1、二次函数压轴题练习2一解答题（共16小题）1若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1：y1=2x2+4x+2与C2：y2=x2+mx+n为“友好抛物线”（1）求抛物线C2的解析式（2）点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQx轴，Q为垂足，求AQ+OQ的最大值（3）设抛物线C2的顶点为C，点B的坐标为（1，4），问在C2的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90得到线段MB，且点B恰好落在抛物线C2上？若存在求出点M的坐标，不存在说明理由2如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BHx轴，交
2、x轴于点H（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当ABP的面积为6时，求出点P的坐标；（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时CMN的面积3在平面直角坐标系中，点O为原点，平行于x轴的直线与抛物线L：y=ax2相交于A，B两点（点B在第一象限），点D在AB的延长线上（1）已知a=1，点B的纵坐标为2如图1，向右平移抛物线L使该抛物线过点B，与AB的延长线交于点C，求AC的长如图2，若BD=AB，过点B，D的抛物线L2，其顶点M在x轴上，求该抛物线的
3、函数表达式（2）如图3，若BD=AB，过O，B，D三点的抛物线L3，顶点为P，对应函数的二次项系数为a3，过点P作PEx轴，交抛物线L于E，F两点，求的值，并直接写出的值4如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴于D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）（）求抛物线的解析式和tanBAC的值；（）在（）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQPA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE
4、，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？5如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q以每秒个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，当BPQ为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当t2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点
5、？若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由6如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（2m，m），翻折矩形OABC，使点A与点C重合，得到折痕DE，设点B的对应点为F，折痕DE所在直线与y轴相交于点G，经过点C，F，D的抛物线为y=ax2+bx+c（1）求点D的坐标（用含m的式子表示）；（2）若点G的坐标为（0，3），求该抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，设线段CD的中点为M，在线段CD上方的抛物线上是否存在点P，使PM=EA？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由7如图1，一条抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B
6、的左侧），与y轴交于点C，且当x=1和x=3时，y的值相等，直线y=x与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M（1）求这条抛物线的表达式（2）动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动，设运动时间为t秒若使BPQ为直角三角形，请求出所有符合条件的t值；求t为何值时，四边形ACQP的面积有最小值，最小值是多少？（3）如图2，当动点P运动到OB的中点时，过点P作PDx轴，交抛物线于点D，连接OD，OM，MD得ODM，将OPD沿x轴
7、向左平移m个单位长度（0m2），将平移后的三角形与ODM重叠部分的面积记为S，求S与m的函数关系式8如图，抛物线L：y=ax2+bx+c与x轴交于A、B（3，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，3），已知对称轴x=1（1）求抛物线L的解析式；（2）将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在OBC内（包括OBC的边界），求h的取值范围；（3）设点P是抛物线L上任一点，点Q在直线l：x=3上，PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由9在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k1）xk与直线y=kx+1交于A，B两点
8、，点A在点B的左侧（1）如图1，当k=1时，直接写出A，B两点的坐标；（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出ABP面积的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，抛物线y=x2+（k1）xk（k0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得OQC=90？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由10如图，抛物线y=与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q（1）求点A、点B、点C的坐标；（2）求直线BD的解析式
9、；（3）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；（4）在点P的运动过程中，是否存在点Q，使BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由11如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线y=x2+bx+c交x轴于另一点C，点D是抛物线的顶点（1）求此抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方的抛物线上一点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交x轴于点H，交直线AB于点F，作PGAB于点G求出PFG的周长最大值；（3）在抛物线y=x2+bx+c上是否存在除点D
10、以外的点M，使得ABM与ABD的面积相等？若存在，请求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由12如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y=x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是2（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标（2）在x轴上是否存在点C，使得ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在，请说明理由（3）过线段AB上一点P，作PMx轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？13如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0，c0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D
11、（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（2，0），（8，0），（0，4）；求此抛物线的表达式与点D的坐标；若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标14如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，且OC=OB（1）求此抛物线的解析式；（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90后，点A的对应点A恰好也落在此抛物线上，
12、求点P的坐标15如图，二次函数与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P从A点出发，以1个单位每秒的速度向点B运动，点Q同时从C点出发，以相同的速度向y轴正方向运动，运动时间为t秒，点P到达B点时，点Q同时停止运动设PQ交直线AC于点G（1）求直线AC的解析式；（2）设PQC的面积为S，求S关于t的函数解析式；（3）在y轴上找一点M，使MAC和MBC都是等腰三角形直接写出所有满足条件的M点的坐标；（4）过点P作PEAC，垂足为E，当P点运动时，线段EG的长度是否发生改变，请说明理由16二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（1，4），且与直线y=x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，
13、过点B作BCx轴，垂足为点C（3，0）（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NPx轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标二次函数压轴题练习2参考答案与试题解析一解答题（共16小题）1（2016大庆）若两条抛物线的顶点相同，则称它们为“友好抛物线”，抛物线C1：y1=2x2+4x+2与C2：y2=x2+mx+n为“友好抛物线”（1）求抛物线C2的解析式（2）点A是抛物线C2上在第一象限的动点，过A作AQx轴，Q为垂足，求AQ+OQ的最大值（3）设抛物线
14、C2的顶点为C，点B的坐标为（1，4），问在C2的对称轴上是否存在点M，使线段MB绕点M逆时针旋转90得到线段MB，且点B恰好落在抛物线C2上？若存在求出点M的坐标，不存在说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【分析】（1）先求得y1顶点坐标，然后依据两个抛物线的顶点坐标相同可求得m、n的值；（2）设A（a，a2+2a+3）则OQ=x，AQ=a2+2a+3，然后得到OQ+AQ与a的函数关系式，最后依据配方法可求得OQ+AQ的最值；（3）连接BC，过点B作BDCM，垂足为D接下来证明BCMMDB，由全等三角形的性质得到BC=MD，CM=BD，设点M的坐标为（1，a）则用含a的式子可表示出点
15、B的坐标，将点B的坐标代入抛物线的解析式可求得a的值，从而得到点M的坐标【解答】解：（1）y1=2x2+4x+2=2（x1）2+4，抛物线C1的顶点坐标为（1，4）抛物线C1与C2顶点相同，=1，1+m+n=4解得：m=2，n=3抛物线C2的解析式为y2=x2+2x+3（2）如图1所示：设点A的坐标为（a，a2+2a+3）AQ=a2+2a+3，OQ=a，AQ+OQ=a2+2a+3+a=a2+3a+3=（a）2+当a=时，AQ+OQ有最大值，最大值为（3）如图2所示；连接BC，过点B作BDCM，垂足为DB（1，4），C（1，4），抛物线的对称轴为x=1，BCCM，BC=2BMB=90，BMC+B
16、MD=90BDMC，MBD+BMD=90MBD=BMC在BCM和MDB中，BCMMDBBC=MD，CM=BD设点M的坐标为（1，a）则BD=CM=4a，MD=CB=2点B的坐标为（a3，a2）（a3）2+2（a3）+3=a2整理得：a27a+10=0解得a=2，或a=5当a=2时，M的坐标为（1，2），当a=5时，M的坐标为（1，5）综上所述当点M的坐标为（1，2）或（1，5）时，B恰好落在抛物线C2上【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的顶点坐标公式、二次函数的图象和性质、全等三角形的性质和判定、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，用含a的式子表示点B的坐
17、标是解题的关键2（2016丹东）如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BHx轴，交x轴于点H（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当ABP的面积为6时，求出点P的坐标；（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时CMN的面积【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式；（2）根据二次函数的对称轴x=2写出点C的坐标为（3，3），根据面积公式求ABC
18、的面积；（3）因为点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，设出点P的坐标（m，m2+4m），利用差表示ABP的面积，列式计算求出m的值，写出点P的坐标；（4）分别以点C、M、N为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求CM或CN的长，利用面积公式进行计算【解答】解：（1）把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax2+bx中，得 解得：，抛物线表达式为：y=x2+4x；（2）点C的坐标为（3，3），又点B的坐标为（1，3），BC=2，SABC=23=3； （3）过P点作PDBH交BH于点D，设点P（m，m2+4m），根据题意，得：BH=AH=3，HD=m24m，PD=m1，SABP
19、=SABH+S四边形HAPDSBPD，6=33+（3+m1）（m24m）（m1）（3+m24m），3m215m=0，m1=0（舍去），m2=5，点P坐标为（5，5） （4）以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，CM=MN，CMN=90，则CBMMHN，BC=MH=2，BM=HN=32=1，M（1，2），N（2，0），由勾股定理得：MC=，SCMN=；以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：RtNEM和RtMDC，得RtNEMRtMDC，EM=CD=5，MD=NE=2，由勾股定理得：CM=
20、，SCMN=；以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4，CN=MN，MNC=90，作辅助线，同理得：CN=，SCMN=17；以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，作辅助线，如图5，同理得：CN=，SCMN=5；以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；综上所述：CMN的面积为：或或17或5【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数的表达式，考查了等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质；本题的一般思路为：根据函数的表达式设出点的坐标，利用面积公式直接表示或求和或求差列式，求出该点的坐标；利用等腰直角三角形的两直角边相等，构建两直角三角形全等，再利用全等性质与点的坐标结合
21、解决问题3（2016金华）在平面直角坐标系中，点O为原点，平行于x轴的直线与抛物线L：y=ax2相交于A，B两点（点B在第一象限），点D在AB的延长线上（1）已知a=1，点B的纵坐标为2如图1，向右平移抛物线L使该抛物线过点B，与AB的延长线交于点C，求AC的长如图2，若BD=AB，过点B，D的抛物线L2，其顶点M在x轴上，求该抛物线的函数表达式（2）如图3，若BD=AB，过O，B，D三点的抛物线L3，顶点为P，对应函数的二次项系数为a3，过点P作PEx轴，交抛物线L于E，F两点，求的值，并直接写出的值【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【分析】（1）根据函数解析式求出点A、B的坐标，求出AC
22、的长；作抛物线L2的对称轴与AD相交于点N，根据抛物线的轴对称性求出OM，利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；（2）过点B作BKx轴于点K，设OK=t，得到OG=4t，利用待定系数法求出抛物线的函数表达式，根据抛物线过点B（t，at2），求出的值，根据抛物线上点的坐标特征求出的值【解答】解：（1）二次函数y=x2，当y=2时，2=x2，解得x1=，x2=，AB=2平移得到的抛物线L1经过点B，BC=AB=2，AC=4作抛物线L2的对称轴与AD相交于点N，如图2，根据抛物线的轴对称性，得BN=DB=，OM=设抛物线L2的函数表达式为y=a（x）2，由得，B点的坐标为（，2），2=a（）2，解得
23、a=4抛物线L2的函数表达式为y=4（x）2；（2）如图3，抛物线L3与x轴交于点G，其对称轴与x轴交于点Q，过点B作BKx轴于点K，设OK=t，则AB=BD=2t，点B的坐标为（t，at2），根据抛物线的轴对称性，得OQ=2t，OG=2OQ=4t设抛物线L3的函数表达式为y=a3x（x4t），该抛物线过点B（t，at2），at2=a3t（t4t），t0，=，由题意得，点P的坐标为（2t，4a3t2），则4a3t2=ax2，解得，x1=t，x2=t，EF=t，=【点评】本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，灵活运用待定系数法求出函数解析式、掌握抛物线的对称性、正确理解抛物线
24、上点的坐标特征是解题的关键4（2015日照）如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴于D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）（）求抛物线的解析式和tanBAC的值；（）在（）条件下：（1）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQPA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时
25、，点M在整个运动中用时最少？【考点】二次函数综合题；线段的性质：两点之间线段最短；矩形的判定与性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（）只需把A、C两点的坐标代入y=x2+mx+n，就可得到抛物线的解析式，然后求出直线AB与抛物线的交点B的坐标，过点B作BHx轴于H，如图1易得BCH=ACO=45，BC=，AC=3，从而得到ACB=90，然后根据三角函数的定义就可求出tanBAC的值；（）（1）过点P作PGy轴于G，则PGA=90设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x0，则PG=x，易得APQ=ACB=90若点G在点A的下方，当PA
26、Q=CAB时，PAQCAB此时可证得PGABCA，根据相似三角形的性质可得AG=3PG=3x则有P（x，33x），然后把P（x，33x）代入抛物线的解析式，就可求出点P的坐标当PAQ=CBA时，PAQCBA，同理，可求出点P的坐标；若点G在点A的上方，同理，可求出点P的坐标；（2）过点E作ENy轴于N，如图3易得AE=EN，则点M在整个运动中所用的时间可表示为+=DE+EN作点D关于AC的对称点D，连接DE，则有DE=DE，DC=DC，DCA=DCA=45，从而可得DCD=90，DE+EN=DE+EN根据两点之间线段最短可得：当D、E、N三点共线时，DE+EN=DE+EN最小此时可证到四边形O
27、CDN是矩形，从而有ND=OC=3，ON=DC=DC然后求出点D的坐标，从而得到OD、ON、NE的值，即可得到点E的坐标【解答】解：（）把A（0，3），C（3，0）代入y=x2+mx+n，得，解得：抛物线的解析式为y=x2x+3联立，解得：或，点B的坐标为（4，1）过点B作BHx轴于H，如图1C（3，0），B（4，1），BH=1，OC=3，OH=4，CH=43=1，BH=CH=1BHC=90，BCH=45，BC=同理：ACO=45，AC=3，ACB=1804545=90，tanBAC=；（）方法一：（1）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与ACB相似过点P作PGy轴于G，则PGA=90设
28、点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x0，则PG=xPQPA，ACB=90，APQ=ACB=90若点G在点A的下方，如图2，当PAQ=CAB时，则PAQCABPGA=ACB=90，PAQ=CAB，PGABCA，=AG=3PG=3x则P（x，33x）把P（x，33x）代入y=x2x+3，得x2x+3=33x，整理得：x2+x=0解得：x1=0（舍去），x2=1（舍去）如图2，当PAQ=CBA时，则PAQCBA同理可得：AG=PG=x，则P（x，3x），把P（x，3x）代入y=x2x+3，得x2x+3=3x，整理得：x2x=0解得：x1=0（舍去），x2=，P（，）；若点G在点A的上方，当PAQ=
29、CAB时，则PAQCAB，同理可得：点P的坐标为（11，36）当PAQ=CBA时，则PAQCBA同理可得：点P的坐标为P（，）综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；方法二：作APQ的“外接矩形”AQGH，易证AHPQGP，以A，P，Q为顶点的三角形与ACB相似，或，设P（2t，2t25t+3），A（0，3），H（2t，3），|=，2t1=，2t2=，|=32t1=11，2t2=1，（舍），满足题意的点P的坐标为（11，36）、（，）、（，）；（2）方法一：过点E作ENy轴于N，如图3在RtANE中，EN=AEsin45=AE，即AE=EN，点M在整个运动中所用的时间为
30、+=DE+EN作点D关于AC的对称点D，连接DE，则有DE=DE，DC=DC，DCA=DCA=45，DCD=90，DE+EN=DE+EN根据两点之间线段最短可得：当D、E、N三点共线时，DE+EN=DE+EN最小此时，DCD=DNO=NOC=90，四边形OCDN是矩形，ND=OC=3，ON=DC=DC对于y=x2x+3，当y=0时，有x2x+3=0，解得：x1=2，x2=3D（2，0），OD=2，ON=DC=OCOD=32=1，NE=AN=AOON=31=2，点E的坐标为（2，1）方法二：作点D关于AC的对称点D，DD交AC于点M，显然DE=DE，作DNy轴，垂足为N，交直线AC于点E，在Rt
31、ANE中，EN=AEsin45=AE，即AE=EN，当D、E、N三点共线时，DE+EN=DE+EN最小，A（0，3），C（3，0），lAC：y=x+3，M（m，m+3），D（2，0），DMAC，KDMKAC=1，1，m=，M（，），M为DD的中点，D（3，1），EY=DY=1，E（2，1）方法三：过A作射线AFx轴，过D作射线DFy轴，DF与AC交于点EA（0，3），C（3，0），lAC：y=x+3OA=OC，AOC=90，ACO=45，AFOC，FAE=45EF=AEsin45=当且仅当AFDF时，DE+EF取得最小值，点M在整个运动中用时最少为：t=+=DE+EF，抛物线的解析式为y=x2
32、x+3，且C（3，0），可求得D点坐标为（2，0）则E点横坐标为2，将x=2代入lAC：y=x+3，得y=1所以E（2，1）【点评】本题主要考查了运用待定系数法求抛物线的解析式、求直线与抛物线的交点坐标、抛物线上点的坐标特征、三角函数的定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、两点之间线段最短、轴对称的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，难度大，准确分类是解决第（）（1）小题的关键，把点M运动的总时间+转化为DE+EN是解决第（）（2）小题的关键5（2015湘潭）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C，连接BC，动点P以每秒
33、1个单位长度的速度从A向B运动，动点Q以每秒个单位长度的速度从B向C运动，P、Q同时出发，连接PQ，当点Q到达C点时，P、Q同时停止运动，设运动时间为t秒（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，当BPQ为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，当t2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点？若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）根据二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（1，0）、B（3，0）两点，应用待定系数法，求出二次函数的解析式即可（2）首先根据待定系数法，求出BC所在的直
34、线的解析式，再分别求出点P、点Q的坐标各是多少；然后分两种情况：当QPB=90时；当PQB=90时；根据等腰直角三角形的性质，求出t的值各是多少即可（3）首先延长MQ交抛物线于点N，H是PQ的中点，再用待定系数法，求出PQ所在的直线的解析式，然后根据PQ的中点恰为MN的中点，判断出是否存在满足题意的点N即可【解答】解：（1）二次函数y=x2+bx+c的图象经过A（1，0）、B（3，0）两点，解得二次函数的解析式是：y=x22x3（2）y=x22x3，点C的坐标是（0，3），BC=3，设BC所在的直线的解析式是：y=mx+n，则，解得BC所在的直线的解析式是：y=x3，经过t秒，AP=t，BQ=
35、t，点P的坐标是（t1，0），设点Q的坐标是（x，x3），OB=OC=3，OBC=OCB=45，则y=sin45=t，则Q点纵坐标为t，x=3t，点Q的坐标是（3t，t），如图1，当QPB=90时，点P和点Q的横坐标相同，点P的坐标是（t1，0），点Q的坐标是（3t，t），t1=3t，解得t=2，即当t=2时，BPQ为直角三角形如图2，当PQB=90时，PBQ=45，BP=，BP=3（t1）=4t，BQ=，4t=即4t=2t，解得t=，即当t=时，BPQ为直角三角形综上，可得当BPQ为直角三角形，t=或2（3）如图3，延长MQ交抛物线于点N，H是PQ的中点，设PQ所在的直线的解析式是y=px+
36、q，点P的坐标是（t1，0），点Q的坐标是（3t，t），解得PQ所在的直线的解析式是y=x+，点M的坐标是（0，），=，PQ的中点H的坐标是（1，），假设PQ的中点恰为MN的中点，120=2，=，点N的坐标是（2，），又点N在抛物线上，=22223=3，点N的坐标是（2，3），解得t=或t=，t2，t=，当t2时，延长QP交y轴于点M，当t=时在抛物线上存在一点N（2，3），使得PQ的中点恰为MN的中点【点评】（1）此题主要考查了二次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力（2）此
37、题还考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰三角形的两腰相等等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（3）此题还考查了待定系数法求函数解析式的方法，要熟练掌握6（2015大连）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（2m，m），翻折矩形OABC，使点A与点C重合，得到折痕DE，设点B的对应点为F，折痕DE所在直线与y轴相交于点G，经过点C，F，D的抛物线为y=ax2+bx+c（1）求点D的坐标（用含m的式子表示）；（2）若点G的坐标为（0，3），
38、求该抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，设线段CD的中点为M，在线段CD上方的抛物线上是否存在点P，使PM=EA？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）由折叠的性质得出CF=AB=m，DF=DB，DFC=DBA=90，CE=AE，设CD=x，则DF=DB=2mx，由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果；（2）证明OEGCDG，得出比例式，求出m的值，得出C、D的坐标，作FHCD于H，证明FCHDCF，得出比例式求出F的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（3）由直角三角形斜边上的中线性质得出MF=CD=EA，点P
39、与点F重合，得出点P的坐标；由抛物线的对称性得另一点P的坐标即可【解答】解：（1）根据折叠的性质得：CF=AB=m，DF=DB，DFC=DBA=90，CE=AE，CED=AED，设CD=x，则DF=DB=2mx，根据勾股定理得：CF2+DF2=CD2，即m2+（2mx）2=x2，解得：x=m，点D的坐标为：（m，m）；（2）方法一：四边形OABC是矩形，OA=2m，OABC，CDE=AED，CDE=CED，CE=CD=m，AE=CE=m，OE=OAAE=m，OABC，OEGCDG，即，解得：m=2，C（0，2），D（，2），作FHCD于H，如图1所示：则FHC=90=DFC，FCH=FCD，F
40、CHDCF，=，即，FH=，CH=，+2=，F（，），把点C（0，2），D（，2），F（，）代入y=ax2+bx+c得：，解得：a=，b=，c=2，抛物线的解析式为：y=x2+x+2；方法二：由（1）得，A（2m，0），C（0，m），D（m，m），G（0，3），根据折叠的性质：ACDG，KACKDG=1，m=2，C（0，2），D（，2），作FHCD于H，则FHC=DFC=90，FCH=FCD，FCHDCF，即，FH=，CH=，F（，），抛物线：y=ax2+bx+c，（）2a+b+c=，（）2a+b+c=2，c=2，a=，b=，c=2，抛物线的解析式为：y=x2+x+2（3）存在；点P的坐标为：
41、（，），或（，）；理由如下：如图2所示：CD=CE，CE=EA，CD=EA，线段CD的中点为M，DFC=90，MF=CD=EA，点P与点F重合，点P的坐标为：（，）；由抛物线的对称性得另一点P的坐标为（，）；在线段CD上方的抛物线上存在点P，使PM=EA，点P的坐标为：（，），或（，）【点评】本题是二次函数综合题目，考查了坐标与图形性质、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、用待定系数法求二次函数的解析式、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，需要作辅助线两次证明三角形相似才能得出相关点的坐标求出抛物线的解析式7（2015营口）如图1，一条抛物线与x
42、轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且当x=1和x=3时，y的值相等，直线y=x与抛物线有两个交点，其中一个交点的横坐标是6，另一个交点是这条抛物线的顶点M（1）求这条抛物线的表达式（2）动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动，设运动时间为t秒若使BPQ为直角三角形，请求出所有符合条件的t值；求t为何值时，四边形ACQP的面积有最小值，最小值是多少？（3）如图2，当动点P运动到OB的中点时，过点P作PDx轴，交抛物线于点D，连接OD，OM，MD得ODM，将OPD沿x轴向左平移m个单位长度（0m2），将平移后的三角形与ODM重叠部分的面积记为S，求S与m的函数关系式【考点】二次函数综合题菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】（1）因为当x=1和x=3时，y的值相等，所以抛物线的对称轴为直线x=1，将x=1和x=6分别代入中，可求得抛物线的顶点坐标和与直线另一交点的坐标，然后设出抛物线的顶点式，最后将（6，6）代入即