1、专题四 “用好零点”，确定参数的最值或取值范围函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.高考命题常常以基本初等函数为载体，主要考查以下三个方面：（1）零点所在区间零点存在性定理；（2）二次方程根的分布问题；（3）判断零点的个数问题；（4）根据零点的情况确定参数的值或范围；（5）根据零点的情况讨论函数的性质或证明不等式等.本专题围绕利用函数零点，确定参数的最值或取值范围问题，例题说法，高效训练.【典型例题】例1.【山东省淄博市2019届高三3月模拟】已知函数.（1）若是的极大值点，求的值；（2）若在上只有一个零点，求的取值范围.【答
2、案】（1）（2）【解析】 (1)，因为是的极大值点，所以，解得，当时，令，解得，当时，在上单调递减，又，所以当时，；当时，故是的极大值点；(2)令，在上只有一个零点即在上只有一个零点,当时，单调递减；当时，单调递增，所以.（）当，即时，时，在上只有一个零点，即在上只有一个零点.（）当，即时，取，若，即时，在和上各有一个零点，即在上有2个零点，不符合题意；当即时，只有在上有一个零点，即在上只有一个零点，综上得，当时，在上只有一个零点.例2.【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟】已知函数（为自然对数的底数），.（1）当时，求函数的极小值；（2）若当
3、时，关于的方程有且只有一个实数解，求的取值范围.【答案】（1）0（2）【解析】（1）当时， 令 则 列表如下：1单调递减极小值单调递增所以. （2）设，设， 由得， ，在单调递增，即在单调递增，当，即时，时，在单调递增,又，故当时，关于的方程有且只有一个实数解，符合题意. 当，即时，由（1）可知，所以，又故，当时，单调递减，又，故当时，在内，关于的方程有一个实数解1.又时，单调递增，且，令，,故在单调递增，又 在单调递增，故，故，又，由零点存在定理可知，故在内，关于的方程有一个实数解.又在内，关于的方程有一个实数解1，不合题意.综上，.例3. 已知函数，其中.（1）设，讨论的单调性；（2）若函
4、数在内存在零点，求的范围.【答案】（1）见解析；（2）的取值范围是.【解析】（i） 当 时，则 ，因此在 上恒有 ，即 在 上单调递减；（ii）当时， ，因而在上有，在上有 ；因此 在 上单调递减，在单调递增.（2）设 ,，设，则 . 先证明一个命题：当时， .令， ，故在上是减函数，从而当时， ，故命题成立.若 ,由 可知， .，故 ，对任意都成立，故 在上无零点，因此.（ii）当，考察函数 ，由于 在 上必存在零点.设在 的第一个零点为，则当时， ，故 在 上为减函数，又 ，所以当 时， ，从而 在 上单调递减，故在 上恒有 .即 ，注意到 ，因此，令时，则有，由零点存在定理可知函数 在
5、上有零点，符合题意. %网例4【广东省广州市天河区2019届高三综合测试（一)】设函数若函数在处的切线与直线垂直，求实数a的值；讨论函数的单调区间与极值；若函数有两个零点，求满足条件的最小整数a的值【答案】（1）；（2）见解析；（3）3【解析】，函数在处的切线与直线垂直，解得，时，此时函数在内单调递增，无极值时，可得函数在内单调递减，在内单调递增可得时，函数取得极小值，由可得：时，函数在内单调递增，不可能有两个零点，舍去时，可得时，函数取得极小值，时，；时，因此极小值即令函数，在上单调递增，可得，满足条件的最小整数【规律与方法】根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，（1）利用零点
6、存在的判定定理构建不等式求解；（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数； （3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.（4）如果导函数的解析式具有分式特征,且容易判断出分母是正数,此时往往将分子看成一个新的函数,进而对该函数进行研究从而得到相应的结论.（5）参变分离法、构造函数法、数形结合法等，均应灵活运用.【提升训练】1.【四川省高中2019届高三二诊】已知求的极值；若有两个不同解，求实数的取值范围【答案】（1）有极小值，为；无极大值；（2）【解析】的定义域是，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增，故
7、时，；记，则，故可转化成，即：，令，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，且时，时，故，由，的性质有：，和有两个不同交点，且，各有一解，即有2个不同解，和仅有1个交点，且，有2个不同的解，即有两个不同解，取其它值时，最多1个解，综上，的范围是2【陕西省咸阳市2019年高考模拟（二)】已知函数.（1）当，求证；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)见证明；(2) 【解析】（1）证明：当时，得，知在递减，在递增，综上知，当时，.（2）法1：，即，令，则，知在递增，在递减，注意到，当时，；当时，且，由函数有个零点，即直线与函数图像有两个交点，得. 法2：由得，当时，知在上递减，
8、不满足题意；当时，知在递减，在递增. ，的零点个数为，即，综上，若函数有两个零点，则.3.【湖南省怀化市2019届高三3月一模】设函数.（1）若是的极大值点，求的取值范围；（2）当，时，方程（其中）有唯一实数解，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）由题意，函数的定义域为，则导数为由，得，若，由，得.当时，此时单调递增；当时，此时单调递减.所以是的极大值点若，由，得，或.因为是的极大值点，所以，解得综合：的取值范围是（2）因为方程有唯一实数解，所以有唯一实数解设，则，令，即.因为，所以（舍去），当时，在上单调递减，当时，在单调递增当时，取最小值则，即，所以，因为，所以（*）设函数，因为当时
9、，是增函数，所以至多有一解因为，所以方程（*）的解为，即，解得4.【安徽省马鞍山市2019届高三高考一模】已知函数在上是增函数求实数的值；若函数有三个零点，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】当时，是增函数，且，故当时，为增函数，即恒成立，当时，函数的导数恒成立，当时，此时相应恒成立，即恒成立，即恒成立，当时，此时相应恒成立，即恒成立，即恒成立，则，即若，则在上是增函数，此时最多有一个零点，不可能有三个零点，则不满足条件故，当时，有一个零点，当时，故0也是故的一个零点，故当时，有且只有一个零点，即有且只有一个解，即，得，则，在时有且只有一个根，即与函数，在时有且只有一个交点，由得，即
10、得，得，此时函数递增，由得，即得，得，此时函数递减，即当时，函数取得极小值，此时极小值为，作出的图象如图，要使与函数，在时有且只有一个交点，则或，即实数的取值范围是5.【吉林省长春市普通高中2019届高三监测（二)】已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若方程有两个实数根，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析；(2) 【解析】（1）由题可得，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增；，在上单调递减.（2）令，易知单调递增且一定有大于0的零点，不妨设为，即，故若有有两个零点，需满足，即 ，令，所以在上单调递减.，所以的解集为，由，所以.当时，有，令，由于，所以，故，所以，故，在上有唯一零点，另一方
11、面，在上，当时，由增长速度大，所以有，综上，.6. 设函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围.【答案】(1) 函数的单调递增区间为;(2) 的取值范围是.【解析】（1）函数的定义域为，则使的的取值范围为， 故函数的单调递减区间为故在区间内恰有两个相异实根即，解得： 综上所述， 的取值范围是7. 已知函数，其中为自然对数的底数.（1）若函数在区间上是单调函数，试求实数的取值范围；（2）已知函数，且，若函数在区间上恰有3个零点，求实数的取值范围【答案】(1) (2) 【解析】（2）由，知在区间内恰有一个零点，设该零点为，则在区间内不单调，所
12、以在区间内存在零点，同理， 在区间内存在零点，所以在区间内恰有两个零点由（1）知，当时， 在区间上单调递增，故在区间内至多有一个零点，不合题意当时， 在区间上单调递减，故在内至多有一个零点，不合题意；所以8已知函数.（）求函数的单调区间；（）当时，若在上有零点，求实数的取值范围.【答案】（）见解析（）【解析】（）函数的定义域为，.由得或.当时， 在上恒成立，所以的单调递减区间是，没有单调递增区间.当时， 的变化情况如下表：所以的单调递增区间是，单调递减区间是.当时， 的变化情况如下表：所以的单调递增区间是，单调递减区间是.9已知（1）讨论的单调性；（2）若存在及唯一正整数，使得，求的取值范围【
13、答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是;(2) 的取值范围是.【解析】（2）由（1）知当时， 取得最小值，又，所以在上的值域为因为存在及唯一正整数，使得，所以满足的正整数解只有1个因为，所以，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即，解得所以实数的取值范围是10设函数， （）.（1）当时，若函数与的图象在处有相同的切线，求的值；（2）当时，若对任意和任意，总存在不相等的正实数，使得，求的最小值；（3）当时，设函数与的图象交于 两点求证： .【答案】（1）（2）（3）见解析【解析】（2）当时，则，又，设，则题意可转化为方程在上有相异两实根 即关于的方程在上有相异两实根所以，得，所以对恒成立 因为，所以（当且仅当时取等号），又，所以的取值范围是，所以故的最小值为. （3）当时，因为函数与的图象交于两点，所以，两式相减，得. 要证明，即证，即证，即证. 令，则，此时即证令，所以，所以当时，函数单调递增又，所以，即成立；再令，所以，所以当时，函数单调递减，又，所以，即也成立综上所述， 实数满足. 19