1、2019-2020浙教版九年级数学上册第四章相似三角形单元培优试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1.如图，ABCDEF ， AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是( ). A.4.5B.5C.2D.1.52.下列44的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ） A.B.C.D.3.如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DEBC，EFA B.若AD2BD，则 CFBF 的值为( )A.12B.13C.14D.234.D,E是ABC的边AB、AC的中点，ABC、ADE的面积分别为S、S1 ， 则下列结论中，
2、错误的是（ ） A.DEBCB.DE= 12 BCC.S1= 14 SD.S1= 12 S5.如图，在ABC中，点D，E分别在AB和AC边上，DEBC，M为BC边上一点（不与点B、C重合），连接AM交DE于点N，则（ ）A.ADAN=ANAEB.BDMN=MNCEC.DNBM=NEMCD.DNMC=NEBM6.如图，在平行四边形 ABCD 中， E 为 BC 的中点， BD ， AE 交于点 O ，若随机向平行四边形 ABCD 内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ） A.116B.112C.18D.167.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，若点E，F分别在AB,CD上，且B
3、E=2AE，DF=2FC，G，H分别是AC的三等分点，则四边形EHFG的面积为（ ） A.1B.32C.2D.48.如图，在等腰三角形 ABC 中， AB=AC ，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1， ABC 的面积为42，则四边形DBCE的面积是（ ） A.20B.22C.24D.269.如图，在边长为 3 的菱形 ABCD 中， B=30 ，过点 A 作 AEBC 于点 E ，现将 ABE 沿直线 AE 翻折至 AFE 的位置， AF 与 CD 交于点 G .则 CG 等于（ ） A.31B.1C.12D.3210.如图，正方形 ABCD 的边长为4，延长 CB 至 E 使 E
4、B=2 ，以 EB 为边在上方作正方形 EFGB ，延长 FG 交 DC 于 M ，连接 AM 、 AF ， H 为 AD 的中点，连接 FH 分别与 AB 、 AM 交于点 N 、 K .则下列结论： ANHGNF ； AFN=HFG ； FN=2NK ； SAFN:SADM=1:4 .其中符合题意的结论有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（每小题4分，共24分）11.在平面直角坐标系中，点 A,B 的坐标分别是 A(4,2),B(5,0) ，以点 O 为位似中心，相们比为 12 ，把 ABO 缩小，得到 A1B1O ，则点 A 的对应点 A1 的坐标为_. 12.如图，原点
5、O是ABC和ABC的位似中心，点A(1，0)与点A(-2，0)是对应点，ABC的面积是 32 ，则ABC的面积是_ 13.如图，在边长为3的菱形ABCD中，点E在边CD上，点F为BE延长线与AD延长线的交点若DE=1，则DF的长为_ 14.如图，直线l1l2l3 ， A，B，C分别为直线l1 ， l2 ， l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D.设直线l1 ， l2之间的距离为m，直线l1 ， l2之间的距离为m，若ABC=90，BD=4，且 mn=23 则m+n的最大值为_. 15.如图， ABC 和 CDE 都是等边三角形，且点A、C、E在同一直线上， AD 与 BE
6、 、 BC 分别交于点F、M ， BE 与 CD 交于点N 下列结论正确的是_（写出所有正确结论的序号） AM=BN ； ABFDNF ； FMC+FNC=180 ； 1MN=1AC+1CE 16.如图，点 B1 在直线 l:y=12x 上，点 B1 的横坐标为 2 ，过 B1 作 B1A1l ，交 x 轴于点 A1 ，以 A1B1 为边，向右作正方形 A1B1B2C1 ，延长 B2C1 交 x 轴于点 A2 ；以 A2B2 为边，向右作正方形 A2B2B3C2 ，延长 B3C2 交 x 轴于点 A3 ；以 A3B3 为边，向右作正方形 A3B3B4C3 延长 B4C3 交 x 轴于点 A4；
7、 ；按照这个规律进行下去，点 Cn 的横坐标为_（结果用含正整数 n 的代数式表示） 三、解答题（本大题共8题，共66分）17.ABC在边长为l的正方形网格中如图所示 以点C为位似中心，作出ABC的位似图形A1B1C，使其位似比为1：2且A1B1C位于点C的异侧，并表示出A1的坐标作出ABC绕点C顺时针旋转90后的图形A2B2C在的条件下求出点B经过的路径长18.城墙作为古城西安的地标性建筑，自然是吸引了不少人慕名而来，每逢春节，城墙上都会支起万盏花灯，小画和小明去城墙观赏花灯，看见宏伟的城墙后，他们想要测量城墙的高，小明在城墙下看见城墙上有一根灯杆 AB( 点A为灯泡的位置 ) ，于是小明提
8、议用灯下的影长来测量城墙的高，首先小明站在E处，测得其影长 EF=1m ，小画站在H处，测得其影长 HM=1.6m ，小画和小明之间的距离 HE=4m ，已知小明的身高DE为 1.5m ，小画的身高GH为 1.6m ，灯杆AB的高为 1.8m ，点B在直线AC上， ACCM ， DECM ， GHCM. 请你根据以上信息，求出城墙的高BC 19.一块直角三角形的木板，它的一条直角边AC长为1.5米，面积为1.5平方米.现在要把它加工成一个正方形桌面，甲、乙两人的加工方法分别如图（）、（）所示，记两个正方形面积分别为S1、S2 ， 请通过计算比较S1与S2的大小. 20.在ABC中，ACB=90
9、，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上发现：如图1，点D在BC边上，CD：BD=1：2，AD与BE相交于点P，过点A作AFBC，交BE的延长线于点F，易得 APPD 的值为 解决问题：如图2，在ABC中，ACB=90，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，DC：BC=1：2求 APPD 的值：应用：若CD=2，AC=6，则BP= 21.在正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P （1）求PD的长； （2）点E在DC上，点F在DP上，且DFE=45若PF= 56 ，求CE的长 22.如图，己知A（0，8），B（6，0），点M、N分别
10、是线段AB、AO上的动点，点M从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动，点N从点A出发，以每秒1个单位的速度向点O运动，点M、N中有一个点停止时，另一个点也停止。设运动时间为t秒。（1）当t为何值时，M为AB的中点。 （2）当t为何值时，AMN为直角三角形. （3）当t为何值时，AMN是等腰三角形？并求此时点M的坐标。 23.如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是BA延长线上的一点，连接PC交AD于点F，AP=FD（1）求 AFFD 的值 （2）如图1，连接EC，在线段EC上取一点M，使EM=EB，连接MF，求证MF=PF; （3）如图2，过点E作ENCD于点N，在线段EN上取
11、一点Q，使AQ=AP，连接BQ，BN.将AQB绕点A旋转，使点Q旋转后的对应点Q落在边AD上.请判断点B旋转后的对应点B是否落在线段BN上，并说明理由. 24.如图，在 ABC 中， A=90 ， AB=3 ， AC=4 ，点 M,Q 分别是边 AB,BC 上的动点（点 M 不与 A,B 重合），且 MQBC ，过点 M 作 BC 的平行线 MN ，交 AC 于点 N ，连接 NQ ，设 BQ 为 x . （1）试说明不论 x 为何值时，总有 QBM ABC ； （2）是否存在一点 Q ，使得四边形 BMNQ 为平行四边形，试说明理由； （3）当 x 为何值时，四边形 BMNQ 的面积最大，并
12、求出最大值. 2019-2020浙教版九年级数学上册第四章相似三角形单元培优试卷一、选择题（30分）1.解：直线ABCDEF，AC=4，CE=6，BD=3， ACCE=BDDF ，即 46=3DF ，解得DF=4.5故答案为：A2.解：根据勾股定理，AC 22+22=22，BC=2 ， 所以，夹直角的两边的比为 222 2，观各选项，只有C选项三角形符合，与所给图形的三角形相似故答案为：C 3.解：AD2BD，DEBC， BDAD=ECAE=12 EFAB， CFBF=ECAE=12 4.解：D、E是ABC的边AB、AC的中点， DE是ABC的中位线，DEBC，DE= 12 BC，DEBC，A
13、=A，ADEABC， S1S=（DEBC）2=14 ，即S1= 14 S，D符合题意，故答案为：D5.解：A.DEBC， ADAB=ANAM ， ANAM=AEAC ， ADAN=ABAM ， ANAE=AMAC ， ABAM AMAC ， ADAN ANAE ，故错误，A不符合题意；B.DEBC， ADBD=ANNM ， ANNM=AEEC ， ADAN=BDNM ， ANAE=NMEC ， ADAN ANAE ， BDNM NMEC ，故错误，B不符合题意；C.DEBC， DNBM=ANAM ， ANAM=NEMC ， DNBM = NEMC ，故正确，C符合题意；D.DEBC， NDMB
14、=ANAM ， ANAM=NEMC ， NDMB = NEMC ，即 NDNE = BMMC ，故错误，D不符合题意；故答案为：C.6.解：四边形ABCD是平行四边形， BC/AD，BC=AD，BOEDOA， BOOD=OEAO=BEAD又 E 为 BC 的中点， BOOD=OEAO=BEAD=12 ， BOBD=13 ， SBOE=12SAOB ， SAOB=13SABD ， SBOE=16SABD=112SABCD ，米粒落在图中阴影部分的概率为 112 。故答案为：B。7.解：如图，延长FH交AB于点M， BE2AE，DF2FC，AB=AE+BE，CD=CF+DF，AE：AB=1：3，C
15、F：CD=1：3，又G、H分别是AC的三等分点，AG：AC=CH：AC=1：3，AE：AB=AG：AC，CF：CD=CH：CA，EG/BC，FH/AD，AEGABC，CFHCDA，BM：AB=CF：CD=1：3，EMH=B，EG：BC=AE：AB=1：3，HF：AD=CF：CD=1：3，四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=6，CD=AB=3，AD=BC=6，B=90，AE=1，EG=2，CF=1，HF=2，BM=1，EM=3-1-1=1，EG=FH，EG /_ FH，四边形EHFG为平行四边形，S四边形EHFG21=2，故答案为：C。8.解：如图， 根据题意得 AFHADE ， SAHFSA
16、DE=(FHDE)2=(34)2=916设 SAFH=9x ，则 SADE=16x ， 16x9x=7 ，解得 x=1 ， SADE=16 ，四边形DBCE的面积 =4216=26 故答案为：D 9.解：B=30，AB= 3 ，AEBC AE= 32 ，BE= 32BF=3，EC= 3 - 32 ，则CF=3- 3又CGAB CGAB=CFBF CG3=333解得CG= 31 .10.解：四边形ABCD、BEFG是正方形， BAD=C=E=EFB=BGF=90，AD/BC，四边形CEFM是矩形，AGF=180-BGF=90FM=EC，CM=EF=2，FM/EC，AD/FM，DM=2，H为AD中
17、点，AD=4，AH=2，FG=2，AH=FG，NAH=NGF，ANH=GNF，ANHGNF(AAS)，故符合题意；NFG=AHN，NH=FN，AN=NG，AFFG，AFAH，AFNAHN，即AFNHFG，故不符合题意；EC=BC+BE=4+2=6，FM=6，AD/FM，AHKMFK， FKKH=FMAH=62=3 ，FK=3HK，FH=FK+KH，FN=NH，FN+NH=FH，FN=2NK，故符合题意；AN=NG，AG=AB-BG=4-2=2，AN=1，SANF= 12ANFG=1212=1 ，SAMD= 12ADDM=1242=4 ，SANF：SAMD=1：4，故符合题意，故答案为： C.二
18、、填空题（24分）11.解：以点 O 为位似中心，相似比为 12 ，把 ABO 缩小，点 A 的坐标是 A(4,2) 则点 A 的对应点 A1 的坐标为 (412,212) 或 (412,212) ，即 (2,1) 或 (2,1) ，故答案为： (2,1) 或 (2,1) 。12.解：点A(1，0)与点A(-2，0)是对应点， OA=1，OA=2 原点O是ABC和ABC的位似中心， ABCABC SABCSABC=OAOA2 32SABC=41 解之：SABC=6 故答案为：6 13.解：DE=1，DC=3， EC=3-1=2，四边形ABCD是菱形，ADBC，DEFCEB， DFBC=DECE
19、 ， DF3=12 ，DF=1.5，故答案为：1.514.解：过B作BEl1交于点E，作BFl3交于点F，过点A作ANl2交点点N，过点C作CMl2交于点M，BE=m，BF=n，如图， 设AE=x，CF=y，则BN=x，BM=y，BD=4，BE=m，BF=n，DM=y-4，DN=4-x，CM=n，AN=m，ABC=90，且AEB=BFC=90，CMD=AND=90，AEBBFC，CMDAND， AEBF=BECF ， CMAN=DMDN ，即 xn=my ， nm=y44x=32 ，mn=xy，y=10- 32 x，又 nm=32 ,n= 32 m，m+n=m+ 32 m= 52 m，要使m+
20、n最大，则只要m最大，mn= 32 m2=xy=x（10- 32 x）=- 32 x2+10x，对称轴x= 103 时，（- 32 x2+10x）最大= 503 ， 32 m2= 503 ，m最大= 103 ，（m+n）最大= 52 103 = 253 .故答案为： 253 .15.解： ABC 和 CDE 都是等边三角形， AC=BC ， CE=CD ， ACB=ECD=60 ， ACB+ACE=ECD+ACE ，即 BCE=ACD ，在 BCE 和 ACD 中，BC=ACBCE=ACDCE=CD ， BCEACD(SAS) ， AD=BE ， ADC=BEC ， CAD=CBE ，在 DM
21、C 和 ENC 中，MDC=NECDC=BCMCD=NCE=60 ， DMCENC(ASA) ， DM=EN ， CM=CN ， ADDM=BEEN ，即 AM=BN ； ABC=60=BCD ， AB/CD ， BAF=CDF ， AFB=DFN ， ABFDNF ，找不出全等的条件； AFB+ABF+BAF=180 ， FBC=CAF ， AFB+ABC+BAC=180 ， AFB=60 ， MFN=120 ， MCN=60 ， FMC+FNC=180 ； CM=CN ， MCN=60 ， MCN 是等边三角形， MNC=60 ， DCE=60 ， MN/AE ， MNAC=DNCD=CD
22、CNCD ， CD=CE ， MN=CN ， MNAC=CEMNCE ， MNAC=1MNCE ，两边同时除 MN 得 1AC=1MN1CE ， 1MN=1AC+1CE 故答案为16.解：过点 B1、C1、C2、C3、C4 分别作 B1Dx 轴， C1D1x 轴， C2D2x 轴， C3D3x 轴， C4D4x 轴，垂足分别为 D、D1、D2、D3、D4 点 B1 在直线 l:y=12x 上，点 B1 的横坐标为 2 ， 点 B1 的纵坐标为 1 ，即： OD=2,B1D=1图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是 1:2，B1DOD=12=DA1A1D1=C1D1A1D1=D1A2C1
23、D1= 点 C1 的横坐标为： 2+12+(32)0 ，点 C2 的横坐标为： 2+12+(32)0+(32)214+(32)1= 52+(32)054+(32)1点C3的横坐标为：2+12+(32)0+(32)014+(32)1 14+(32)2=52+(32)054+(32)154+(32)2点 C4 的横坐标为： =52+(32)054+(32)154+(32)254+(32)2 点 Cn 的横坐标为： =52+(32)054+(32)154 +(32)254+(32)354+(32)454+(32)n1=52+54(32)0+(32)1+(32)2+(32)3+(32)4 +(32)n
24、1=72+(32)n1故答案为： 72+(32)n1。三、解答题(66分)17. 解：如图，A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，3）； 如图，A2B2C为所作； OB=12+42=17 ，点B经过的路径长 =9017180=172 18. 解： DE/AC ， GH/AC ， DEF ACF ， GHM ACM ，ACDE=CFEF ， ACGH=CMHM ，AC1.5=CE+11 ， AC1.6=CE+4+1.61.6 ，AC=13.8m ，BC=ACAB=12m ， 城墙的高BC为12m19. 解:由AC长为1.5m，ABC的面积为1.5m2 ， 可得BC=2m. 如图（1），设加工桌面
25、的边长为xm,由DECB,得: ADAC=DECB ,即 1.5x1.5=x2 .解得:x= 67 m如图（2），设加工桌面的边长为ym,过点C作CEAB,分别交MN、AB于点D、E,由AC=1.5m,BC=2m,ABC的面积为1.5m2 ， 可得AB=2.5m,CE=1.2m,由MNAB,得: MNAB=CDCE ,即 y2.5=1.2y1.2 .解得:y= 3037 m因为xy0,故x2y2 ， 即S1S220. 解：发现：如图1中，AFBC，F=EBC，AEF=BEC，AE=EC，AEFCEB（AAS），AF=BC设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，由AFBC可得APFDPB，即
26、可得到 APPD = AFBD = 32 解决问题：如图2中，过点A作AFDB，交BE的延长线于点F，如图，设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3kE是AC中点，AE=CEAFDB，F=1在AEF和CEB中，F=12=3AE=CE ，AEFCEB，EF=BE，AF=BC=2kAFDB，AFPDBP， PAPD = FPBP = AFBD = 2k3k = 23 应用：当CD=2时，BC=4，AC=6，EC= 12 AC=3，EB= EC2+BC2 =5，EF=BE=5，BF=10 FPBP = 23 （已证）， BFBP = 53 ，BP= 35 BF= 35 10
27、=621.（1）解：如图作FKAD于K，FHAB于H 四边形ABCD是正方形，PAD=PAB=45，PKAD，PHAB，PK=PH， SAPDSAPM = PDPM = 12ADFK12AMPH = ADAM ，AB=AD=2，AM=BM=1，DM= 5 ， PDPM =2，PD= 23 5 = 253 （2）解：PF= 56 ，PD= 253 ，DM= 5 ， DF= 125 ，PM= 53 ，DEAM，AMP=EDF，DFE=MAP=45，AMPFDE， PMDE = AMDF ， 53DE = 1125 ，DE= 56 ，EC=2- 56 = 76 22.（1）解：当t=52 秒时，M是
28、AB的中点.（2）解：运动t秒时，AN=t，BM=2t，AM=10-2t当MNAO时，ANMAOB ANAO=AMAN, t8=102t10 t=4013当MNAO时ANMABOANAB=AMAO ，t10=102t8 ， t=257 .综上：当 t=403 或 t=257 时，AMN为直角三角形.（3）解：由（2）知 M(665t,85t) ,AM=AN，t=102t，解得 t=103 M(2,163)MA=MN，过M作MFAO，交AO于F，如图则F是AN的中点，AF= t2这时，AFMAOBAFAO=AMAN,t28=102t10, 解得 t=8021, M(107,12821)NA=NM
29、，过N作NGAB，交AB于G，如图，则G是AM的中点，AG=5t.这时，AGNAOB，AGAO=ANAB,5t8=t10, 解得 t=259 . M(83,409)综上，当 t=103,t=8021,t=259 时，AMN为等腰三角形，此时，M点的坐标分别是 M(2,163) 、 M(107,12821) 、 M(83,409) 。23. （1）解：设AP=x，则FD=x，AF=2-x 在正方形ABCD中，ABCD AFFD=PECF=APCD 2xx=x2 .x2=4-2xx2+2x-4=0 =20x0x= 2+202=51 AFFD=2(51)51=512 （2）解：连接OP PA=DF，
30、AD=DC，PAD=ADC PAD FDC又EC= 12+22=5 BE=ME= 12 AB=1MC= 51 =FD又PE=AP+AE= 51 +1= 5 =ECEPC=ECP又ABCDEPC=DCFPDA=ECP PFD FMC（SAS）MF=PF（3）解：如图，在AD上取一点Q，使AQ=AQ，在BN上取一点B，AB=AB，连接BQ，做BGAD交EN于点K，交AD于点GBB= 252=455BN=BN=BB= 5455=155 三角形NBK 三角形NBEBK= 15 ；KN= 25 ；BG= 65 ；DG= 25QG=3- 5 - 25 = 1355在Rt BGQ中，BGQ=90，有BQ=
31、662555而（ 5 -1）2 662555BQ（ 5 -1）2BQBQ，点B不在BN上24. （1）解： MQBC ， MQB=90 ， MQB=CAB ，又 QBM=ABC ， QBM ABC （2）解：当 BQ=MN 时，四边形 BMNQ 为平行四边形， MN/BQ ， BQ=MN ，四边形 BMNQ 为平行四边形（3）解： A=90,AB=3,AC=4 ， BC=AB2+AC2=5 ， QBM ABC ， QBAB=QMAC=BMBC ，即 x3=QM4=BM5 ，解得， QM=43x,BM=53x ， MN/BC ， MNBC=AMAB ，即 MN5=353x3 ，解得， MN=5259x ，则四边形 BMNQ 的面积 =12(5259x+x)43x=3227(x458)2+752 ，当 x=458 时，四边形 BMNQ 的面积最大，最大值为 752 .