1、第三讲机械能守恒定律及其应用小题快练1判断题(1)重力势能的变化与零势能参考面的选取无关( )(2)克服重力做功，物体的重力势能一定增加( )(3)弹力做正功，弹性势能一定增加( )(4)物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒( )(5)物体的速度增大时，其机械能可能减小( )(6)物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒( )2关于重力势能，下列说法中正确的是( D )A物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定B物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大C一个物体的重力势能从5 J变化到3 J，重力势能减少了D重力势能的减少量等于重力对物体做的功3如图
2、所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连接着一轻弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F作用下物体处于静止状态，当撤去力F后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是( D )A弹簧的弹性势能逐渐减少B物体的机械能不变C弹簧的弹性势能先增加后减少D弹簧的弹性势能先减少后增加4(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( CD )A甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒B乙图中，A置于光滑水平面上，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒C丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时A加速下落，B加速上升过程中，A、B系统机械能守恒D丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小
3、球的机械能守恒考点一机械能守恒的判断 (自主学习)1对机械能守恒条件的理解(1)只受重力作用，例如不考虑空气阻力的各种抛体运动，物体的机械能守恒(2)除重力外，物体还受其他力，但其他力不做功或做功代数和为零(3)除重力外，只有系统内的弹力做功，并且弹力做的功等于弹性势能变化量的负值，那么系统的机械能守恒，注意并非物体的机械能守恒，如与弹簧相连的小球下摆的过程机械能减少2机械能是否守恒的三种判断方法(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，机械能守恒(2)利用守恒条件判断(3)利用能量转化判断：若物体系统与外界没有能量交换，物体系统内也没有机械能与其他形式能的转化，则物体系统机械能守
4、恒11.机械能守恒的判断在如图所示的物理过程示意图中，甲图一端固定有小球的轻杆，从右偏上30角释放后绕光滑支点摆动；乙图为末端固定有小球的轻质直角架，释放后绕通过直角顶点的固定轴O无摩擦转动；丙图为轻绳一端连着一小球，从右偏上30角处自由释放；丁图为置于光滑水平面上的带有竖直支架的小车，把用细绳悬挂的小球从图示位置释放，小球开始摆动，则关于这几个物理过程(空气阻力忽略不计)，下列判断中正确的是()A甲图中小球机械能守恒B乙图中小球A机械能守恒C丙图中小球机械能守恒D丁图中小球机械能守恒解析：甲图过程中轻杆对小球不做功，小球的机械能守恒，A正确；乙图过程中轻杆对A的弹力不沿杆的方向，会对小球做功
5、，所以小球A的机械能不守恒，但两个小球组成的系统机械能守恒，B错误；丙图中小球在绳子绷紧的瞬间有动能损失，机械能不守恒，C错误；丁图中小球和小车组成的系统机械能守恒，但小球的机械能不守恒，这是因为摆动过程中小球的轨迹不是圆弧，细绳会对小球做功，D错误答案：A12.机械能守恒的判断把小球放在竖立的弹簧上，并把球往下按至A位置，如图甲所示迅速松手后，球升高至最高位置C(图丙)，途中经过位置B时弹簧正处于原长(图乙)忽略弹簧的质量和空气阻力则小球从A运动到C的过程中，下列说法正确的是()A经过位置B时小球的加速度为0B经过位置B时小球的速度最大C小球、地球、弹簧所组成系统的机械能守恒D小球、地球、弹
6、簧所组成系统的机械能先增大后减小答案：C考点二单个物体的机械能守恒 (师生共研)1机械能守恒定律的表达式2求解单个物体机械能守恒问题的基本思路(1)选取研究对象物体(2)根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的初、末状态时的机械能(4)选取方便的机械能守恒定律的方程形式进行求解典例如图所示，水平传送带的右端与竖直面内的用内壁光滑钢管弯成的“9”形固定轨道相接，钢管内径很小传送带的运行速度为v06 m/s，将质量m1.0 kg的可看作质点的滑块无初速地放在传送带A端，传送带长度L12.0 m，“9”形轨道全高H0.8 m，
7、“9”形轨道上半部分圆弧半径为R0.2 m，滑块与传送带间的动摩擦因数为0.3，重力加速度g10 m/s2，求：(1)滑块从传送带A端运动到B端所需要的时间；(2)滑块滑到轨道最高点C时受到轨道的作用力大小；(3)若滑块从“9”形轨道D点水平抛出后，恰好垂直撞在倾角45的斜面上P点，求P、D两点间的竖直高度h(保留两位有效数字)审题指导第一步：抓关键点关键点获取信息内壁光滑的“9”形固定轨道滑块在“9”形轨道内运动时机械能守恒滑块无初速地放在传送带A端滑块从A点开始做初速度为0的匀加速运动滑块从“9”形轨道，D点水平抛出滑块由D到P做平抛运动，机械能守恒恰好垂直撞在倾角45的斜面上的P点滑块在
8、P点的速度vP垂直于斜面，其水平分速度为vD第二步：找突破口(1)判断滑块在传送带上的运动时，若滑块与传送带同速时没有到达B点，则剩余部分将做匀速直线运动(2)在轨道的C点，根据FNmgm求滑块受轨道的作用力时，应先求出滑块到C点的速度vC.(3)滑块由D点到P点做平抛运动，故滑块在P点的速度vP在水平方向的分速度与在D点的速度相等，即vDvPsin .解析：(1)滑块在传送带运动时，由牛顿运动定律得mgma得ag3 m/s2加速到与传送带共速所需要的时间t12 s前2 s内的位移x1at6 m之后滑块做匀速运动的位移x2Lx16 m时间t21 s故tt1t23 s.(2)滑块由B到C运动，由
9、机械能守恒定律得mgHmvmv在C点，轨道对滑块的弹力与其重力的合力为其做圆周运动提供向心力，设轨道对滑块的弹力方向竖直向下，由牛顿第二定律得FNmgm解得FN90 N.(3)滑块由B到D运动的过程中，由机械能守恒定律得mvmvmg(H2R)滑块由D到P运动的过程中，由机械能守恒定律得mvmvmgh又vDvPsin 45由以上三式可解得h1.4 m.答案：(1)3 s(2)90 N(3)1.4 m反思总结应用机械能守恒定律的两点注意事项1列方程时，选取的表达角度不同，表达式不同，对参考平面的选取要求也不一定相同. 2应用机械能守恒能解决的问题，应用动能定理同样能解决，但其解题思路和表达式有所不
10、同21.与平抛运动相结合(2015海南卷)如图，位于竖直平面内的光滑轨道由四分之一圆弧ab和抛物线bc组成，圆弧半径Oa水平，b点为抛物线顶点已知h2 m，s m取重力加速度大小g10 m/s2.(1)一小环套在轨道上从a点由静止滑下，当其在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧轨道的半径；(2)若环从b点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达c点时速度的水平分量的大小解析：(1)一小环套在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，则说明下落到b点时的速度，使得小环套做平抛运动的轨迹与轨道bc重合，故有svbt，hgt2，从ab滑落过程中，根据机械能守恒定律可得mgRmv，联立三式可得
11、R0.25 m.(2)环由b处静止下滑过程中机械能守恒，设环下滑至c点的速度大小为v，有mghmv2环在c点的速度水平分量为vxvcos 式中，为环在c点速度的方向与水平方向的夹角，由题意可知，环在c点的速度方向和以初速度vb做平抛运动的物体在c点速度方向相同，而做平抛运动的物体末速度的水平分量为vxvb，竖直分量vy为vy因为cos 联立可得vx m/s.答案：(1)0.25 m(2) m/s22.与圆周运动相结合(2016全国卷)轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l.现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端
12、与物块P接触但不连接AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示物块P与AB间的动摩擦因数0.5.用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g.(1)若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离；(2)若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围解析：(1)依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l时，质量为5m的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能由机械能守恒定律，弹簧长度为l时的弹性势能为Ep5mgl设P的质量为M，到达B点时的速
13、度大小为vB，由能量守恒定律得EpMvMg4l联立式，取Mm并代入题给数据得vB若P能沿圆轨道运动到D点，其到达D点时的向心力不能小于重力，即P此时的速度大小v应满足mg0设P滑到D点时的速度为vD，由机械能守恒定律得mvmvmg2l联立式得vDvD满足式要求，故P能运动到D点，并从D点以速度vD水平射出设P落回到轨道AB所需的时间为t，由运动学公式得2lgt2P落回到AB上的位置与B点之间的距离为svDt联立式得s2l(2)为使P能滑上圆轨道，它到达B点时的速度不能小于零由式可知5mglMg4l要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C.由机械能守恒定律有MvMgl
14、联立式得mMm.答案：(1)2l(2)mMm考点三多个物体的机械能守恒 (自主学习)1多物体机械能守恒问题的分析方法(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系(3)列机械能守恒方程时，一般选用EkEp的形式2多物体机械能守恒问题的三点注意(1)正确选取研究对象(2)合理选取物理过程(3)正确选取机械能守恒定律常用的表达形式列式求解31.弹簧连接 (2015天津卷)如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态，现让圆环由静止开始下滑
15、，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中()A圆环的机械能守恒B弹簧弹性势能变化了mgLC圆环下滑到最大距离时，所受合力为零D圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变答案：B32.轻杆连接 (多选)(2015全国卷)如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g.则()Aa落地前，轻杆对b一直做正功Ba落地时速度大小为Ca下落过程中，其加速度大小始终不大于gDa落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力
16、大小为mg答案：BD33.轻绳连接(多选)(2018康杰中学模拟)如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d.现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时(图中B处)，下列说法正确的是(重力加速度为g)()A环与重物组成的系统机械能守恒B小环到达B处时，重物上升的高度也为dC小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于D小环在B处时的速度为解析：由于小环和重物只有重力做功，系统机械能守恒，故A项正确；结合几何关系可知，重物上升的高度h(1)d，故B项错误；将小环在B处的速度分解为
17、沿着绳子方向和垂直于绳子方向的两个分速度，其中沿着绳子方向的速度即为重物上升的速度，则v物v环cos45，环在B处的速度与重物上升的速度大小之比为1 ，故C项错误；小环和重物系统机械能守恒，则mgd2mghmv2mv，且v物v环cos 45，解得：v环，故D正确答案：AD1. (2018聊城一中检测)如右图所示，半径为R的光滑半圆轨道固定在竖直面内，半圆的圆心为O.将一只小球从半圆轨道左端无初速度释放，恰好能到达右端与圆心O等高的位置若将该半圆轨道的右半边去掉，换上直径为R的光滑圆轨道，两个轨道在最低点平滑连接换上的圆轨道所含圆心角如下图所示，依次为180、120、90和60.仍将小球从原半圆
18、轨道左端无初速度释放，哪种情况下小球能上升到与O点等高的高度( C )解析：由能量守恒定律可知，小球若能上升到与O点等高的高度，则速度为零；图A中到达O点的速度至少为，则A错误；B中小球从轨道斜上抛后到达最高点的速度也不为零，则B错误；C图中小球从轨道上竖直上抛后，到达最高点的速度为零，则C正确；D图中小球从轨道斜上抛后到达最高点的速度也不为零，则D错误2. (多选)(2019阜阳三中模拟)一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B.支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示开始时OA边处于水平位置由静止释放，则( BC )AA球的最大
19、速度为2BA球的速度最大时，两小球的总重力势能最小CA球第一次转动到与竖直方向的夹角为45时，A球的速度为DA、B两球的最大速度之比vAvB31解析：由机械能守恒可知，A球的速度最大时，二者的动能最大，此时两球总重力势能最小，所以B正确；根据题意知两球的角速度相同，线速度之比为vAvB2ll21，故D错误；当OA与竖直方向的夹角为时，由机械能守恒得：mg2lcos 2mgl(1sin )mv2mv，解得：vgl(sin cos )gl，由数学知识知，当45时，sin cos 有最大值，最大值为：vA，所以A错误，C正确3. (2018海南矿区中学模拟)如图所示，质量m50 kg的跳水运动员从距
20、水面高h10 m的跳台上以v05 m/s 的速度斜向上起跳，最终落入水中若忽略运动员的身高取g10m /s2，求：(1)运动员在跳台上时具有的重力势能(以水面为参考平面)；(2)运动员起跳时的动能；(3)运动员入水时的速度大小解析：(1)取水面为参考平面，人的重力势能是Epmgh5 000 J；(2)由动能的公式得：Ekmv625 J；(3)在整个过程中，只有重力做功，机械能守恒mghmv2mv，解得v15 m/s .答案：(1)5 000 J(2)625 J(3)15 m/sA组基础题1. 如图所示为跳伞爱好者表演高楼跳伞的情形，他们从楼顶跳下后，在距地面一定高度处打开伞包，最终安全着陆，则
21、跳伞者( A )A机械能一直减小B机械能一直增大C动能一直减小 D重力势能一直增大2. 质量均为m，半径均为R的两个完全相同的小球A、B在水平轨道上以某一初速度向右冲上倾角为的倾斜轨道，两轨道通过一小段圆弧平滑连接若两小球运动过程中始终接触，不计摩擦阻力及弯道处的能量损失，在倾斜轨道上运动到最高点时两球机械能的差值为( C )A0BmgRsin C2mgRsin D2mgR3. (2016全国卷)小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示将两球由静止释放在各自轨迹的最低点( C )AP球的速度一定大于
22、Q球的速度BP球的动能一定小于Q球的动能CP球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力DP球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度4如图所示，在下列不同情形中将光滑小球以相同速率v射出，忽略空气阻力，结果只有一种情形小球不能到达天花板，则该情形是( B )AABB CCDD5(多选) 如图所示，一轻质弹簧竖直固定在水平地面上，O点为弹簧原长时上端的位置，一个质量为m的物体从O点正上方的A点由静止释放落到弹簧上，物体压缩弹簧到最低点B后向上运动，不计空气阻力，不计物体与弹簧碰撞时的动能损失，弹簧一直在弹性限度范围内，重力加速度为g，则以下说法正确的是( CD )A物体落到O点后，立即做减速运动B物体从
23、O点运动到B点，物体机械能守恒C在整个过程中，物体与弹簧组成的系统机械能守恒D物体在最低点时的加速度大于g6(多选) (2019景德镇一中月考)如图所示，一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球a和b，跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆上，a球置于地面上，质量为m的b球从水平位置静止释放当b球第一次经过最低点时，a球对地面压力刚好为零下列结论正确的是( BD )Aa球的质量为2mBa球的质量为3mCb球首次摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率一直增大Db球首次摆动到最低点的过程中，重力对b球做功的功率先增大后减小解析：b球在摆动过程中，a球不动，b球做圆周运动，则绳子拉力对b球不做功，b球的
24、机械能守恒，则有：mbgLmbv2；当b球摆过的角度为90时，a球对地面压力刚好为零，说明此时绳子张力为：Tmag；b通过最低点时，根据牛顿运动定律和向心力公式得：magmbgmb，解得：ma3mb，故A错误、B正确在开始时b球的速度为零，则重力的瞬时功率为零；当到达最低点时，速度方向与重力垂直，则重力的功率也为零，可知b球首次摆动到最低点的过程中，重力对b球做功的功率先增大后减小，选项C错误，D正确7(多选) 如图所示，某极限运动爱好者(可视为质点)尝试一种特殊的高空运动他身系一定长度的弹性轻绳，从距水面高度大于弹性轻绳原长的P点以水平初速度v0跳出他运动到图中a点时弹性轻绳刚好拉直，此时速
25、度与竖直方向的夹角为，轻绳与竖直方向的夹角为，b为运动过程的最低点(图中未画出)，在他运动的整个过程中未触及水面，不计空气阻力，重力加速度为g.下列说法正确的是( BD )A极限运动爱好者从P点到b点的运动过程中机械能守恒B极限运动爱好者从P点到a点时间的表达式为tC极限运动爱好者到达a点时，tan tan D弹性轻绳原长的表达式为lB组能力题8(多选) (2019哈尔滨六中月考)如图所示，在距水平地面高为0.4 m处，水平固定一根长直光滑杆，在杆上P点固定一光滑的轻质定滑轮，滑轮可绕水平轴无摩擦转动，在P点的右边，杆上套有一质量m 2 kg的滑块A.半径R0.3 m的光滑半圆形细轨道竖直地固
26、定在地面上，其圆心O在P点的正下方，在轨道上套有一质量m 2 kg的小球B.用一条不可伸长的柔软细绳，通过定滑轮将小球与滑块连接起来杆和半圆形轨道在同一竖直面内，滑块、小球均可看作质点，且不计滑轮大小的影响，取g10m /s2.现给滑块A一个水平向右的恒力F 60 N，则( ABC ) A把小球B从地面拉到P的正下方时力F 做功为24 JB小球B运动到C处时滑块A的速度大小为0C小球B被拉到与滑块A速度大小相等时，sinOPBD把小球B从地面拉到P的正下方时小球B的机械能增加了6 J解析：设POH.由几何知识得，PB0.5 m，PCHR0.1 mF做的功为WF(PBPC)40(0.50.1)2
27、4 J，A正确；当B球到达C处时，已无沿绳的分速度，所以此时滑块A的速度为零，选项B正确；当绳与轨道相切时滑块A与B球速度相等，由几何知识得：sin OPB，C正确由功能关系，可知，把小球B从地面拉到半圆形轨道顶点C处时小球B的机械能增加量为EW24 J，D错误9(多选) (2018深圳宝安区联考)如图所示，一轻质弹簧固定在光滑杆的下端，弹簧的中心轴线与杆重合，杆与水平面间的夹角始终为60，质量为m的小球套在杆上，从距离弹簧上端O点2x0的A点静止释放，将弹簧压至最低点B，压缩量为x0 ，不计空气阻力，重力加速度为g.下列说法正确的是( CD )A小球从接触弹簧到将弹簧压至最低点B的过程中，其
28、加速度一直减小B小球运动过程中最大动能可能为mgx0C弹簧劲度系数大于D弹簧最大弹性势能为mgx0解析：小球从接触弹簧到将弹簧压至最低点B的过程中，弹簧对小球的弹力逐渐增大，开始时弹簧的弹力小于小球的重力沿杆向下的分力，小球做加速运动，随着弹力的增大，合力减小，加速度减小，后来，弹簧的弹力等于小球的重力沿杆向下的分力，最后，弹簧的弹力大于小球的重力沿杆向下的分力，随着弹力的增大，合力沿杆向上增大，则加速度增大，所以小球的加速度先减小后增大，A错误；小球滑到O点时的动能为Ek2mgx0 sin 60mgx0，小球的合力为零时动能最大，此时弹簧处于压缩状态，位置在O点下方，所以小球运动过程中最大动
29、能大于mgx0，不可能为mgx0，B错误；在速度最大的位置有 mgsin 60kx，得 k，因为xx0，所以k，C正确；对小球从A到B的过程，对系统，由机械能守恒定律得：弹簧最大弹性势能 Epm3mgx0 sin 60mgx0，D正确10(多选) (2019江西丰城九中段考)如图所示，竖直面内半径为R的光滑半圆形轨道与水平光滑轨道相切于D点a、b、c三个质量相同的物体由水平部分分别向半环滑去，最后重新落回到水平面上时的落点到切点D的距离依次为AD2R，BD2R，CD2R.设三个物体离开半圆形轨道在空中飞行时间依次为ta、tb、tc，三个物体到达地面的动能分别为Ea、Eb、Ec，则下面判断正确的
30、是( AC )AEaEb BEbEcCtbtc Dtatb解析：物体若从圆环最高点离开半环在空中做平抛运动，竖直方向上做自由落体运动，则有：2Rgt2，则得：t，物体恰好到达圆环最高点时，有：mg，则通过圆轨道最高点时最小速度为：v，所以物体从圆环最高点离开后平抛运动的水平位移最小值为：xvt2R，由题知：AD2R，BD2R，CD2R，说明b、c通过最高点做平抛运动，a没有到达最高点，则知tbtc，tatbtc；对于a、b两物块，通过D点时，a的速度比b的小，由机械能守恒可得：EaEb.对于b、c两物块，由xvt知，t相同，c的水平位移大，通过圆轨道最高点时的速度大，由机械能守恒定律可知，Ec
31、Eb，故选项A、C正确11. 如图所示，在同一竖直平面内，一轻质弹簧一端固定，另一自由端恰好与水平线AB平齐，静止放于倾角为53的光滑斜面上一长为L9 cm的轻质细绳一端固定在O点，另一端系一质量为m1 kg的小球，将细绳拉至水平，使小球从位置C由静止释放，小球到达最低点D时，细绳刚好被拉断之后小球在运动过程中恰好沿斜面方向将弹簧压缩，最大压缩量为x5 cm.(g取10 m/s2，sin 530.8，cos 530.6)求：(1)细绳受到的拉力的最大值；(2)D点到水平线AB的高度h；(3)弹簧所获得的最大弹性势能Ep.解析：(1)小球由C到D，由机械能守恒定律得mgLmv解得v1在D点，由牛顿第二定律得Fmgm由解得F30 N由牛顿第三定律知细绳所能承受的最大拉力为30 N.(2)由D到A，小球做平抛运动有v2ghtan 53联立解得h16 cm.(3)小球从C点到将弹簧压缩至最短的过程中，小球与弹簧系统的机械能守恒，即Epmg(Lhxsin 53)，代入数据解得Ep2.9 J.答案：(1)30 N(2)16 cm(3)2.9 J16