1、2017-2018学年吉林省吉林市普通高中友好学校联合体高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设集合U0，1，2，3，4，5，A1，2，3，B2，3，4，则U（AB）（）A0，2，3B0，1，4，5C0，4，5D0，1，52（5分）下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+）上是增函数的是（）Aylog2xByx1Cyx3Dy2x3（5分）下列函数中，与函数yx表示同一函数的是（）AyByCy（）2Dylogaax（a0且a1）4（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，下面四条直线中与平面AB1C平行的直
2、线是（）ADB1BA1D1CC1D1DA1D5（5分）若三点A（3，1），B（2，b），C（8，11）在同一直线上，则实数b等于（）A2B3C9D96（5分）函数f（x）exx2的零点所在区间是（）x10123ex0.3712.727.3920.09x+212345A（1，0）B（0，1）C（1，2）D（2，3）7（5分）已知m，n是直线，是平面，以下命题正确的是（）A若，m，nm，则n或nB若，m，nm，则nC若m上有两个点到的距离相等，则mD若m，nm；且n，n，则n且n8（5分）以点（2，1）为圆心且与直线3x4y+50相切的圆的方程为（）A（x2）2+（y+1）23B（x+2）2+（y
3、1）23C（x2）2+（y+1）29D（x+2）2+（y1）299（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A8B8C8D8210（5分）设函数f（x），若f（f（）8，则m（）A2B1C2或1D11（5分）已知函数f（x+1）是偶函数，当1x1x2时，f（x2）f（x1）（x2x1）0恒成立，设af（），bf（2），cf（3），则a，b，c的大小关系为（）AbacBcbaCbcaDabc12（5分）设函数，其中x表示不超过x的最大整数，如1.22，1.21，11，若直线ykx+k（k0）与函数yf（x）的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围是（）ABCD二填空题（本大题共4小题
4、，每小题5分）13（5分）幂函数yf（x）的图象过点（2，），则f（4） 14（5分）若2a3b6，则+ 15（5分）函数y在，1上单调递增，则a的取值范围是 16（5分）下列命题中：若集合Ax|kx2+4x+40中只有一个元素，则k1；已知函数yf（3x）的定义域为1，1，则函数yf（x）的定义域为（，0；函数y在（，0）上是增函数；方程2|x|log2（x+2）+1的实根的个数是2所有正确命题的序号是 （请将所有正确命题的序号都填上）三解答题（本大题共6小题，共计70分）17（10分）已知集合Ax|a1x2a+1，Bx|0x1（1）若a，求AB；（2）若AB，求实数a的取值范围18（12分
5、）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示（1）请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）（2）判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论19（12分）圆x2+y28内有一点P0（1，2），AB为过点P0且斜率为k的弦（1）当k1时，求AB的长（2）当弦AB被点P0平分时，写出直线AB的方程20（12分）如图，已知PA矩形ABCD所在平面，E、F分别为AB，PC的中点（1）求证：EF平面PAD；（2）若PAAD，求证：EF平面PCD21（12分）已知以点C（t，）（tR且t0）为圆心的圆与x轴交于点O和点A，与y轴交于点O和点B，其中O为原点（1）求证
6、：OAB的面积为定值；（2）设直线y2x+4与圆C交于点M，N，若OMON，求圆C的方程22（12分）已知函数f（x）ax2+bx（a0），且yf（x+）为偶函数设集合Ax|t1xt+1，g（x）4x+（1）若t，记f（x）在A上的最大值与最小值分别是M、N，求MN；（2）若对任意的实数t，总存在x1，x2A，使得|f（x1）f（x2）|g（x）对任意x0，1恒成立，试求a的最小值2017-2018学年吉林省吉林市普通高中友好学校联合体高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）设集合U0，1
7、，2，3，4，5，A1，2，3，B2，3，4，则U（AB）（）A0，2，3B0，1，4，5C0，4，5D0，1，5【分析】进行交集、补集的运算即可【解答】解：AB2，3；U（AB）0，1，4，5故选：B【点评】考查列举法表示集合的定义，以及交集和补集的运算2（5分）下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+）上是增函数的是（）Aylog2xByx1Cyx3Dy2x【分析】可以判断选项A，D的函数都是非奇非偶函数，且选项B的函数在（0，+）是减函数，从而判断出A，B，D都错误，只能选C【解答】解：Aylog2x为非奇非偶函数，该选项错误；Byx1在（0，+）上单调递减，该选项错误；Cyx3是奇函数，
8、且在区间（0，+）上是增函数，该选项正确；Dy2x为非奇非偶函数，该选项错误故选：C【点评】考查奇函数、非奇非偶函数的定义，反比例函数和函数yx3的单调性3（5分）下列函数中，与函数yx表示同一函数的是（）AyByCy（）2Dylogaax（a0且a1）【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可【解答】解：函数yx的定义域为R，对于A：|x|，定义域为R，但对于关系不相同，不是同一函数；对于B：，定义域为xR|x0，它们定义域不相同，不是同一函数；对于C：定义域为x|x0，它们定义域不相同，不是同一函数；对于D：ylogaaxx，（a0且a1），ax0，定义域为R
9、，对于关系也相同，是同一函数；故选：D【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题目4（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，下面四条直线中与平面AB1C平行的直线是（）ADB1BA1D1CC1D1DA1D【分析】由图观察四个选项中的哪一个与平面AB1C的三条线段平行【解答】解：ABCDA1B1C1D1是正方体，A1B1DC且A1B1DC，四边形A1B1CD是平行四边形，A1DB1C，又A1D平面AB1C，B1C平面AB1C，A1D平面AB1C故选：D【点评】本题考查线面平行的判定定理，找出平行线是关键，属基础题5（5分）若三点A（3，1），B（2，b），C（8，11）在同
10、一直线上，则实数b等于（）A2B3C9D9【分析】根据三点A、B、C共线kABkAC，即可求出【解答】解：三点A（3，1），B（2，b），C（8，11）在同一直线上，kACkAB，即，解得b9故选：D【点评】熟练掌握三点A、B、C共线kABkAC是解题的关键6（5分）函数f（x）exx2的零点所在区间是（）x10123ex0.3712.727.3920.09x+212345A（1，0）B（0，1）C（1，2）D（2，3）【分析】计算f（1）0，f（2）0，根据零点存在定理，即可得出结论【解答】解：f（x）exx2，f（1）120，f（2）e2220，函数f（x）的零点在（1，2）内故选：C【点
11、评】本题考查零点存在定理，考查学生的计算能力，正确运用零点存在定理是关键7（5分）已知m，n是直线，是平面，以下命题正确的是（）A若，m，nm，则n或nB若，m，nm，则nC若m上有两个点到的距离相等，则mD若m，nm；且n，n，则n且n【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断求解即可【解答】解：在A中，m，nm，则n与可能相交不垂直，故A错误；B中，m，nm，则n与可能相交，故B不正确；C中m上有两个点到的距离相等，当直线与平面相交时，交点的两侧等距的两点带走平面的距离相等，故C不正确；D中若m，nm；且n，n，则n且n，满足直线与平面平行的判断定理，注意D正确；故选：D【点评】本
12、题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养8（5分）以点（2，1）为圆心且与直线3x4y+50相切的圆的方程为（）A（x2）2+（y+1）23B（x+2）2+（y1）23C（x2）2+（y+1）29D（x+2）2+（y1）29【分析】求出半径即可求得圆的方程【解答】解：r3，所求圆的方程为（x2）2+（y+1）29故选：C【点评】本题考查直线与圆的位置关系，求圆的方程，是基础题9（5分）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A8B8C8D82【分析】几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算
13、【解答】解：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，几何体的体积V2321228故选：C【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键10（5分）设函数f（x），若f（f（）8，则m（）A2B1C2或1D【分析】直接利用分段函数以及函数的零点，求解即可【解答】解：函数f（x），若f（f（）8，可得f（4m）8，若4m1，即3m，可得5（4m）m8，解得m2，舍去若4m1，即m3，可得24m8，解得m1故选：B【点评】本题考查函数的零点函数值的求法，考查分段函数的应用11（5分）已知函数f（
14、x+1）是偶函数，当1x1x2时，f（x2）f（x1）（x2x1）0恒成立，设af（），bf（2），cf（3），则a，b，c的大小关系为（）AbacBcbaCbcaDabc【分析】根据条件求出函数f（x）在（1，+）上的单调性，然后根据函数f（x+1）是偶函数，利用单调性即可判定出a、b、c的大小【解答】解：当1x1x2时，f（x2）f（x1）（x2x1）0恒成立，当1x1x2时，f （x2）f （x1）0，即f （x2）f （x1），函数f（x）在（1，+）上为单调增函数，f（1+x）f（1x），函数f（x）关于x1对称，af（）f（），又函数f（x）在（1，+）上为单调增函数，f（2）f（
15、）f（3），即f（2）f（）f（3），a，b，c的大小关系为bac故选：A【点评】本题考查了函数性质的应用，主要考查了函数单调性的判断以及运用单调性比较函数值的大小，同时考查了函数的对称性的应用，是函数性质的一个综合考查属于基础题12（5分）设函数，其中x表示不超过x的最大整数，如1.22，1.21，11，若直线ykx+k（k0）与函数yf（x）的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围是（）ABCD【分析】画图可知f（x）就是周期为1的函数，且在0，1）上是一直线yx的对应部分的含左端点，不包右端点的线段，要有三解，只需直线ykx+k过点（3，1）与直线ykx+k过点（2，1）之间即可【解答】
16、解：函数，函数的图象如下图所示：ykx+kk（x+1），故函数图象一定过（1，0）点若f（x）kx+k有三个不同的根，则ykx+k与yf（x）的图象有三个交点当ykx+k过（2，1）点时，k，当ykx+k过（3，1）点时，k，故f（x）kx+k有三个不同的根，则实数k的取值范围是故选：D【点评】本题考查的知识点是根据根的存在性及根的个数的判断，其中将方程的根转化为函数的零点，然后利用图象法分析函数图象交点与k的关系是解题的关键二填空题（本大题共4小题，每小题5分）13（5分）幂函数yf（x）的图象过点（2，），则f（4）【分析】利用幂函数的定义即可求出【解答】解：设幂函数f（x）x，幂函数yf
17、（x）的图象过点（2，），2a，解得a，f（x），f（4），故答案为：【点评】熟练掌握幂函数的定义是解题的关键14（5分）若2a3b6，则+1【分析】化指数式为对数式，代入+，换底后利用导数的运算性质化简求值【解答】解：由2a3b6，得alog26，blog36，+故答案为：1【点评】本题考查对数的运算性质，考查对数换底公式的应用，是基础的计算题15（5分）函数y在，1上单调递增，则a的取值范围是2，+）【分析】由题意利用复合函数的单调性可得yx2+ax+1在，1上单调递增，可得 1，由此求得a的范围【解答】解：函数y在，1上单调递增，yx2+ax+1在，1上单调递增，1，即a2，故答案为：2
18、，+）【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、指数函数的性质，属于中档题16（5分）下列命题中：若集合Ax|kx2+4x+40中只有一个元素，则k1；已知函数yf（3x）的定义域为1，1，则函数yf（x）的定义域为（，0；函数y在（，0）上是增函数；方程2|x|log2（x+2）+1的实根的个数是2所有正确命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上）【分析】求出使集合Ax|kx2+4x+40中只有一个元素的k值判断；由已知求得x2x2的值判断；由函数单调性的判定方法判断；画图求出方程2|x|log2（x+2）+1的实根的个数判断【解答】解：对于若集合Ax|kx2+4x+40中只有一个元
19、素，则k1；或k0，所以不正确；对于已知函数yf（3x）的定义域为1，1，则函数yf（x）的定义域为（，0；定义域一个是：，sy不正确；对于，函数y，y在（，0）上是减函数，y在（，0）上是增函数，故正确；对于，画出函数y2|x|1与ylog2（x+2）的图象如图：由图可知，方程2|x|log2（x+2）+1的实根的个数是2，故正确故答案为：【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了有理指数幂的化简求值，训练了函数单调性的判断方法及函数零点的判断方法，属中档题三解答题（本大题共6小题，共计70分）17（10分）已知集合Ax|a1x2a+1，Bx|0x1（1）若a，求AB；（2）若AB，求实数
20、a的取值范围【分析】（1）当a时，A（，4），可求AB（2）若AB，则A时，A时，解不等式可求a的范围【解答】解：（1）a时，A（，4）（3分），Bx|0x1AB（0，4）（5分）（2）AB，（i）当A，有2a+1a1，a2（7分）（ii）当A时，有2a+1a1a2又AB，则2a+10或a11，a或a2，2a或a2，综上可知，a或a2 （10分）所求范围为（，2，+）【点评】本题主要考查了集合交集的求解，解题时要注意由AB时，要考虑集合A的情况，体现了分类讨论思想的应用18（12分）一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示（1）请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处（不需说
21、明理由）（2）判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论【分析】（1）把展开图复原即得；（2）利用一个平面内的两条相交线都平行于另一个平面，证明时注意同理的使用，简化证明过程【解答】（）（）平面BGE平面ACH，证明如下：ABCDEFGH为正方体，BCGF，BCFG，又FGEH，FGEHBCEH，且BCEH，BCHE为平行四边形，BECH，又CH平面ACH，BE平面ACH，BE平面ACH，同理，BG平面ACHBEBGB，平面BEG平面ACH【点评】此题考查了侧面展开图，面面平行的证明，难度不大19（12分）圆x2+y28内有一点P0（1，2），AB为过点P0且斜率为k的弦（1）当k1
22、时，求AB的长（2）当弦AB被点P0平分时，写出直线AB的方程【分析】（1）利用垂径定理，勾股定理可求得；（2）根据弦AB被点P0平分，得到OP0AB【解答】解：（1）当k1时，过点P0（1，2），斜率为1的直线y2（x+1），即x+y10，圆心（0，0）到直线x+y10的距离为，|AB|2；（2）弦AB被点P0平分，OP0AB，kOP2，kAB，AB的方程为y2（x+1），即x2y+50【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题20（12分）如图，已知PA矩形ABCD所在平面，E、F分别为AB，PC的中点（1）求证：EF平面PAD；（2）若PAAD，求证：EF平面PCD【分析】第一步借助
23、辅助线构建平行四边形得到线线平行，从而证得线面平行；第二步利用线面垂直的判定定理不难证明【解答】（1）证明：取PD中点G，连接FG，AG，F为AC中点，FGCD，FGCD又AECD，AEAEFG，AEFG四边形AEFG为平行四边形EFAGEF平面PAD，AG平面PADEF平面PAD（2）证明：PAAD，G为PD的中点，AGPDPA平面ABCD，PACD又CDAD又PAADACD平面PAD又AG平面PADCDAG又CDPDDAG平面PCD又由（1）可知EFAG，EF平面PCD【点评】此题考查了线面平行，线面垂直的判定定理，难度不大21（12分）已知以点C（t，）（tR且t0）为圆心的圆与x轴交于
24、点O和点A，与y轴交于点O和点B，其中O为原点（1）求证：OAB的面积为定值；（2）设直线y2x+4与圆C交于点M，N，若OMON，求圆C的方程【分析】（）根据题意写出圆C的方程，整理后分别令y0与x0求出对应的x与y的值，确定出A与B坐标，求出三角形AOB面积，即可得证；（）根据|OM|ON|，得到O在MN的中垂线上，设MN中点为H，得到CH与MN垂直，进而确定出C，H，O共线，求出直线OC斜率，得到t的值确定出圆心C坐标，即可得到圆C的方程；【解答】解：（）由题设知，圆C的方程为（xt）2+（y）2t2+，化简得x22tx+y2y0，当y0时，x0或2t，则A（2t，0）；当x0时，y0或
25、，则B（0，），SAOB|OA|OB|2t|4为定值；（II）|OM|ON|，原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CHMN，C、H、O三点共线，则直线OC的斜率k，t2或t2，圆心C（2，1）或C（2，1），当圆方程为（x+2）2+（y+1）25时，直线2x+y40到圆心的距离dr，此时不满足直线与圆相交，故舍去；圆C的方程为（x2）2+（y1）25【点评】此题考查了圆的标准方程，两点间的距离公式，对称的性质，三角形的三边关系，以及两直线的交点坐标，熟练掌握公式及性质是解本题的关键22（12分）已知函数f（x）ax2+bx（a0），且yf（x+）为偶函数设集合Ax|t1xt+1，g（x
26、）4x+（1）若t，记f（x）在A上的最大值与最小值分别是M、N，求MN；（2）若对任意的实数t，总存在x1，x2A，使得|f（x1）f（x2）|g（x）对任意x0，1恒成立，试求a的最小值【分析】（1）根据函数f（x）ax2+bx（a0），且yf（x+）为偶函数即可求解b的值，根据t，可得集合A，利用单调性即可f（x）在A上的最大值与最小值分别是M、N，求MN；（2）换元法转化为二次函数问题，即可x1，x2A，使得|f（x1）f（x2）|g（x）对任意x0，1恒成立，可得a的最小值【解答】解：函数f（x）ax2+bx（a0），则yf（x+）a（x+）2+b（）为偶函数可得b那么f（x）ax2
27、+xa（x）2，（1）由t，即t，则集合Ax|t1xt+1x|1x+1；可得f（x）在1，+1递增，则Mf（），Nf（），那么MNa；（2）由题意，g（x）4x+x0，1，设2xt，t1，2，可得h（t）t22t，那么g（x）maxh（2）由|f（x1）f（x2）|g（x）对任意x0，1恒成立，可得|f（x1）f（x2）|；则f（x）maxf（x）min；对任意t都成立，当t是也成立，由（1）可知a，当a时，f（x）；下面证明区间t1，t+1，使得|f（x1）f（x2）|；当t1时，f（x）在区间t1，t+1递增，当t1时，f（x）在区间t1，t+1递减；则f（x）maxf（x）min；即|f（t1）f（x+1）|综上可得a的最小值为【点评】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数闭区间是的最值以及单调性的应用