1、2018-2019学年江苏省无锡市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1（4分）直线3x2y60在y轴上的截距为（）A2B3C2D32（4分）一组数据0，1，2，3，4的方差是（）ABC2D43（4分）某种彩票中奖的概率为，这是指（）A买10000张彩票一定能中奖B买10000张彩票只能中奖1次C若买9999张彩票未中奖，则第10000张必中奖D买一张彩票中奖的可能性是4（4分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A30，B45，b8，则a等于（）A
2、4BCD5（4分）若直线x+ay2与直线ax+ya+1平行，则a的值为（）A1B1C1D06（4分）我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1500石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为多少石？（）A180B160C90D3607（4分）已知空间中两点P1（x，3，2）和P2（5，7，4）的距离为6，则实数x的值为（）A1B9C1或9D1或98（4分）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2
3、，l3共面9（4分）圆（x3）2+（y+2）24与圆（x7）2+（y1）236的位置关系是（）A相切B内含C相离D相交10（4分）将一个底面半径和高都是R的圆柱挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，剩余部分的体积记为V1，半径为R的半球的体积记为V2，则V1与V2的大小关系为（）AV1V2BV1V2CV1V2D不能确定11（4分）已知圆C的圆心与点（1，0）关于直线yx对称，直线4x3y20与圆C相交于A，B两点，且AB6，则圆C的半径长为（）ABC3D12（4分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acbcosCbcosA，则ABC的形状为（）A等腰三角形B直角三
4、角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共计16分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上）13（4分）某中学为了了解全校学生的阅读情况，在全校采用随机抽样的方法抽取一个样本进行问卷调查，并将他们在一个月内去图书馆的次数进行了统计，将学生去图书馆的次数分为5组：0，4），4，8），8，12），12，16），16，20，制作了如图所示的频率分布表，则抽样总人数为 分组人数频率0，4）34，8）98，12）912，16）0.216，200.114（4分）已知正三棱锥PABC的底面边长为6，PA所在直线与底面ABC所成角为60，则该三棱锥的侧面
5、积为 15（4分）在平面直角坐标系中，从五个点：A（0，0），B（1，1），C（2，2），D（3，3），E（5，0）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是 16（4分）已知圆O：x2+y21，若对于圆C：（xm2）2+（ym）21上任意一点P，在圆O上总存在点Q使得PQO90，则实数m的取值范围为 三、解答题（本大题共6小题，共计86分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（12分）已知点A（4，1），B（6，3），C（3，0）（1）求ABC中BC边上的高所在直线的方程；（2）求过A，B，C三点的圆的方程18（14分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b
6、，c（1）若（a+b+c）（a+bc）3ab，求角C的大小；（2）若BM是AC边上的中线，求证：BM19（14分）如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，且PAPD2，AD2BC，PACD，点E在PC上，且PE2EC（1）求证：平面PAD平面PCD；（2）求证：直线PA平面BDE20（14分）如图，在O处有一港口，两艘海轮B，C同时从港口O处出发向正北方向匀速航行，海轮B的航行速度为20海里/小时，海轮C的航行速度大于海轮B在港口O北偏东60方向上的A处有一观测站，1小时后在A处测得与海轮B的距离为30海里，且A处对两艘海轮B，C的视角为30（1）求观测站A到港口O的距离；（2）求海轮C的航行速
7、度21（16分）如图，矩形ABCD所在平面与以BC为直径的圆所在平面垂直，O为BC中点，M是圆周上一点，且CBM30，AB1，BC2（1）求异面直线AO与CM所成角的余弦值；（2）设点P是线段AM上的点，且满足APPM，若直线CM平面BPD，求实数的值22（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y24，点Q（0，1），过点P（0，4）的直线l与圆O交于不同的两点A，B（不在y轴上）（1）若直线l的斜率为3，求AB的长度；（2）设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值，并求出该定值；（3）设AB的中点为M，是否存在直线l，使得MOMQ？若存在，求出直线l的
8、方程；若不存在，说明理由2018-2019学年江苏省无锡市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1（4分）直线3x2y60在y轴上的截距为（）A2B3C2D3【分析】把直线方程改写为斜截式方程，根据直线的斜截式方程即可求得结果【解答】解：直线3x2y6，yx3，由b3，所以直线3x2y6在y轴上的截距是3故选：B【点评】本题主要考查截距的定义，需要熟练掌握，属基础题2（4分）一组数据0，1，2，3，4的方差是（）ABC2D4【分析】先计算出平均数，然
9、后代入方差的公式即可【解答】解：设随机变量X的取值为0，1，2，3，4，则E（X）2，所以D（X）（02）2+（12）2+（22）2+（32）2+（42）22故选：C【点评】本题考查了平均数和方差的计算，属于基础题3（4分）某种彩票中奖的概率为，这是指（）A买10000张彩票一定能中奖B买10000张彩票只能中奖1次C若买9999张彩票未中奖，则第10000张必中奖D买一张彩票中奖的可能性是【分析】根据事件的运算及概率的性质对四个说法进行验证即可得出正确的说法的个数，选出正确答案【解答】解：如果某种彩票的中奖概率为，则买10000张这种彩票仍然是随机事件，即买10000张彩票，可能有多张中奖，
10、也可能不能中奖，排除A，B；若买9999张彩票未中奖，则第10000张也是随机事件，且发生概率仍然是，故C错误，这里的中奖的概率为，是指买一张彩票中奖的可能性是，故D正确故选：D【点评】本题考查概率的意义及事件的运算，属于基本概念题4（4分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A30，B45，b8，则a等于（）A4BCD【分析】由已知利用正弦定理即可解得a的值【解答】解：A30，B45，b8，由正弦定理，可得：a4故选：B【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，熟练掌握正弦定理是解题的关键，属于基础题5（4分）若直线x+ay2与直线ax+ya+1平行，则a的值为（）A
11、1B1C1D0【分析】由a210，解得a经过验证即可得出【解答】解：由a210，解得a1经过验证：a1时两条直线重合，舍去a1故选：B【点评】本题考查了直线平行与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6（4分）我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1500石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为多少石？（）A180B160C90D360【分析】根据数得250粒内夹谷30粒，可得比例，即可得出结论【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1500180石，故选：A【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，
12、比较基础7（4分）已知空间中两点P1（x，3，2）和P2（5，7，4）的距离为6，则实数x的值为（）A1B9C1或9D1或9【分析】直接利用空间零点的距离公式求解即可【解答】解：空间中两点P1（x，3，2）和P2（5，7，4）的距离为6，可得6，解得x1或9故选：C【点评】本题考查空间点线面之间的距离的求法，考查计算能力8（4分）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）Al1l2，l2l3l1l3Bl1l2，l2l3l1l3Cl1l2l3l1，l2，l3共面Dl1，l2，l3共点l1，l2，l3共面【分析】通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为90；判断出B对；通过举常
13、见的图形中的边、面的关系说明命题错误【解答】解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错；对于B，l1l2，l1，l2所成的角是90，又l2l3l1，l3所成的角是90l1l3，B对；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错故选：B【点评】本题考查两直线垂直的定义、考查判断线面的位置关系时常借助常见图形中的边面的位置关系得到启示9（4分）圆（x3）2+（y+2）24与圆（x7）2+（y1）236的位置关系是（）A相切B内含C相离D相交【分析】根据题意，由圆的标准方程求出两圆的圆心与半径，据此结合圆与圆的位置
14、关系分析可得答案【解答】解：根据题意，圆（x3）2+（y+2）24的圆心为（3，2），半径为r12，圆（x7）2+（y1）236的圆心为（7，1），半径r26，则有圆心距d，有r2r14r1+r2，则两圆相交；故选：D【点评】本题考查圆与圆的位置关系，注意分析圆的圆心与半径，属于基础题10（4分）将一个底面半径和高都是R的圆柱挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，剩余部分的体积记为V1，半径为R的半球的体积记为V2，则V1与V2的大小关系为（）AV1V2BV1V2CV1V2D不能确定【分析】由圆柱的体积减去圆锥的体积求得V1，再求出半球的体积V2，则答案可求【解答】解：如图，半径为
15、R的半球的体积记为V2V1V2故选：C【点评】本题考查旋转体体积的求法，考查运算求解能力，是基础题11（4分）已知圆C的圆心与点（1，0）关于直线yx对称，直线4x3y20与圆C相交于A，B两点，且AB6，则圆C的半径长为（）ABC3D【分析】根据对称可得圆心C的坐标，利用点到直线的距离求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理可求得半径【解答】解：圆C的圆心与点（1，0）关于直线yx对称，圆心C（0，1），圆心C到直线4x3y20的距离d1，圆C的半径r故选：A【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属基础题12（4分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acbcosCbcosA，则
16、ABC的形状为（）A等腰三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形【分析】利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cosBsinCsinAcosB，从而可求cosB0，或sinAsinC，进而可得B为直角，或AC，即可判断得解三角形的形状【解答】解：acbcosCbcosA，由正弦定理可得：sinAsinCsinBcosCsinBcosA，可得：sinAsinAcosBcosAsinBsinBcosCsinBcosA，sinAsinAcosBsinBcosC，可得：sinAsinBcosC+sinAcosB，sinBcosC+cosBsinCsinBcosC+sin
17、AcosB，可得：cosBsinCsinAcosB，cosB0，或sinAsinC，B为直角，或AC，ABC的形状为等腰三角形或直角三角形故选：C【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想和转化思想，属于基础题二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共计16分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上）13（4分）某中学为了了解全校学生的阅读情况，在全校采用随机抽样的方法抽取一个样本进行问卷调查，并将他们在一个月内去图书馆的次数进行了统计，将学生去图书馆的次数分为5组：0，4），4，8），8，12），12，16），16，20，制作了如
18、图所示的频率分布表，则抽样总人数为30分组人数频率0，4）34，8）98，12）912，16）0.216，200.1【分析】计算出前三组的总人数以及前三组的频率和，相除即可得到抽取的总人数【解答】解：依题意，前三组抽取的总人数为3+9+921人，前三组的频率和为1（0.1+0.2）0.7，所以抽取的总人数为30人故答案为：30【点评】本题考查了频率分布表的识别和应用，属于基础题14（4分）已知正三棱锥PABC的底面边长为6，PA所在直线与底面ABC所成角为60，则该三棱锥的侧面积为9【分析】作PO面ABC，垂足为O，则PAO是PA所在直线与底面ABC所成角，推导出60，AO2，PAPBPC2A
19、O4，由此能求出该三棱锥的侧面积【解答】解：作PO面ABC，垂足为O，则PAO是PA所在直线与底面ABC所成角，正三棱锥PABC的底面边长为6，PA所在直线与底面ABC所成角为60，PAO60，AO2，PAPBPC2AO4，该三棱锥的侧面积：S3SPAB39故答案为：9【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题15（4分）在平面直角坐标系中，从五个点：A（0，0），B（1，1），C（2，2），D（3，3），E（5，0）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是【分析】先求出基本事件总数nC10，再用列举法求出这三点能构成三角形包
20、含的基本事件有6个，由此能求出这三点能构成三角形的概率【解答】解：从五个点：A（0，0），B（1，1），C（2，2），D（3，3），E（5，0）中任取三个，基本事件总数nC10，这三点能构成三角形包含的基本事件有：ABE，ACE，ADE，BCE，BDE，CDE，共6个，这三点能构成三角形的概率是P故答案为：【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题16（4分）已知圆O：x2+y21，若对于圆C：（xm2）2+（ym）21上任意一点P，在圆O上总存在点Q使得PQO90，则实数m的取值范围为（，2）（0，+）【分析】由题意，可得两圆相离，由两圆圆心距大于
21、半径和列关于m的不等式求解【解答】解：如图，圆C：（xm2）2+（ym）21的圆心坐标为（m+2，m），在直线xy2上，对于圆C上任意一点P，在圆O上总存在点Q使得PQO90，圆O与圆C相离，则|OC|1+12，而|OC|，则2，即m2+2m0，解得m2或m0实数m的取值范围为（，2）（0，+）故答案为：（，2）（0，+）【点评】本题考查圆与圆位置关系的判定，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题三、解答题（本大题共6小题，共计86分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（12分）已知点A（4，1），B（6，3），C（3，0）（1）求ABC中BC
22、边上的高所在直线的方程；（2）求过A，B，C三点的圆的方程【分析】（1）由已知求得BC所在直线的斜率，得到BC边上的高的斜率，再由直线方程点斜式求解；（2）设出圆的一般方程，代入三个点的坐标，求解可得D，E，F的值，则圆的方程可求【解答】解：（1）B（6，3），C（3，0），则BC边上的高所在直线的斜率为3又A（4，1），BC边上的高所在直线的方程为y13（x4），即3xy110；（2）设过A，B，C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F0则，解得所求圆的方程为x2+y2+x9y120【点评】本题考查直线方程与圆的方程的求法，训练了利用待定系数法求圆的方程，是基础题18（14分）在ABC中
23、，角A，B，C所对的边分别为a，b，c（1）若（a+b+c）（a+bc）3ab，求角C的大小；（2）若BM是AC边上的中线，求证：BM【分析】（1）由已知可得a2+b2c2ab，利用余弦定理可求cosC，结合范围C（0，），可求C的值（2）设BMx0，BMC，则AMB，由余弦定理可得+0，解得x的值，即可得证【解答】解：（1）（a+b+c）（a+bc）3ab，（a+b）2c23ab，可得：a2+b2c2ab，cosC，C（0，），C（2）设BMx0，BMC，则AMB，在BCM中，由余弦定理可得：cos，在ABM中，同理可得：cos（），cos（）+cos0，可得：+0，2x2+（c2+a2）0
24、，x2，x0，x，BM【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，考查了函数思想的应用，属于基础题19（14分）如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，且PAPD2，AD2BC，PACD，点E在PC上，且PE2EC（1）求证：平面PAD平面PCD；（2）求证：直线PA平面BDE【分析】（1）由题意知PA2+PD2AD2，得出PAPD，再由PACD证明PA平面PCD，从而证明平面PAD平面PCD；（2）连接AC交BD于点F，连接EF，由题意利用ADFCBF，得出PAEF，从而证明直线PA平面BDE【解答】证明：（1）因为PAPD2，AD，所以PA2+PD2AD2，所
25、以PAPD；又PACD，且PDCDD，PD平面PCD，CD平面PCD，所以PA平面PCD，又PA平面PAD，所以平面PAD平面PCD；（2）连接AC，交BD于点F，连接EF，如图所示；在四边形ABCD中，ADBC，AD2BC，由ADFCBF，得2，又PE2EC，即2，所以PAEF，又直线EF平面BDE，直线PA平面BDE，所以直线PA平面BDE【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了推理与证明能力，是中档题20（14分）如图，在O处有一港口，两艘海轮B，C同时从港口O处出发向正北方向匀速航行，海轮B的航行速度为20海里/小时，海轮C的航行速度大于海轮B在港口O北偏东60方向
26、上的A处有一观测站，1小时后在A处测得与海轮B的距离为30海里，且A处对两艘海轮B，C的视角为30（1）求观测站A到港口O的距离；（2）求海轮C的航行速度【分析】（1）根据题意利用余弦定理列方程求得OA的值；（2）AOB中由正弦定理求得sinOAB，再求出sinACB，利用正弦定理求出BC的值，从而求出OC，即船C的速度【解答】解：（1）因为海轮B的速度为20海里/小时，所以1小时后，OB20海里；又AB30海里，AOB60；所以AOB中，由余弦定理知，AB2OA2+OB22OAOBcosAOB，即302OA2+2022OA20cos60，即OA220OA5000，解得OA10+10（海里）；
27、（2）AOB中，由正弦定理知，即，解得sinOAB；ABC中，BAC30，ABC60+OAB，所以ACB90OAB，所以sinACBsin（90OAB）cosOAB；在ABC中，由正弦定理知，即，解得BC；所以OCOB+BC20+，即船C的速度为（20+）海里/小时【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题21（16分）如图，矩形ABCD所在平面与以BC为直径的圆所在平面垂直，O为BC中点，M是圆周上一点，且CBM30，AB1，BC2（1）求异面直线AO与CM所成角的余弦值；（2）设点P是线段AM上的点，且满足APPM，若直线CM平面BPD，求实数的值【分
28、析】（1）取AD中点N，连接CN，MN，OM，ON，可得AOCN，利用面面垂直的性质，线面垂直的性质可证NOOM，解三角形MON，可得MN，求得CM，CN，由余弦定理即可求解异面直线AO与CM所成角的余弦值（2）连接PB，PD，连接BD和AC交于点Q，连接PQ，利用线面平行的性质可得CMPQ，进而可求P为AM中点，由APPM，可求的值【解答】解：（1）取AD中点N，连接CN，MN，OM，ON，因为ABCD为矩形，O，N分别为BC，AD的中点，所以AOCN，所以异面直线AO与CM所成角就是CN与CM所成的锐角或直角，因为平面ABCD平面BCM，平面ABCD平面BCMBC，矩形ABCD中，NOBC
29、，NO平面ABCD，所以NO平面BCM，又OM平面BCM，所以NOOM，MON中，MON90，OMNO1，所以MN，又M是圆周上点，且CBM30，所以CM1，MCN中，CN，由余弦定理可得cosMCN，所以异面直线AO与CM所成角的余弦值为（2）连接PB，PD，连接BD和AC交于点Q，连接PQ，因为直线CM平面BPD，直线CM平面ACM，平面BPD平面ACMPQ，所以CMPQ，矩形ABCD的对角线交点Q为AC中点，所以PQ为AMC的中位线，所以P为AM中点，又APPM，所以的值为1【点评】本题主要考查了面面垂直的性质，线面垂直的性质，余弦定理以及线面平行的性质的应用，考查了空间想象能力和推理论
30、证能力，属于中档题22（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y24，点Q（0，1），过点P（0，4）的直线l与圆O交于不同的两点A，B（不在y轴上）（1）若直线l的斜率为3，求AB的长度；（2）设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2为定值，并求出该定值；（3）设AB的中点为M，是否存在直线l，使得MOMQ？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由【分析】（1）根据点到直线的距离以及勾股定理可得；（2）联立直线与圆，根据韦达定理以及斜率公式可得；（3）设点M（x0，y0），由MOMQ，以及韦达定理、中点公式可 解得k，再根据判别式可得不存在【解答】解：（
31、1）由直线l的斜率为3，可得直线l的方程为y3x+4，所以圆心O到直线l的距离为，所以AB2（2）直线l的方程为ykx+4，代入圆O：x2+y24，可得方程：（1+k2）x2+8kx+120（*），设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2，x1x2，k1+k2+2k+3（+）2k+2k+2k+（2k）0所以k1+k2为定值，定值为0（3）设点M（x0，y0），由MOMQ，可得2MO23MQ2，即2（x02+y02）3（x02+（y01）2），化简得x02+y026y0+30，由（*）式及直线l的方程可得，代入上式可得，（）2+（）26（）+30，化简得：3k42k250，求得k2k又由（*）中（8k）24（1+k2）120，解得k23所以k2不符合题意，所以不存在符合条件的直线l【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题