1、2018-2019学年江苏省宿迁市沭阳县高一（下）期中数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）计算sin13cos17+cos13sin17的值为（）ABCD2（5分）在ABC中，角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若a2，b3，C120，则其面积等于（）ABCD3（5分）已知ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A：B：C1：1：4，则a：b：c（）A1：1：B2：2：C1：1：2D1：1：44（5分）下列命题正确的是（）A两两相交且不共点的三条直线确定一个平面B四边形确定一个平面C经过一条直线和一个点
2、确定一个平面D经过三点确定一个平面5（5分）函数y2cos2（x+）1是（）A最小正周期为的偶函数B最小正周期为的奇函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数6（5分）在ABC中，a2b2+c2bc，则角A为（）A30B150C120D607（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA11，E，F分别是BC，DC中点，则异面直线AD1与EF所成角大小为（）A45B30C60D908（5分）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm，圆心角为的扇形，则圆锥的高为（）ABCD59（5分）记ABC的三内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若则cosB（）ABCD10（5分）已知ABC
3、内角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若bcosC+ccosBasinA，则ABC的形状是（）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D不确定11（5分）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，分别为BD1，B1C1上的点若，则三棱锥MHBC的体积为（）AB2C1D12（5分）在锐角ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若，则b+c的取值范围是（）AB，2CD（3，2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知sin2cos0，则tan2 14（5分）ABC中，则BC边上中线AD的长为 15（5分）已知关于x的方程cos2x2cosxm1
4、有实数解，则实数m的取值范围是 16（5分）已知OA，OB，OC三条线段两两垂直，长分别是2，x，5，且O，A，B，C4个点都在同一个球面上，这个球的表面积为38，则x的值 三、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤17（10分）已知三棱锥PABC中，ABAC，ABAP若平面分别与棱PA、PB、BC、AC相交于点E、F、G、H，且PC平面，求证：（1）ABEH；（2）FG面PAC18（12分）在ABC中，已知AB2，AC3，BC（1）求角A的大小；（2）求cos（BC）的值19（12分）如图，AB是O的直径
5、，点C是O上的动点，PA垂直于O所在的平面ABC（1）证明：平面PAC平面PBC；（2）设PA3，求点A到平面PBC的距离20（12分）已知，若，求sin（）的值21（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosA，tan（BA）（1）求tanB的值；（2）若c13，求ABC的面积22（12分）某小区内有一块以O为圆心半径为20米的圆形区域广场，为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B分别在圆周上；观众席为梯形ABQP内且在圆O外的区域，其中APABBQ，PABQBA120，且AB，PQ在点O的
6、同侧为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米设（1）求AB的长（用表示）；（2）对于任意，上述设计方案是否均能符合要求？2018-2019学年江苏省宿迁市沭阳县高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）计算sin13cos17+cos13sin17的值为（）ABCD【分析】通过两角和的正弦函数公式化简，即可求出结果【解答】解：sin17cos13+cos17sin13sin（17+13）sin30故选：B【点评】本题考查三角函数的化简求值，两角和的正弦函数的应用
7、，考查计算能力，属于基础题2（5分）在ABC中，角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若a2，b3，C120，则其面积等于（）ABCD【分析】直接利用三角形的面积的公式求出结果【解答】解：ABC中，角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若a2，b3，C120，则SABCabsin12023，故选：C【点评】本题考查的知识要点：三角形面积公式的应用及相关的运算问题，属于基础题型3（5分）已知ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A：B：C1：1：4，则a：b：c（）A1：1：B2：2：C1：1：2D1：1：4【分析】根据三角形内角和定理与正弦定理，即可求得a：b：c的值【解答】解：
8、ABC中，A：B：C1：1：4，所以三个内角分别为30，30，120；则a：b：csinA：sinB：sinC：1：1： 故选：A【点评】本题考查了三角形内角和定理与正弦定理的应用问题，是基础题4（5分）下列命题正确的是（）A两两相交且不共点的三条直线确定一个平面B四边形确定一个平面C经过一条直线和一个点确定一个平面D经过三点确定一个平面【分析】根据空间中的平面公理与推理，对选项中的命题进行判断即可【解答】解：对于A，两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，如三角形所在的三边确定一个平面，A正确；对于B，空间四边形不能确定一个平面，B错误；对于C，经过不在同一条直线上的三点确定一个平面，C错误
9、；对于D，经过一条直线和一个点不一定能确定一个平面，如点在直线上时，D错误故选：A【点评】本题考查了平面的基本定理与推论的应用问题，是基础题5（5分）函数y2cos2（x+）1是（）A最小正周期为的偶函数B最小正周期为的奇函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数【分析】根据倍角的余弦公式和诱导公式化简解析式，再求出函数的周期和奇偶性【解答】解：由题意得，y2cos2（x+）1cos2（x+）cos（2x+）sin2x，函数的最小正周期是，且是奇函数，故选：C【点评】本题考查了倍角的余弦公式和诱导公式的应用，以及正弦函数的性质，属于基础题6（5分）在ABC中，a2b2+c2bc，则角A为
10、（）A30B150C120D60【分析】利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入计算求出cosA的值，即可确定出A的度数【解答】解：在ABC中，a2b2+c2bc，即b2+c2a2bc，cosA，则A60，故选：D【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键7（5分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA11，E，F分别是BC，DC中点，则异面直线AD1与EF所成角大小为（）A45B30C60D90【分析】通过作平行线将异面直线所成角转化为相交直线所成角或其补角【解答】解：取CC1的中点G，连EG，BC1，易得EFBC1AD1，所以异面直线
11、AD1与EF所成角是FEG或其补角，在三角形EFG中，EFEGFG，FEG60故选：C【点评】本题考查了异面直线所成角，属中档题8（5分）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm，圆心角为的扇形，则圆锥的高为（）ABCD5【分析】先根据弧长公式求得扇形的弧长，也就是圆锥的底面周长，从而可得圆锥底面半径，再根据勾股定理得圆锥的高【解答】解：扇形的弧长等于62，所以圆锥的底面周长为2，底面半径为1，圆锥的高为故选：A【点评】本题考查了扇形弧长公式以及圆锥的性质，属中档题9（5分）记ABC的三内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若则cosB（）ABCD【分析】通过正弦定理得出sinB2sinBc
12、osB，结合sinB0，求出cosB的值【解答】解：ABC中，根据正弦定理得：sinAsinB2sinBcosB，sinB0，cosB故选：D【点评】本题主要考查了正弦定理的应用在解三角形中，利用正余弦定理进行边角转化是解题的基本方法，在三角函数的化简求值中常要重视角的统一，函数的统一，降次思想的应用10（5分）已知ABC内角A，B，C，的对边分别为a，b，c，若bcosC+ccosBasinA，则ABC的形状是（）A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D不确定【分析】依题意，利用正弦定理可知sin（B+C）sinAsin2A，易求sinA1，从而可得答案【解答】解：ABC中，bcosC+cco
13、sBasinA，由正弦定理得：sinBcosC+sinCcosBsin2A，即sin（B+C）sin（A）sinAsin2A，又sinA0，sinA1，A（0，），AABC的形状是直角三角形，故选：C【点评】本题考查三角形形状的判断，着重考查正弦定理与诱导公式的应用，考查转化思想11（5分）已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，分别为BD1，B1C1上的点若，则三棱锥MHBC的体积为（）AB2C1D【分析】先计算H到平面BCM的距离，代入体积公式计算即可【解答】解：，D1C平面BCC1B1，H到平面BCC1B1的距离hD1C2，又SBCM3，VMBCHVHBCM2故选：B【点评】本题考查了棱
14、锥的体积计算，属于基础题12（5分）在锐角ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若，则b+c的取值范围是（）AB，2CD（3，2【分析】由正弦定理可得：2，于是b+c2sinB+2sinC2sinB+2sin（B）2sin（B+），根据已知可求B（，），再利用三角函数的值域即可得出【解答】解：由正弦定理可得：2，b+c2sinB+2sinC2sinB+2sin（B）2sinB+2（cosB+sinB）3sinB+cosB2sin（B+），B，C为锐角，B+C，B（，），可得：B+（，），sin（B+）（，1，b+c2sin（B+）（3，2，故选：D【点评】本题考查了正弦定理、和差公
15、式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知sin2cos0，则tan2【分析】将已知等式左右两边同时除以cos，利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tan的值，然后将所求的式子利用二倍角的正切函数公式化简后，把tan的值代入即可求出值【解答】解：sin2cos0，可得：sina2cosa，即tan2，tan2故答案为：【点评】此题考查了二倍角的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键14（5分）ABC中，则BC边上中线AD的长为【分析】由已知利用余弦定理可得BC的值，可
16、求BD，在ABC中，由余弦定理可得cosB，在ABD中，由余弦定理即可解得AD的值【解答】解：，由余弦定理可得：BC2AB2+AC22ABACcosA16+4216，解得：BC4，BD2，在ABC中，可得：cosB，在ABD中，由余弦定理可得：AD2AB2+BD22ABBDcosB16+42426，解得：AD故答案为：【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的综合应用于，考查了计算能力和转化思想，属于基础题15（5分）已知关于x的方程cos2x2cosxm1有实数解，则实数m的取值范围是【分析】由二倍角公式及二次函数的值域的求法得：设f（x）cos2x2cosx2cos2x2cosx12（c
17、osx）2，又cosx1，1，所以f（x）3，由方程有解问题得：关于x的方程cos2x2cosxm1有实数解，所以m13，即m4，得解【解答】解：设f（x）cos2x2cosx2cos2x2cosx12（cosx）2，又cosx1，1，所以f（x）3，又关于x的方程cos2x2cosxm1有实数解，所以m13，即m4，故答案为：【点评】本题考查了二倍角公式及二次函数的值域的求法，属中档题16（5分）已知OA，OB，OC三条线段两两垂直，长分别是2，x，5，且O，A，B，C4个点都在同一个球面上，这个球的表面积为38，则x的值3【分析】把三棱锥OABC补形为长方体，可得长方体的对角线长，得到三棱
18、锥OABC的外接球的半径为R代入球的表面积公式求解【解答】解：把三棱锥OABC补形为长方体，则长方体的对角线长为三棱锥OABC的外接球的半径为R由题意，即x3故答案为：3【点评】本题考查多面体外接球体积与表面积的求法，训练了“分割补形法”，是基础题三、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤17（10分）已知三棱锥PABC中，ABAC，ABAP若平面分别与棱PA、PB、BC、AC相交于点E、F、G、H，且PC平面，求证：（1）ABEH；（2）FG面PAC【分析】（1）由ABAC，ABAP，得AB平面PAC，由此能证明ABEH（2）由PC
19、平面，得PCFG，由此能证明FG面PAC【解答】证明：（1）ABAC，ABAP又AC平面PAC，AP平面PAC，ACAPA，AB平面PAC，3分又EH面PAC，ABEH4分（2）PC平面，平面PAC平面FG，PC平面PAC，PCFG，7分又PC面PAC，FG面PACFG面PAC10分【点评】本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查用空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题18（12分）在ABC中，已知AB2，AC3，BC（1）求角A的大小；（2）求cos（BC）的值【分析】（1）由余弦定理可求cosA，结合范围A（0，），可求A的值（2）由正弦定理可得sinC的值
20、，利用大边对大角可求范围0，可得cosC的值，利用倍角公式可求sin2C，cos2C的值，利用三角形内角和定理和两角差的余弦函数公式即可计算得解【解答】解：（1）AB2，AC3，BC由余弦定理可得：cosA，2分A（0，），A5分（2）由正弦定理：，可得sinCABBC，CA，即0，可得：cosC，8分sin2C2sinCcosC2，cos2C2cos2C121，11分A+B+C，A，可得：BC，cos（BC）cos（2C）coscos2C+sinsin2C（）+14分【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，大边对大角，倍角公式，三角形内角和定理和两角差的余弦函数公式的综合应用，考查了计算能
21、力和转化思想，属于中档题19（12分）如图，AB是O的直径，点C是O上的动点，PA垂直于O所在的平面ABC（1）证明：平面PAC平面PBC；（2）设PA3，求点A到平面PBC的距离【分析】（1）证明BCAC，PABC，得到BC平面PAC然后证明平面PAC平面PBC（2）过A点作PC的垂线，垂足为D，显然AD平面PBC，即AD为三棱锥APBC的高，在RtPAC中，转化求解点A到平面PCB的距离即可【解答】（1）证明：AB是O的直径，点C是O上的动点，ACB90，即BCAC2分又PA垂直于O所在的平面ABC，BC平面O，PABC4分又PAACA，BC平面PAC又BC平面PBC，平面PAC平面PBC
22、6分（2）解：由（1）知平面PAC平面PBC，平面PAC平面PBCPC，过A点作PC的垂线，垂足为D，显然AD平面PBC，即AD为三棱锥APBC的高10分在RtPAC中，所以，由ADPCPAAC，得即点A到平面PCB的距离为，三棱锥点A到平面PBC的距离：12分【点评】本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力20（12分）已知，若，求sin（）的值【分析】利用两角和差的正弦公式，结合同角三角函数的关系式进行转化求解即可【解答】解：由，得，2分由，得；4分，得6分所以9分12分【点评】本题主要考查三角函数值的计算，结合两角和差的正弦公式以及同角三
23、角函数关系进行转化是解决本题的关键21（12分）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosA，tan（BA）（1）求tanB的值；（2）若c13，求ABC的面积【分析】（1）根据同角的三角函数的关系以两角和的正切公式即可求出，（2）根据两角和的正弦公式以及正弦定理和三角形的面积公式即可求出【解答】解：（1）在ABC中，由cosA，得A为锐角，所以sinA，所以tanA，所以tanBtan（BA）+A3；（2）在三角形ABC中，由tanB3，所以sinB，cosB，由sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB，由正弦定理，得b15，所以ABC的面积SbcsinA1
24、51378【点评】本题考查了两角和的正弦正切公式，以及同角的三角函数的关系和正弦定理和三角形的面积公式，属于基础题22（12分）某小区内有一块以O为圆心半径为20米的圆形区域广场，为丰富市民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B分别在圆周上；观众席为梯形ABQP内且在圆O外的区域，其中APABBQ，PABQBA120，且AB，PQ在点O的同侧为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米设（1）求AB的长（用表示）；（2）对于任意，上述设计方案是否均能符合要求？【分析】（1）过点O作OH垂直于AB，垂足
25、为H通过求解三角形即可得到AB（2）点P处的观众离点O最远，在三角形OAP中，由余弦定理求出OP的表达式，利用三角函数的最值求解即可【解答】解：（1）过点O作OH垂直于AB，垂足为H在直角三角形OHA中，OA20，OAH，所以AH20cos，因此AB2AH40cos3分（2）由图可知，点P处的观众离点O最远5分在三角形OAP中，由余弦定理可知9分因为，所以当，即时，（OP2）max800+1600，又（OP2）max800+16003600所以（OP）max6011分所以观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米故对于任意，上述设计方案均能符合要求12分【点评】本题考查实际问题的应用，余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力