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2018-2019学年江苏省南通市海安高中高一(下)期中数学试卷(含详细解答)

1、2018-2019学年江苏省南通市海安高中高一(下)期中数学试卷一选择题(每小题5分,共50分)1(5分)已知全集UR,Ax|x1,Bx|x21,那么(UA)B等于()Ax|1x1Bx|1x1Cx|x1Dx|x12(5分)直线的倾斜角为()A30B60C120D1503(5分)已知非零向量的夹角为,且,则()A1B2CD4(5分)已知函数f(x),若f(4)2f(a),则实数a的值为()A1或2B2C1D25(5分)在ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a,b,A60,则角B()A30B45C60D1356(5分)如图,为测量A,C两点间的距离,选取同一平面上的B,D两点,

2、测出四边形ABCD各边的长度(单位:km)分别为AB5BC8,CD3,DA5,若A,B,C,D四点共圆,则AC的长为()A5 kmB6 kmC7 kmD8 km7(5分)关于直线a,b,l以及平面,下面命题中正确的是()A若a,b,则abB若a,ba,则bC若a,a,则D若a,b,且la,lb,则l8(5分)已知函数f(x)Asin(x+)(A0,0,)的部分图象如图所示若横坐标分别为1、1、5的三点M,N,P都在函数f(x)的图象上,则sinMNP的值为()ABCD9(5分)如图,在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E、F为CD上两点,且

3、EF的长为定值,则下面四个值中不是定值的是()A点P到平面QEF的距离B直线PQ与平面PEF所成的角C三棱锥PQEF的体积DQEF的面积10(5分)如图所示,已知PA面ABC,ADBC于D,BCCDAD1,令PDx,BPC,则()ABCD二填空题(每小题5分,共30分)11(5分)若tan(+2)2,tan3,则tan(+) 12(5分)正方形铁片的边长为8cm,以它的一个顶点为圆心,一边长为半径画弧剪下一个顶角为的扇形,用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器,则这个圆锥形容器的容积等于 cm313(5分)已知ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且5tanB,则sinB的值是 14(5分)

4、已知f(x)是(,+)上的增函数,那么a的取值范围是 15(5分)已知坐标原点为O,过点P(2,6)作直线2mx(4m+n)y+2n0(m,n不同时为零)的垂线,垂足为M,则|OM|的取值范围是 16(5分)在等腰三角形ABC中,ABAC,D在线段AC上,ADkAC(k为常数,且0k1),BDl为定长,则ABC的面积最大值为 三解答题(17、18各10分,19、20各12分,21、22各13分,共70分)17三角形ABC中,角A、B、C所对边分别为a,b,c,且a2+c2b2+ac(1)若cosA,求sinC的值;(2)若b,a3c,求三角形ABC的面积18如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1

5、中,AA1B1B为正方形,BB1C1C是菱形,平面AA1B1B平面BB1C1C()求证:BC平面AB1C1;()求证:B1CAC1;()设点E,F,H,G分别是B1C,AA1,A1B1,B1C1的中点,试判断E,F,H,G四点是否共面,并说明理由19已知直线l1:2x+y+10,l2:ax+2y+8+a0,且l1l2(1)求直线l1与l2的距离;(2)已知圆C与直线l2相切于点A,且点A的横坐标为2,若圆心C在直线l1上,求圆C的标准方程20已知函数f(x)4x+a2x,x1,2(1)若f(x)0恒成立,求a的取值范围;(2)若f(x)的最小值为1,求a的值21如图,两座建筑物AB,CD的底部

6、都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是9m和15m,从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角CAD45(1)求BC的长度;(2)在线段BC上取一点P(点P与点B,C不重合),从点P看这两座建筑物的张角分别为APB,DPC,问点P在何处时,+最小?22在平面直角坐标系xOy中,过点P(0,1)且互相垂直的两条直线分别与圆O:x2+y24交于点A,B,与圆M:(x2)2+(y1)21交于点C,D(1)若AB,求CD的长;(2)若直线AB斜率为2,求ABM的面积;(3)若CD的中点为E,求ABE面积的取值范围2018-2019学年江苏省南通市海安高中高一(下)期中数学试卷参考答案与试题

7、解析一选择题(每小题5分,共50分)1(5分)已知全集UR,Ax|x1,Bx|x21,那么(UA)B等于()Ax|1x1Bx|1x1Cx|x1Dx|x1【分析】可求出集合B,然后进行补集、交集的运算即可【解答】解:Bx|x1,或x1,UAx|x1;(UA)Bx|x1故选:C【点评】考查描述法的定义,以及交集、补集的运算2(5分)直线的倾斜角为()A30B60C120D150【分析】直线的斜率为,所以倾斜角为120度【解答】解:因为直线的斜率为,所以设其倾斜角为(0),则tan,所以120故选:C【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率,属基础题3(5分)已知非零向量的夹角为,且,则()A1B2CD

8、【分析】运用向量垂直的充要条件和书量积的定义可解决【解答】解:根据题意得,(2+)0,22221故选:A【点评】本题考查平面向量的数量积的运算4(5分)已知函数f(x),若f(4)2f(a),则实数a的值为()A1或2B2C1D2【分析】利用分段函数对a是否大于0,列出方程求解即可【解答】解:函数f(x),则f(4)2,当a0时,f(4)2f(a)2,解得a2当a0时,f(4)2f(a),2a22,解得a1,综上a1或2故选:A【点评】本题考查分段函数的应用,函数值的求法,考查计算能力5(5分)在ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a,b,A60,则角B()A30B45C6

9、0D135【分析】将已知代入正弦定理可得:sinB,根据ab,由三角形中大边对大角可得:B60,即可求得B45【解答】解:将已知代入正弦定理可得:sinB,ab,由三角形中大边对大角可得:B60,可解得:B45故选:B【点评】本题主要考查了正弦定理,三角形中大边对大角的应用,属于基本知识的考查6(5分)如图,为测量A,C两点间的距离,选取同一平面上的B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km)分别为AB5BC8,CD3,DA5,若A,B,C,D四点共圆,则AC的长为()A5 kmB6 kmC7 kmD8 km【分析】首先利用余弦定理的应用,建立等量关系式,进一步利用四边形的内接圆定理

10、的应用求出结果【解答】解:四边形ABCD各边的长度(单位:km)分别为AB5BC8,CD3,DA5,所以:,在ADC和ABC中,利用余弦定理:AC2AD2+CD22ADCDcosD,整理得:AC225+9253cosD,AC2AB2+CB22ABCBcosB,整理得:,若A,B,C,D四点共圆,所以:cosBcosD,由得:,解得:AC7故选:C【点评】本题考查的知识要点:正弦定理余弦定理和三角形面积的应用,四边形内接圆的定理的应用,主要考察学生的运算能力和转换能力,属于基础题型7(5分)关于直线a,b,l以及平面,下面命题中正确的是()A若a,b,则abB若a,ba,则bC若a,a,则D若a

11、,b,且la,lb,则l【分析】在A中,a与b相交、平行或异面;在B中,b与相交、平行或b;在C中,由面面垂直的判定定理得;在D中,l与相交、平行或l【解答】解:由直线a,b,l以及平面,知:在A中,若a,b,则a与b相交、平行或异面,故A错误;在B中,若a,ba,则b与相交、平行或b,故B错误;在C中,若a,a,则由面面垂直的判定定理得,故C正确;在D中,若a,b,且la,lb,则l与相交、平行或l,故D错误故选:C【点评】本题考查命题真假的判断,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题8(5分)已知函数f(x)Asin(x+)(A0,0

12、,)的部分图象如图所示若横坐标分别为1、1、5的三点M,N,P都在函数f(x)的图象上,则sinMNP的值为()ABCD【分析】由图象最值求解A,由周期T可求,由f(1)1,且,可求,进而可求f(x),然后求出M,N,P,利用向量的夹角公式求出cosMNP,再求解sinMNP【解答】解:由图象可知,A1,周期T8,f(x)sin(),f(1)sin(+)1,且,f(x)sin(),M(1,0),N(1,1),P(5,1),(2,1),(4,2),cosMNP,sinMNP故选:D【点评】本题主要考查了由yAsin(x+)的部分图象求解函数解析式,及利用向量数量积的性质求解向量的夹角,属于知识的

13、简单综合9(5分)如图,在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E、F为CD上两点,且EF的长为定值,则下面四个值中不是定值的是()A点P到平面QEF的距离B直线PQ与平面PEF所成的角C三棱锥PQEF的体积DQEF的面积【分析】A由于平面QEF即为对角面A1B1CD,点P为A1D1的中点,可得:点P到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离为定值;D由于点Q到直线CD的距离是定值a,|EF|为定值,因此QEF的面积为定值;C由AD可知:三棱锥PQEF的体积为定值;B用排除法即可得出【解答】解:A平面QEF即为对角面A1B1CD,点P为A1D1的

14、中点,点P到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离为定值;D点Q到直线CD的距离是定值a,|EF|为定值,QEF的面积为定值;C由AD可知:三棱锥PQEF的体积为定值;B直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系,因此不是定值,或用排除法即可得出综上可得:只有B中的值不是定值故选:B【点评】本题综合考查了正方体的性质、三棱锥的体积、点到平面的距离、异面直线所成的角等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和空间想象能力,属于难题10(5分)如图所示,已知PA面ABC,ADBC于D,BCCDAD1,令PDx,BPC,则()ABCD【分析】由PA平面ABC,ADBC于D,BCCDAD1,利用x表

15、示PA,PB,PC,由余弦定理得到关于x的解析式,进一步利用x表示tan【解答】解:PA平面ABC,ADBC于D,BCCDAD1,设PDx,可求得:AC,AB,PA,PC,BP,在PBC中,由余弦定理知:cos,tan211,tan故选:A【点评】本题考查直线与平面垂直的性质,余弦定理的应用,基本不等式的应用,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,是中档题二填空题(每小题5分,共30分)11(5分)若tan(+2)2,tan3,则tan(+)1【分析】直接利用两角和与差的三角函数化简求解即可【解答】解:tan(+2)2,tan3,则tan(+)

16、tan(+2)1故答案为:1【点评】本题考查两角和与差的三角函数,三角函数化简求值,是基本知识的考查12(5分)正方形铁片的边长为8cm,以它的一个顶点为圆心,一边长为半径画弧剪下一个顶角为的扇形,用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器,则这个圆锥形容器的容积等于cm3【分析】根据已知分别求出圆锥的底面半径和高,代入圆锥体积公式,可得答案【解答】解:由题意知,弧长为82,即围成圆锥形容器底面周长为2,所以圆锥底面半径为r1,可得圆锥高h3,所以容积Vr2h13cm3;故答案为:【点评】本题考查的知识点是旋转体,其中根据已知分析出圆锥的底面半径和高是解答的关键13(5分)已知ABC中,角A,B,C的对

17、边分别为a,b,c,且5tanB,则sinB的值是【分析】利用余弦定理可得 cosB,代入已知 ,化简后即可得结果【解答】解:cosB,5sinB3sinB故答案为【点评】本题考查了余弦定理的应用,解题时要认真观察,发现已知条件和余弦定理的关系,整体代入解决问题14(5分)已知f(x)是(,+)上的增函数,那么a的取值范围是【分析】根据题意,由分段函数的单调性分析可得,解可得a的取值范围,即可得答案【解答】解:根据题意,f(x)是(,+)上的增函数,必有,解可得a7,即a的取值范围为:故答案为:【点评】本题考查分段函数的单调性,注意分段函数分段分析15(5分)已知坐标原点为O,过点P(2,6)

18、作直线2mx(4m+n)y+2n0(m,n不同时为零)的垂线,垂足为M,则|OM|的取值范围是5,5【分析】根据题意,将直线变形为m(2x4y)n(y2)0,分析可得该直线恒过点(4,2),设Q(4,2),进而分析可得点M的轨迹是以PQ为直径的圆,其方程为(x3)2+(y4)25,据此分析可得答案【解答】解:根据题意,直线2mx(4m+n)y+2n0,即m(2x4y)n(y2)0,则有,解可得,则直线l恒过点(4,2),设Q(4,2),又由MP与直线垂直,且M为垂足,则点M的轨迹是以PQ为直径的圆,其方程为(x3)2+(y4)25,则有5|OM|5;即|OM|的取值范围是5,5;故答案为:5,

19、5【点评】本题考查直线与圆的位置关系,涉及关于圆的轨迹问题,属于基础题16(5分)在等腰三角形ABC中,ABAC,D在线段AC上,ADkAC(k为常数,且0k1),BDl为定长,则ABC的面积最大值为【分析】如图所示,以B为原点,BD为x轴建立平面直角坐标系,设A(x,y),y0,根据题意得到ADkAB,两边平方得到关系式,利用勾股定理化简后表示出y2,变形后利用二次函数的性质求出y的最大值,进而确定出三角形ABD面积的最大值,根据ADkAC即可得出三角形ABC面积的最大值【解答】解:如图所示,以B为原点,BD为x轴建立平面直角坐标系,设A(x,y),y0,ABAC,ADkACkAB,即AD2

20、k2AB2,(xl)2+y2k2(x2+y2),整理得:y2,ymax,BDl,(SABD)max,则(SABC)max(SABD)max故答案为:【点评】此题考查了二次函数的性质,坐标与图形性质,弄清题意是解本题的关键三解答题(17、18各10分,19、20各12分,21、22各13分,共70分)17三角形ABC中,角A、B、C所对边分别为a,b,c,且a2+c2b2+ac(1)若cosA,求sinC的值;(2)若b,a3c,求三角形ABC的面积【分析】(1)根据a2+c2b2+ac由余弦定理求出cosB,cosA,在求解sinA,sinB,根据sinCsin(B+A)打开即可求解(2)由a

21、2+c2b2+acb,a3c,根据余弦定理求解a,c的值,即可求出三角形ABC的面积【解答】解:a2+c2b2+ac,由余弦定理,cosB又B为三角形内角,则B(1)cosA,且A为三角形内角,则sinA,故sinCsin(B+A)sin(+A)cosA+sinA(2)由a3c,b,由余弦定理知:b2a2+c22accosB,则79c2+c23c2,解得c1,则a3故得三角形ABC的面积SacsinB【点评】本题考查了余弦定理的运用和三角形ABC的面积的计算属于基础题18如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1B1B为正方形,BB1C1C是菱形,平面AA1B1B平面BB1C1C()求证:

22、BC平面AB1C1;()求证:B1CAC1;()设点E,F,H,G分别是B1C,AA1,A1B1,B1C1的中点,试判断E,F,H,G四点是否共面,并说明理由【分析】()由BCB1C1,证明BC平面AB1C1;()先证明AB平面BB1C1C,得ABB1C,再证明B1C平面ABC1,得出B1CAC1;()E,F,H,G四点不共面,通过证明点F平面EHG,即F平面AA1C1C,且平面AA1C1C平面EFH即可【解答】证明:()在菱形BB1C1C中,BCB1C1,因为BC平面AB1C1,B1C1平面AB1C1,所以BC平面AB1C1;(3分)()连接BC1,在正方形ABB1A1中,ABBB1,因为平

23、面AA1B1B平面BB1C1C,平面AA1B1B平面BB1C1CBB1,AB平面ABB1A1,所以AB平面BB1C1C;(5分)又因为B1C平面BB1C1C,所以ABB1C;(6分)在菱形BB1C1C中,BC1B1C;因为BC1平面ABC1,AB平面ABC1,且BC1ABB,所以B1C平面ABC1;(8分)因为AC1平面ABC1,所以B1CAC1;(10分)()E,F,H,G四点不共面,理由如下;(11分)因为E,G分别是B1C,B1C1的中点,所以GECC1,同理可证:GHC1A1;因为GE平面EHG,GH平面EHG,GEGHG,CC1平面AA1C1C,A1C1平面AA1C1C,所以平面EH

24、G平面AA1C1C;又因为F平面AA1C1C,所以F平面EHG,即E,F,H,G四点不共面(14分)【点评】本题考查了空间中的平行与垂直的判断与直线的应用问题,也考查了判断空间中的四点是否共面问题,是综合性题目19已知直线l1:2x+y+10,l2:ax+2y+8+a0,且l1l2(1)求直线l1与l2的距离;(2)已知圆C与直线l2相切于点A,且点A的横坐标为2,若圆心C在直线l1上,求圆C的标准方程【分析】(1)先由两直线平行解得a4,再由平行直线间的距离公式可求得;(2)代x2得A(2,2),可得AC的方程,与l1联立得C(0,1),再求得圆的半径,从而可得圆的标准方程【解答】解:(1)

25、l1l2,解得a4,l1:2x+y+10,l2:2x+y+60,故直线l1与l2的距离d(2)当x2代入2x+y+60,得y2,所以切点A的坐标为(2,2),从而直线AC的方程为 y+2(x+2),得 x2y20,联立2x+y+10得C(0,1)由(1)知C的半径为,所以所求圆的标准方程为:x2+(y+1)25【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,属中档题20已知函数f(x)4x+a2x,x1,2(1)若f(x)0恒成立,求a的取值范围;(2)若f(x)的最小值为1,求a的值【分析】(1)通过f(x)0恒成立,得到4x+a2x0,x1,2,利用核对最值转化求解即可(2)令t2x,则,f(x)t

26、2+at开口向上,对称轴为直线,通过a的范围转化求解函数的最值推出结果【解答】解:(1)因为f(x)0恒成立,所以4x+a2x0,x1,2,化得a2x,所以,所以a4,即a的取值范围为(,4(6分)(2)令t2x,则,f(x)t2+at开口向上,对称轴为直线,当,即a1时,则,不满足条件;当,即8a1时,则a2;当,即a8时,f(x)minf(4)16+4a1,则a,不满足条件综上所述,a的值为2(12分)【点评】本题考查函数与方程的应用,函数的最值的求法,考查计算能力21如图,两座建筑物AB,CD的底部都在同一个水平面上,且均与水平面垂直,它们的高度分别是9m和15m,从建筑物AB的顶部A看

27、建筑物CD的张角CAD45(1)求BC的长度;(2)在线段BC上取一点P(点P与点B,C不重合),从点P看这两座建筑物的张角分别为APB,DPC,问点P在何处时,+最小?【分析】(1)作ANCD于N,问题转化为求ACD边CD上的高设ANx,只要建立起关于x的方程,则问题可解(2)利用(1)设出BP为t,直接求出、的正切值,然后求出ADB的正切值,利用基本不等式求解表达式的最小值,推出BP是值即可【解答】解:(1)如图作ANCD于NABCD,AB9,CD15,DN6,NC9设ANx,DAN,CAD45,CAN45在RtANC和RtAND中,tan,tan(45)tan(45),化简整理得x215

28、x540,解得x118,x23(舍去)BC的长度是18 m(2)设BPt,所以PC18t,tan,tan,所以tan(+)当且仅当t+27,即t时,+最小P在距离B时,+最小【点评】考查了解三角形的实际应用解这类题的关键是建立数学模型,设出恰当的角考查两角和与差的三角函数,考查计算能力22在平面直角坐标系xOy中,过点P(0,1)且互相垂直的两条直线分别与圆O:x2+y24交于点A,B,与圆M:(x2)2+(y1)21交于点C,D(1)若AB,求CD的长;(2)若直线AB斜率为2,求ABM的面积;(3)若CD的中点为E,求ABE面积的取值范围【分析】(1)根据题意,设直线AB的斜率为k,可得直

29、线AB的方程,由AB的值结合直线与圆的位置关系分析可得k215,因为直线AB与直线CD互相垂直,分析可得直线CD的方程,据此分析可得答案;(2)根据题意,求出直线AB的方程,结合直线与圆相交的性质求出AB的长,进而求出M到AB的距离由三角形面公式计算可得答案;(3)根据题意,分直线AB的斜率存在与不存在2种情况讨论,求出ABE面积,综合2种情况即可得答案【解答】解:(1)由题可知,直线AB斜率显然存在,设其斜率为k,则直线AB的方程为ykx+1因为O点到直线AB的距离d1,则+4,变形可得AB2,又由AB,则2,解可得k215因为直线AB与直线CD互相垂直,则直线CD:yx+1,则M点到直线CD的距离d2,又由1,则CD22(2)根据题意,若直线AB斜率为2,则直线AB方程为2xy+10,则O到直线AB距离d1,则,M到直线AB距离d,故;(3)当直线AB的斜率不存在时,ABE的面积S424;当直线AB的斜率存在时,设为k,则直线AB:ykx+1,k0,直线CD:yx+1由1得k23,所以k(,)(,+)因为+4,所以AB2因为E点到直线AB的距离即M点到直线AB的距离d,所以ABE的面积SABd2令tk2+14,则S,又由t4,则0,故S综上,ABE面积的取值范围是【点评】本题考查直线与圆方程的应用,涉及直线与圆的位置关系,属于综合题