( )ABCD【答案】C【解

21、析】由锐角三角形的内角所对的边分别为,若, ,,, ,由正弦定理得,即 则b的取值范围为,故选C.8【河北廊坊2018-2019学年高一年级第二学期期中联合调研考试】在中,角,所对的边分别是,则( )A或BCD【答案】C【解析】解:,由正弦定理得:故选C.9【辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试】在中,角的对边分别为,若为锐角三角形,且满足,则等式成立的是( )ABCD【答案】B【解析】依题意得, ,,即,由正弦定理得,故选B.10【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】中,角,的对边分别为,若,.且,则的面积为( )A2B3C4D【答案】A【解析】由余弦定

22、理得:,即解得: 本题正确选项:11【广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试】在中,角、的对边分别为、,边上的高为,则的最大值是_【答案】【解析】因为边上的高为,所以,即,可得,故的最大值是故答案为12【云南省陆良县2019届高三上学期第一次摸底考试】外接圆半径为,内角,对应的边分别为,若,则的值为_【答案】【解析】由正弦定理可得:,解得:由余弦定理可得:解得:或(舍去) 本题正确结果:13【四川省名校联盟2019届高考模拟信息卷(一)】三角形中,则三角形的面积为_.【答案】【解析】解法1:在中,.由余弦定理得,即,解得.三角形的面积为.解法2:在中,.由正弦定理得,由勾股定理,得.所以,三

23、角形的面积为.14【天津市河东区2019届高三二模】如图,已知,则_.【答案】【解析】设,在ABO中,由余弦定理可得:,整理可得:, 由平面向量数量积的定义可得:, 由有:,解得:,即ABO为等边三角形,由题意可得:,故:.15【黑龙江省大庆第一中学2019届高三第三次模拟】已知中,角的对边分别为,若+()求;()若 ,求面积的最大值。【答案】()()【解析】()由正弦定理可得: 又 .() 由余弦定理可得,又 故,当且仅当时,等号成立.所以.所以面积最大为.16【广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身】已知中,角的对边分别为(1)若依次成等差数列,且公差为2,求的值;(2

24、)若的外接圆面积为,求周长的最大值【答案】(1);(2).【解析】(1)依次成等差数列,且公差为 ,由余弦定理得:整理得:,解得:或又,则(2)设,外接圆的半径为,则,解得:由正弦定理可得:可得:,的周长又 当,即:时,取得最大值17【北京市昌平区2019年高三年级第二次统一练习】在ABC中,AC=4,()求的大小;()若D为BC边上一点,求DC的长度【答案】();()或【解析】()在中,由正弦定理得,所以因为,所以,所以()在中,在中,由余弦定理,得,即,解得或经检验,都符合题意18【山东省聊城市2019届高三三模】在中,角的对边分别为,且.(1)求的大小;(2)若的外接圆的半径为,面积为,

25、求的周长.【答案】(1);(2).【解析】(1)因为,由正弦定理可得,由三角形内角和定理和诱导公式可得,代入上式可得,所以.因为,所以,即.由于,所以.(2)因为的外接圆的半径为,由正弦定理可得,.又的面积为,所以,即,所以.由余弦定理得,则,所以,即.所以的周长.19【湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟(三)】在中,角的对边分別为,若,.(1)求;(2)已知点在边上,且平分,求的面积.【答案】(1) (2) 【解析】(1)由,得,所以,由正弦定理,可得.(2),在中,由余弦定理,得,解得或(舍去).,因为,所以.20【天津市河西区2019届高三一模】在中,对应的边为.已知.()求

26、;()若,求和的值.【答案】()()【解析】()解:由条件,得,又由,得.由,得,故. ()解:在中,由余弦定理及,有,故.由得,因为,故.因此,.所以.1已知ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinAsinB+sin2Asin2C(1)求证:;(2)若B为钝角,且ABC的面积S满足S(bsinA)2,求A【解答】解:(1)ABC中,sinAsinB+sin2Asin2C,ab+a2c2;即c2a2ab;cosAsinA,其中R为ABC外接圆半径,即证得sinA;(2)ABC的面积S满足S(bsinA)2,即bcsinAb2sin2A,sinA,又cosA,cosAsinB,由B

27、为钝角得BA;又A+B+C,A+(A)+C,解得C2A,sinA,cos2Asin2A,tan2A1;又A为锐角,2A(0,),2A,A2在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且bcosAac,D是BC边上的点()求角B;()若AC7,AD5,DC3,求AB的长【解答】解:()bcosAac,A+B+C,由正弦定理得:sin Bcos AsinAsinC,即:sin Bcos AsinAsin (A+B),sin Bcos Asin Asin Acos B+cos Asin B,即:sin Asin Acos B,sin A0,cos B,B;()在ADC中,若AC7,AD5,DC

28、3,由余弦定理,得cosADC,所以ADC,在ABD中,AD5,B,ADB,由正弦定理得,所以AB53在ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且2asinBcosAbsinA0,(1)求A;(2)当函数取得最大值时,试判断ABC的形状【解答】解:(1)由正弦定理得asinBbsinA0,又2asinBcosAbsinA0,2cosA1,即,0A;(2)解法一:,从而,当时,函数f(x)取得最大值,这时,即ABC是直角三角形;解法二:,2sinC,当时,函数f(x)取得最大值,ABC是直角三角形4在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2acosBccosBbcosC(

29、1)求角B的大小:(2)若点D为的BC中点,且ADb,求的值的值【解答】解:(1)在ABC中,2acosBccosBbcosC,由正弦定理得2sinAcosBsinBcosC+sinCcosBsin(B+C)sinA,A(0,),sinA0,则,B(0,),;(2)在ABD中,由余弦定理得,在ABC中,由余弦定理得b2a2+c22accosBa2+c2ac,ADb,a2+c2ac,整理得,由正弦定理得5在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知cos2A,c,sinAsinC()求a的值;() 若角A为锐角,求b的值及ABC的面积【解答】解:()在ABC中,因为,由正弦定理,得() 由得, 由得,则,由余弦定理a2b2+c22bccosA,化简得,b22b150,解得b5或b3(舍负)所以