1、2018-2019学年江苏省淮安市淮洲、金湖、洪泽、郑梁梅四校联考高一（下）期中数学试卷一、选择题：（每题4分，共40分）1（4分）直线x+y30的倾斜角为（）ABCD2（4分）在ABC中，A：B：C1：2：3，则a：b：c等于（）A1：2：3B3：2：1C1：2D2：13（4分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线B1D与A1C1的位置关系是（）A平行B相交C异面但不垂直D异面且垂直4（4分）棱长和底面边长均为1的正四棱锥的体积为（）ABCD5（4分）若直线过第一、三、四象限，则实数a，b满足（）Aa0，b0Ba0，b0Ca0，b0Da0，b06（4分）在ABC中，角A，B，C的对边分别
2、为a，b，c，若3bcosCc（13cosB），则sinC：sinA（）ABC3D7（4分）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，n，则mnD若m，n，则mn8（4分）已知直线mx+4y20与2x5y+n0互相垂直，垂足为P（1，p），则mn+p的值是（）A24B20C0D49（4分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，MDBN1，G为MC的中点，则下列结论中不正确的是（）AMCANBGB平面AMNC面CMN面AMND面DCM面ABN10（4分）已知点A（3，0），B（0，3）
3、，M（1，0），O为坐标原点，P，Q分别在线段AB，BO上运动，则MPQ的周长的最小值为（）A4B5C2D二、填空题：（每题6分，共36分）11（6分）过点（1，0）且与直线x2y20垂直的直线方程是 12（6分）在ABC中，已知30，则B等于 13（6分）表面积为3的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为 14（6分）已知点（x，y）在直线2x+y+50上运动，则的最小值是 15（6分）三棱柱ABCA1B1C1中，AB，AC，AA1两两成60角，点E，F，G分别为线段AB，AC，AA1上的点，且AEAB，AFAC，AGAA
4、1，则三棱锥GAEF的体积与三棱柱ABCA1B1C1体积之比为 16（6分）在ABC中，2sin2sinA，sin（BC）2cosBsinC，则 三、解答题：17（14分）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，PA平面ABCD，E为PD的中点求证：（1）PB平面AEC；（2）平面PCD平面PAD18（14分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin2C+csinB0（1）求角C；（2）若C2，ABC的面积为2，求a+b的值19（14分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（1，4），B（3，1），C（3，2）（1）求平行四边形A
5、BCD的顶点D的坐标；（2）求四边形ABCD的面积（3）求CAD的平分线所在直线方程20（16分）如图，在四棱锥P一ABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知AD4，BD4，AB2CD8（1）设M是PC上靠近C的四分之一分点，证明：平面MBD平面PAD；（2）当M点位于线段PC什么位置时，PA平面MBD？请证明你的结论；（3）求四棱锥PABCD的体积21（16分）已知矩形ABCD的边AB2，BC1，以A为坐标原点，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，建立直角坐标系将矩形折叠，使A点落在线段DC上，重新记为点A1（1）当点A1坐标为（1，1）时，求折痕所在直线方程
6、（2）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；（3）当2+k0时，设折痕所在直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，将AEF沿折痕EF旋转使二面角AEFA1的大小为53，设三棱锥EAA1F的外接球表面积为S，试求最小值2018-2019学年江苏省淮安市淮洲、金湖、洪泽、郑梁梅四校联考高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每题4分，共40分）1（4分）直线x+y30的倾斜角为（）ABCD【分析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角【解答】解：直线x+y30斜率k1，直线x+y30的倾斜角是为故选：B【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题，解题时要注意直线方程的性质的合理
7、运用2（4分）在ABC中，A：B：C1：2：3，则a：b：c等于（）A1：2：3B3：2：1C1：2D2：1【分析】利用三角形的内角和求出三角形的内角，然后利用正弦定理求出结果【解答】解：在ABC中，若A：B：C1：2：3，又A+B+C所以A，B，C由正弦定理可知：a：b：csinA：sinB：sinCsin：sin：sin1：2故选：C【点评】本题考查正弦定理的应用，三角形的解法，属于基本知识的考查3（4分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线B1D与A1C1的位置关系是（）A平行B相交C异面但不垂直D异面且垂直【分析】推导出A1C1B1D1，A1C1DD1，由此能证明A1C1平面B1D
8、1D，从而得到直线B1D与A1C1的位置关系是异面且垂直【解答】解：A1C1B1D1，A1C1DD1，B1D1DD1D1，A1C1平面B1D1D，B1D平面B1D1D，直线B1D与A1C1的位置关系是异面且垂直故选：D【点评】本题考查两直线关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题4（4分）棱长和底面边长均为1的正四棱锥的体积为（）ABCD【分析】根据顶点在底面的射影为底面中心的特点，求出棱锥的高，再计算棱锥的体积【解答】解：设正四棱锥为SABCD，S在底面ABCD上的射影为O，则O为正方形ABCD的中心，连接OA，OS，则OA，SO，V故选：C【
9、点评】本题考查了棱锥的结构特征，体积计算，属于基础题5（4分）若直线过第一、三、四象限，则实数a，b满足（）Aa0，b0Ba0，b0Ca0，b0Da0，b0【分析】根据题意，分析可得直线在x轴的截距为正，在y轴上的截距为负，分析可得答案【解答】解：根据题意，直线直线过第一、三、四象限，则直线在x轴的截距为正，在y轴上的截距为负，则a0，b0，故选：C【点评】本题考查直线的一般式方程，关键是利用函数所过的象限分析直线的斜率、截距的关系，属于基础题6（4分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3bcosCc（13cosB），则sinC：sinA（）ABC3D【分析】由3bcosCc（
10、13cosB）利用正弦定理可得3sinBcosCsinC（13cosB），化简整理即可得出【解答】解：由正弦定理，设 k，3bcosCc（13cosB）3sinBcosCsinC（13cosB），化简可得 sinC3sin（B+C）又A+B+C，sinC3sinA，因此sinC：sinA3故选：C【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题7（4分）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，n，则mnD若m，n，则mn【分析】A利用线面平行和面面平行的性质定理即可得出；B利用线面平行、面
11、面垂直的定理即可得出；C利用线面垂直、面面垂直的性质即可得出；D利用线面垂直和线面面面平行的性质即可得出【解答】解：A若m，n，由线面、面面平行的性质可得：mn、相交或异面直线，因此不正确；B若m，n，由线面平行、面面垂直的定理可得：mn、相交或异面直线，因此不正确；C若m，n，由线面面面垂直的性质定理可得：mn，因此C不正确；D若m，n，根据线面垂直和线面面面平行的性质可得：mn，正确故选：D【点评】本题综合考查了空间中线线、线面、面面的位置关系，属于基础题8（4分）已知直线mx+4y20与2x5y+n0互相垂直，垂足为P（1，p），则mn+p的值是（）A24B20C0D4【分析】先由两直线
12、平行斜率相等，求出m，第一直线的方程确定了，把垂足坐标代入，可求p，垂足坐标确定了把垂足坐标代入第二条直线的方程可得 n，进而求得mn+p的值【解答】解：直线mx+4y20与2x5y+n0互相垂直，1，m10，直线mx+4y20 即 5x+2y10，垂足（1，p）代入得，5+2p10，p2把P（1，2）代入2x5y+n0，可得 n12，mn+p20，故选：B【点评】本题考查两直线垂直的性质，垂足是两直线的公共点，垂足坐标同时满足两直线的方程9（4分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，MDBN1，G为MC的中点，则下列结论中不正确的是（）AMCANBGB
13、平面AMNC面CMN面AMND面DCM面ABN【分析】由于四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MDBN1，所以将题中的几何体放在正方体ABCDA'NC'M中，如图所示再根据正方体的性质和空间垂直、平行的有关定理，对A、B、C、D各项分别加以判断，即可得出本题答案【解答】解：四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MDBN1，将题中的几何体放在正方体ABCDA'NC'M中，如图所示对于A，所以MC与AN是棱长为1的正方体中，位于相对面内的异面的面对角线因此可得MC、AN所成角为90，可得MCAN，
14、故A正确；对于B，因为正方体ABCDA'NC'M中，平面AMN平面BC'D而GB平面BC'D，所以GB平面AMN，故B正确；对于C，因为正方体ABCDA'NC'M中，二面角AMNC的大小不是直角所以面CMN面AMN不成立，故C不正确；对于D，因为面DCM与面ABN分别是正方体ABCDA'NC'M的内外侧面所在的平面，所以面DCM面ABN成立，故D正确故选：C【点评】本题给出特殊几何体，判断几何位置关系的命题的真假着重考查了正方体的性质、线面平行与垂直的判定与性质等知识，属于中档题10（4分）已知点A（3，0），B（0，3），M（1
15、，0），O为坐标原点，P，Q分别在线段AB，BO上运动，则MPQ的周长的最小值为（）A4B5C2D【分析】分别求出设M（1，0）关于直线x+y30对称的点N，M关于O对称的点E，当N，P，Q，E共线时MPQ的周长MQ+PQ+QMNP+EQ+PQ取得最小值NE，利用两点间的距离公式可求【解答】解：过A（3，0），B（0，3）两点的直线方程为x+y30设M（1，0）关于直线x+y30对称的点N（x，y），则，解可得，x3，y2，即N（3，2），同理可求M关于O对称的点E（1，0），当N，P，Q，E共线时MPQ的周长MQ+PQ+QMNP+EQ+PQ取得最小值NE2故选：C【点评】本题主要考查了点关于
16、直线的对称性的简单应用，试题的技巧性较强二、填空题：（每题6分，共36分）11（6分）过点（1，0）且与直线x2y20垂直的直线方程是2x+y20【分析】设与直线x2y20垂直的直线方程是2x+y+m0，把点（1，0）代入解出即可得出【解答】解：设与直线x2y20垂直的直线方程是2x+y+m0，把点（1，0）代入可得：2+0+m0，解得m2要求的直线方程为：2x+y20故答案为：2x+y20【点评】本题考查了相互垂直的直线的斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题12（6分）在ABC中，已知30，则B等于105 或15【分析】根据正弦定理，结合题中数据算出sinC，从而得到C45或
17、135，最后根据三角形内角和定理，即可算出B的大小【解答】解：a5，c10，A30根据正弦定理，得到，可得sinC结合0C180，可得C45或135A+B+C180，A30，B105 或15故答案为：105 或15【点评】本题给出三角形中的两条边和一边所对的角，求另一边的对角大小，着重考查了运用正弦定理解三角形和特殊三角函数值等知识，属于基础题13（6分）表面积为3的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为2【分析】设出圆锥的底面半径，由它的侧面展开图是一个半圆，分析出母线与半径的关系，结合圆锥的表面积为3，构造方程，可求出直径【解答】解：设圆锥的底面的半径为r，圆锥的母线为l，则
18、由l2r得l2r，而Sr2+r2r3r23故r21解得r1，所以直径为：2故答案为：2【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长正确对这两个关系的记忆是解题的关键14（6分）已知点（x，y）在直线2x+y+50上运动，则的最小值是【分析】根据题意，分析可得，其几何意义为原点（0，0）到直线2x+y+50上任意一点的距离，其最小值为点（0，0）到直线2x+y+50的距离，由点到直线的距离公式计算可得答案【解答】解：根据题意，点（x，y）在直线2x+y
19、+50上运动，又由，其几何意义为原点（0，0）到直线2x+y+50上任意一点的距离，则其最小值为点（0，0）到直线2x+y+50的距离，即的最小值为d；故答案为：【点评】本题考查点到直线的距离公式，注意分析的几何意义15（6分）三棱柱ABCA1B1C1中，AB，AC，AA1两两成60角，点E，F，G分别为线段AB，AC，AA1上的点，且AEAB，AFAC，AGAA1，则三棱锥GAEF的体积与三棱柱ABCA1B1C1体积之比为【分析】分别判断底面积和高的比值，再根据体积公式得出体积的比值【解答】解：AEAB，AFAC，SAEFSABC，设三棱柱的高为h，由AGAA1可知G到平面ABC的距离dh，
20、VGAEFSAEFdSABChSABChV，故答案为：【点评】本题考查了棱锥的体积计算，属于中档题16（6分）在ABC中，2sin2sinA，sin（BC）2cosBsinC，则【分析】利用2sin2sinA，求出A，由余弦定理，得a2b2+c2+bc，将sin（BC）2cosBsinC展开得sinBcosC3cosBsinC，所以将其角化边，即可得出结论【解答】解：2sin2sinA，1cosAsinA，sin（A+），又0A，所以A由余弦定理，得a2b2+c2+bc，将sin（BC）2cosBsinC展开得sinBcosC3cosBsinC，所以将其角化边，得b3c，即2b22c2a2，将
21、代入，得b23c2bc0，左右两边同除以c2，得30，解得，所以故答案为：【点评】本题考查余弦定理、正弦定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题三、解答题：17（14分）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，PA平面ABCD，E为PD的中点求证：（1）PB平面AEC；（2）平面PCD平面PAD【分析】（1）连结BD，AC交于O，连结EO可证出PBD中，EO是中位线，得EOPB，结合线面平行的判定定理，即可证出PB平面AEC；（2）由线面垂直的性质，证出CDPA正方形ABCD中证出ADCD，结合PAADA，可得CD平面PAD，最后根据面面垂直判定定理，即可证出平面PAD平面PCD
22、【解答】解：（1）连结BD，AC交于OABCD是正方形，AOOC，OCAC连结EO，则EO是PBD的中位线，可得EOPBEO平面AEC，PB平面AEC，PB平面AEC（2）PA平面ABCD，CD平面ABCD，CDPA又ABCD是正方形，可得ADCD，且PAADACD平面PADCD平面PCD，平面PAD平面PCD【点评】本题在四棱锥中证明线面平行，并且证明面面垂直着重考查了三角形的中位线定理、线面平行的判定定理和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题18（14分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin2C+csinB0（1）求角C；（2）若C2，ABC的面积为2，求
23、a+b的值【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得2sinBsinCcosCsinCsinB，结合sinB0，sinC0，可求cosC，结合角C为ABC的内角，可求C的值；（2）利用三角形的面积公式可求ab的值，由余弦定理即可解得a+b的值【解答】（本题满分为14分）解：（1）由bsin2C+csinB0，得：2bsinCcosCcsinB，由正弦定理得：2sinBsinCcosCsinCsinB，（3分）sinB0，sinC0，cosC，角C为ABC的内角，C（7分）（2）C，ABC的面积为2，absin2，即ab8，（9分）c2，由余弦定理得a2+b22abcos2
24、8，即（a+b）228+ab，（11分）将代入得：（a+b）236，a+b6（14分）【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题19（14分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（1，4），B（3，1），C（3，2）（1）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标；（2）求四边形ABCD的面积（3）求CAD的平分线所在直线方程【分析】（1）AC中点为（1，3），该点也为BD中点，设D（x，y），则，解得D坐标（2）BC方程：y2（x3），化为x2y+10，利用点到直线的距离公式可得A到BC的距离为
25、d利用两点之间的距离公式可得BC，即可得出四边形ABCD的面积（3）AC2，AD3在三角形ACD中，设CAD的平分线与CD交于点E，由正弦定理可得：利用，可得E点坐标又 A（1，4），可得所求方程【解答】解：（1）AC中点为（1，3），该点也为BD中点，设D（x，y），则，解得x5，y7可得D（5，7）；（4分）（2）BC方程：y2（x3），化为x2y+10，A到BC的距离为d，（6分）又BC3，四边形ABCD的面积为324（9分）（3）AC2，AD3在三角形ACD中，设CAD的平分线与CD交于点E，由正弦定理可得：（11分）所以，从而E点坐标为（，4）（13分）又 A（1，4），所求方程为：
26、y4（14分）【点评】本题考查了点到直线的距离公式、两点之间的距离公式、中点坐标公式、正弦定理、角平分线的性质、向量坐标运算性质、平行四边形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20（16分）如图，在四棱锥P一ABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知AD4，BD4，AB2CD8（1）设M是PC上靠近C的四分之一分点，证明：平面MBD平面PAD；（2）当M点位于线段PC什么位置时，PA平面MBD？请证明你的结论；（3）求四棱锥PABCD的体积【分析】（1）由勾股定理可得BDAD，再根据平面PAD平面ABCD得出BD平面PAD，于是平面MBD平面PAD；（
27、2）M为PC的靠近C的三等分点，PA平面MBD，利用相似三角形可得，结合M为三等分点可得OMPA，故PA平面MBD；（3）过P作PHAD，求出S梯形ABCD和PH，代入棱锥的体积公式计算体积【解答】（1）证明：AD4，BD4，AB8AD2+BD2AB2，ADBD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，BD平面PAD，又BD平面MBD，平面MBD平面PAD（2）当M为PC的靠近C的三等分点，PA平面MBD证明：连AC交BD于点O，连接OM，ABDC，OCDOAB，又，OMPA，又OM平面MBD，PA平面MBD，PA平面MBD（3）过P作PHAD，平面PAD平面A
28、BCD，平面PAD平面ABCDAD，OP平面ABCD，PH平面ABCD，又PAD是边长为4的等边三角形，PH2，AB2CD，ABCD，SBCDSABD，S梯形ABCDSABD12，VPABCD24【点评】本题考查了面面垂直的判定，线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题21（16分）已知矩形ABCD的边AB2，BC1，以A为坐标原点，AB，AD边分别在x轴、y轴的正半轴上，建立直角坐标系将矩形折叠，使A点落在线段DC上，重新记为点A1（1）当点A1坐标为（1，1）时，求折痕所在直线方程（2）若折痕所在直线的斜率为k，试求折痕所在直线的方程；（3）当2+k0时，设折痕所在直线与x轴交于点E，与
29、y轴交于点F，将AEF沿折痕EF旋转使二面角AEFA1的大小为53，设三棱锥EAA1F的外接球表面积为S，试求最小值【分析】（1）折叠后，折痕为对应正方形的一条对角线，由此可求直线方程；（2）当k0时，此时A点与D点重合，折痕所在直线方程为y当k0时，将矩形折叠后A点落在线段同DC上的点记为G（a，1）（0a2），则A与G关于折痕所在直线对称，求出G（k，1）得到OG中点M（），再由直线方程点斜式求折痕所在直线方程；（3）由（2）当2+k0时，折痕所在直线与x轴交于点E（，0），与y轴交于点F（0，），利用勾股定理求得EF2，球的直径即为EF，写出球的表面积S，则的最小值可求【解答】解：（1）
30、折叠后，折痕为对应正方形的一条对角线，可求所在直线方程为：yx+1；（3分）（2）当k0时，此时A点与D点重合，折痕所在直线方程为y（5分）当k0时，将矩形折叠后A点落在线段同DC上的点记为G（a，1）（0a2），则A与G关于折痕所在直线对称，由kOGk1，得ak，故G（k，1）线段OG中点M（），折痕所在直线方程为：yk（x+），即ykx+（2k0）综上所述，所求折痕所在直线方程为ykx+（2k0）；（10分）（3）由（2）当2+k0时，折痕所在直线与x轴交于点E（，0），与y轴交于点F（0，），则，球的直径即为EF，（13分），则最小值为8+4（16分）【点评】本题考查多面体外接球的表面积与体积的求法，考查函数与方程思想的应用，考查运算求解能力，是中档题