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2019-2020浙教版九年级数学上册第四章相似三角形单元培优试卷解析版

1、2019-2020浙教版九年级数学上册第四章相似三角形单元培优试卷一、选择题(每小题3分,共30分)1.如图,ABCDEF , AC=4,CE=6,BD=3,则DF的值是( ). A.4.5B.5C.2D.1.52.下列44的正方形网格中,小正方形的边长均为1,三角形的顶点都在格点上,则与ABC相似的三角形所在的网格图形是( ) A.B.C.D.3.如图,在ABC中,点D,E,F分别在边AB,AC,BC上,且DEBC,EFA B.若AD2BD,则 CFBF 的值为( )A.12B.13C.14D.234.D,E是ABC的边AB、AC的中点,ABC、ADE的面积分别为S、S1 , 则下列结论中,

2、错误的是( ) A.DEBCB.DE= 12 BCC.S1= 14 SD.S1= 12 S5.如图,在ABC中,点D,E分别在AB和AC边上,DEBC,M为BC边上一点(不与点B、C重合),连接AM交DE于点N,则( )A.ADAN=ANAEB.BDMN=MNCEC.DNBM=NEMCD.DNMC=NEBM6.如图,在平行四边形 ABCD 中, E 为 BC 的中点, BD , AE 交于点 O ,若随机向平行四边形 ABCD 内投一粒米,则米粒落在图中阴影部分的概率为( ) A.116B.112C.18D.167.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=6,若点E,F分别在AB,CD上,且B

3、E=2AE,DF=2FC,G,H分别是AC的三等分点,则四边形EHFG的面积为( ) A.1B.32C.2D.48.如图,在等腰三角形 ABC 中, AB=AC ,图中所有三角形均相似,其中最小的三角形面积为1, ABC 的面积为42,则四边形DBCE的面积是( ) A.20B.22C.24D.269.如图,在边长为 3 的菱形 ABCD 中, B=30 ,过点 A 作 AEBC 于点 E ,现将 ABE 沿直线 AE 翻折至 AFE 的位置, AF 与 CD 交于点 G .则 CG 等于( ) A.31B.1C.12D.3210.如图,正方形 ABCD 的边长为4,延长 CB 至 E 使 E

4、B=2 ,以 EB 为边在上方作正方形 EFGB ,延长 FG 交 DC 于 M ,连接 AM 、 AF , H 为 AD 的中点,连接 FH 分别与 AB 、 AM 交于点 N 、 K .则下列结论: ANHGNF ; AFN=HFG ; FN=2NK ; SAFN:SADM=1:4 .其中符合题意的结论有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(每小题4分,共24分)11.在平面直角坐标系中,点 A,B 的坐标分别是 A(4,2),B(5,0) ,以点 O 为位似中心,相们比为 12 ,把 ABO 缩小,得到 A1B1O ,则点 A 的对应点 A1 的坐标为_. 12.如图,原点

5、O是ABC和ABC的位似中心,点A(1,0)与点A(-2,0)是对应点,ABC的面积是 32 ,则ABC的面积是_ 13.如图,在边长为3的菱形ABCD中,点E在边CD上,点F为BE延长线与AD延长线的交点若DE=1,则DF的长为_ 14.如图,直线l1l2l3 , A,B,C分别为直线l1 , l2 , l3上的动点,连接AB,BC,AC,线段AC交直线l2于点D.设直线l1 , l2之间的距离为m,直线l1 , l2之间的距离为m,若ABC=90,BD=4,且 mn=23 则m+n的最大值为_. 15.如图, ABC 和 CDE 都是等边三角形,且点A、C、E在同一直线上, AD 与 BE

6、 、 BC 分别交于点F、M , BE 与 CD 交于点N 下列结论正确的是_(写出所有正确结论的序号) AM=BN ; ABFDNF ; FMC+FNC=180 ; 1MN=1AC+1CE 16.如图,点 B1 在直线 l:y=12x 上,点 B1 的横坐标为 2 ,过 B1 作 B1A1l ,交 x 轴于点 A1 ,以 A1B1 为边,向右作正方形 A1B1B2C1 ,延长 B2C1 交 x 轴于点 A2 ;以 A2B2 为边,向右作正方形 A2B2B3C2 ,延长 B3C2 交 x 轴于点 A3 ;以 A3B3 为边,向右作正方形 A3B3B4C3 延长 B4C3 交 x 轴于点 A4;

7、 ;按照这个规律进行下去,点 Cn 的横坐标为_(结果用含正整数 n 的代数式表示) 三、解答题(本大题共8题,共66分)17.ABC在边长为l的正方形网格中如图所示 以点C为位似中心,作出ABC的位似图形A1B1C,使其位似比为1:2且A1B1C位于点C的异侧,并表示出A1的坐标作出ABC绕点C顺时针旋转90后的图形A2B2C在的条件下求出点B经过的路径长18.城墙作为古城西安的地标性建筑,自然是吸引了不少人慕名而来,每逢春节,城墙上都会支起万盏花灯,小画和小明去城墙观赏花灯,看见宏伟的城墙后,他们想要测量城墙的高,小明在城墙下看见城墙上有一根灯杆 AB( 点A为灯泡的位置 ) ,于是小明提

8、议用灯下的影长来测量城墙的高,首先小明站在E处,测得其影长 EF=1m ,小画站在H处,测得其影长 HM=1.6m ,小画和小明之间的距离 HE=4m ,已知小明的身高DE为 1.5m ,小画的身高GH为 1.6m ,灯杆AB的高为 1.8m ,点B在直线AC上, ACCM , DECM , GHCM. 请你根据以上信息,求出城墙的高BC 19.一块直角三角形的木板,它的一条直角边AC长为1.5米,面积为1.5平方米.现在要把它加工成一个正方形桌面,甲、乙两人的加工方法分别如图()、()所示,记两个正方形面积分别为S1、S2 , 请通过计算比较S1与S2的大小. 20.在ABC中,ACB=90

9、,BE是AC边上的中线,点D在射线BC上发现:如图1,点D在BC边上,CD:BD=1:2,AD与BE相交于点P,过点A作AFBC,交BE的延长线于点F,易得 APPD 的值为 解决问题:如图2,在ABC中,ACB=90,点D在BC的延长线上,AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P,DC:BC=1:2求 APPD 的值:应用:若CD=2,AC=6,则BP= 21.在正方形ABCD中,BC=2,点M是边AB的中点,连接DM,DM与AC交于点P (1)求PD的长; (2)点E在DC上,点F在DP上,且DFE=45若PF= 56 ,求CE的长 22.如图,己知A(0,8),B(6,0),点M、N分别

10、是线段AB、AO上的动点,点M从点B出发,以每秒2个单位的速度向点A运动,点N从点A出发,以每秒1个单位的速度向点O运动,点M、N中有一个点停止时,另一个点也停止。设运动时间为t秒。(1)当t为何值时,M为AB的中点。 (2)当t为何值时,AMN为直角三角形. (3)当t为何值时,AMN是等腰三角形?并求此时点M的坐标。 23.如图,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是BA延长线上的一点,连接PC交AD于点F,AP=FD(1)求 AFFD 的值 (2)如图1,连接EC,在线段EC上取一点M,使EM=EB,连接MF,求证MF=PF; (3)如图2,过点E作ENCD于点N,在线段EN上取

11、一点Q,使AQ=AP,连接BQ,BN.将AQB绕点A旋转,使点Q旋转后的对应点Q落在边AD上.请判断点B旋转后的对应点B是否落在线段BN上,并说明理由. 24.如图,在 ABC 中, A=90 , AB=3 , AC=4 ,点 M,Q 分别是边 AB,BC 上的动点(点 M 不与 A,B 重合),且 MQBC ,过点 M 作 BC 的平行线 MN ,交 AC 于点 N ,连接 NQ ,设 BQ 为 x . (1)试说明不论 x 为何值时,总有 QBM ABC ; (2)是否存在一点 Q ,使得四边形 BMNQ 为平行四边形,试说明理由; (3)当 x 为何值时,四边形 BMNQ 的面积最大,并

12、求出最大值. 2019-2020浙教版九年级数学上册第四章相似三角形单元培优试卷一、选择题(30分)1.解:直线ABCDEF,AC=4,CE=6,BD=3, ACCE=BDDF ,即 46=3DF ,解得DF=4.5故答案为:A2.解:根据勾股定理,AC 22+22=22,BC=2 , 所以,夹直角的两边的比为 222 2,观各选项,只有C选项三角形符合,与所给图形的三角形相似故答案为:C 3.解:AD2BD,DEBC, BDAD=ECAE=12 EFAB, CFBF=ECAE=12 4.解:D、E是ABC的边AB、AC的中点, DE是ABC的中位线,DEBC,DE= 12 BC,DEBC,A

13、=A,ADEABC, S1S=(DEBC)2=14 ,即S1= 14 S,D符合题意,故答案为:D5.解:A.DEBC, ADAB=ANAM , ANAM=AEAC , ADAN=ABAM , ANAE=AMAC , ABAM AMAC , ADAN ANAE ,故错误,A不符合题意;B.DEBC, ADBD=ANNM , ANNM=AEEC , ADAN=BDNM , ANAE=NMEC , ADAN ANAE , BDNM NMEC ,故错误,B不符合题意;C.DEBC, DNBM=ANAM , ANAM=NEMC , DNBM = NEMC ,故正确,C符合题意;D.DEBC, NDMB

14、=ANAM , ANAM=NEMC , NDMB = NEMC ,即 NDNE = BMMC ,故错误,D不符合题意;故答案为:C.6.解:四边形ABCD是平行四边形, BC/AD,BC=AD,BOEDOA, BOOD=OEAO=BEAD又 E 为 BC 的中点, BOOD=OEAO=BEAD=12 , BOBD=13 , SBOE=12SAOB , SAOB=13SABD , SBOE=16SABD=112SABCD ,米粒落在图中阴影部分的概率为 112 。故答案为:B。7.解:如图,延长FH交AB于点M, BE2AE,DF2FC,AB=AE+BE,CD=CF+DF,AE:AB=1:3,C

15、F:CD=1:3,又G、H分别是AC的三等分点,AG:AC=CH:AC=1:3,AE:AB=AG:AC,CF:CD=CH:CA,EG/BC,FH/AD,AEGABC,CFHCDA,BM:AB=CF:CD=1:3,EMH=B,EG:BC=AE:AB=1:3,HF:AD=CF:CD=1:3,四边形ABCD是矩形,AB=3,BC=6,CD=AB=3,AD=BC=6,B=90,AE=1,EG=2,CF=1,HF=2,BM=1,EM=3-1-1=1,EG=FH,EG /_ FH,四边形EHFG为平行四边形,S四边形EHFG21=2,故答案为:C。8.解:如图, 根据题意得 AFHADE , SAHFSA

16、DE=(FHDE)2=(34)2=916设 SAFH=9x ,则 SADE=16x , 16x9x=7 ,解得 x=1 , SADE=16 ,四边形DBCE的面积 =4216=26 故答案为:D 9.解:B=30,AB= 3 ,AEBC AE= 32 ,BE= 32BF=3,EC= 3 - 32 ,则CF=3- 3又CGAB CGAB=CFBF CG3=333解得CG= 31 .10.解:四边形ABCD、BEFG是正方形, BAD=C=E=EFB=BGF=90,AD/BC,四边形CEFM是矩形,AGF=180-BGF=90FM=EC,CM=EF=2,FM/EC,AD/FM,DM=2,H为AD中

17、点,AD=4,AH=2,FG=2,AH=FG,NAH=NGF,ANH=GNF,ANHGNF(AAS),故符合题意;NFG=AHN,NH=FN,AN=NG,AFFG,AFAH,AFNAHN,即AFNHFG,故不符合题意;EC=BC+BE=4+2=6,FM=6,AD/FM,AHKMFK, FKKH=FMAH=62=3 ,FK=3HK,FH=FK+KH,FN=NH,FN+NH=FH,FN=2NK,故符合题意;AN=NG,AG=AB-BG=4-2=2,AN=1,SANF= 12ANFG=1212=1 ,SAMD= 12ADDM=1242=4 ,SANF:SAMD=1:4,故符合题意,故答案为: C.二

18、、填空题(24分)11.解:以点 O 为位似中心,相似比为 12 ,把 ABO 缩小,点 A 的坐标是 A(4,2) 则点 A 的对应点 A1 的坐标为 (412,212) 或 (412,212) ,即 (2,1) 或 (2,1) ,故答案为: (2,1) 或 (2,1) 。12.解:点A(1,0)与点A(-2,0)是对应点, OA=1,OA=2 原点O是ABC和ABC的位似中心, ABCABC SABCSABC=OAOA2 32SABC=41 解之:SABC=6 故答案为:6 13.解:DE=1,DC=3, EC=3-1=2,四边形ABCD是菱形,ADBC,DEFCEB, DFBC=DECE

19、 , DF3=12 ,DF=1.5,故答案为:1.514.解:过B作BEl1交于点E,作BFl3交于点F,过点A作ANl2交点点N,过点C作CMl2交于点M,BE=m,BF=n,如图, 设AE=x,CF=y,则BN=x,BM=y,BD=4,BE=m,BF=n,DM=y-4,DN=4-x,CM=n,AN=m,ABC=90,且AEB=BFC=90,CMD=AND=90,AEBBFC,CMDAND, AEBF=BECF , CMAN=DMDN ,即 xn=my , nm=y44x=32 ,mn=xy,y=10- 32 x,又 nm=32 ,n= 32 m,m+n=m+ 32 m= 52 m,要使m+

20、n最大,则只要m最大,mn= 32 m2=xy=x(10- 32 x)=- 32 x2+10x,对称轴x= 103 时,(- 32 x2+10x)最大= 503 , 32 m2= 503 ,m最大= 103 ,(m+n)最大= 52 103 = 253 .故答案为: 253 .15.解: ABC 和 CDE 都是等边三角形, AC=BC , CE=CD , ACB=ECD=60 , ACB+ACE=ECD+ACE ,即 BCE=ACD ,在 BCE 和 ACD 中,BC=ACBCE=ACDCE=CD , BCEACD(SAS) , AD=BE , ADC=BEC , CAD=CBE ,在 DM

21、C 和 ENC 中,MDC=NECDC=BCMCD=NCE=60 , DMCENC(ASA) , DM=EN , CM=CN , ADDM=BEEN ,即 AM=BN ; ABC=60=BCD , AB/CD , BAF=CDF , AFB=DFN , ABFDNF ,找不出全等的条件; AFB+ABF+BAF=180 , FBC=CAF , AFB+ABC+BAC=180 , AFB=60 , MFN=120 , MCN=60 , FMC+FNC=180 ; CM=CN , MCN=60 , MCN 是等边三角形, MNC=60 , DCE=60 , MN/AE , MNAC=DNCD=CD

22、CNCD , CD=CE , MN=CN , MNAC=CEMNCE , MNAC=1MNCE ,两边同时除 MN 得 1AC=1MN1CE , 1MN=1AC+1CE 故答案为16.解:过点 B1、C1、C2、C3、C4 分别作 B1Dx 轴, C1D1x 轴, C2D2x 轴, C3D3x 轴, C4D4x 轴,垂足分别为 D、D1、D2、D3、D4 点 B1 在直线 l:y=12x 上,点 B1 的横坐标为 2 , 点 B1 的纵坐标为 1 ,即: OD=2,B1D=1图中所有的直角三角形都相似,两条直角边的比都是 1:2,B1DOD=12=DA1A1D1=C1D1A1D1=D1A2C1

23、D1= 点 C1 的横坐标为: 2+12+(32)0 ,点 C2 的横坐标为: 2+12+(32)0+(32)214+(32)1= 52+(32)054+(32)1点C3的横坐标为:2+12+(32)0+(32)014+(32)1 14+(32)2=52+(32)054+(32)154+(32)2点 C4 的横坐标为: =52+(32)054+(32)154+(32)254+(32)2 点 Cn 的横坐标为: =52+(32)054+(32)154 +(32)254+(32)354+(32)454+(32)n1=52+54(32)0+(32)1+(32)2+(32)3+(32)4 +(32)n

24、1=72+(32)n1故答案为: 72+(32)n1。三、解答题(66分)17. 解:如图,A1B1C为所作,点A1的坐标为(3,3); 如图,A2B2C为所作; OB=12+42=17 ,点B经过的路径长 =9017180=172 18. 解: DE/AC , GH/AC , DEF ACF , GHM ACM ,ACDE=CFEF , ACGH=CMHM ,AC1.5=CE+11 , AC1.6=CE+4+1.61.6 ,AC=13.8m ,BC=ACAB=12m , 城墙的高BC为12m19. 解:由AC长为1.5m,ABC的面积为1.5m2 , 可得BC=2m. 如图(1),设加工桌面

25、的边长为xm,由DECB,得: ADAC=DECB ,即 1.5x1.5=x2 .解得:x= 67 m如图(2),设加工桌面的边长为ym,过点C作CEAB,分别交MN、AB于点D、E,由AC=1.5m,BC=2m,ABC的面积为1.5m2 , 可得AB=2.5m,CE=1.2m,由MNAB,得: MNAB=CDCE ,即 y2.5=1.2y1.2 .解得:y= 3037 m因为xy0,故x2y2 , 即S1S220. 解:发现:如图1中,AFBC,F=EBC,AEF=BEC,AE=EC,AEFCEB(AAS),AF=BC设CD=k,则DB=2k,AF=BC=3k,由AFBC可得APFDPB,即

26、可得到 APPD = AFBD = 32 解决问题:如图2中,过点A作AFDB,交BE的延长线于点F,如图,设DC=k,由DC:BC=1:2得BC=2k,DB=DC+BC=3kE是AC中点,AE=CEAFDB,F=1在AEF和CEB中,F=12=3AE=CE ,AEFCEB,EF=BE,AF=BC=2kAFDB,AFPDBP, PAPD = FPBP = AFBD = 2k3k = 23 应用:当CD=2时,BC=4,AC=6,EC= 12 AC=3,EB= EC2+BC2 =5,EF=BE=5,BF=10 FPBP = 23 (已证), BFBP = 53 ,BP= 35 BF= 35 10

27、=621.(1)解:如图作FKAD于K,FHAB于H 四边形ABCD是正方形,PAD=PAB=45,PKAD,PHAB,PK=PH, SAPDSAPM = PDPM = 12ADFK12AMPH = ADAM ,AB=AD=2,AM=BM=1,DM= 5 , PDPM =2,PD= 23 5 = 253 (2)解:PF= 56 ,PD= 253 ,DM= 5 , DF= 125 ,PM= 53 ,DEAM,AMP=EDF,DFE=MAP=45,AMPFDE, PMDE = AMDF , 53DE = 1125 ,DE= 56 ,EC=2- 56 = 76 22.(1)解:当t=52 秒时,M是

28、AB的中点.(2)解:运动t秒时,AN=t,BM=2t,AM=10-2t当MNAO时,ANMAOB ANAO=AMAN, t8=102t10 t=4013当MNAO时ANMABOANAB=AMAO ,t10=102t8 , t=257 .综上:当 t=403 或 t=257 时,AMN为直角三角形.(3)解:由(2)知 M(665t,85t) ,AM=AN,t=102t,解得 t=103 M(2,163)MA=MN,过M作MFAO,交AO于F,如图则F是AN的中点,AF= t2这时,AFMAOBAFAO=AMAN,t28=102t10, 解得 t=8021, M(107,12821)NA=NM

29、,过N作NGAB,交AB于G,如图,则G是AM的中点,AG=5t.这时,AGNAOB,AGAO=ANAB,5t8=t10, 解得 t=259 . M(83,409)综上,当 t=103,t=8021,t=259 时,AMN为等腰三角形,此时,M点的坐标分别是 M(2,163) 、 M(107,12821) 、 M(83,409) 。23. (1)解:设AP=x,则FD=x,AF=2-x 在正方形ABCD中,ABCD AFFD=PECF=APCD 2xx=x2 .x2=4-2xx2+2x-4=0 =20x0x= 2+202=51 AFFD=2(51)51=512 (2)解:连接OP PA=DF,

30、AD=DC,PAD=ADC PAD FDC又EC= 12+22=5 BE=ME= 12 AB=1MC= 51 =FD又PE=AP+AE= 51 +1= 5 =ECEPC=ECP又ABCDEPC=DCFPDA=ECP PFD FMC(SAS)MF=PF(3)解:如图,在AD上取一点Q,使AQ=AQ,在BN上取一点B,AB=AB,连接BQ,做BGAD交EN于点K,交AD于点GBB= 252=455BN=BN=BB= 5455=155 三角形NBK 三角形NBEBK= 15 ;KN= 25 ;BG= 65 ;DG= 25QG=3- 5 - 25 = 1355在Rt BGQ中,BGQ=90,有BQ=

31、662555而( 5 -1)2 662555BQ( 5 -1)2BQBQ,点B不在BN上24. (1)解: MQBC , MQB=90 , MQB=CAB ,又 QBM=ABC , QBM ABC (2)解:当 BQ=MN 时,四边形 BMNQ 为平行四边形, MN/BQ , BQ=MN ,四边形 BMNQ 为平行四边形(3)解: A=90,AB=3,AC=4 , BC=AB2+AC2=5 , QBM ABC , QBAB=QMAC=BMBC ,即 x3=QM4=BM5 ,解得, QM=43x,BM=53x , MN/BC , MNBC=AMAB ,即 MN5=353x3 ,解得, MN=5259x ,则四边形 BMNQ 的面积 =12(5259x+x)43x=3227(x458)2+752 ,当 x=458 时,四边形 BMNQ 的面积最大,最大值为 752 .