1、2017-2018学年江苏省盐城市高一（下）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1（5分）过原点且与直线xy+10垂直的直线的方程为 2（5分）在等比数列an中，a12，a3a58，则a7的值为 3（5分）若向量（2，1），（4，），且，则实数的值为 4（5分）在平面直角坐标xOy中，若点（）在经过原点且倾斜角为的直线上，则实数t的值为 5（5分）若过点P（1，2）引圆C：（x1）2+（y2）216的切线，则切线长为 6（5分）用半径为2cm的半圆形纸片卷成一个圆
2、锥筒，则这个圆锥筒的高为 cm7（5分）若角，均为锐角，cos，tan（），则tan的值为 8（5分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥DA1BC的体积是 9（5分）在ABC中，若（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinCsinA）sinBsinC，则角A的值为 10（5分）过点P（0，2）作直线l与圆O：x2+y21交于A，B两点，若，则直线l的斜率为 11（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，该数列
3、的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若an是“斐波那契数列”，则（a1a3）（a2a4）（a3a5）（a2017a2019a20182）的值为 12（5分）如图，在同一个平面内，与的夹角为，且，与的夹角为60，若，则的值为 13（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若AC，a，b，c成等差，则cosB的值为 14（5分）定义：对于实数m和两定点M，N，在某图形上恰有n（nN*）个不同的点Pi，使得，称该图形满足“n度契合”若边长为4的正方形ABCD
4、中，2，3，且该正方形满足“4度契合”，则实数m的取值范围是 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）设函数f（x）cos（2x）2sinxcosx（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）在0，上的最大值和最小值16（14分）如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ADBC，ABBC，AD，点E，F，G分别是PB，CD，AB的中点（1）求证：ABEG；（2）求证：EF平面PAD17（14分）如图，在边长为1的正六边形ABCDEF中，M为边EF上一点，且满足，设，（1）若，试用，表示
5、和；（2）若1，求的值18（16分）如图所示，为美化环境，拟在四边形ABCD空地上修建两条道路EA和ED，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点E在边BC的三等分处（靠近B点），BC3百米，BCCD，ABC120，百米，AED60（1）求ABE区域的面积；（2）为便于花草种植，现拟过C点铺设一条水管CH至道路ED上，求当水管CH最短时的长19（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y24与x轴的正半轴交于点A，以点A为圆心的圆A：（x2）2+y2r2（r0）与圆O交于B，C两点（1）当r时，求BC的长；（2）当r变化时，求的最小值；（3）过点P（6，0）的直线l与圆A切
6、于点D，与圆O分别交于点E，F，若点E是DF的中点，试求直线l的方程20（16分）设数列an，bn 满足bn+1a1+a1bna2（1）若b12，数列an 的前n项和Snn2，求数列bn 的通项公式；（2）若an（a10），且b13a1，试用a1和n表示bn；若b20，对任意的i，jN*，试用a1表示bibj的最大值2017-2018学年江苏省盐城市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1（5分）过原点且与直线xy+10垂直的直线的方程为x+y0【分析】设过原点且与直线xy+10垂直的直线的方程为x+y+c
7、0，把原点O（0，0）代入，能求出过原点且与直线xy+10垂直的直线的方程【解答】解：设过原点且与直线xy+10垂直的直线的方程为x+y+c0，把原点O（0，0）代入，得：c0，过原点且与直线xy+10垂直的直线的方程为x+y0故答案为：x+y0【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线与直线垂直等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题2（5分）在等比数列an中，a12，a3a58，则a7的值为4【分析】利用等比数列的通项公式求出q62，由此能求出a7的值【解答】解：等比数列an中，a12，a3a58，a3a52q22q44q68，解得q62，a7224故答案为：4【点评】本题
8、考查等比数列的第7项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题3（5分）若向量（2，1），（4，），且，则实数的值为2【分析】利用向量共线定理即可得出【解答】解：，240，解得2故答案为：2【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4（5分）在平面直角坐标xOy中，若点（）在经过原点且倾斜角为的直线上，则实数t的值为3【分析】求出原点且倾斜角为的直线方程，把点（）代入直线方程求解t【解答】解：过原点且倾斜角为的直线斜率为ktan，方程为y，点（）在直线上，t故答案为：3【点评】本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，考查直线方程的应
9、用，是基础题5（5分）若过点P（1，2）引圆C：（x1）2+（y2）216的切线，则切线长为2【分析】求出圆C的圆心和半径，再利用勾股定理求得切线长【解答】解：圆C：（x1）2+（y2）216的圆心为C（1，2），半径为r4；则|PC|2，切线长为d2故答案为：2【点评】本题考查了两点间的距离计算问题，也考查了圆的方程与应用问题，是基础题6（5分）用半径为2cm的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为cm【分析】先求半圆的弧长，就是圆锥的底面周长，求出底面圆的半径，然后利用勾股定理求出圆锥的高【解答】解：半径为2的半圆弧长为2，圆锥的底面圆的周长为2，其轴截面为等腰三角形如图：圆锥的底面
10、半径为：1圆锥的高h故答案是【点评】本题考查圆锥以及侧面展开图的知识，考查学生的运算能力7（5分）若角，均为锐角，cos，tan（），则tan的值为3【分析】由已知求得tan，结合tan（），再由tantan（）展开两角差的正切求解【解答】解：为锐角，且cos，sin，则tan，又tan（），tantan（）故答案为：3【点评】本题考查同角三角函数基本关系式及两角差的正切，是基础的计算题8（5分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长均为2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥DA1BC的体积是【分析】由已知可得三棱柱ABCA1B1C1为正三棱柱，分别求出三角形BCD的面积及A1 到平面BC
11、C1B1的距离，再由等积法得答案【解答】解：如图，由题意可知，三棱柱ABCA1B1C1为正三棱柱如图，D为棱B1C1上任意一点，则A1 到平面BCC1B1 的距离d故答案为：【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查利用等积法求多面体的体积，是中档题9（5分）在ABC中，若（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinCsinA）sinBsinC，则角A的值为【分析】利用正弦、余弦定理，即可求出A的值【解答】解：ABC中，（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinCsinA）sinBsinC，则（a+b+c）（b+ca）bc，（b+c）2a2bc，b2+c2a2bc，cosA，又A（0，
12、），A故答案为：【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，是基础题10（5分）过点P（0，2）作直线l与圆O：x2+y21交于A，B两点，若，则直线l的斜率为【分析】首先根据点P的坐标，设出直线的方程ykx+2，进一步利用直线和圆的位置关系建立方程组，整理成一元二次方程的形式，根据，利用一元二次方程根和系数关系的应用求出k的值【解答】解：设经过点P（0，2）的直线方程为ykx+2，直线l与圆O：x2+y21交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则：，整理得：（1+k2）x2+4kx+30，所以：，由于，则：，整理得：，解得：k即直线的斜率为故答案为：【点评】本题考查的知识要点：直线的方
13、程的应用，向量的数量积的应用，直线和圆的位置关系的应用，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型11（5分）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，若an是“斐波那契数列”，则（a1a3）（a2a4）（a3a5）（a2017a2019a20182）的值为1【分析】利用a1a3a2212121，a2a4a3213221，a3a5a4225321，a2017a2019a201821
14、，即可得出所求值【解答】解：数列为1，1，2，3，5，8，13，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，可得a1a3a2212121，a2a4a3213221，a3a5a4225321，a2017a2019a201821，则（a1a3）（a2a4）（a3a5）（a2017a2019a20182）11009（1）10081，故答案为：1【点评】本题考查了斐波那契数列的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（5分）如图，在同一个平面内，与的夹角为，且，与的夹角为60，若，则的值为3【分析】以OC为对角线作平行四边形，在三角形中用正弦定理可求得【解答】解：过点C分别作OA、OB
15、的平行线，交OB、OA与F、E则四边形OECE为平行四边形，+，2，又tan，sin，在三角形OCF中，由正弦定理得：，3故答案为：3【点评】本题考查了平行四边形法则，平面向量基本定理和正弦定理属中档题13（5分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若AC，a，b，c成等差，则cosB的值为【分析】先根据三角之和以及AC，可得A，再根据等差数列的性质和正弦定理可得2sinBsinA+sinC，再根据三角函数的化简可得sin，再根据二倍角公式即可求出【解答】解：在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AC，ABCB（A），Aa，b，c成等差数列，2ba+c，即2sinBs
16、inA+sinCsinA+sin（A）sinAcosAsin（A）sin（）cos，4sincoscos，sincosB12sin212（）2，故答案为：【点评】本题考查了三角函数的化简和正弦定理，考查运算求解能力，是中档题14（5分）定义：对于实数m和两定点M，N，在某图形上恰有n（nN*）个不同的点Pi，使得，称该图形满足“n度契合”若边长为4的正方形ABCD中，2，3，且该正方形满足“4度契合”，则实数m的取值范围是m或2m6【分析】利用数量积的定义和M，N两点的位置可得点Pi的运动轨迹是以（2，）为圆心，半径r的圆，只需该圆与正方形有4个交点即可即可求得m的取值范围【解答】解，如图建立
17、平面直角坐标系，可得N（0，1），M（4，2），设Pi（x，y），由，可得（x2）2+（y）2，即点Pi的运动轨迹是以（2，）为圆心，半径r的圆，只需该圆与正方形有4个交点即可如图：当r2，即m时（图中从内往外第一个圆），有4个交点；当动圆在图中第二个与第三个之间（从内往外第一个圆）时有4个交点，此时：，2m6答案为：m或2m6【点评】本题考查学生对文字的处理能力和数量积的定义动点轨迹问题，属于中档题二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）设函数f（x）cos（2x）2sinxcosx（1）求函数f（x）的最小正周
18、期；（2）求函数f（x）在0，上的最大值和最小值【分析】（1）首先把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用函数的性质求出结果（2）利用函数的定义域确定函数的值域【解答】解（1），cos（）所以函数f（x）的最小正周期为（2）当时，所以当即时，函数f（x）的最小值为1，当即x0时，函数f（x）的最大值为【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，余弦型函数的性质的应用16（14分）如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ADBC，ABBC，AD，点E，F，G分别是PB，CD，AB的中点（1）求证：ABEG；（2）求证：EF平面PAD【分析】（1）推导出PDAB，ADAB，从而
19、AB平面PAD，进而ABPA，再由EGPA，能证明ABEG（2）由EGPA，得EG平面PAD，同理FG平面PAD，从而平面EFG平面PAD，由此能证明EF平面PAD【解答】证明：（1）因为PD平面ABCD，AB平面ABCD所以PDAB（2分）又因为BCAD，ABBC所以ADAB又PDADD，所以AB平面PAD（4分）AP平面PAD，所以ABPA在PAB中，点E、G分别是PB、AB的中点所以EGPA，从而ABEG（7分）（2）由（1）证明可知：EGPA，AP平面PAD，EG平面PAD所以EG平面PAD，同理FG平面PAD，EGFGG所以平面EFG平面PAD，（10分）又因为EF平面EFG所以EF
20、平面PAD（14分）【点评】本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题17（14分）如图，在边长为1的正六边形ABCDEF中，M为边EF上一点，且满足，设，（1）若，试用，表示和；（2）若1，求的值【分析】（1）直接利用三角形法则的应用，利用向量的线性运算求出结果（2）利用向量的数量积运算求出结果【解答】解：（1）记正六边形的中心为点O，连结OB、OA、OF、OE，在平行四边形OFAB中，在平行四边形AOEF中，（2）若，又因为，所以【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的数量积的运算的应用，主要
21、考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型18（16分）如图所示，为美化环境，拟在四边形ABCD空地上修建两条道路EA和ED，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点E在边BC的三等分处（靠近B点），BC3百米，BCCD，ABC120，百米，AED60（1）求ABE区域的面积；（2）为便于花草种植，现拟过C点铺设一条水管CH至道路ED上，求当水管CH最短时的长【分析】（1）由余弦定理求出AB4百米，由此能求出ABE区域的面积（2）记AEB，在ABE中，求出sin，cos，当CHDE时，水管长最短，由此能求出当水管CH最短时的长【解答】解：（1）由题意得：BE1，ABC120，EA，在A
22、BE中，AE2AB2+BE22ABBEcosABE，21AB2+1+AB，解得AB4百米4分SABE平方百米6分（2）记AEB，在ABE中，即，sin，cos，12分当CHDE时，水管长最短，在RtECH中，CHCEsinHEC2sin（）2sincos2cossin百米16分【点评】本题考查三角形面积的求法，考查线段长的最小值的求法，考查余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题19（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2+y24与x轴的正半轴交于点A，以点A为圆心的圆A：（x2）2+y2r2（r0）与圆O交于B，C两点（1）当r时，求BC的长；（2）当r
23、变化时，求的最小值；（3）过点P（6，0）的直线l与圆A切于点D，与圆O分别交于点E，F，若点E是DF的中点，试求直线l的方程【分析】（1）构造方程组，求出点B，C的坐标，根据两点之间的距离公式即可求出，（2）根据对称性，可得2（x01）22，即可求出最小值，（3）根据比例的性质和勾股定理，可求出半径r，再设可设直线的方程为：xmy+6，根据点到直线的距离公式即可求出【解答】解：（1）当r时，由得，BC，（2）由对称性，设B（x0，y0），C（x0，y0），则x02+y024，所以（x02）2y02（x02）2（4x02）2（x01）22，因为2x02，所以当x01时，的最小值为2；（3）取E
24、F的中点G，连结OG，AD，OF，则ADOG，则，从而OGr，不妨记DE2EG2GF2t，PD6t，在RtOFG中OF2OG2+FG2即22（）2+t2RtADP中AP2AD2+DP2即42r2+（6t）2，由解得r，由题直线的斜率不为0，可设直线的方程为：xmy+6，由点A到直线的距离等于r，则，所以m3，从而直线的方程为x3y60【点评】本题考查了直线与圆的位置关系的应用及化简运算的能力，两点之间的距离公式，勾股定理，点到直线的距离，属于中档题20（16分）设数列an，bn 满足bn+1a1+a1bna2（1）若b12，数列an 的前n项和Snn2，求数列bn 的通项公式；（2）若an（a
25、10），且b13a1，试用a1和n表示bn；若b20，对任意的i，jN*，试用a1表示bibj的最大值【分析】（1）分别令n1和2求得a1，a2，结合等差数列的通项公式可得所求通项；（2）运用等比数列的定义和通项公式，可得所求通项；由题b20，可得a1的范围，讨论bn中奇数项和偶数项的单调性，即可得到所求最大值【解答】解：（1）b12，数列an 的前n项和Snn2，令n1得a1S11，n2得S2a1+a24，所以a23，所以bn+1bn2，得bn42n；（2）由若an（a10），可得a2a12，所以bn+1a1+a1bna12，即bn+1a1a1（bna1），b13a1，则b1a12a10，所以bna1构成等比数列，从而bna12a1a1n12a1n，所以bn2a1n+a1；由题b20，则2a12+a10得a10，从而b2n12|a1|2n1+a1a1且b2n1单调递增；b2n2|a1|2n+a1a1且b2n单调递减；从而b1b3b5b2n1a1b2nb6b4b2，所以对任意的i，jN*，bibj的最大值为b2b12a122a1【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用等差和等比数列的定义和通项公式，考查构造数列和数列的单调性的运用，属于中档题