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2017-2018学年江苏省盐城市高一(下)期末数学试卷(含详细解答)

1、2017-2018学年江苏省盐城市高一(下)期末数学试卷一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1(5分)过原点且与直线xy+10垂直的直线的方程为   2(5分)在等比数列an中,a12,a3a58,则a7的值为   3(5分)若向量(2,1),(4,),且,则实数的值为   4(5分)在平面直角坐标xOy中,若点()在经过原点且倾斜角为的直线上,则实数t的值为   5(5分)若过点P(1,2)引圆C:(x1)2+(y2)216的切线,则切线长为   6(5分)用半径为2cm的半圆形纸片卷成一个圆

2、锥筒,则这个圆锥筒的高为   cm7(5分)若角,均为锐角,cos,tan(),则tan的值为   8(5分)如图,直三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长均为2,D为棱B1C1上任意一点,则三棱锥DA1BC的体积是   9(5分)在ABC中,若(sinA+sinB+sinC)(sinB+sinCsinA)sinBsinC,则角A的值为   10(5分)过点P(0,2)作直线l与圆O:x2+y21交于A,B两点,若,则直线l的斜率为   11(5分)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,该数列

3、的特点是:前两个数都是1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”,若an是“斐波那契数列”,则(a1a3)(a2a4)(a3a5)(a2017a2019a20182)的值为   12(5分)如图,在同一个平面内,与的夹角为,且,与的夹角为60,若,则的值为   13(5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若AC,a,b,c成等差,则cosB的值为   14(5分)定义:对于实数m和两定点M,N,在某图形上恰有n(nN*)个不同的点Pi,使得,称该图形满足“n度契合”若边长为4的正方形ABCD

4、中,2,3,且该正方形满足“4度契合”,则实数m的取值范围是   二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(14分)设函数f(x)cos(2x)2sinxcosx(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在0,上的最大值和最小值16(14分)如图,在四棱锥PABCD中,PD平面ABCD,ADBC,ABBC,AD,点E,F,G分别是PB,CD,AB的中点(1)求证:ABEG;(2)求证:EF平面PAD17(14分)如图,在边长为1的正六边形ABCDEF中,M为边EF上一点,且满足,设,(1)若,试用,表示

5、和;(2)若1,求的值18(16分)如图所示,为美化环境,拟在四边形ABCD空地上修建两条道路EA和ED,将四边形分成三个区域,种植不同品种的花草,其中点E在边BC的三等分处(靠近B点),BC3百米,BCCD,ABC120,百米,AED60(1)求ABE区域的面积;(2)为便于花草种植,现拟过C点铺设一条水管CH至道路ED上,求当水管CH最短时的长19(16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,圆O:x2+y24与x轴的正半轴交于点A,以点A为圆心的圆A:(x2)2+y2r2(r0)与圆O交于B,C两点(1)当r时,求BC的长;(2)当r变化时,求的最小值;(3)过点P(6,0)的直线l与圆A切

6、于点D,与圆O分别交于点E,F,若点E是DF的中点,试求直线l的方程20(16分)设数列an,bn 满足bn+1a1+a1bna2(1)若b12,数列an 的前n项和Snn2,求数列bn 的通项公式;(2)若an(a10),且b13a1,试用a1和n表示bn;若b20,对任意的i,jN*,试用a1表示bibj的最大值2017-2018学年江苏省盐城市高一(下)期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1(5分)过原点且与直线xy+10垂直的直线的方程为x+y0【分析】设过原点且与直线xy+10垂直的直线的方程为x+y+c

7、0,把原点O(0,0)代入,能求出过原点且与直线xy+10垂直的直线的方程【解答】解:设过原点且与直线xy+10垂直的直线的方程为x+y+c0,把原点O(0,0)代入,得:c0,过原点且与直线xy+10垂直的直线的方程为x+y0故答案为:x+y0【点评】本题考查直线方程的求法,考查直线与直线垂直等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题2(5分)在等比数列an中,a12,a3a58,则a7的值为4【分析】利用等比数列的通项公式求出q62,由此能求出a7的值【解答】解:等比数列an中,a12,a3a58,a3a52q22q44q68,解得q62,a7224故答案为:4【点评】本题

8、考查等比数列的第7项的求法,考查等比数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题3(5分)若向量(2,1),(4,),且,则实数的值为2【分析】利用向量共线定理即可得出【解答】解:,240,解得2故答案为:2【点评】本题考查了向量共线定理,考查了推理能力与计算能力,属于基础题4(5分)在平面直角坐标xOy中,若点()在经过原点且倾斜角为的直线上,则实数t的值为3【分析】求出原点且倾斜角为的直线方程,把点()代入直线方程求解t【解答】解:过原点且倾斜角为的直线斜率为ktan,方程为y,点()在直线上,t故答案为:3【点评】本题考查直线的倾斜角与斜率的关系,考查直线方程的应

9、用,是基础题5(5分)若过点P(1,2)引圆C:(x1)2+(y2)216的切线,则切线长为2【分析】求出圆C的圆心和半径,再利用勾股定理求得切线长【解答】解:圆C:(x1)2+(y2)216的圆心为C(1,2),半径为r4;则|PC|2,切线长为d2故答案为:2【点评】本题考查了两点间的距离计算问题,也考查了圆的方程与应用问题,是基础题6(5分)用半径为2cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒,则这个圆锥筒的高为cm【分析】先求半圆的弧长,就是圆锥的底面周长,求出底面圆的半径,然后利用勾股定理求出圆锥的高【解答】解:半径为2的半圆弧长为2,圆锥的底面圆的周长为2,其轴截面为等腰三角形如图:圆锥的底面

10、半径为:1圆锥的高h故答案是【点评】本题考查圆锥以及侧面展开图的知识,考查学生的运算能力7(5分)若角,均为锐角,cos,tan(),则tan的值为3【分析】由已知求得tan,结合tan(),再由tantan()展开两角差的正切求解【解答】解:为锐角,且cos,sin,则tan,又tan(),tantan()故答案为:3【点评】本题考查同角三角函数基本关系式及两角差的正切,是基础的计算题8(5分)如图,直三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长均为2,D为棱B1C1上任意一点,则三棱锥DA1BC的体积是【分析】由已知可得三棱柱ABCA1B1C1为正三棱柱,分别求出三角形BCD的面积及A1 到平面BC

11、C1B1的距离,再由等积法得答案【解答】解:如图,由题意可知,三棱柱ABCA1B1C1为正三棱柱如图,D为棱B1C1上任意一点,则A1 到平面BCC1B1 的距离d故答案为:【点评】本题考查棱柱的结构特征,考查利用等积法求多面体的体积,是中档题9(5分)在ABC中,若(sinA+sinB+sinC)(sinB+sinCsinA)sinBsinC,则角A的值为【分析】利用正弦、余弦定理,即可求出A的值【解答】解:ABC中,(sinA+sinB+sinC)(sinB+sinCsinA)sinBsinC,则(a+b+c)(b+ca)bc,(b+c)2a2bc,b2+c2a2bc,cosA,又A(0,

12、),A故答案为:【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题,是基础题10(5分)过点P(0,2)作直线l与圆O:x2+y21交于A,B两点,若,则直线l的斜率为【分析】首先根据点P的坐标,设出直线的方程ykx+2,进一步利用直线和圆的位置关系建立方程组,整理成一元二次方程的形式,根据,利用一元二次方程根和系数关系的应用求出k的值【解答】解:设经过点P(0,2)的直线方程为ykx+2,直线l与圆O:x2+y21交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则:,整理得:(1+k2)x2+4kx+30,所以:,由于,则:,整理得:,解得:k即直线的斜率为故答案为:【点评】本题考查的知识要点:直线的方

13、程的应用,向量的数量积的应用,直线和圆的位置关系的应用,一元二次方程根和系数关系的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型11(5分)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,该数列的特点是:前两个数都是1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”,若an是“斐波那契数列”,则(a1a3)(a2a4)(a3a5)(a2017a2019a20182)的值为1【分析】利用a1a3a2212121,a2a4a3213221,a3a5a4225321,a2017a2019a201821

14、,即可得出所求值【解答】解:数列为1,1,2,3,5,8,13,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,可得a1a3a2212121,a2a4a3213221,a3a5a4225321,a2017a2019a201821,则(a1a3)(a2a4)(a3a5)(a2017a2019a20182)11009(1)10081,故答案为:1【点评】本题考查了斐波那契数列的性质及其应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题12(5分)如图,在同一个平面内,与的夹角为,且,与的夹角为60,若,则的值为3【分析】以OC为对角线作平行四边形,在三角形中用正弦定理可求得【解答】解:过点C分别作OA、OB

15、的平行线,交OB、OA与F、E则四边形OECE为平行四边形,+,2,又tan,sin,在三角形OCF中,由正弦定理得:,3故答案为:3【点评】本题考查了平行四边形法则,平面向量基本定理和正弦定理属中档题13(5分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若AC,a,b,c成等差,则cosB的值为【分析】先根据三角之和以及AC,可得A,再根据等差数列的性质和正弦定理可得2sinBsinA+sinC,再根据三角函数的化简可得sin,再根据二倍角公式即可求出【解答】解:在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,AC,ABCB(A),Aa,b,c成等差数列,2ba+c,即2sinBs

16、inA+sinCsinA+sin(A)sinAcosAsin(A)sin()cos,4sincoscos,sincosB12sin212()2,故答案为:【点评】本题考查了三角函数的化简和正弦定理,考查运算求解能力,是中档题14(5分)定义:对于实数m和两定点M,N,在某图形上恰有n(nN*)个不同的点Pi,使得,称该图形满足“n度契合”若边长为4的正方形ABCD中,2,3,且该正方形满足“4度契合”,则实数m的取值范围是m或2m6【分析】利用数量积的定义和M,N两点的位置可得点Pi的运动轨迹是以(2,)为圆心,半径r的圆,只需该圆与正方形有4个交点即可即可求得m的取值范围【解答】解,如图建立

17、平面直角坐标系,可得N(0,1),M(4,2),设Pi(x,y),由,可得(x2)2+(y)2,即点Pi的运动轨迹是以(2,)为圆心,半径r的圆,只需该圆与正方形有4个交点即可如图:当r2,即m时(图中从内往外第一个圆),有4个交点;当动圆在图中第二个与第三个之间(从内往外第一个圆)时有4个交点,此时:,2m6答案为:m或2m6【点评】本题考查学生对文字的处理能力和数量积的定义动点轨迹问题,属于中档题二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(14分)设函数f(x)cos(2x)2sinxcosx(1)求函数f(x)的最小正周

18、期;(2)求函数f(x)在0,上的最大值和最小值【分析】(1)首先把函数的关系式变形成余弦型函数,进一步利用函数的性质求出结果(2)利用函数的定义域确定函数的值域【解答】解(1),cos()所以函数f(x)的最小正周期为(2)当时,所以当即时,函数f(x)的最小值为1,当即x0时,函数f(x)的最大值为【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变变换,余弦型函数的性质的应用16(14分)如图,在四棱锥PABCD中,PD平面ABCD,ADBC,ABBC,AD,点E,F,G分别是PB,CD,AB的中点(1)求证:ABEG;(2)求证:EF平面PAD【分析】(1)推导出PDAB,ADAB,从而

19、AB平面PAD,进而ABPA,再由EGPA,能证明ABEG(2)由EGPA,得EG平面PAD,同理FG平面PAD,从而平面EFG平面PAD,由此能证明EF平面PAD【解答】证明:(1)因为PD平面ABCD,AB平面ABCD所以PDAB(2分)又因为BCAD,ABBC所以ADAB又PDADD,所以AB平面PAD(4分)AP平面PAD,所以ABPA在PAB中,点E、G分别是PB、AB的中点所以EGPA,从而ABEG(7分)(2)由(1)证明可知:EGPA,AP平面PAD,EG平面PAD所以EG平面PAD,同理FG平面PAD,EGFGG所以平面EFG平面PAD,(10分)又因为EF平面EFG所以EF

20、平面PAD(14分)【点评】本题考查线线垂直、线面平行的证明,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题17(14分)如图,在边长为1的正六边形ABCDEF中,M为边EF上一点,且满足,设,(1)若,试用,表示和;(2)若1,求的值【分析】(1)直接利用三角形法则的应用,利用向量的线性运算求出结果(2)利用向量的数量积运算求出结果【解答】解:(1)记正六边形的中心为点O,连结OB、OA、OF、OE,在平行四边形OFAB中,在平行四边形AOEF中,(2)若,又因为,所以【点评】本题考查的知识要点:向量的线性运算,向量的数量积的运算的应用,主要

21、考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型18(16分)如图所示,为美化环境,拟在四边形ABCD空地上修建两条道路EA和ED,将四边形分成三个区域,种植不同品种的花草,其中点E在边BC的三等分处(靠近B点),BC3百米,BCCD,ABC120,百米,AED60(1)求ABE区域的面积;(2)为便于花草种植,现拟过C点铺设一条水管CH至道路ED上,求当水管CH最短时的长【分析】(1)由余弦定理求出AB4百米,由此能求出ABE区域的面积(2)记AEB,在ABE中,求出sin,cos,当CHDE时,水管长最短,由此能求出当水管CH最短时的长【解答】解:(1)由题意得:BE1,ABC120,EA,在A

22、BE中,AE2AB2+BE22ABBEcosABE,21AB2+1+AB,解得AB4百米4分SABE平方百米6分(2)记AEB,在ABE中,即,sin,cos,12分当CHDE时,水管长最短,在RtECH中,CHCEsinHEC2sin()2sincos2cossin百米16分【点评】本题考查三角形面积的求法,考查线段长的最小值的求法,考查余弦定理等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是中档题19(16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,圆O:x2+y24与x轴的正半轴交于点A,以点A为圆心的圆A:(x2)2+y2r2(r0)与圆O交于B,C两点(1)当r时,求BC的长;(2)当r

23、变化时,求的最小值;(3)过点P(6,0)的直线l与圆A切于点D,与圆O分别交于点E,F,若点E是DF的中点,试求直线l的方程【分析】(1)构造方程组,求出点B,C的坐标,根据两点之间的距离公式即可求出,(2)根据对称性,可得2(x01)22,即可求出最小值,(3)根据比例的性质和勾股定理,可求出半径r,再设可设直线的方程为:xmy+6,根据点到直线的距离公式即可求出【解答】解:(1)当r时,由得,BC,(2)由对称性,设B(x0,y0),C(x0,y0),则x02+y024,所以(x02)2y02(x02)2(4x02)2(x01)22,因为2x02,所以当x01时,的最小值为2;(3)取E

24、F的中点G,连结OG,AD,OF,则ADOG,则,从而OGr,不妨记DE2EG2GF2t,PD6t,在RtOFG中OF2OG2+FG2即22()2+t2RtADP中AP2AD2+DP2即42r2+(6t)2,由解得r,由题直线的斜率不为0,可设直线的方程为:xmy+6,由点A到直线的距离等于r,则,所以m3,从而直线的方程为x3y60【点评】本题考查了直线与圆的位置关系的应用及化简运算的能力,两点之间的距离公式,勾股定理,点到直线的距离,属于中档题20(16分)设数列an,bn 满足bn+1a1+a1bna2(1)若b12,数列an 的前n项和Snn2,求数列bn 的通项公式;(2)若an(a

25、10),且b13a1,试用a1和n表示bn;若b20,对任意的i,jN*,试用a1表示bibj的最大值【分析】(1)分别令n1和2求得a1,a2,结合等差数列的通项公式可得所求通项;(2)运用等比数列的定义和通项公式,可得所求通项;由题b20,可得a1的范围,讨论bn中奇数项和偶数项的单调性,即可得到所求最大值【解答】解:(1)b12,数列an 的前n项和Snn2,令n1得a1S11,n2得S2a1+a24,所以a23,所以bn+1bn2,得bn42n;(2)由若an(a10),可得a2a12,所以bn+1a1+a1bna12,即bn+1a1a1(bna1),b13a1,则b1a12a10,所以bna1构成等比数列,从而bna12a1a1n12a1n,所以bn2a1n+a1;由题b20,则2a12+a10得a10,从而b2n12|a1|2n1+a1a1且b2n1单调递增;b2n2|a1|2n+a1a1且b2n单调递减;从而b1b3b5b2n1a1b2nb6b4b2,所以对任意的i,jN*,bibj的最大值为b2b12a122a1【点评】本题考查数列的通项公式的求法,注意运用等差和等比数列的定义和通项公式,考查构造数列和数列的单调性的运用,属于中档题