1、2018-2019学年江苏省南通市海安高中高一（下）3月段考数学试卷一、选择题（每题5分，共50分）1（5分）函数的最小正周期是（）A2B5CD2（5分）函数的定义域是（）ARB（3，+）C（，3）D（3，0）（0，+）3（5分）已知集合A|小于90，B|为第一象限角，则AB（）A|为锐角B|小于90C|为第一象限角D以上都不对4（5分）平面与平面平行的条件可以是（）A内有无穷多条直线与平行B直线a，aC直线a，直线b，且a，bD内的任何直线都与平行5（5分）计算：21g2+1g25（）A1B2C3D46（5分）ABC中，a，b，c分别是角A，B、C所对应的边，a4，b4，A30，则B（）A6
2、0或120B60C30或150D307（5分）在ABC中，若点D满足（）A+BCD8（5分）设m、n是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若mn，n，则mD若m，mn，则n9（5分）在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将AED，DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A'若点G是EF的中点，则DG与平面A'EF所成角的正弦值为（）ABCD10（5分）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对应的边，若c边长，ABC的面积为，且c2cosC（acosB+bcosA），则ABC的周长为（）ABCD二、
3、填空题（每题5分，共30分）11（5分）设集合Ax|x1，Bx|xa，若AB，则实数a的取值范围是 12（5分）已知函数f（x）ax2+bx+3a+b是偶函数，且定义域为2a，a1，那么a+b 13（5分）若方程lgx2x的根x0（k1，k），其中kZ，则实数k 14（5分）已知向量（1，3），（2，0），则|2+| 15（5分）一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A，B，C，D是展开图上的四点，则在正方体盒子中，AD与BC所成角为 16（5分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知，且A的外角平分线交BC的
4、延长线于D，则 三、解答题（共70分）17（10分）已知向量（3，1），（1，2），+k（kR）（1）若与向量2垂直，求实数k的值；（2）若向量（1，1），且与向量k+平行，求实数k的值18（10分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABCD，CD2AB，ABAD，E，F分别是CD和PC的中点，（1）证明：ABPD；（2）证明：平面BEF平面PAD19（12分）已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，且asinBbcosA0（1）求角A；（2）若a，b3，求ABC的面积20（12分）已知函数（1）当ab1时，求满足f（x）3x的x的取值；（2）若函数f（x）是
5、定义在R上的奇函数存在tR，不等式f（t22t）f（2t2k）有解，求k的取值范围21（13分）某身高1.8米的同学（如图中AB所示）晚饭后围绕校园内的价值广场散步，若在广场正中央距地面3.6米处有一点光源M，AB，OM均垂直于水平地面，分别与地面交于点A，O该同学在地面上的影子记作AB'（1）该同学沿着圆心为O，半径为3米的圆周在地面上走一圈，求AB'扫过的图形面积；（2）若OA3米，该同学从A出发，以1米/秒的速度沿线段AA1走到A1，OAA1，且AA110米t秒时，他在地面上的影子长度记为f（t）（单位：米），求f（t）的表达式与最小值22（13分）如图所示，直角三角形A
6、CB中，ACB，其中CA3，CBM，N都在线段AB上（不含端点，AMAN），且MCN（1）若MA2，求MN长度；（2）试确定M的位置，使CMN的面积最小，并求出最小面积2018-2019学年江苏省南通市海安高中高一（下）3月段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共50分）1（5分）函数的最小正周期是（）A2B5CD【分析】利用函数yAsin（x+）的周期为，得出结论【解答】解：函数的最小正周期为 5，故选：B【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的周期性，属于基础题2（5分）函数的定义域是（）ARB（3，+）C（，3）D（3，0）（0，+）【分析】可看出，要使得原函数有意义，
7、则需满足，解出x的范围即可【解答】解：要使原函数有意义，则：；x3且x0；原函数的定义域为（3，0）（0，+）故选：D【点评】考查函数定义域的概念及求法，区间表示集合的定义3（5分）已知集合A|小于90，B|为第一象限角，则AB（）A|为锐角B|小于90C|为第一象限角D以上都不对【分析】由交集定义得AB第一象限中小于90的角【解答】解：集合A|小于90，B|为第一象限角，AB第一象限中小于90的角，故A，B，C都不对故选：D【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、角的概念等基础知识，考查运算求解能力，是基础题4（5分）平面与平面平行的条件可以是（）A内有无穷多条直线与平行B直线a，aC直线
8、a，直线b，且a，bD内的任何直线都与平行【分析】当内有无穷多条直线与平行时，a与可能平行，也可能相交，当直线a，a时，a与可能平行，也可能相交，故不选A、B，在两个平行平面内的直线可能平行，也可能是异面直线，故不选 C，利用排除法应选D【解答】解：当内有无穷多条直线与平行时，a与可能平行，也可能相交，故不选A当直线a，a时，a与可能平行，也可能相交，故不选 B当直线a，直线b，且a 时，直线a 和直线 b可能平行，也可能是异面直线，故不选 C 当内的任何直线都与 平行时，由两个平面平行的定义可得，这两个平面平行，故选：D【点评】本题考查两个平面平行的判定和性质得应用，注意考虑特殊情况5（5分
9、）计算：21g2+1g25（）A1B2C3D4【分析】利用对数的性质、运算法则直接求解【解答】解：21g2+1g25lg4+lg25lg1002故选：B【点评】本题考查对数式化简求值，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6（5分）ABC中，a，b，c分别是角A，B、C所对应的边，a4，b4，A30，则B（）A60或120B60C30或150D30【分析】根据正弦定理和大边对大角，可得答案【解答】解：由a4，b4，A30，可得BA30；正弦定理：，可得解得：sinB；0B，B60或120；故选：A【点评】本题考查三角形的正弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础
10、题7（5分）在ABC中，若点D满足（）A+BCD【分析】由向量的运算法则，结合题意可得，代入已知化简可得【解答】解：由题意可得故选：A【点评】本题考查向量加减的混合运算，属基础题8（5分）设m、n是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（）A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若mn，n，则mD若m，mn，则n【分析】在A中，m与n平行或异面；在B中，m与n相交、平行或异面；在C中，m与相交、平行或m；在D中，由线面垂直的判定定理得n【解答】解：由m、n是两条不同的直线，是一个平面，知：在A中，若m，n，则m与n平行或异面，故A错误；在B中，若m，n，则m与n相交、平行或异面，故B错误
11、；在C中，若mn，n，则m与相交、平行或m，故C错误；在D中，若m，mn，则由线面垂直的判定定理得n，故D正确故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题9（5分）在正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将AED，DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A'若点G是EF的中点，则DG与平面A'EF所成角的正弦值为（）ABCD【分析】先证：AD平面AEF，连接AG，则AGD为DG与面AEF所成的角，在RtAGD中，可求sinAGD【解答】解：由题可知，ADAE，ADA
12、F，AD平面AEF连接AG，则AGD为DG与面AEF所成的角 不妨设正方形ABCD的边长为2，E是AB的中点，F是BC的中点，BD，BG，DG在RtAGD中，AD2，DG与平面AEF所成角的正弦值为故选：B【点评】本题主要考查线线垂直的证明，考查直线到平面所成角的求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题10（5分）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对应的边，若c边长，ABC的面积为，且c2cosC（acosB+bcosA），则ABC的周长为（）ABCD【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知可得2cosCsinCsinC，结合范围C（0，），解得co
13、sC，可得C的值，由三角形的面积公式可求ab的值，利用余弦定理解得a+b的值，即可得解ABC的周长【解答】解：c2cosC（acosB+bcosA），由正弦定理可得：sinC2cosC（sinAcosB+sinBcosA），可得：2cosCsin（A+B）2cosCsinCsinC，C（0，），sinC0，解得：cosC，Cc，由ABC的面积为absinCab，解得：ab6，由余弦定理c2a2+b22abcosC，可得：7a2+b2ab（a+b）23ab（a+b）218，解得：a+b5，ABC的周长a+b+c5+故选：C【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，三
14、角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题二、填空题（每题5分，共30分）11（5分）设集合Ax|x1，Bx|xa，若AB，则实数a的取值范围是（1，+）【分析】根据题意，结合集合交集的定义，分析可得若AB，必有a1，即可得答案【解答】解：集合Ax|x1，Bx|xa，若AB，必有a1，即实数a的取值范围是（1，+）；故答案为：（1，+）【点评】本题考查集合的交集，涉及空集的定义，属于基础题12（5分）已知函数f（x）ax2+bx+3a+b是偶函数，且定义域为2a，a1，那么a+b【分析】根据题意，由偶函数的性质可得2a+（a1）0，解可得a的值，又由偶函数的定义可得
15、ax2+bx+3a+ba（x）2+b（x）+3a+b，分析可得b的值，相加即可得答案【解答】解：根据题意，f（x）是定义在2a，a1上的偶函数，则有2a+（a1）0，解可得a，又由f（x）ax2+bx+3a+b是偶函数，则有ax2+bx+3a+ba（x）2+b（x）+3a+b，变形可得2bx0，分析可得b0，则a+b；故答案为：【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题13（5分）若方程lgx2x的根x0（k1，k），其中kZ，则实数k2【分析】由已知可得，lgx+x20，令g（x）lgx+x2，结合g（x）在（0，+）上单调性及零点判定定理可求【解答】解
16、：lgx2x，lgx+x20，令g（x）lgx+x2，则g（x）在（0，+）上单调递增，g（1）10，g（2）lg20由零点判定定理可知，x0（1，2），x0（k1，k），其中kZ，则k2故答案为：2【点评】本题主要考查了函数的零点判定定理的简单应用，属于基础试题14（5分）已知向量（1，3），（2，0），则|2+|6【分析】可根据条件求出的坐标，然后即可求出【解答】解：；故答案为：6【点评】考查向量坐标的加法和数乘运算，根据向量的坐标求向量长度的方法15（5分）一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A，B，C，D是展开图上的四点，则在正方体盒子中，AD与BC所成角为60【分析】把这个无盖的正
17、方体盒子的平面展开图还原成正方体，由ECAD，得到BEC是异面直线BE和AC所成角（或所成角的补角），再由BECEBC，能求出AD与BC所成角【解答】解：把这个无盖的正方体盒子的平面展开图还原成正方体，如图，ECAD，BEC是异面直线BE和AC所成角（或所成角的补角），BECEBC，BEC60AD与BC所成角为60故答案为：60【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题16（5分）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知，且A的外角平分线交BC的延长线于D，则3【分析】由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知
18、等式可得b3c，设ABx，则AC3x，设DAB，则由已知可求DAC，在ABD中，由正弦定理可得，在ADC中，由正弦定理可得，两式子相除即可得解【解答】解：，acosC3acosB3bcosAccosA，可得：acosC+ccosA3（bcosA+acosB），由正弦定理可得：sinAcosC+sinCcosA3（sinBcosA+sinAcosB），可得：sinB3sinC，可得：b3c，如图，设ABx，则AC3x，设DAB，则BAC2，DAC+BAC+2，在ABD中，由正弦定理可得：，可得：，在ADC中，由正弦定理可得：，可得：3，故答案为：3【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换
19、的应用，角平分线的性质的应用，考查了计算能力和转化思想，考查了数形结合思想的应用，属于中档题三、解答题（共70分）17（10分）已知向量（3，1），（1，2），+k（kR）（1）若与向量2垂直，求实数k的值；（2）若向量（1，1），且与向量k+平行，求实数k的值【分析】（1）由与向量2垂直，可得（2）0，解得k（2）利用向量共线定理即可得出【解答】解：（1）+k（3+k，12k），2（7，4）与向量2垂直，（2）7（3+k）+4（12k）0，解得k（2）k+（k+1，2k1），与向量k+平行，（2k1）（3+k）（12k）（k+1）0，解得k【点评】本题考查了向量垂直与数量积的共线、向量共线定
20、理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题18（10分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABCD，CD2AB，ABAD，E，F分别是CD和PC的中点，（1）证明：ABPD；（2）证明：平面BEF平面PAD【分析】（1）推导出ABPA，ABAD，从而AB平面PAD，由此能证明ABPD（2）推导出ABDE，ABBE，从而四边形ABCD为平行四边形，ADBE，由E，F分别是CD和PC的中点，得EFPD，由此能证明平面BEF平面PAD【解答】（12分）证明：（1）PA平面ABCD，AB平面ABCD，ABPA，（1分）又ABAD，PAADA.（3分）AB平面PAD（4分）PD平面PAD，AB
21、PD（6分）（2）CD2AB，E为CD的中点，ABDE，又ABBE，四边形ABCD为平行四边形，（8分）ADBE（9分）E，F分别是CD和PC的中点，EFPD（10分）EFBEE，PDADD，平面BEF平面PAD（12分）【点评】本题考查线线垂直、面面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19（12分）已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，且asinBbcosA0（1）求角A；（2）若a，b3，求ABC的面积【分析】（1）由正弦定理可得sinAsinBsinBcosA，结合sinB0，可求tanA，结合范围0A，可求A（2）由已知利用
22、余弦定理可得c23c40，解得c的值，根据三角形面积公式即可计算得解【解答】（本题满分为12分）解：（1）asinBbcosA0由正弦定理可得：sinAsinBsinBcosA，sinB0，sinAcosA，即tanA，0A，A6分（2）a，b3，A，由余弦定理a2b2+c22bccosA，可得：139+c22，可得：c23c40，解得：c4，（负值舍去），SABCbcsinA312分【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题20（12分）已知函数（1）当ab1时，求满足f（x）3x的x的取值；（2）若函数f（x）是定义
23、在R上的奇函数存在tR，不等式f（t22t）f（2t2k）有解，求k的取值范围【分析】（1）根据3x+133x，可将方程f（x）3x转化为一元二次方程：3（3x）2+23x10，再根据指数函数范围可得，解得x1，（2）先根据函数奇偶性确定a，b值：a1，b3，再利用单调性定义确定其单调性：在R上递减最后根据单调性转化不等式f（t22t）f（2t2k）为t22t2t2k即t2+2tk0在tR时有解，根据判别式大于零可得k的取值范围【解答】解：（1）由题意，当ab1时，化简得3（3x）2+23x10解得，所以x1（2）因为f（x）是奇函数，所以f（x）+f（x）0，所以化简并变形得：（3ab）（3
24、x+3x）+2ab60要使上式对任意的x成立，则3ab0且2ab60解得：，因为f（x）的定义域是R，所以舍去，所以a1，b3，所以，对任意x1，x2R，x1x2有：因为x1x2，所以，所以f（x1）f（x2），因此f（x）在R上递减因为f（t22t）f（2t2k），所以t22t2t2k，即t2+2tk0在tR时有解所以4+4t0，解得：t1，所以k的取值范围为（1，+）【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据函数奇偶性的定义以及函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键综合性较强，运算量较大21（13分）某身高1.8米的同学（如图中AB所示）晚饭后围绕校园内的价值广场散步，若
25、在广场正中央距地面3.6米处有一点光源M，AB，OM均垂直于水平地面，分别与地面交于点A，O该同学在地面上的影子记作AB'（1）该同学沿着圆心为O，半径为3米的圆周在地面上走一圈，求AB'扫过的图形面积；（2）若OA3米，该同学从A出发，以1米/秒的速度沿线段AA1走到A1，OAA1，且AA110米t秒时，他在地面上的影子长度记为f（t）（单位：米），求f（t）的表达式与最小值【分析】（1）由题意得ABOM求出OB6，小明在地面上的影子AB扫过的图形是圆环，由此能求出AB扫过的图形面积（2）经过t秒，小明走到了A0处，身影为A0B0求出A0B0OB0OA，从而f（t）A0B0O
26、A0，由此能求出f（t）的表达式与最小值【解答】（本小题满分13分）解：（1）由题意ABOM，OA3，所以：OB'6，该同学在地面上的身影AB'扫过的图形是圆环，其面积为623227平方米；答：身影AB'扫过的图形面积为27平方米（2）经过t秒，该同学走到了A0处，身影为A0B0'，由（1）知，所以：，化简得：，当时，f（t）的最小值为，答：，当秒时，f（t）的最小值为米【点评】本题考查图形面积的求法，考查函数的最小值的求法，考查三角形相似的判断、函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题22（13分）如图所示，直角三角形ACB中，AC
27、B，其中CA3，CBM，N都在线段AB上（不含端点，AMAN），且MCN（1）若MA2，求MN长度；（2）试确定M的位置，使CMN的面积最小，并求出最小面积【分析】（1）由已知可求CAB60，在CAM中，由余弦定理得CM的值，可求cosACM的值，利用诱导公式可求sinCNA的值，根据正弦定理可求MN的值（2）解法1：设AMx，0x3在CAM中，由余弦定理得CM的值，可求cosACM，利用诱导公式可求sinCNA，从而可求CN，利用三角形的面积公式可求SCMN，0x3，令6xt，则x6t，3t6，利用二次函数的单调性即可求解；解法2：设ACM，0，由正弦定理可得CM，CN利用三角函数恒等变换的
28、应用可求SCMN，（0），从而根据正弦函数的性质求解【解答】（本小题满分13分）解：（1）在CAB中，因为CA3，CB，ACB90，所以CAB60在CAM中，由余弦定理得CM 2AC 2+AM 22ACAMcosA7，所以CM，所以cosACM，在CAN中，sinCNAsin（A+ACN）sin（ACM+90）cosACM在CMN中，由，得MN（2）解法1：设AMx，0x3在CAM中，由余弦定理得CM 2AC 2+AM 22ACAMcosAx23x+9，所以CM，所以cosACM，在CAN中，sinCNAsin（A+ACN）sin（ACM+90）cosACM由，得CN所以SCMNCMCNsinMCN，0x3令6xt，则x6t，3t6，则SCMN由函数单调性可知，x63时等号成立，SCMN的最小值为M的位置为距离A点63，可使CMN的面积最小，最小面积是解法2：设ACM，0，在CAM中，由，得CM在CAN中，由，得CN所以SCMNCMCNsinMCN当，即时，SCMN的最小值为所以ACM，可使CMN的面积最小，最小面积是【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，三角形的面积公式，二次函数的单调性，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，综合性较强，属于中档题