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2018-2019学年江苏省宿迁市沭阳县高一(下)期中数学试卷(含详细解答)

1、2018-2019学年江苏省宿迁市沭阳县高一(下)期中数学试卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(5分)计算sin13cos17+cos13sin17的值为()ABCD2(5分)在ABC中,角A,B,C的对边边长分别为a,b,c,若a2,b3,C120,则其面积等于()ABCD3(5分)已知ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若A:B:C1:1:4,则a:b:c()A1:1:B2:2:C1:1:2D1:1:44(5分)下列命题正确的是()A两两相交且不共点的三条直线确定一个平面B四边形确定一个平面C经过一条直线和一个点

2、确定一个平面D经过三点确定一个平面5(5分)函数y2cos2(x+)1是()A最小正周期为的偶函数B最小正周期为的奇函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数6(5分)在ABC中,a2b2+c2bc,则角A为()A30B150C120D607(5分)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,AA11,E,F分别是BC,DC中点,则异面直线AD1与EF所成角大小为()A45B30C60D908(5分)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm,圆心角为的扇形,则圆锥的高为()ABCD59(5分)记ABC的三内角A,B,C的对边边长分别为a,b,c,若则cosB()ABCD10(5分)已知ABC

3、内角A,B,C,的对边分别为a,b,c,若bcosC+ccosBasinA,则ABC的形状是()A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D不确定11(5分)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,分别为BD1,B1C1上的点若,则三棱锥MHBC的体积为()AB2C1D12(5分)在锐角ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若,则b+c的取值范围是()AB,2CD(3,2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13(5分)已知sin2cos0,则tan2   14(5分)ABC中,则BC边上中线AD的长为   15(5分)已知关于x的方程cos2x2cosxm1

4、有实数解,则实数m的取值范围是   16(5分)已知OA,OB,OC三条线段两两垂直,长分别是2,x,5,且O,A,B,C4个点都在同一个球面上,这个球的表面积为38,则x的值   三、解答题:本大题共6小题,共计70分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤17(10分)已知三棱锥PABC中,ABAC,ABAP若平面分别与棱PA、PB、BC、AC相交于点E、F、G、H,且PC平面,求证:(1)ABEH;(2)FG面PAC18(12分)在ABC中,已知AB2,AC3,BC(1)求角A的大小;(2)求cos(BC)的值19(12分)如图,AB是O的直径

5、,点C是O上的动点,PA垂直于O所在的平面ABC(1)证明:平面PAC平面PBC;(2)设PA3,求点A到平面PBC的距离20(12分)已知,若,求sin()的值21(12分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cosA,tan(BA)(1)求tanB的值;(2)若c13,求ABC的面积22(12分)某小区内有一块以O为圆心半径为20米的圆形区域广场,为丰富市民的业余文化生活,现提出如下设计方案:如图,在圆形区域内搭建露天舞台,舞台为扇形OAB区域,其中两个端点A,B分别在圆周上;观众席为梯形ABQP内且在圆O外的区域,其中APABBQ,PABQBA120,且AB,PQ在点O的

6、同侧为保证视听效果,要求观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米设(1)求AB的长(用表示);(2)对于任意,上述设计方案是否均能符合要求?2018-2019学年江苏省宿迁市沭阳县高一(下)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(5分)计算sin13cos17+cos13sin17的值为()ABCD【分析】通过两角和的正弦函数公式化简,即可求出结果【解答】解:sin17cos13+cos17sin13sin(17+13)sin30故选:B【点评】本题考查三角函数的化简求值,两角和的正弦函数的应用

7、,考查计算能力,属于基础题2(5分)在ABC中,角A,B,C的对边边长分别为a,b,c,若a2,b3,C120,则其面积等于()ABCD【分析】直接利用三角形的面积的公式求出结果【解答】解:ABC中,角A,B,C的对边边长分别为a,b,c,若a2,b3,C120,则SABCabsin12023,故选:C【点评】本题考查的知识要点:三角形面积公式的应用及相关的运算问题,属于基础题型3(5分)已知ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若A:B:C1:1:4,则a:b:c()A1:1:B2:2:C1:1:2D1:1:4【分析】根据三角形内角和定理与正弦定理,即可求得a:b:c的值【解答】解:

8、ABC中,A:B:C1:1:4,所以三个内角分别为30,30,120;则a:b:csinA:sinB:sinC:1:1: 故选:A【点评】本题考查了三角形内角和定理与正弦定理的应用问题,是基础题4(5分)下列命题正确的是()A两两相交且不共点的三条直线确定一个平面B四边形确定一个平面C经过一条直线和一个点确定一个平面D经过三点确定一个平面【分析】根据空间中的平面公理与推理,对选项中的命题进行判断即可【解答】解:对于A,两两相交且不共点的三条直线确定一个平面,如三角形所在的三边确定一个平面,A正确;对于B,空间四边形不能确定一个平面,B错误;对于C,经过不在同一条直线上的三点确定一个平面,C错误

9、;对于D,经过一条直线和一个点不一定能确定一个平面,如点在直线上时,D错误故选:A【点评】本题考查了平面的基本定理与推论的应用问题,是基础题5(5分)函数y2cos2(x+)1是()A最小正周期为的偶函数B最小正周期为的奇函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数【分析】根据倍角的余弦公式和诱导公式化简解析式,再求出函数的周期和奇偶性【解答】解:由题意得,y2cos2(x+)1cos2(x+)cos(2x+)sin2x,函数的最小正周期是,且是奇函数,故选:C【点评】本题考查了倍角的余弦公式和诱导公式的应用,以及正弦函数的性质,属于基础题6(5分)在ABC中,a2b2+c2bc,则角A为

10、()A30B150C120D60【分析】利用余弦定理表示出cosA,将已知等式变形后代入计算求出cosA的值,即可确定出A的度数【解答】解:在ABC中,a2b2+c2bc,即b2+c2a2bc,cosA,则A60,故选:D【点评】此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键7(5分)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,AA11,E,F分别是BC,DC中点,则异面直线AD1与EF所成角大小为()A45B30C60D90【分析】通过作平行线将异面直线所成角转化为相交直线所成角或其补角【解答】解:取CC1的中点G,连EG,BC1,易得EFBC1AD1,所以异面直线

11、AD1与EF所成角是FEG或其补角,在三角形EFG中,EFEGFG,FEG60故选:C【点评】本题考查了异面直线所成角,属中档题8(5分)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm,圆心角为的扇形,则圆锥的高为()ABCD5【分析】先根据弧长公式求得扇形的弧长,也就是圆锥的底面周长,从而可得圆锥底面半径,再根据勾股定理得圆锥的高【解答】解:扇形的弧长等于62,所以圆锥的底面周长为2,底面半径为1,圆锥的高为故选:A【点评】本题考查了扇形弧长公式以及圆锥的性质,属中档题9(5分)记ABC的三内角A,B,C的对边边长分别为a,b,c,若则cosB()ABCD【分析】通过正弦定理得出sinB2sinBc

12、osB,结合sinB0,求出cosB的值【解答】解:ABC中,根据正弦定理得:sinAsinB2sinBcosB,sinB0,cosB故选:D【点评】本题主要考查了正弦定理的应用在解三角形中,利用正余弦定理进行边角转化是解题的基本方法,在三角函数的化简求值中常要重视角的统一,函数的统一,降次思想的应用10(5分)已知ABC内角A,B,C,的对边分别为a,b,c,若bcosC+ccosBasinA,则ABC的形状是()A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D不确定【分析】依题意,利用正弦定理可知sin(B+C)sinAsin2A,易求sinA1,从而可得答案【解答】解:ABC中,bcosC+cco

13、sBasinA,由正弦定理得:sinBcosC+sinCcosBsin2A,即sin(B+C)sin(A)sinAsin2A,又sinA0,sinA1,A(0,),AABC的形状是直角三角形,故选:C【点评】本题考查三角形形状的判断,着重考查正弦定理与诱导公式的应用,考查转化思想11(5分)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,分别为BD1,B1C1上的点若,则三棱锥MHBC的体积为()AB2C1D【分析】先计算H到平面BCM的距离,代入体积公式计算即可【解答】解:,D1C平面BCC1B1,H到平面BCC1B1的距离hD1C2,又SBCM3,VMBCHVHBCM2故选:B【点评】本题考查了棱

14、锥的体积计算,属于基础题12(5分)在锐角ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,若,则b+c的取值范围是()AB,2CD(3,2【分析】由正弦定理可得:2,于是b+c2sinB+2sinC2sinB+2sin(B)2sin(B+),根据已知可求B(,),再利用三角函数的值域即可得出【解答】解:由正弦定理可得:2,b+c2sinB+2sinC2sinB+2sin(B)2sinB+2(cosB+sinB)3sinB+cosB2sin(B+),B,C为锐角,B+C,B(,),可得:B+(,),sin(B+)(,1,b+c2sin(B+)(3,2,故选:D【点评】本题考查了正弦定理、和差公

15、式、三角函数的单调性与值域,考查了推理能力与计算能力,属于中档题二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13(5分)已知sin2cos0,则tan2【分析】将已知等式左右两边同时除以cos,利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tan的值,然后将所求的式子利用二倍角的正切函数公式化简后,把tan的值代入即可求出值【解答】解:sin2cos0,可得:sina2cosa,即tan2,tan2故答案为:【点评】此题考查了二倍角的正切函数公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键14(5分)ABC中,则BC边上中线AD的长为【分析】由已知利用余弦定理可得BC的值,可

16、求BD,在ABC中,由余弦定理可得cosB,在ABD中,由余弦定理即可解得AD的值【解答】解:,由余弦定理可得:BC2AB2+AC22ABACcosA16+4216,解得:BC4,BD2,在ABC中,可得:cosB,在ABD中,由余弦定理可得:AD2AB2+BD22ABBDcosB16+42426,解得:AD故答案为:【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的综合应用于,考查了计算能力和转化思想,属于基础题15(5分)已知关于x的方程cos2x2cosxm1有实数解,则实数m的取值范围是【分析】由二倍角公式及二次函数的值域的求法得:设f(x)cos2x2cosx2cos2x2cosx12(c

17、osx)2,又cosx1,1,所以f(x)3,由方程有解问题得:关于x的方程cos2x2cosxm1有实数解,所以m13,即m4,得解【解答】解:设f(x)cos2x2cosx2cos2x2cosx12(cosx)2,又cosx1,1,所以f(x)3,又关于x的方程cos2x2cosxm1有实数解,所以m13,即m4,故答案为:【点评】本题考查了二倍角公式及二次函数的值域的求法,属中档题16(5分)已知OA,OB,OC三条线段两两垂直,长分别是2,x,5,且O,A,B,C4个点都在同一个球面上,这个球的表面积为38,则x的值3【分析】把三棱锥OABC补形为长方体,可得长方体的对角线长,得到三棱

18、锥OABC的外接球的半径为R代入球的表面积公式求解【解答】解:把三棱锥OABC补形为长方体,则长方体的对角线长为三棱锥OABC的外接球的半径为R由题意,即x3故答案为:3【点评】本题考查多面体外接球体积与表面积的求法,训练了“分割补形法”,是基础题三、解答题:本大题共6小题,共计70分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤17(10分)已知三棱锥PABC中,ABAC,ABAP若平面分别与棱PA、PB、BC、AC相交于点E、F、G、H,且PC平面,求证:(1)ABEH;(2)FG面PAC【分析】(1)由ABAC,ABAP,得AB平面PAC,由此能证明ABEH(2)由PC

19、平面,得PCFG,由此能证明FG面PAC【解答】证明:(1)ABAC,ABAP又AC平面PAC,AP平面PAC,ACAPA,AB平面PAC,3分又EH面PAC,ABEH4分(2)PC平面,平面PAC平面FG,PC平面PAC,PCFG,7分又PC面PAC,FG面PACFG面PAC10分【点评】本题考查线线垂直、线面平行的证明,考查用空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题18(12分)在ABC中,已知AB2,AC3,BC(1)求角A的大小;(2)求cos(BC)的值【分析】(1)由余弦定理可求cosA,结合范围A(0,),可求A的值(2)由正弦定理可得sinC的值

20、,利用大边对大角可求范围0,可得cosC的值,利用倍角公式可求sin2C,cos2C的值,利用三角形内角和定理和两角差的余弦函数公式即可计算得解【解答】解:(1)AB2,AC3,BC由余弦定理可得:cosA,2分A(0,),A5分(2)由正弦定理:,可得sinCABBC,CA,即0,可得:cosC,8分sin2C2sinCcosC2,cos2C2cos2C121,11分A+B+C,A,可得:BC,cos(BC)cos(2C)coscos2C+sinsin2C()+14分【点评】本题主要考查了余弦定理,正弦定理,大边对大角,倍角公式,三角形内角和定理和两角差的余弦函数公式的综合应用,考查了计算能

21、力和转化思想,属于中档题19(12分)如图,AB是O的直径,点C是O上的动点,PA垂直于O所在的平面ABC(1)证明:平面PAC平面PBC;(2)设PA3,求点A到平面PBC的距离【分析】(1)证明BCAC,PABC,得到BC平面PAC然后证明平面PAC平面PBC(2)过A点作PC的垂线,垂足为D,显然AD平面PBC,即AD为三棱锥APBC的高,在RtPAC中,转化求解点A到平面PCB的距离即可【解答】(1)证明:AB是O的直径,点C是O上的动点,ACB90,即BCAC2分又PA垂直于O所在的平面ABC,BC平面O,PABC4分又PAACA,BC平面PAC又BC平面PBC,平面PAC平面PBC

22、6分(2)解:由(1)知平面PAC平面PBC,平面PAC平面PBCPC,过A点作PC的垂线,垂足为D,显然AD平面PBC,即AD为三棱锥APBC的高10分在RtPAC中,所以,由ADPCPAAC,得即点A到平面PCB的距离为,三棱锥点A到平面PBC的距离:12分【点评】本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用,点到平面的距离的求法,考查空间想象能力以及计算能力20(12分)已知,若,求sin()的值【分析】利用两角和差的正弦公式,结合同角三角函数的关系式进行转化求解即可【解答】解:由,得,2分由,得;4分,得6分所以9分12分【点评】本题主要考查三角函数值的计算,结合两角和差的正弦公式以及同角三

23、角函数关系进行转化是解决本题的关键21(12分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cosA,tan(BA)(1)求tanB的值;(2)若c13,求ABC的面积【分析】(1)根据同角的三角函数的关系以两角和的正切公式即可求出,(2)根据两角和的正弦公式以及正弦定理和三角形的面积公式即可求出【解答】解:(1)在ABC中,由cosA,得A为锐角,所以sinA,所以tanA,所以tanBtan(BA)+A3;(2)在三角形ABC中,由tanB3,所以sinB,cosB,由sinCsin(A+B)sinAcosB+cosAsinB,由正弦定理,得b15,所以ABC的面积SbcsinA1

24、51378【点评】本题考查了两角和的正弦正切公式,以及同角的三角函数的关系和正弦定理和三角形的面积公式,属于基础题22(12分)某小区内有一块以O为圆心半径为20米的圆形区域广场,为丰富市民的业余文化生活,现提出如下设计方案:如图,在圆形区域内搭建露天舞台,舞台为扇形OAB区域,其中两个端点A,B分别在圆周上;观众席为梯形ABQP内且在圆O外的区域,其中APABBQ,PABQBA120,且AB,PQ在点O的同侧为保证视听效果,要求观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米设(1)求AB的长(用表示);(2)对于任意,上述设计方案是否均能符合要求?【分析】(1)过点O作OH垂直于AB,垂足

25、为H通过求解三角形即可得到AB(2)点P处的观众离点O最远,在三角形OAP中,由余弦定理求出OP的表达式,利用三角函数的最值求解即可【解答】解:(1)过点O作OH垂直于AB,垂足为H在直角三角形OHA中,OA20,OAH,所以AH20cos,因此AB2AH40cos3分(2)由图可知,点P处的观众离点O最远5分在三角形OAP中,由余弦定理可知9分因为,所以当,即时,(OP2)max800+1600,又(OP2)max800+16003600所以(OP)max6011分所以观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米故对于任意,上述设计方案均能符合要求12分【点评】本题考查实际问题的应用,余弦定理的应用,三角形的解法,考查计算能力