1、2018-2019学年江苏省镇江市高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1（5分）已知点A（1，5），B（1，3），则直线AB的倾斜角是（）A30B45C60D1202（5分）在边长为1的正方形ABCD中，等于（）A1BCD23（5分）“m1”是“直线l1：mx+y10和直线l2：x+my+60平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4（5分）已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（）A2BCD35（5分）圆C1
2、：（x+2）2+（y2）21与圆C2：x2+y22x+2y+10公切线的条数为（）A1B2C3D46（5分）教师拿了一把直尺走进教室，则下列判断正确的个数是（）教室地面上有且仅有一条直线与直尺所在直线平行；教室地面上有且仅有一条直线与直尺所在直线垂直；教室地面上有无数条直线与直尺所在直线平行；教室地面上有无数条直线与直尺所在直线垂直A1B2C3D47（5分）点（1，2）到直线3x+4y10的距离为（）A1B2C3D48（5分）若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为（）A30B45C60D909（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线ykx+4与圆x2+y24交于A
3、，B两点，且0，则k（）A或B或C或D或10（5分）在直角梯形ABCD中，已知ABDC，ABAD，AB2，BC1，ABC60，点E和点F分别在线段BC和CD上，且，则的值为（）ABCD111（5分）在平面直角坐标系xOy内，经过点P（2，3）的直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，则OAB面积最小值为（）A4B8C12D1612（5分）已知三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PAPBPC1，则三棱锥PABC外接球的表面积为（）ABC2D3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上）13（5分）已知i为虚数单位，复数z，
4、则|z| 14（5分）若方程x2+y2+4mx2y+4m2m0表示圆，则实数m的取值范围为 15（5分）已知x1，函数yx+的最小值为 16（5分）如图，有三座城市A，B，C其中B在A的正东方向，且与A相距120km；C在A的北偏东30方向，且与A相距60km一架飞机从城市C出发，沿北偏东75航向飞行当飞机飞行到城市B的北偏东45的D点处时，飞机出现故障，必须在城市A，B，C中选择一个最近城市降落，则该飞机必须再飞行 km，才能降落三、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底
5、面ABCD为菱形，E为DD1中点（1）求证：BD1平面ACE；（2）求证：BD1AC18（12分）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量（2a，），（c，sinC），且（1）求角A；（2）若c2，且ABC的面积为，求AC边上的中线BM的大小19（12分）如图，已知等腰直角三角形ABC的斜边AB所在直线方程为y2x5，其中A点在B点上方，直角顶点C的坐标为（1，2）（1）求AB边上的高线CH所在直线的方程；（2）求等腰直角三角形ABC的外接圆的标准方程；（3）分别求两直角边AC，BC所在直线的方程20（12分）如图，在四面体ABCD中，平面ABC平面ACD，ACBACD90，A
6、CBCCD2，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点（1）证明：平面EFG平面BCD；（2）求三棱锥EACD的体积；（3）求二面角DABC的大小21（12分）如图，在道路边安装路灯，路面OD宽12m，灯柱OB高14m，灯杆AB与地面所成角为30路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线AC与灯杆AB垂直，轴线AC，灯杆AB都在灯柱OB和路面宽线OD确定的平面内（1）当灯杆AB长度为多少时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线？（2）如果灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线，此时有一高2.5m的警示牌直立在C处，求警示牌在该路灯灯光下的影子长度22（12分）已知圆C经过A（2，0），B（1，）两点，且圆心C在直线l
7、1：yx上（1）求圆C的方程；（2）已知过点P（1，2）的直线l2与圆C相交截得的弦长为2，求直线l2的方程；（3）已知点M（1，1），在平面内是否存在异于点M的定点N，对于圆C上的任意动点Q，都有为定值？若存在求出定点N的坐标，若不存在说明理由2018-2019学年江苏省镇江市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1（5分）已知点A（1，5），B（1，3），则直线AB的倾斜角是（）A30B45C60D120【分析】由两点坐标求出直线的斜率，再根据倾
8、斜角与斜率的关系求出倾斜角的值【解答】解：点A（1，5），B（1，3），则直线AB的斜率为k1，即tan1，且0，180），90，所以倾斜角45故选：B【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的计算问题，是基础题2（5分）在边长为1的正方形ABCD中，等于（）A1BCD2【分析】在边长为1的正方形ABCD中，CAB45，AC，然后由计算即可【解答】解：在边长为1的正方形ABCD中，CAB45，AC，1故选：A【点评】本题考了平面向量数量积的计算，关键是求出两向量的夹角，属基础题3（5分）“m1”是“直线l1：mx+y10和直线l2：x+my+60平行”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必
9、要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可【解答】解：若“m1”则“直线l1：x+y10，直线l2：x+y+60”其斜率相等，截距不等，两直线平行故“m1”能推出“直线l1：mx+y10和直线l2：x+my+60平行”；若“直线l1：mx+y10和直线l2：x+my+60平行”讨论直线的斜率存在情况，则：当直线一条斜率不存在时m0，两直线垂直，不符合条件两直线平行，舍去；当直线斜率存在时：m；解得：m1，故“直线l1：mx+y10和直线l2：x+my+60平行”不能推出：m1；由充要条件地可得：“m1”是“直线l1：mx+y10和直线l2：x+my+60平
10、行”的充分不必要条件；故选：A【点评】本题考查了充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力属于中档题4（5分）已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为（）A2BCD3【分析】通过圆锥的侧面展开图，求出圆锥的底面周长，然后求出底面半径，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积【解答】解：圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为：2，底面半径为：1，圆锥的高为：；圆锥的体积为：，故选：C【点评】本题是基础题，考查圆锥的侧面展开图，利用扇形求出底面周长，然后求出体积，考查计算能力，常规题型5（5分）圆C1：（x+2）2+（y2）21与圆C2：x2+y22x+2y+10公切线的条
11、数为（）A1B2C3D4【分析】化圆C2为标准方程，求出求出两圆的圆心坐标与半径，由圆心距与半径间的关系可知两圆相离，从而得到两圆公切线的条数【解答】解：化C2：x2+y22x+2y+10为（x1）2+（y+1）21，可知圆C2的圆心坐标为（1，1），半径为1；又圆C1：（x+2）2+（y2）21的圆心坐标为（2，2），半径为1而|C1C2|1+12圆C1与圆C2相离，则公切线条数为4故选：D【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查圆的公切线的确定，是基础题6（5分）教师拿了一把直尺走进教室，则下列判断正确的个数是（）教室地面上有且仅有一条直线与直尺所在直线平行；教室地面上有且仅有一条直线与直尺
12、所在直线垂直；教室地面上有无数条直线与直尺所在直线平行；教室地面上有无数条直线与直尺所在直线垂直A1B2C3D4【分析】考虑直尺所在直线与教室地面平行，相交或在底面上，结合线线的位置关系，即可得到所求结论【解答】解：教室地面上若有一条直线与直尺所在直线平行，可得存在无数条直线与直尺所在直线平行，故错误；教室地面上若有一条直线与直尺所在直线垂直，则与教室地面上的直线平行的直线与直尺所在直线都垂直，故错误；若直尺所在直线与教室地面相交，教室地面上不存在直线与直尺所在直线平行，故错误；不管直尺所在直线与教室地面平行，相交或在底面上，教室地面上都存在无数条直线与直尺所在直线垂直，故正确故选：A【点评】
13、本题考查空间线线和线面的位置关系，考查分类讨论和空间想象能力，属于基础题7（5分）点（1，2）到直线3x+4y10的距离为（）A1B2C3D4【分析】利用点到直线的距离公式求解【解答】解：点（1，2）到直线3x+4y10的距离：d2故选：B【点评】本题考查点到直线的距离的求法，是基础题，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用8（5分）若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为（）A30B45C60D90【分析】正四棱锥SABCD的侧棱和底面边长相等，作SO底面ABCD，垂足为O，作OEBC，则SBO是该正四棱锥的侧棱和底面所成的角，由此能求出该正四棱锥的侧棱和底面
14、所成的角【解答】解：正四棱锥SABCD的侧棱和底面边长相等，作SO底面ABCD，垂足为O，作OEBC，SBO是该正四棱锥的侧棱和底面所成的角，设ABa，则SBa，OB，cosSBO，SBO45，该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为45故选：B【点评】本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题9（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线ykx+4与圆x2+y24交于A，B两点，且0，则k（）A或B或C或D或【分析】通过0，转化为圆心到直线的距离，列出方程求得k的值【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，直线ykx+4与圆x2+y24交于A，B两点，且
15、0，可知圆的圆心到直线的距离为：，可得：，解得k故选：D【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，考查了向量的数量积运算，训练了“设而不求”的解题思想方法，是中档题10（5分）在直角梯形ABCD中，已知ABDC，ABAD，AB2，BC1，ABC60，点E和点F分别在线段BC和CD上，且，则的值为（）ABCD1【分析】根据条件建立直角坐标系利用坐标运算，进行求解即可【解答】解：直角梯形ABCD中，已知ABDC，ABAD，AB2，BC1，ABC60，AD以A点为原点AB为x轴，AD为y轴建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C，D，E，F，故选：C【点评】本题考查了平面向量的数量积运
16、算问题，根据条件建立直角坐标系利用坐标运算解决本题的关键，属中档题11（5分）在平面直角坐标系xOy内，经过点P（2，3）的直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，则OAB面积最小值为（）A4B8C12D16【分析】利用直线的方程过点P（2，3）分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，可得lAB：+1；a0；b0；结合基本不等式的性质即可得出【解答】解：在平面直角坐标系xOy内，经过点P（2，3）的直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，且构成OAB，所以，直线AB 斜率一定存在，设A（a，0）；B（0，b）；lAB：+1；a0；b0；则有：1+2；a0；b0；解得：ab24，当且仅当
17、：时，a4，b6时取等号；OAB面积为：SOABab2412故选：C【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题12（5分）已知三棱锥PABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PAPBPC1，则三棱锥PABC外接球的表面积为（）ABC2D3【分析】由三棱锥PABC的侧棱PA，PB，PC两两垂直且相等，直接补形为正方体求解【解答】解：如图，把三棱锥PABC补形为正方体，可得三棱锥PABC外接球的半径R三棱锥PABC外接球的表面积为故选：D【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，训练了利用“分割补形法”求多面体的体积，是基础题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分不需要写出
18、解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上）13（5分）已知i为虚数单位，复数z，则|z|1【分析】利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，把复数化简到最简形式，利用复数的模的定义求出|z|【解答】解：复数z，（i为虚数单位），zi，|z|1，故答案为：1【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数的模的定义和求法14（5分）若方程x2+y2+4mx2y+4m2m0表示圆，则实数m的取值范围为（1，+）【分析】利用二次方程表示圆的充要条件的判定，求出m的范围【解答】解：方程x2+y2+4kx2y+4m2m0表示圆，即（x+2m）2+（y1）21+m表示圆
19、，所以m+10，所以m1实数m的取值范围为（1，+）故答案为：（1，+）【点评】本题考查圆的一般方程的求法，二次方程表示圆的充要条件，考查计算能力15（5分）已知x1，函数yx+的最小值为5【分析】利用基本不等式，凑“积”为定值【解答】解：x1，x10，f（x）x+（x1）+12+15，（当且仅当x1，即x3时取“”）故答案为：5【点评】本题考查基本不等式，凑“积”为定值是关键，属于基础题16（5分）如图，有三座城市A，B，C其中B在A的正东方向，且与A相距120km；C在A的北偏东30方向，且与A相距60km一架飞机从城市C出发，沿北偏东75航向飞行当飞机飞行到城市B的北偏东45的D点处时，
20、飞机出现故障，必须在城市A，B，C中选择一个最近城市降落，则该飞机必须再飞行60km，才能降落【分析】根据题意，得出最近距离是BD，利用正弦、余弦定理求得DB的值即可【解答】解：连接AD、BC，如图所示；ABC中，AC60，AB120，CAB60，BC2AC2+AB22ACABcos6010800，BC60，AB2AC2+BC2；由ABC30，得ACB90在DBC中，CBD1803045105，BCD30+1545，BDC30，BDDC；由正弦定理得，解得BD6060；又显然ADBD，飞机在B城市降落最近，最近距离为60km故答案为：60【点评】本题考查解三角形的实际应用问题，考查了运算求解能
21、力，是中档题三、解答题（本大题共6小题，共计70分请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，E为DD1中点（1）求证：BD1平面ACE；（2）求证：BD1AC【分析】（1）设AC与BD交于点O，接OE，可得OED1BB，即可证明BD1平面ACE；（2）由底面ABCD是菱形，得ACBD，又DD1底面ABCD，可得DD1AC，证明AC平面BDB1D1，利用线面垂直的性质可证ACBD1【解答】证明：（1）设AC与BD交于点O，接OE，底面ABCD是菱形，O为DB中点，又因为E是DD1的中点，OED1
22、BB，OE面AEC，BD1平面AECBD1平面ACE（2）底面ABCD是菱形，ACBD，DD1底面ABCD，DD1AC，且DBDD1D，AC平面BDB1D1BD1平面BDB1D1，ACBD1【点评】本题主要考查了平面与平面垂直、直线与平面平行的判定，同时考查了空间想象能力和论证推理的能力，属于中档题18（12分）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量（2a，），（c，sinC），且（1）求角A；（2）若c2，且ABC的面积为，求AC边上的中线BM的大小【分析】（1）由，可得，然后利用正弦定理可得角A；（2）根据ABC的面积为，可得，然后利用余弦定理可求出BM【解答】解：（1）
23、，由正弦定理，得，sinC0，sinAA（0，），；（2）ABC的面积为，c2，b3，在三角形ABM中，由余弦定理，得，【点评】本题考查了向量平行，正余弦定理和三角形面积公式，考查了运算能力，属基础题19（12分）如图，已知等腰直角三角形ABC的斜边AB所在直线方程为y2x5，其中A点在B点上方，直角顶点C的坐标为（1，2）（1）求AB边上的高线CH所在直线的方程；（2）求等腰直角三角形ABC的外接圆的标准方程；（3）分别求两直角边AC，BC所在直线的方程【分析】（1）利用垂直关系求出CH的斜率，再利用点斜式写出CN的直线方程；（2）由题意求出圆的半径r和圆心坐标，再写出外接圆的标准方程；（3
24、）利用点到直线的距离求出直线的斜率，再写出直线AC、BC的方程【解答】解：（1）由等腰直角三角形ABC的斜边AB所在直线方程为y2x5，设CH的斜率为kCH，则kCH，又CH经过点C（1，2），所以lCH：y2（x1），即CN的直线方程为lCH：x+2y50；（2）由题意，计算dr|CH|，由，解得，所以圆心为H（3，1），所以ABC的外接圆标准方程是（x3）2+（y1）25；（3）经判断知，AC、AB的斜率均存在，设lAC的方程为：y2k1（x1），即k1xy+2k10，因为点H到直线AC的距离为r，所以，解得k1或k13；又点A在点B上方，所以直线AC的方程为：yx+，直线BC的方程为：y
25、3x+5【点评】本题考查了求直线方程和两直线间的位置关系应用问题，也考查了圆的标准方程和点到直线的位置关系应用问题，是中档题20（12分）如图，在四面体ABCD中，平面ABC平面ACD，ACBACD90，ACBCCD2，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点（1）证明：平面EFG平面BCD；（2）求三棱锥EACD的体积；（3）求二面角DABC的大小【分析】（1）推导出EF面BCD，EG面BCD，由此能证明面EFG面BCD（2）推导出ACBC，BC面ACD，由VEACD，能求出三棱锥EACD的体积（3）推导出ECAB，EDAB，从而CED是二面角的平面角，由此能求出二面角CABD的大小【解答】证
26、明：（1）E，F分别是AB，AD的中点，又EF平面BCD，BD面BCD，EF面BCD，同理，EG面BCD，EFEGE，EF面EFG，EG面EFG，面EFG面BCD解：（2）ACB90，ACBC，面ABC面ACD，面ABC面ACDAC，ACBC，BC面ABC，BC面ACD，BC2，E为AB中点，VEACD，三棱锥EACD的体积为（3）ACBC，E为AB中点，ECAB，同理EDAB，又DE面ABD，CE面ABC，CED是二面角的平面角，面ABC面ACD，面ABC面ACDAC，DC面ACB，DCAC，DC面ACB，CE面ACB，DCEC，在RtDCE中，CECD，则CED45，二面角CABD的大小为
27、45【点评】本题考查面面平行的证明，考查三棱锥的体积、二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题21（12分）如图，在道路边安装路灯，路面OD宽12m，灯柱OB高14m，灯杆AB与地面所成角为30路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线AC与灯杆AB垂直，轴线AC，灯杆AB都在灯柱OB和路面宽线OD确定的平面内（1）当灯杆AB长度为多少时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线？（2）如果灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线，此时有一高2.5m的警示牌直立在C处，求警示牌在该路灯灯光下的影子长度【分析】（1）分别以图中OD、OB所在直线为x、y轴，建立平面直角坐标系
28、，利用坐标表示点B和C，写出AB、AC的方程，求出点A的坐标，再求|AB|的值；（2）设警示牌为CM，写出直线AM的方程，求出CM的影子长度CN的值【解答】解：（1）分别以图中OD、OB所在直线为x、y轴，建立平面直角坐标系，如图所示；灯杆AB与地面所成角为30，B（0，14），AB方程为：yx+14，因为灯罩线AC与灯杆AB垂直，可设CH的斜率为kAN，则kAN，又C（6，0），所以直线AC的方程为：y（x6），由组成方程组，求得点A（，15）；所以|AB|2，即当灯杆AB长度为2m时，灯罩轴线AC正好通过路面OD的中线；（2）设警示牌为CM，且CMOD，则M（6，2.5），A（，15），所
29、以直线AM的方程为：y15（x2.5），令yN0，解得xN7，所以CN76，所以警示牌在该路灯灯光下的影子长度为m【点评】本题考查了阅读理解能力和数学建模能力以及运算求解能力的应用问题，也考查了直线方程以及直线与直线的位置关系应用问题22（12分）已知圆C经过A（2，0），B（1，）两点，且圆心C在直线l1：yx上（1）求圆C的方程；（2）已知过点P（1，2）的直线l2与圆C相交截得的弦长为2，求直线l2的方程；（3）已知点M（1，1），在平面内是否存在异于点M的定点N，对于圆C上的任意动点Q，都有为定值？若存在求出定点N的坐标，若不存在说明理由【分析】（1）用待定系数法设出圆C的一般方程，再
30、根据已知条件列方程组可解得；（2）根据点到直线的距离以及勾股定理列式可得；（3）将化成关于Q的坐标的方程得：（22m）x0+（22n）y0+m2+n2+460，与Q点位置无关，根据x0，y0的系数为0，常数项为0，列方程组可解得【解答】解：（1）因为圆C经过A（2，0），B（1，）两点，且圆心C在直线l1：yx上，设圆C：x2+y2+Dx+Ey+F0，所以（2）22D+F0，12+（）2+D+E+F0，所以DE0，F4所以圆C：x2+y24（2）当斜率不存在的时候，x1，弦长为2，满足题意；当斜率存在的时候，设l2：y2k（x1），即kxy+2k0，1，k，所以直线l2的方程为：x1或3x4y+50（3）设Q（x0，y0），N（m，n），且x02+y024，因为为定值，设，化简得：（22m）x0+（22n）y0+m2+n2+460，与Q点位置无关，所以，解得mn1或mn2所以定点为（2，2）【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属难题