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2017-2018学年江苏省无锡市高一(下)期末数学试卷(含详细解答)

1、2017-2018学年江苏省无锡市高一(下)期末数学试卷一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分不需要写出解答过程,请将答案填写在答题卡相应的位置上)1(5分)某校有老师200人,男学生1200人,女学生1000人,现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为120人的样本进行某项调查,则应抽取的男学生人数为   2(5分)等比数列an中,若a21,a58,则a7   3(5分)ABC中,BC3,则C   4(5分)如图,有四根木棒穿过一堵墙,两人分别站在墙的左、右两边,各选该边的一根木棒若每边每根木棒被选中的机会相等,则两人选到同一根木棒的概率为 &

2、nbsp; 5(5分)已知某人连续5次射击的环数分别是8,9,10,x,8,若这组数据的平均数是9,则这组数据的方差为   6(5分)如图所示是一算法的伪代码,执行此算法时,输出的结果是   7(5分)已知实数x,y满足,则z9x3y的最大值是   8(5分)在等差数列an中,an0,a45,则的最小值为   9(5分)设,且,则n   10(5分)如图所示,墙上挂有一块边长为a的正六边形木板,它的六个角的空白部分都是以正六边形的顶点为圆心,半径为的扇形面,某人向此板投镖一次,假设一定能击中木板,且击中木板上每个点的可能性都一样,则他击中阴影部

3、分的概率是   11(5分)在ABC中,已知C,BCa,ACb,且a,b是方程x213x+400的两根,则AB的长度为   12(5分)在R上定义运算ab(a+1)b,若存在x1,2,使不等式(mx)(m+x)4成立,则实数m的取值范围为   13(5分)设数列an的前n项和为Sn,若对任意实数0,1,总存在自然数k,使得当nk时,不等式(23)n2(24)anan+1+3恒成立,则k的最小值是   14(5分)已知x0,y0,则+的最大值是   二、解答题(本大题共6小题,共计90分请在答题纸指定区域内作答,解答应写出文字说明,证明过程或演算

4、步骤)15(14分)某校有500名学生参加学校组织的“数学竞赛集训队”选拔考试,现从中等可能抽出n名学生的成绩作为样本,制成如图频率分布表:(1)求n的值,并根据题中信息估计总体平均数是多少?(2)若成绩不低于135分的同学能参加“数学竞赛集训队”,试估计该校大约多少名学生能参加“数学竞赛集训队”?分组频数频率85,95)0.02595,105)0.050105,115)0.200115,125)120.300125,135)0.275135,145)4145,155)0.050合计n116(14分)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若(1)求角B的值;(2)若ABC的面积S,a

5、5,求b的值17(14分)已知数列an是首项为,公比为q(q1)的等比数列,且a1,2a3成等差数列(1)求数列an的通项公式;(2)若bnnan,记数列bn的前n项和为Tn,求满足不等式16Tn+n300的最大正整数n的值18(16分)如图所示,ABC是临江公园内一个等腰三角形形状的小湖(假设湖岸是比值的),其中两腰CACB60米,cosCAB为了给市民营造良好的休闲环境,公园管理处决定在湖岸AC,AB上分别取点E,F(异于线段端点),在湖上修建一条笔直的水上观光通道EF(宽度不计),使得三角形AEF和四边形BCEF的周长相等(1)若水上观光通道的端点E为线段AC的三等分点(靠近点C),求此

6、时水上观光通道EF的长度;(2)当AE为多长时,观光通道EF的长度最短?并求出其最短长度19(16分)已知函数f(x)x22mx3m2(mR,m0)(1)解关于x的不等式f(x)mx2+m2x;(2)若当x1,4m时,|f(x)|4m恒成立,求实数m的取值范围20(16分)已知等差数列an的前n项的和为Sn,公差d0,若a4,a6,a10成等比数列,S714,数列bn满足:对于任意的nN*,等式b1an+b2an1+b3an2+bna12n都成立(1)求数列an的通项公式;(2)证明:数列bn是等比数列;(3)若数列cn满足,试问是否存在正整数s,t(其中1st),使c1,cs,ct成等比数列

7、?若存在,求出所有满足条件的数组(s,t);若不存在,请说明理由2017-2018学年江苏省无锡市高一(下)期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分不需要写出解答过程,请将答案填写在答题卡相应的位置上)1(5分)某校有老师200人,男学生1200人,女学生1000人,现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为120人的样本进行某项调查,则应抽取的男学生人数为60【分析】先求得分层抽样的抽取比例,根据比例计算男生中抽取的人数【解答】解:分层抽样的抽取比例为:,男生中抽取的人数为120060故答案为:60【点评】本题考查分层抽样,分层抽样的优点是:使样本

8、具有较强的代表性,并且抽样过程中可综合选用各种抽样方法,因此分层抽样是一种实用、操作性强、应用比较广泛的抽样方法2(5分)等比数列an中,若a21,a58,则a732【分析】根据等比数列的通项公式即可求出【解答】解:等比数列an中,若a21,a58,a5a2q3,q38,q2,则a7a5q28432,故答案为:32【点评】本题考查了等比数列的通项公式,考查了运算能力,属于基础题3(5分)ABC中,BC3,则C【分析】由A的度数,求出sinA的值,设aBC,cAB,由sinA,BC及AB的值,利用正弦定理求出sinC的值,由c小于a,根据大边对大角得到C小于A的度数,得到C的范围,利用特殊角的三

9、角函数值即可求出C的度数【解答】解:由,aBC3,c,根据正弦定理得:sinC,又C为三角形的内角,且ca,0C,则C故答案为:【点评】此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,正弦定理很好的建立了三角形的边角关系,熟练掌握正弦定理是解本题的关键,同时注意判断C的范围4(5分)如图,有四根木棒穿过一堵墙,两人分别站在墙的左、右两边,各选该边的一根木棒若每边每根木棒被选中的机会相等,则两人选到同一根木棒的概率为【分析】基本事件总数n4416,两人选到同一根木棒包含的基本事件个数m4,由此能求出两人选到同一根木棒的概率【解答】解:有四根木棒穿过一堵墙,两人分别站在墙的左、右两边,各选该边的一根木

10、棒基本事件总数n4416,每边每根木棒被选中的机会相等,两人选到同一根木棒包含的基本事件个数m4,两人选到同一根木棒的概率为p故答案为:【点评】本题考查概率的求法,考查古典概型等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题5(5分)已知某人连续5次射击的环数分别是8,9,10,x,8,若这组数据的平均数是9,则这组数据的方差为0.8【分析】根据题意,由平均数公式可得(8+9+10+x+8)45,解可得x的值,进而有方差计算公式计算可得答案【解答】解:根据题意,数据8,9,10,x,8的平均数是9,则有(8+9+10+x+8)45,解可得:x10,则这组数据的方差S2(89)2+(9

11、9)2+(109)2+(109)2+(89)20.8;故答案为:0.8【点评】本题考查数据的方差计算,关键是由平均数公式求出x的值6(5分)如图所示是一算法的伪代码,执行此算法时,输出的结果是3【分析】由程序中的变量、各语句的作用,结合流程图所给的顺序,可知当s15时,用s+n的值代替s得到新的s值,并且用n1代替n值得到新的n值,直到条件不能满足时结束循环体并输出最后的值,由此即可得到本题答案【解答】解:根据题中的程序框图,可得该程序经过第一次循环,因为s015,所以得到新的S0+66,n5;然后经过第二次循环,因为s615,所以得到新的S6+511,n4;然后经过第三次循环,因为s1115

12、,所以得到新的S11+415,n3;接下来判断:因为s15,不满足s15,所以结束循环体并输出最后的n,综上所述,可得最后输出的结果是3故答案为:3【点评】本题给出程序框图,求最后输出的n值,属于基础题解题的关键是先根据已知条件判断程序的功能,构造出相应的数学模型再求解,从而使问题得以解决7(5分)已知实数x,y满足,则z9x3y的最大值是27【分析】先画出可行域,化简z9x3y,结合z为目标函数纵截距的几何意义,平移直线02x+y,发现其过(1,1)时z有最大值即可求出结论【解答】解:画实数x,y满足可行域如图,z为目标函数z9x3y32x+y,u2x+y的纵截距取得最大值时,z取得最大值,

13、画直线L:02x+y,平移直线过A时z有最大值,由可得A(1,1),此时u3,z27故答案为:27【点评】本题考查线性规划问题,难度较小目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题,这类问题一般要分三步:画出可行域、求出关键点、定出最优解8(5分)在等差数列an中,an0,a45,则的最小值为1.6【分析】由等差数列的通项公式得a2+a62a410,从而()(a2+a6),由此利用基本不等式的性质能求出的最小值【解答】解:在等差数列an中,an0,a45,a2+a62a410,()(a2+a6)(+10)1.6当且仅当时,取等号故的最小值为1.6故答案为:1.6【点评】本题考查代数式的最小值的求法,

14、考查等差数列、基本不等式的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题9(5分)设,且,则n10【分析】运用裂项相消求和,可得Sn,解n的方程可得所求值【解答】解:1+1,由,可得,解得n10故答案为:10【点评】本题考查数列的裂项相消求和,考查方程思想和运算能力,属于基础题10(5分)如图所示,墙上挂有一块边长为a的正六边形木板,它的六个角的空白部分都是以正六边形的顶点为圆心,半径为的扇形面,某人向此板投镖一次,假设一定能击中木板,且击中木板上每个点的可能性都一样,则他击中阴影部分的概率是1【分析】分别求出正六边形和阴影部分的面积,作商即可【解答】解:由题意正六边形木板的面

15、积Sa2,空白部分的面积S,故阴影部分的面积S,故满足条件的概率P1,故答案为:1【点评】本题考查了几何概型问题,考查特殊图象面积的求法,是一道常规题11(5分)在ABC中,已知C,BCa,ACb,且a,b是方程x213x+400的两根,则AB的长度为7【分析】求出方程的解,根据余弦定理即可求出【解答】解:a,b是方程x213x+400的两根,a5,b8,或a8,b5,由余弦定理AB2c2a2+b22abcosC25+6428549,则AB7,故答案为:7【点评】本题考查了方程的解和余弦定理,属于基础题12(5分)在R上定义运算ab(a+1)b,若存在x1,2,使不等式(mx)(m+x)4成立

16、,则实数m的取值范围为3m2【分析】由题意把不等式化为(mx+1)(m+x)4,分离出m和x,利用函数的最值求关于m的不等式的解集即可【解答】解:由题意知,不等式(mx)(m+x)4化为(mx+1)(m+x)4,即m2+m4x2x;设f(x)x2x,x1,2,则f(x)的最大值是f(2)422;令m2+m42,即m2+m60,解得3m2,实数m的取值范围是3m2故答案为:3m2【点评】本题考查了新定义与不等式和函数的应用问题,是中档题13(5分)设数列an的前n项和为Sn,若对任意实数0,1,总存在自然数k,使得当nk时,不等式(23)n2(24)anan+1+3恒成立,则k的最小值是5【分析

17、】将anan+1代入不等式不等式(23)n2(24)anan+1+3恒成立,整理可得:(2n1)+n24n30,令f()(2n1)+n24n3,利用一次函数的单调性可得:,解出即可得出【解答】解:由,可得,ann1,不等式(23)n2(24)anan+1+3恒成立(2n1)+n24n30,令f()(2n1)+n24n3,对任意实数0,1,不等式(23)n2(24)anan+1+3恒成立,2n10,只需f(0)n24n30,解得n2+,nN+,n5,则k的最小值是5故答案为:5【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、一次函数的单调性、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题14

18、(5分)已知x0,y0,则+的最大值是【分析】将代数式化简整理,可得原式,可令t+,可得t2,原式即为,有对勾函数的单调性,可得最大值【解答】解:x0,y0,则+,可令t+,可得t2,则+,由yt+在t2递增,可得t+2+,可得8,当且仅当xy时,上式取得等号,则+的最大值是,故答案为:【点评】本题考查基本不等式的运用:求最值,考查化简变形能力,以及换元法的运用,对勾函数的单调性,考查运算求解能力,属于难题二、解答题(本大题共6小题,共计90分请在答题纸指定区域内作答,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15(14分)某校有500名学生参加学校组织的“数学竞赛集训队”选拔考试,现从中等可能

19、抽出n名学生的成绩作为样本,制成如图频率分布表:(1)求n的值,并根据题中信息估计总体平均数是多少?(2)若成绩不低于135分的同学能参加“数学竞赛集训队”,试估计该校大约多少名学生能参加“数学竞赛集训队”?分组频数频率85,95)0.02595,105)0.050105,115)0.200115,125)120.300125,135)0.275135,145)4145,155)0.050合计n1【分析】(1)由频率分布表得第4组中的频数是12,频率是0.300,能求出n的值求出数据135,145)的频率,利用组中值能估计平均数(2)成绩不低于135分的同学的概率为0.15,由此能估计该校学生

20、能参加“数学竞赛集训队”的人数【解答】解:(1)由频率分布表得第4组中的频数是12,频率是0.300,n40数据135,145)的频率为:1(0.025+0.05+0.2+0.3+0.275+0.05)0.1,利用组中值估计平均数为:900.025+1000.05+1100.2+1200.3+1300.275+1400.1+1500.05122.5(2)成绩不低于135分的同学的概率为:0.1+0.050.15,估计该校学生能参加“数学竞赛集训队”的人数大约为:5000.1575人【点评】本题考查频率分布表的应用,考查概率的求法,考查平均数、频率分布表的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函

21、数与方程思想,是基础题16(14分)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若(1)求角B的值;(2)若ABC的面积S,a5,求b的值【分析】(1)直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换求出结果(2)利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果【解答】解:(1)ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若利用正弦定理:,整理得:sin(B+C)sinBcosC+,则:sinCcosBsinCsinB,由于sinC0,所以tanB,由于:0B,解得:B(2)ABC的面积S,所以:,解得:ac20,由于a5,所以c4则:b2a2+c22accosB,25+1620,21,解得:b【点评】

22、本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变变换,正弦定理和余弦定理及三角形面积公式17(14分)已知数列an是首项为,公比为q(q1)的等比数列,且a1,2a3成等差数列(1)求数列an的通项公式;(2)若bnnan,记数列bn的前n项和为Tn,求满足不等式16Tn+n300的最大正整数n的值【分析】(1)利用已知条件建立等量关系式求出数列的通项公式(2)利用(1)的结论,进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和,进一步利用不等量关系式求出n的最大值【解答】解:(1)数列an是首项为,公比为q(q1)的等比数列,且a1,2a3成等差数列则:,即:2q23q+10,解得:q1或,由于q1,则:,所

23、以:(2)由于,则:bnnan,所以:+,+,得:,解得:,则:不等式16Tn+n300,转换为,即:,所以:2n41,解得n4故最大整数为4【点评】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,乘公比错位相减法在数列求和中的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型18(16分)如图所示,ABC是临江公园内一个等腰三角形形状的小湖(假设湖岸是比值的),其中两腰CACB60米,cosCAB为了给市民营造良好的休闲环境,公园管理处决定在湖岸AC,AB上分别取点E,F(异于线段端点),在湖上修建一条笔直的水上观光通道EF(宽度不计),使得三角形AEF和四边形BCEF的周长相等(1)若水

24、上观光通道的端点E为线段AC的三等分点(靠近点C),求此时水上观光通道EF的长度;(2)当AE为多长时,观光通道EF的长度最短?并求出其最短长度【分析】(1)过C作CHAB于H,求出AH40,AB80,从而AEF的四边形BCEF的周长相等,由此能求出水上观光通道EF的长度(2)求出AE+AF100,设AEx,AFy,由余弦定理得EF2x2+y22xycosCABx2+y2(x+y)2,从而EF2(100)2,由此能求出当AE50米时,观光通道EF的长度最短,其最短长度为米【解答】解:(1)在等腰ABC中,过C作CHAB于H,在RtACH中,由cosCAB,得,AH40,AB80,AEF的四边形

25、BCEF的周长相等,AE+AF+EFCE+BC+BF+EF,AE+AF(60AE)+60+(80AF),AE+AF100,E为线段AC的三等分点,(靠近C),AE40,AF+60,在AEF中,EF2AE2+AF22AEAFcosCAB200,EF20水上观光通道EF的长度为20米(2)由(1)知,AE+AF100,设AEx,AFy,在AEF中,由余弦定理得:EF2x2+y22xycosCABx2+y2(x+y)2,xy()2502,EF2(100)2,EF,当且仅当xy时,取等号,当AE50米时,观光通道EF的长度最短,其最短长度为米【点评】本题考查线段长的求法,考查余弦定理等基础知识,考查运

26、算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题19(16分)已知函数f(x)x22mx3m2(mR,m0)(1)解关于x的不等式f(x)mx2+m2x;(2)若当x1,4m时,|f(x)|4m恒成立,求实数m的取值范围【分析】(1)通过讨论m的范围,求出不等式的解集即可;(2)求出函数的对称轴,求出函数的最值,通过讨论m的范围,得到关于m的不等式组,解出即可【解答】解:(1)由题意得(m1)x2+(m2+2m)x+3m20,即(m1)x+3m(x+m)0,当m1时,得x+10,解得:x1,当0m1时,得(x+)(x+m)0,(m)0,m,解得:xm,或x,当m1时,得(x+)(x+m)0,(m),当

27、m4时,m,解得:mx,当m4时,m,(x+4)20,解集是,当1m4时,m,解得:xm,综上,0m1时,不等式解集是x|xm或x,m1时,不等式解集是x|x1,1m4时,不等式解集是x|xm,m4时,不等式解集是,m4时,不等式解集是x|mx;(2)f(x)的图象是一条开口向上的抛物线,关于xm对称,由题意得m,若m1,则f(x)在1,4m递增,从而f(x)在1,4m上的最小值是f(1)12m3m2,最大值是f(4m)5m2,由|f(x)|4m得4m2x22mx3m24m,于是有,解得:,0m,又m1,m,若m1,此时f(4m)5m24m,则当1x4m时,|f(x)|4m不恒成立,综上,使得

28、|f(x)|4m,x1,4m恒成立的m的范围是(,【点评】本题考查了二次函数的性质,考查分类讨论思想以及转化思想,是一道综合题20(16分)已知等差数列an的前n项的和为Sn,公差d0,若a4,a6,a10成等比数列,S714,数列bn满足:对于任意的nN*,等式b1an+b2an1+b3an2+bna12n都成立(1)求数列an的通项公式;(2)证明:数列bn是等比数列;(3)若数列cn满足,试问是否存在正整数s,t(其中1st),使c1,cs,ct成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数组(s,t);若不存在,请说明理由【分析】(1)运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质,可得首项和公差

29、的方程组,解方程即可得到所求an的通项;(2)可通过n1,求得b1,将n换为n1,两式相减可得b1+b2+bn1+bn2+2bn,将n换为n1,相减,运用等比数列的定义,即可得证;(3)假设存在正整数s,t(其中1st),使c1,cs,ct成等比数,则lgc1,lgcs,lgct成等差数列,依题意,可求得存在唯一正整数数对(s,t)(3,4),c1,cs,ct成等比数列【解答】解:(1)等差数列an的前n项的和为Sn,公差d0,若a4,a6,a10成等比数列,S714,可得a62a4a10,即(a1+5d)2(a1+3d)(a1+9d),化为a1+d0,又7a1+21d14,解得a11,d1,

30、则ann2;(2)证明:任意的nN*,等式b1an+b2an1+b3an2+bna12n都成立,可得b1a12,即b12;由n2时,b1an1+b2an2+b3an3+bn1a12(n1),b1an+b2an1+b3an2+bna12n,两式相减可得b1+b2+bn1+bna12,b1+b2+bn1+bn2+2bn,当n2时,b1+b2+bn12+2bn1,两式相减可得bn2bn2bn1,即bn2bn1,则数列bn是首项和公比均为2的等比数列;(3),假设存在正整数数组(s,t),使c1,cs,ct成等比数列,则lgc1,lgcs,lgct成等差数列,于是+,所以t2t()()易知(s,t)(3,4)为方程()的一组解当s4,且sN*时,0,故数列(s3)为递减数列,于是0,所以此时方程()无正整数解综上,存在唯一正整数数对(s,t)(3,4),c1,cs,ct成等比数列【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用,考查化简整理的运算能力,属于中档题