1、2018-2019学年江苏省南通市海安高中高一（下）期中数学试卷一选择题（每小题5分，共50分）1（5分）已知全集UR，Ax|x1，Bx|x21，那么（UA）B等于（）Ax|1x1Bx|1x1Cx|x1Dx|x12（5分）直线的倾斜角为（）A30B60C120D1503（5分）已知非零向量的夹角为，且，则（）A1B2CD4（5分）已知函数f（x），若f（4）2f（a），则实数a的值为（）A1或2B2C1D25（5分）在ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，b，A60，则角B（）A30B45C60D1356（5分）如图，为测量A，C两点间的距离，选取同一平面上的B，D两点，
2、测出四边形ABCD各边的长度（单位：km）分别为AB5BC8，CD3，DA5，若A，B，C，D四点共圆，则AC的长为（）A5 kmB6 kmC7 kmD8 km7（5分）关于直线a，b，l以及平面，下面命题中正确的是（）A若a，b，则abB若a，ba，则bC若a，a，则D若a，b，且la，lb，则l8（5分）已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，）的部分图象如图所示若横坐标分别为1、1、5的三点M，N，P都在函数f（x）的图象上，则sinMNP的值为（）ABCD9（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且
3、EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A点P到平面QEF的距离B直线PQ与平面PEF所成的角C三棱锥PQEF的体积DQEF的面积10（5分）如图所示，已知PA面ABC，ADBC于D，BCCDAD1，令PDx，BPC，则（）ABCD二填空题（每小题5分，共30分）11（5分）若tan（+2）2，tan3，则tan（+） 12（5分）正方形铁片的边长为8cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于 cm313（5分）已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且5tanB，则sinB的值是 14（5分）
4、已知f（x）是（，+）上的增函数，那么a的取值范围是 15（5分）已知坐标原点为O，过点P（2，6）作直线2mx（4m+n）y+2n0（m，n不同时为零）的垂线，垂足为M，则|OM|的取值范围是 16（5分）在等腰三角形ABC中，ABAC，D在线段AC上，ADkAC（k为常数，且0k1），BDl为定长，则ABC的面积最大值为 三解答题（17、18各10分，19、20各12分，21、22各13分，共70分）17三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，且a2+c2b2+ac（1）若cosA，求sinC的值；（2）若b，a3c，求三角形ABC的面积18如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1
5、中，AA1B1B为正方形，BB1C1C是菱形，平面AA1B1B平面BB1C1C（）求证：BC平面AB1C1；（）求证：B1CAC1；（）设点E，F，H，G分别是B1C，AA1，A1B1，B1C1的中点，试判断E，F，H，G四点是否共面，并说明理由19已知直线l1：2x+y+10，l2：ax+2y+8+a0，且l1l2（1）求直线l1与l2的距离；（2）已知圆C与直线l2相切于点A，且点A的横坐标为2，若圆心C在直线l1上，求圆C的标准方程20已知函数f（x）4x+a2x，x1，2（1）若f（x）0恒成立，求a的取值范围；（2）若f（x）的最小值为1，求a的值21如图，两座建筑物AB，CD的底部
6、都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的张角CAD45（1）求BC的长度；（2）在线段BC上取一点P（点P与点B，C不重合），从点P看这两座建筑物的张角分别为APB，DPC，问点P在何处时，+最小？22在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，1）且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2+y24交于点A，B，与圆M：（x2）2+（y1）21交于点C，D（1）若AB，求CD的长；（2）若直线AB斜率为2，求ABM的面积；（3）若CD的中点为E，求ABE面积的取值范围2018-2019学年江苏省南通市海安高中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题
7、解析一选择题（每小题5分，共50分）1（5分）已知全集UR，Ax|x1，Bx|x21，那么（UA）B等于（）Ax|1x1Bx|1x1Cx|x1Dx|x1【分析】可求出集合B，然后进行补集、交集的运算即可【解答】解：Bx|x1，或x1，UAx|x1；（UA）Bx|x1故选：C【点评】考查描述法的定义，以及交集、补集的运算2（5分）直线的倾斜角为（）A30B60C120D150【分析】直线的斜率为，所以倾斜角为120度【解答】解：因为直线的斜率为，所以设其倾斜角为（0），则tan，所以120故选：C【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率，属基础题3（5分）已知非零向量的夹角为，且，则（）A1B2CD
8、【分析】运用向量垂直的充要条件和书量积的定义可解决【解答】解：根据题意得，（2+）0，22221故选：A【点评】本题考查平面向量的数量积的运算4（5分）已知函数f（x），若f（4）2f（a），则实数a的值为（）A1或2B2C1D2【分析】利用分段函数对a是否大于0，列出方程求解即可【解答】解：函数f（x），则f（4）2，当a0时，f（4）2f（a）2，解得a2当a0时，f（4）2f（a），2a22，解得a1，综上a1或2故选：A【点评】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力5（5分）在ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，b，A60，则角B（）A30B45C6
9、0D135【分析】将已知代入正弦定理可得：sinB，根据ab，由三角形中大边对大角可得：B60，即可求得B45【解答】解：将已知代入正弦定理可得：sinB，ab，由三角形中大边对大角可得：B60，可解得：B45故选：B【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形中大边对大角的应用，属于基本知识的考查6（5分）如图，为测量A，C两点间的距离，选取同一平面上的B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km）分别为AB5BC8，CD3，DA5，若A，B，C，D四点共圆，则AC的长为（）A5 kmB6 kmC7 kmD8 km【分析】首先利用余弦定理的应用，建立等量关系式，进一步利用四边形的内接圆定理
10、的应用求出结果【解答】解：四边形ABCD各边的长度（单位：km）分别为AB5BC8，CD3，DA5，所以：，在ADC和ABC中，利用余弦定理：AC2AD2+CD22ADCDcosD，整理得：AC225+9253cosD，AC2AB2+CB22ABCBcosB，整理得：，若A，B，C，D四点共圆，所以：cosBcosD，由得：，解得：AC7故选：C【点评】本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，四边形内接圆的定理的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型7（5分）关于直线a，b，l以及平面，下面命题中正确的是（）A若a，b，则abB若a，ba，则bC若a，a，则D若a
11、，b，且la，lb，则l【分析】在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，b与相交、平行或b；在C中，由面面垂直的判定定理得；在D中，l与相交、平行或l【解答】解：由直线a，b，l以及平面，知：在A中，若a，b，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中，若a，ba，则b与相交、平行或b，故B错误；在C中，若a，a，则由面面垂直的判定定理得，故C正确；在D中，若a，b，且la，lb，则l与相交、平行或l，故D错误故选：C【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题8（5分）已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0
12、，）的部分图象如图所示若横坐标分别为1、1、5的三点M，N，P都在函数f（x）的图象上，则sinMNP的值为（）ABCD【分析】由图象最值求解A，由周期T可求，由f（1）1，且，可求，进而可求f（x），然后求出M，N，P，利用向量的夹角公式求出cosMNP，再求解sinMNP【解答】解：由图象可知，A1，周期T8，f（x）sin（），f（1）sin（+）1，且，f（x）sin（），M（1，0），N（1，1），P（5，1），（2，1），（4，2），cosMNP，sinMNP故选：D【点评】本题主要考查了由yAsin（x+）的部分图象求解函数解析式，及利用向量数量积的性质求解向量的夹角，属于知识的
13、简单综合9（5分）如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上两点，且EF的长为定值，则下面四个值中不是定值的是（）A点P到平面QEF的距离B直线PQ与平面PEF所成的角C三棱锥PQEF的体积DQEF的面积【分析】A由于平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的中点，可得：点P到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离为定值；D由于点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，因此QEF的面积为定值；C由AD可知：三棱锥PQEF的体积为定值；B用排除法即可得出【解答】解：A平面QEF即为对角面A1B1CD，点P为A1D1的
14、中点，点P到平面QEF即到对角面A1B1CD的距离为定值；D点Q到直线CD的距离是定值a，|EF|为定值，QEF的面积为定值；C由AD可知：三棱锥PQEF的体积为定值；B直线PQ与平面PEF所成的角与点Q的位置有关系，因此不是定值，或用排除法即可得出综上可得：只有B中的值不是定值故选：B【点评】本题综合考查了正方体的性质、三棱锥的体积、点到平面的距离、异面直线所成的角等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和空间想象能力，属于难题10（5分）如图所示，已知PA面ABC，ADBC于D，BCCDAD1，令PDx，BPC，则（）ABCD【分析】由PA平面ABC，ADBC于D，BCCDAD1，利用x表
15、示PA，PB，PC，由余弦定理得到关于x的解析式，进一步利用x表示tan【解答】解：PA平面ABC，ADBC于D，BCCDAD1，设PDx，可求得：AC，AB，PA，PC，BP，在PBC中，由余弦定理知：cos，tan211，tan故选：A【点评】本题考查直线与平面垂直的性质，余弦定理的应用，基本不等式的应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题二填空题（每小题5分，共30分）11（5分）若tan（+2）2，tan3，则tan（+）1【分析】直接利用两角和与差的三角函数化简求解即可【解答】解：tan（+2）2，tan3，则tan（+）
16、tan（+2）1故答案为：1【点评】本题考查两角和与差的三角函数，三角函数化简求值，是基本知识的考查12（5分）正方形铁片的边长为8cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于cm3【分析】根据已知分别求出圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案【解答】解：由题意知，弧长为82，即围成圆锥形容器底面周长为2，所以圆锥底面半径为r1，可得圆锥高h3，所以容积Vr2h13cm3；故答案为：【点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知分析出圆锥的底面半径和高是解答的关键13（5分）已知ABC中，角A，B，C的对
17、边分别为a，b，c，且5tanB，则sinB的值是【分析】利用余弦定理可得 cosB，代入已知 ，化简后即可得结果【解答】解：cosB，5sinB3sinB故答案为【点评】本题考查了余弦定理的应用，解题时要认真观察，发现已知条件和余弦定理的关系，整体代入解决问题14（5分）已知f（x）是（，+）上的增函数，那么a的取值范围是【分析】根据题意，由分段函数的单调性分析可得，解可得a的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，f（x）是（，+）上的增函数，必有，解可得a7，即a的取值范围为：故答案为：【点评】本题考查分段函数的单调性，注意分段函数分段分析15（5分）已知坐标原点为O，过点P（2，6）
18、作直线2mx（4m+n）y+2n0（m，n不同时为零）的垂线，垂足为M，则|OM|的取值范围是5，5【分析】根据题意，将直线变形为m（2x4y）n（y2）0，分析可得该直线恒过点（4，2），设Q（4，2），进而分析可得点M的轨迹是以PQ为直径的圆，其方程为（x3）2+（y4）25，据此分析可得答案【解答】解：根据题意，直线2mx（4m+n）y+2n0，即m（2x4y）n（y2）0，则有，解可得，则直线l恒过点（4，2），设Q（4，2），又由MP与直线垂直，且M为垂足，则点M的轨迹是以PQ为直径的圆，其方程为（x3）2+（y4）25，则有5|OM|5；即|OM|的取值范围是5，5；故答案为：5，
19、5【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及关于圆的轨迹问题，属于基础题16（5分）在等腰三角形ABC中，ABAC，D在线段AC上，ADkAC（k为常数，且0k1），BDl为定长，则ABC的面积最大值为【分析】如图所示，以B为原点，BD为x轴建立平面直角坐标系，设A（x，y），y0，根据题意得到ADkAB，两边平方得到关系式，利用勾股定理化简后表示出y2，变形后利用二次函数的性质求出y的最大值，进而确定出三角形ABD面积的最大值，根据ADkAC即可得出三角形ABC面积的最大值【解答】解：如图所示，以B为原点，BD为x轴建立平面直角坐标系，设A（x，y），y0，ABAC，ADkACkAB，即AD2
20、k2AB2，（xl）2+y2k2（x2+y2），整理得：y2，ymax，BDl，（SABD）max，则（SABC）max（SABD）max故答案为：【点评】此题考查了二次函数的性质，坐标与图形性质，弄清题意是解本题的关键三解答题（17、18各10分，19、20各12分，21、22各13分，共70分）17三角形ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，且a2+c2b2+ac（1）若cosA，求sinC的值；（2）若b，a3c，求三角形ABC的面积【分析】（1）根据a2+c2b2+ac由余弦定理求出cosB，cosA，在求解sinA，sinB，根据sinCsin（B+A）打开即可求解（2）由a
21、2+c2b2+acb，a3c，根据余弦定理求解a，c的值，即可求出三角形ABC的面积【解答】解：a2+c2b2+ac，由余弦定理，cosB又B为三角形内角，则B（1）cosA，且A为三角形内角，则sinA，故sinCsin（B+A）sin（+A）cosA+sinA（2）由a3c，b，由余弦定理知：b2a2+c22accosB，则79c2+c23c2，解得c1，则a3故得三角形ABC的面积SacsinB【点评】本题考查了余弦定理的运用和三角形ABC的面积的计算属于基础题18如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C是菱形，平面AA1B1B平面BB1C1C（）求证：
22、BC平面AB1C1；（）求证：B1CAC1；（）设点E，F，H，G分别是B1C，AA1，A1B1，B1C1的中点，试判断E，F，H，G四点是否共面，并说明理由【分析】（）由BCB1C1，证明BC平面AB1C1；（）先证明AB平面BB1C1C，得ABB1C，再证明B1C平面ABC1，得出B1CAC1；（）E，F，H，G四点不共面，通过证明点F平面EHG，即F平面AA1C1C，且平面AA1C1C平面EFH即可【解答】证明：（）在菱形BB1C1C中，BCB1C1，因为BC平面AB1C1，B1C1平面AB1C1，所以BC平面AB1C1；（3分）（）连接BC1，在正方形ABB1A1中，ABBB1，因为平
23、面AA1B1B平面BB1C1C，平面AA1B1B平面BB1C1CBB1，AB平面ABB1A1，所以AB平面BB1C1C；（5分）又因为B1C平面BB1C1C，所以ABB1C；（6分）在菱形BB1C1C中，BC1B1C；因为BC1平面ABC1，AB平面ABC1，且BC1ABB，所以B1C平面ABC1；（8分）因为AC1平面ABC1，所以B1CAC1；（10分）（）E，F，H，G四点不共面，理由如下；（11分）因为E，G分别是B1C，B1C1的中点，所以GECC1，同理可证：GHC1A1；因为GE平面EHG，GH平面EHG，GEGHG，CC1平面AA1C1C，A1C1平面AA1C1C，所以平面EH
24、G平面AA1C1C；又因为F平面AA1C1C，所以F平面EHG，即E，F，H，G四点不共面（14分）【点评】本题考查了空间中的平行与垂直的判断与直线的应用问题，也考查了判断空间中的四点是否共面问题，是综合性题目19已知直线l1：2x+y+10，l2：ax+2y+8+a0，且l1l2（1）求直线l1与l2的距离；（2）已知圆C与直线l2相切于点A，且点A的横坐标为2，若圆心C在直线l1上，求圆C的标准方程【分析】（1）先由两直线平行解得a4，再由平行直线间的距离公式可求得；（2）代x2得A（2，2），可得AC的方程，与l1联立得C（0，1），再求得圆的半径，从而可得圆的标准方程【解答】解：（1）
25、l1l2，解得a4，l1：2x+y+10，l2：2x+y+60，故直线l1与l2的距离d（2）当x2代入2x+y+60，得y2，所以切点A的坐标为（2，2），从而直线AC的方程为 y+2（x+2），得 x2y20，联立2x+y+10得C（0，1）由（1）知C的半径为，所以所求圆的标准方程为：x2+（y+1）25【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题20已知函数f（x）4x+a2x，x1，2（1）若f（x）0恒成立，求a的取值范围；（2）若f（x）的最小值为1，求a的值【分析】（1）通过f（x）0恒成立，得到4x+a2x0，x1，2，利用核对最值转化求解即可（2）令t2x，则，f（x）t
26、2+at开口向上，对称轴为直线，通过a的范围转化求解函数的最值推出结果【解答】解：（1）因为f（x）0恒成立，所以4x+a2x0，x1，2，化得a2x，所以，所以a4，即a的取值范围为（，4（6分）（2）令t2x，则，f（x）t2+at开口向上，对称轴为直线，当，即a1时，则，不满足条件；当，即8a1时，则a2；当，即a8时，f（x）minf（4）16+4a1，则a，不满足条件综上所述，a的值为2（12分）【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的最值的求法，考查计算能力21如图，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看
27、建筑物CD的张角CAD45（1）求BC的长度；（2）在线段BC上取一点P（点P与点B，C不重合），从点P看这两座建筑物的张角分别为APB，DPC，问点P在何处时，+最小？【分析】（1）作ANCD于N，问题转化为求ACD边CD上的高设ANx，只要建立起关于x的方程，则问题可解（2）利用（1）设出BP为t，直接求出、的正切值，然后求出ADB的正切值，利用基本不等式求解表达式的最小值，推出BP是值即可【解答】解：（1）如图作ANCD于NABCD，AB9，CD15，DN6，NC9设ANx，DAN，CAD45，CAN45在RtANC和RtAND中，tan，tan（45）tan（45），化简整理得x215
28、x540，解得x118，x23（舍去）BC的长度是18 m（2）设BPt，所以PC18t，tan，tan，所以tan（+）当且仅当t+27，即t时，+最小P在距离B时，+最小【点评】考查了解三角形的实际应用解这类题的关键是建立数学模型，设出恰当的角考查两角和与差的三角函数，考查计算能力22在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，1）且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2+y24交于点A，B，与圆M：（x2）2+（y1）21交于点C，D（1）若AB，求CD的长；（2）若直线AB斜率为2，求ABM的面积；（3）若CD的中点为E，求ABE面积的取值范围【分析】（1）根据题意，设直线AB的斜率为k，可得直
29、线AB的方程，由AB的值结合直线与圆的位置关系分析可得k215，因为直线AB与直线CD互相垂直，分析可得直线CD的方程，据此分析可得答案；（2）根据题意，求出直线AB的方程，结合直线与圆相交的性质求出AB的长，进而求出M到AB的距离由三角形面公式计算可得答案；（3）根据题意，分直线AB的斜率存在与不存在2种情况讨论，求出ABE面积，综合2种情况即可得答案【解答】解：（1）由题可知，直线AB斜率显然存在，设其斜率为k，则直线AB的方程为ykx+1因为O点到直线AB的距离d1，则+4，变形可得AB2，又由AB，则2，解可得k215因为直线AB与直线CD互相垂直，则直线CD：yx+1，则M点到直线CD的距离d2，又由1，则CD22（2）根据题意，若直线AB斜率为2，则直线AB方程为2xy+10，则O到直线AB距离d1，则，M到直线AB距离d，故；（3）当直线AB的斜率不存在时，ABE的面积S424；当直线AB的斜率存在时，设为k，则直线AB：ykx+1，k0，直线CD：yx+1由1得k23，所以k（，）（，+）因为+4，所以AB2因为E点到直线AB的距离即M点到直线AB的距离d，所以ABE的面积SABd2令tk2+14，则S，又由t4，则0，故S综上，ABE面积的取值范围是【点评】本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于综合题