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高中数学专题07 平面向量(含答案)

1、高中数学专题07平面向量考纲解读三年高考分析1.平面向量的实际背景及基本概念(1)了解向量的实际背景.(2)理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义.(3)理解向量的几何表示.2.向量的线性运算(1)掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.(2)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义.3.平面向量的基本定理及坐标表示(1)了解平面向量的基本定理及其意义.(2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.(3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.(4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件.4.平面向量的数量积(1)理解平面向量数量积的

2、含义及其物理意义.(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系.(3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.(4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.向量的应用(1)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.(2)会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.平面向量基本定理和向量的坐标运算是考查的重点,解题时常用到等价转化的数学思想和数形结合的数学思想,考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力,题型以选择填空题为主,中等难度.1、主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量定理常与三角函数、解析几何交汇考查,有时也会

3、有创新的新定义问题;题型以选择题、填空题为主,属于中低档题目偶尔会在解答题中作为工具出现.2、主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题,考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系一般以选择题、填空题的形式考查,偶尔会在解答题中出现,属于中档题.3、主要考查平面向量基本定理、向量加法、减法、数乘向量的坐标运算及平面向量共线的坐标表示,考查向量线性运算的综合应用,考查学生的运算推理能力、数形结合能力,常与三角函数综合交汇考查,突出向量的工具性一般以选择题、填空题形式考查,偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题,属于中档题.1【2019年

4、全国新课标2理科03】已知(2,3),(3,t),|1,则()A3B2C2D3【解答】解:(2,3),(3,t),(1,t3),|1,t30即(1,0),则2故选:C2【2019年新课标1理科07】已知非零向量,满足|2|,且(),则与的夹角为()ABCD【解答】解:(),故选:B3【2019年北京理科07】设点A,B,C不共线,则“与的夹角为锐角”是“|”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解答】解:点A,B,C不共线,“与的夹角为锐角”“|”,“|”“与的夹角为锐角”,设点A,B,C不共线,则“与的夹角为锐角”是“|”的充分必要条件故选:C4【2

5、018年新课标1理科06】在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则()ABCD【解答】解:在ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,(),故选:A5【2018年新课标2理科04】已知向量,满足|1,1,则(2)()A4B3C2D0【解答】解:向量,满足|1,1,则(2)22+13,故选:B6【2018年浙江09】已知,是平面向量,是单位向量若非零向量与的夹角为,向量满足430,则|的最小值是()A1B1C2D2【解答】解:由430,得,()(),如图,不妨设,则的终点在以(2,0)为圆心,以1为半径的圆周上,又非零向量与的夹角为,则的终点在不含端点O的两条射线y(x0)上不

6、妨以y为例,则|的最小值是(2,0)到直线的距离减1即故选:A7【2018年北京理科06】设,均为单位向量,则“|3|3|”是“”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解答】解:“|3|3|”平方得|2+9|269|2+|2+6,即1+969+1+6,即120,则0,即,则“|3|3|”是“”的充要条件,故选:C8【2018年天津理科08】如图,在平面四边形ABCD中,ABBC,ADCD,BAD120,ABAD1若点E为边CD上的动点,则的最小值为()ABCD3【解答】解:如图所示,以D为原点,以DA所在的直线为x轴,以DC所在的直线为y轴,过点B做B

7、Nx轴,过点B做BMy轴,ABBC,ADCD,BAD120,ABAD1,ANABcos60,BNABsin60,DN1,BM,CMMBtan30,DCDM+MC,A(1,0),B(,),C(0,),设E(0,m),(1,m),(,m),0m,m2m(m)2(m)2,当m时,取得最小值为故选:A9【2017年新课标2理科12】已知ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则()的最小值是()A2BCD1【解答】解:建立如图所示的坐标系,以BC中点为坐标原点,则A(0,),B(1,0),C(1,0),设P(x,y),则(x,y),(1x,y),(1x,y),则()2x22y+2y22x2

8、+(y)2当x0,y时,取得最小值2(),故选:B10【2017年新课标3理科12】在矩形ABCD中,AB1,AD2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若,则+的最大值为()A3B2CD2【解答】解:如图:以A为原点,以AB,AD所在的直线为x,y轴建立如图所示的坐标系,则A(0,0),B(1,0),D(0,2),C(1,2),动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上,设圆的半径为r,BC2,CD1,BDBCCDBDr,r,圆的方程为(x1)2+(y2)2,设点P的坐标为(cos+1,sin+2),(cos+1,sin+2)(1,0)+(0,2)(,2),cos+1,sin+22,+coss

9、in+2sin(+)+2,其中tan2,1sin(+)1,1+3,故+的最大值为3,故选:A11【2017年浙江10】如图,已知平面四边形ABCD,ABBC,ABBCAD2,CD3,AC与BD交于点O,记I1,I2,I3,则()AI1I2I3BI1I3I2CI3I1I2DI2I1I3【解答】解:ABBC,ABBCAD2,CD3,AC2,AOBCOD90,由图象知OAOC,OBOD,0,0,即I3I1I2,故选:C12【2017年北京理科06】设,为非零向量,则“存在负数,使得”是“0”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解答】解:,为非零向量,存在负

10、数,使得,则向量,共线且方向相反,可得0反之不成立,非零向量,的夹角为钝角,满足0,而不成立,为非零向量,则“存在负数,使得”是0”的充分不必要条件故选:A13【2019年天津理科14】在四边形ABCD中,ADBC,AB2,AD5,A30,点E在线段CB的延长线上,且AEBE,则【解答】解:AEBE,ADBC,A30,在等腰三角形ABE中,BEA120,又AB2,AE2,又,12521故答案为:114【2019年新课标3理科13】已知,为单位向量,且0,若2,则cos,【解答】解: 22,(2)24459,|3,cos,故答案为:15【2019年江苏12】如图,在ABC中,D是BC的中点,E在

11、边AB上,BE2EA,AD与CE交于点O若6,则的值是【解答】解:设(),()(1),(),66()()(),3,故答案为:16【2019年浙江17】已知正方形ABCD的边长为1当每个i(i1,2,3,4,5,6)取遍1时,|123456|的最小值是,最大值是【解答】解:正方形ABCD的边长为1,可得,0,|123456|12345566|(13+56)(24+5+6)|,由于i(i1,2,3,4,5,6)取遍1,可得13+560,24+5+60,可取561,131,21,41,可得所求最小值为0;由13+56,24+5+6的最大值为4,可取21,41,561,11,31,可得所求最大值为2故

12、答案为:0,217【2018年江苏12】在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D若0,则点A的横坐标为【解答】解:设A(a,2a),a0,B(5,0),C(,a),则圆C的方程为(x5)(xa)+y(y2a)0联立,解得D(1,2)解得:a3或a1又a0,a3即A的横坐标为3故答案为:318【2018年新课标3理科13】已知向量(1,2),(2,2),(1,)若(2),则【解答】解:向量(1,2),(2,2),(4,2),(1,),(2),解得故答案为:19【2018年上海08】在平面直角坐标系中,已知点A(1,0)、

13、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且|2,则的最小值为【解答】解:根据题意,设E(0,a),F(0,b);ab+2,或ba+2;且;当ab+2时,;b2+2b2的最小值为;的最小值为3,同理求出ba+2时,的最小值为3故答案为:320【2017年江苏12】如图,在同一个平面内,向量,的模分别为1,1,与的夹角为,且tan7,与的夹角为45若mn(m,nR),则m+n【解答】解:如图所示,建立直角坐标系A(1,0)由与的夹角为,且tan7cos,sinCcos(+45)(cossin)sin(+45)(sin+cos)Bmn(m,nR),mn,0n,解得n,m则m+n3故答案为:321【2

14、017年新课标1理科13】已知向量,的夹角为60,|2,|1,则|2|【解答】解:【解法一】向量,的夹角为60,且|2,|1,4422+421cos60+41212,|2|2【解法二】根据题意画出图形,如图所示;结合图形2;在OAC中,由余弦定理得|2,即|2|2故答案为:222【2017年浙江15】已知向量、满足|1,|2,则|+|的最小值是,最大值是【解答】解:记AOB,则0,如图,由余弦定理可得:|,|,令x,y,则x2+y210(x、y1),其图象为一段圆弧MN,如图,令zx+y,则yx+z,则直线yx+z过M、N时z最小为zmin1+33+14,当直线yx+z与圆弧MN相切时z最大,

15、由平面几何知识易知zmax即为原点到切线的距离的倍,也就是圆弧MN所在圆的半径的倍,所以zmax综上所述,|+|的最小值是4,最大值是故答案为:4、23【2017年天津理科13】在ABC中,A60,AB3,AC2若2,(R),且4,则的值为【解答】解:如图所示,ABC中,A60,AB3,AC2,2, (),又(R),()()()()32cos6032224,1,解得故答案为:1【山东省聊城市2019届高三三模】在正方形中,为的中点,若,则的值为( )ABCD1【答案】B【解析】由题得,.故选:B2【江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟】已知向量与的夹角为,则()A1B3C4D5【答案】C【解析

16、】解:根据条件,;解得,或(舍去)故选C3【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校际联合】已知,且,则向量在方向上的正射影的数量为( )A1BCD【答案】D【解析】由得,所以,所以向量在方向上的正射影的数量为,故选D.4【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟】已知为等边三角形所在平面内的一个动点,满足,若,则( )AB3C6D与有关的数值【答案】C【解析】如图:以中点为坐标原点,以方向为轴正方向,方向为轴正方向,建立平面直角坐标系,因为,则,因为为等边三角形所在平面内的一个动点,满足,所以点在直线,所以在方向上的投影为,因此.故选C5【北京市朝阳区2019届高三第二次

17、(5月)综合练习】已知平面向量的夹角为,且,则( )ABCD【答案】B【解析】,所以故选:B.6【山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测】如图,已知等腰梯形中,是的中点,是线段上的动点,则的最小值是( )AB0CD1【答案】A【解析】由等腰梯形的知识可知,设,则,当时,取得最小值故选:7【广东省2019届高三适应性考试】已知,点是边的中点,若点满足,则( )AB CD【答案】D【解析】点M是边BC的中点,可得2,可得2()4,即2()+12,可得6,即,故选:D8【内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试】已知菱形的边长为2,则()A4B6CD【答案】B【解析】如图所示,菱形形的边

18、长为2,且,故选B9【山东省临沂市2019年普通高考模拟考试】在中,为的三等分点,则( )ABCD【答案】C【解析】因为,所以,化为,因为,所以,又因为,为的三等分点,所以,故选C.10【湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟(三)】在中,设点、满足, ,若,则( )AB2CD3【答案】D【解析】因为,则,所以.由已知,则.选.11【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试】在平行四边形中,若则( )ABCD【答案】C【解析】如图所示,平行四边形中, ,,,因为,所以,, 所以,故选C.12【广东省2019届高考适应性考试】若向量,满足,且,则的最小值是( )ABC2D【答案】C【

19、解析】设向量,,则由得,即C的轨迹为以AB为直径的圆,圆心为AB中点M,半径为,因此从而,选C.13【江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测】已知是夹角为的两个单位向量,向量,若,则实数的值为_【答案】【解析】,因为, ,所以,所以,填.14【广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测】在中,则_【答案】3【解析】解:在中,可得,则.故答案为:315【2019年湖北省武汉市高考数学(5月份)模拟】已知向量,若,则_【答案】4【解析】;故答案为:416【江西省南昌市江西师范大学附属中学2019届高三三模】已知平面向量,则在方向上的射影为_【答案】【解析】 解得:在方向上的射影为:

20、 本题正确结果:17【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三】已知向量,向量,则的最大值是_.【答案】6【解析】由题意,向量,则,所以向量的终点在以原点为圆心,为半径的圆上,又由,则其终点也在此圆上,当与反向时,为最大,最大值为6.18【天津市北辰区2019届高考模拟考试】平行四边形中,点在边上,则的取值范围是_【答案】【解析】因为点在边上,所以设,则,所以,又,所以,故答案为19【四川省名校联盟2019届高考模拟信息卷(一)】直线与圆:交于,两点,向量,满足,则实数的取值集合为_.【答案】【解析】解:由,满足,得,圆:的圆心为,半径为,点到直线的距离为1,由,得.故实数的取值集合为

21、.20【江西省临川一中2019届高三年级考前模拟】如图,点在的边上,且,则的最大值为_【答案】【解析】因为,所以因为,所以即,整理得到,两边平方后有,所以即,整理得到,设,所以,因为,所以,当且仅当,时等号成立,故填.1在平行四边形ABCD中,边AB、AD的长分别为2、1,若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足,则的最大值为5【解答】解:设k,则k0,1;建立如图所示的坐标系,则A(0,0),B(2,0),D(,),C(,),由k,k,可得k(2k,k),同理可得(2k,),(2k)(2k)kk22k+5(k+1)2+6,k0,1,(k+1)2+61+65,的最大值是5,当且仅当M、N与点C重合时取得最大值故答案为:D2已知,若,则k8【解答】解:2(9,2+2k),3(1,6k);(2)(3),9(6k)(1)(2+2k)0,解得k8故答案为:83已知非零向量,满足4|3|,若(4)则,夹角的余弦值为【解答】解:非零向量,满足4|3|,若(4),|,且 (4)40,即设,夹角为,则cos,故答案为:4已知向量,且,则与的夹角为【解答】解:;4k3;,且;设与的夹角为,则:;又0;故答案为:5已知,且,共线,则向量在方向上的投影为【解答】解:由,且,共线,得1(4)2t0,解得t2向量在方向上的投影为故答案为: