1、2019-2020学年北京四中九年级（上）段考数学试卷（10月份）一、选择题（本题共16分每小题2分）1（2分）下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）ABCD2（2分）抛物线y（x2）23的顶点坐标是（）A（2，3）B（2，3）C（2，3）D（2，3）3（2分）若将抛物线y5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（）Ay5（x2）2+1By5（x+2）2+1Cy5（x2）21Dy5（x+2）214（2分）二次函数yax2+bx+c的图象如图所示，根据图象可得a，b，c与0的大小关系是（）Aa0，b0，c0Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0Da0，
2、b0，c05（2分）如图，在ABC中，B40，将ABC绕点A逆时针旋转，得到ADE，点D恰好落在直线BC上，则旋转角的度数为（）A70B80C90D1006（2分）以原点为中心，把点P（1，3）顺时针旋转90，得到的点P的坐标为（）A（3，1）B（3，1）C（1，3）D（1，3）7（2分）已知二次函数yax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表x1012y2121下列结论该函数图象是抛物线，且开口向下；该函数图象关于直线x1对称；当x1时，函数值y随x的增大而增大；方程ax2+bx+c0有一个根大于3其中正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个8（2分）抛物线yax2+bx+c经过点（2，0）
3、，且对称轴为直线x1，其部分图象如图所示对于此抛物线有如下四个结论：ac0；16a+4b+c0；若mn0，则x1+m时的函数值大于x1n时的函数值；点（，0）一定在此抛物线上其中正确结论的序号是（）ABCD二、填空题（本题共16分，每小题2分）9（2分）请写出一个开口向下，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式 10（2分）已知抛物线的对称轴是xn，若该抛物线过A（2，5），B（4，5）两点，则n的值为 11（2分）点A（3，y1），B（2，y2）在抛物线yx25x上，则y1 y2（填“”，“”或“”）12（2分）如图，直线y1kx+n（k0）与抛物线y2ax2+bx+c（a0）分别交于A
4、（1，0，B（2，3）两点，则关于x的方程kx+nax2+bx+c的解为 13（2分）如果函数yx2+4xm的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是 14（2分）已知：如图，在ABC中，CAB70，将ABC绕点A按逆时针方向旋转到ABC的位置，使得CCAB，则BAB的度数为 15（2分）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h20t5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为 s16（2分）如图，已知ABC中，C90，ACBC2，将ABC绕点A顺时针方向旋转60到ABC的位置，连接CB，则CB的长为 三、解答题（本题共68分）17（5分）已知抛物线的顶点坐
5、标为（1，2），且经过点（0，4），求该函数的解析式18（8分）已知二次函数yax2+bx+c的图象如图所示（1）对称轴方程为 ；（2）当x 时，y随x的增大而减小；（3）求函数解析式19（5分）在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点上） （1）先作ABC关于原点O成中心对称的A1B1C1，再把A1B1C1向上平移4个单位长度得到A2B2C2；（2）A2B2C2与ABC是否关于某点成中心对称？若是，直接写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由20（5分）如图，等腰RtABC中，BABC，ABC90，点D在AC上，将ABD绕点
6、B沿顺时针方向旋转90后，得到CBE（1）求DCE的度数；（2）若AB4，CD3AD，求DE的长21（6分）已知二次函数ykx2（k+3）x+3图象的对称轴为：直线x2（1）求该二次函数的表达式；（2）画出该函数的图象，并结合图象直接写出：当y0时，自变量x的取值范围；当0x3时，y的取值范围是多少？22（5分）如图，已知ABC中，ABAC，把ABC绕A点沿顺时针方向旋转得到ADE，连接BD，CE交于点F（1）求证：AECADB；（2）若AB2，BAC45，当四边形ADFC是菱形时，求BF的长23（6分）秋风送爽，学校组织同学们去颐和园秋游，昆明湖西堤六桥中的玉带桥最是令人喜爱，如图所示，玉带
7、桥的桥拱是抛物线形水面宽度AB10m，桥拱最高点C到水面的距离为6m（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；（2）现有一艘游船高度是4.5m，宽度是4m，为了保证安全，船顶距离桥拱顶部至少0.5m，通过计算说明这艘游船能否安全通过玉带桥24（5分）如图，直线l：y2x+m与x轴交于点A（2，0），抛物线C1：yx2+4x+3与x轴的一个交点为B（点B在点A的左侧），过点B作BD垂直x轴交直线l于点 D（1）求m的值和点B的坐标；（2）将ABD绕点A顺时针旋转90，点B，D的对应点分别为点E，F点F的坐标为 ；将抛物线C1向右平移使它经过点F，此时得到的抛物线记为C2，直接写出抛物线C
8、2的表达式25（10分）抛物线yx2+2x+3的顶点为D，它与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）求顶点D的坐标；（2）求直线BC的解析式；（3）求BCD的面积；（4）当点P在直线BC上方的抛物线上运动时，PBC的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值，并且写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由26（6分）已知抛物线G：yx22kx+2k1（k为常数）（1）当k3时，用配方法求抛物线G的顶点坐标；（2）若记抛物线G的顶点坐标为P（x，y）分别用含k的代数式表示x，y，请在的基础上继续用含x的代数式表示y，由可得，顶点P的位置会随着k的取值变化而变化，但P总落在
9、的图象上A一次函数B反比例函数C二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G改为抛物线H：yx22kx+N（k为常数），其中N为含k的代数式，从而使这个新抛物线H满足：无论k取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式： （用含k的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式yax+b（a，b为常数，a0）中，a ，b 27（7分）在正方形ABCD中，点P是直线BC上的一点，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转90，得到线段PE，连接CE（1）如图1，点P在线段CB的延长线上请根据题意补全图形；
10、用等式表示BP和CE的数量关系，并证明（2）若点P在射线BC上，直接写出CE，CP，CD三条线段的数量关系为 2019-2020学年北京四中九年级（上）段考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分每小题2分）1【解答】解：A、此图形旋转180后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故A选项错误；B、此图形旋转180后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故B选项正确；C、此图形旋转180后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故C选项错误；D、此图形旋转180后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故
11、D选项错误故选：B2【解答】解：因为的是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）故选：B3【解答】解：y5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为y5（x2）2+1，故选：A4【解答】解：由抛物线的开口向下知a0，与y轴的交点为在y轴的负半轴上，c0，对称轴为x0，a、b异号，即b0故选：D5【解答】解：由旋转的性质可知，BAD的度数为旋转度数，ABAD，ADEB40，在ABD中，ABAD，ADBB40，BAD100，故选：D6【解答】解：如图，点P（1，3）绕原点顺时针旋转90后坐标变为（3，1）故选：A7【解答】解：函数的对称轴为：x1，在
12、对称轴右侧，y随x的增大而减小，故该函数图象是抛物线，且开口向下，符合题意；该函数图象关于直线x1对称，符合题意；函数的对称轴为：x1，当x1时，函数值y随x的增大而增大，符合题意；由表格可以看出，当x3时，y2，故方程ax2+bx+c0有一个根大于3，不符合题意；故选：C8【解答】解：抛物线开口向下，a0，抛物线交y轴的正半轴，c0，ac0，故错误；抛物线的对称轴为直线x1，而点（2，0）关于直线x1的对称点的坐标为（4，0），16a+4b+c0，故正确；抛物线开口向下，对称轴为直线x1，横坐标是1n的点的对称点的横坐标为1+n，若mn0，1+m1+n，x1+m时的函数值小于x1n时的函数值
13、，故错误；抛物线的对称轴为1，b2a，抛物线为yax22ax+c，抛物线yax2+bx+c经过点（2，0），4a+4a+c0，即8a+c0，c8a，4，点（2，0）的对称点是（4，0），点（，0）一定在此抛物线上，故正确，故选：C二、填空题（本题共16分，每小题2分）9【解答】解：抛物线解析式为yx2+1（答案不唯一）故答案为：yx2+1（答案不唯一）10【解答】解：物线的对称轴是xn，若该抛物线过A（2，5），B（4，5）两点，n1，故答案为：111【解答】解：当x3时，y1x25x24；当x2时，y2x25x6；246，y1y2故答案为：12【解答】解：直线y1kx+n（k0）与抛物线y2
14、ax2+bx+c（a0）分别交于A（1，0），B（2，3），当 y1y2时，即kx+nax2+bx+c，x的值是x1或x2关于x的方程kx+nax2+bx+c的解为x11，x22，故答案为：x11，x2213【解答】解：函数yx2+4xm的图象与x轴有公共点，4241（m）0，m4故答案为：m414【解答】解：CCAB，CCACAB70由旋转的性质可知；ACAC，ACCACC70CAC180707040BAB40故答案为；4015【解答】解：依题意，令h0得020t5t2得t（205t）0解得t0（舍去）或t4即小球从飞出到落地所用的时间为4s故答案为416【解答】解：如图，连接BB，延长BC
15、交AB于点M；由题意得：BAB60，BABA，ABB为等边三角形，ABB60，ABBB；在ABC与BBC中，ABCBBC（SSS），MBBMBA30，BMAB，且AMBM；由题意得：AB216，ABAB4，AM2，CMAB2；由勾股定理可求：BM2，CB22，故答案为：22三、解答题（本题共68分）17【解答】解：设抛物线解析式为ya（x+1）2+2，把（0，4）代入得a1+24，解得a2，所以抛物线为y2（x+1）2+22x2+4x+418【解答】解：（1）由图象可知，函数的对称轴为x1，故答案为x1；（2）由图象可知，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；故答案为x1；（3）函数经过点（1，
16、0），（3，0），（0，2），设函数解析为ya（x+1）（x3），将点（0，2）代入有3a2，a，函数解析式为yx2x219【解答】解：（1）如图所示，A1B1C1和A2B2C2即为所求；（2）由图可知，A2B2C2与ABC关于点（0，2）成中心对称20【解答】解：（1）ABC为等腰直角三角形，BADBCD45由旋转的性质可知BADBCE45DCEBCE+BCA45+4590（2）BABC，ABC90，AC4CD3AD，AD，DC3由旋转的性质可知：ADECDE221【解答】解：（1）抛物线的对称轴为：x2，解得：k1，故抛物线的表达式为：yx24x+3；（2）抛物线的顶点为：（2，1），令y
17、0，则x1或3，抛物线的表达式如下图：从图象看，y0时，自变量x的取值范围为：1x3；当0x3时，1y322【解答】解：（1）由旋转的性质得：ABCADE，且ABAC，AEAD，ACAB，BACDAE，BAC+BAEDAE+BAE，即CAEDAB，在AEC和ADB中，AECADB（SAS）；（2）四边形ADFC是菱形，且BAC45，DBABAC45，由（1）得：ABAD，DBABDA45，ABD为直角边为2的等腰直角三角形，BD22AB2，即BD2，ADDFFCACAB2，BFBDDF2223【解答】解：（1）以AB的中点为原点，建立如下的坐标系，则点C（0，6），点B（5，0），设函数的表达
18、式为：yax2+cax2+6，将点B的坐标代入上式得：025a+6，解得：a，故抛物线的表达式为：yx2+6；（2）设船桥的中心进入，则其最右侧点的横坐标为：2，当x2时，yx2+64+65.04，4.55.04，故边沿可以安全通过，此时船的顶部高为4.5，4.5+0.556，故顶部通过符合要求，故这艘游船能否安全通过玉带桥24【解答】解：（1）将A（2，0）代入y2x+m，得：02（2）+m，解得：m4当y0时，有x2+4x+30，解得：x13，x21，又点B在点A的左侧，点B的坐标为（3，0）（2）当x3时，y2x42，点D的坐标为（3，2），BD2，AB1依照题意画出图形，则EFBD2，
19、OFAEAB1，又点A的坐标为（2，0），点F在y轴正半轴上，点F的坐标为（0，1）yx2+4x+3（x+2）21，设平移后得到的抛物线C2的表达式为y（x+m）21将F（0，1）代入y（x+m）21，得：1（0+m）21，解得：m1，m2，抛物线C2的表达式为y（x）21或y（x+）21，即yx22x+1或yx2+2x+125【解答】解：（1）函数的对称轴为：x1，当x1时，y1+2+34，故点D（1，4）；（2）yx2+2x+3的顶点为D，它与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，则点A、B、C的坐标分别为：（1，0）、（3，0）、（0，3），将点B、C的坐标代入一次函数表达式：ykx+b得
20、：，解得：，故直线BC的表达式为：yx+3；（3）过点D作DGy轴交BC于点G，则点G（1，2），BCD的面积DGOB（42）33；（4）过点P作y轴的平行线交BC于点H，设点P（x，x2+2x+3），点H（x，x+3），则SPBCPHOB（x2+2x+3+x3）x（x3），SPBC有最大值，最大值为：，此时点P（，）26【解答】解：（1）当k3时，yx26x+61x26x+5（x3）24，此时抛物线的顶点坐标为（3，4）；（2）yx22kx+2k1（xk）2（k1）2，抛物线G的顶点坐标为P（x，y）xk，y（k1）2；由可得，yx2+2x1；由可得，顶点P的位置会随着x的取值变化而变化，但
21、点P总落在二次函数图象上，故答案为：C；（3）符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：yx22kx+k2+k，yx22kx+k2+k（xk）2+k，顶点坐标为（k，k），它的顶点所在的一次函数图象的表达式yx，a1，b0，故答案为：yx22kx+k2+k，1，027【解答】解：（1）据题意补全图形，如图1所示：CEBP，理由如下：作EMBC于M，如图2所示：由旋转的性质得：PEPA，APE90，即APB+EPM90，四边形ABCD是正方形，ABBC，ABC90，ABP90，APB+PAB90，PABEPM，在ABP和PME中，ABPPME（AAS），ABPM，BPME，PMBC，BPCMME，C
22、EM是等腰直角三角形，CEME，CEBP；（2）分两种情况：当点P在线段BC上时，CE（CDCP），理由如下：在BA上截取BMBP，连接PM，如图3所示：则PBM是等腰直角三角形，PMBP，BMPBPM45，ABBC，AMPC，由旋转的性质得：PEPA，APE90，APM+CPE180904545，又MAP+APMBMP45，MAPCPE，在PCE和AMP中，PCEAMP（SAS），CEPM，CDPCBCPCBP，CEPMBP（CDCP）；当点P在线段BC的延长线上时，CE（CD+CP），理由如下：在BA上截取BMBP，连接PM，如图4所示：则PBM是等腰直角三角形，PMBP四边形ABCD是正方形，ABBC，DAMBAD90，ADBC，AMPC，DAPAPB，由旋转的性质得：PEPA，APE90，PAMEPC，在PCE和AMP中，PCEAMP（SAS），CEPM，CD+CPBC+CPBP，CEPMBP（CD+CP）；故答案为：CE（CDCP）或CE（CD+CP）第20页（共20页）