1、 专题二 压轴填空题 第四关 以立体几何为背景的新颖问题为背景的填空题【名师综述】以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题，与函数图象相结合问题、最值问题，探索性问题等. 对探索、开放、存在型问题的考查，探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程下高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何的中，不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中，这需要具有较好的基础知识和敏锐的洞察力;对折叠、展开问题的考查，图形的折叠与展开问题（三视图问题可看作是特殊的图形变换）蕴涵了“二维三维
2、二维” 的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辩，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立几解答题的重要题型.类型一 几何体在变化过程中体积的最值问题 典例1 （2018山东湖北联考）四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为_来源:Z+xx+k.Com【名师指点】求椎体的体积关键是确定高，本题中认真体会线面垂直和面面垂直的转化，通过设角参数，巧妙地将四棱锥的高和SC建立了联系，进而利用三角函数知识确定范围.【举一反三】（2018宿州质检）如图所示，垂直于所在的平面，是的直径，是上的一点，分别是点在，上的投影，当三棱锥
3、的体积最大时，与底面所成角的余弦值是（ ）A B C D 类型二 几何体的外接球或者内切球问题典例2 【2017课标1】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面SCA平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为_来源:ZXXK答案【名师指点】确定外接球半径问题一般有下列方法: 将所求几何体通过补体，转化为长方体、直棱锥等熟悉几何体的外接球问题.; 球心是到多面体各顶点距离相等的点，可利用过三角形外心，且垂直于该面的垂线的交点确定; 构造特殊模型来确定外接球半径.【举一反三【2018四川省联考】设点是半径为2的球的球面上的三个不同
4、的点，且， ， ，则三棱锥的体积为_类型三 立体几何与函数的结合典例3.如图，在棱长为1的正方体的对角线上取一点，以为球心，为半径作一个球，设，记该球面与正方体表面的交线的长度和为，则函数的图像最有可能的是（ ）【名师指点】球面与正方体的表面都相交，我们考虑三个特殊情形：（1）当；（2）当；（3）当.其中（1）（3）两种情形所得弧长相等且为函数的最大值，根据图形的相似，（2）中的弧长为（1）中弧长的一半，对照选项，即可得出答案.本题考查数形结合的数学思想方法，考查特殊值、小题小作的小题技巧.【举一反三】（2018邢台模拟）在中， ， ， ，点分别在边上，且，沿着将折起至的位置，使得平面平面，其
5、中点为点翻折后对应的点，则当四棱锥的体积取得最大值时， 的长为_.来源:【精选名校模拟】1（2019运城模拟）如图1，边长为2的正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，将ADE, CDF, BEF折起，使A，C，B三点重合于G，所得三棱锥GDEF的俯视图如图2，则该三棱锥正视图的面积为来源:A B C D 2. （2018淮北模拟）在平面四边形中，且，现将沿着对角线翻折成，则在折起至转到平面内的过程中，直线与平面所成角最大时的正弦值为（ ）A B C D 3、【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研测试】如图，铜质六角螺帽毛胚是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知正六棱柱的底面
6、边长、高都为，圆柱的底面积为.若将该螺帽熔化后铸成一个高为的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为_ .（不计损耗）4、（2018乌鲁木齐三模）圆锥底面半径为，高为，是一条母线，点是底面圆周上一点，则点到所在直线的距离的最大值是_5【安徽省合肥市2018届高三第一次教学质量检测】如图，已知平面四边形满足，将沿对角线翻折，使平面平面，则四面体外接球的体积为_来源:Z_xx_k.Com6（2019安徽六校联考）在ABC中，已知, ,，D是边AC上的一点，将ABC沿BD折叠，得到三棱锥A-BCD，若该三棱锥的顶点A在底面BCD的射影M在线段BC上，设BM=x，则x的取值范围是（ ）A B C D 7
7、已知的三边长分别为，是边上的点，是平面外一点给出下列四个命题：若平面，且是边中点，则有；若，平面，则面积的最小值为；若，平面，则三棱锥的外接球体积为；若，在平面上的射影是内切圆的圆心，则三棱锥的体积为；其中正确命题的序号是 （把你认为正确命题的序号都填上）8【四川省乐山四校2019届第三学期半期联考】如图，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点.有下列四个命题点是的垂心 平面二面角的正切值为点到平面的距离为则正确的命题有_.9已知矩形的长，宽，将其沿对角线折起，得到四面体，如图所示， 给出下列结论：四面体体积的最大值为；四面体外接球的表面积恒为定值；若分别为棱的中点，则恒有且； 当二面角的
8、大小为时，棱的长为；当二面角为直二面角时，直线所成角的余弦值为其中正确的结论有_(请写出所有正确结论的序号)学-10（2018山东名校联考）如图所示，在等腰直角三角形中，为直角，沿把面折起，使面面，当四棱锥的体积最大时，的长为_11【江苏省盐城市、南京市2019届高三年级第一次模拟考试】如图，平面，分别为的中点，则三棱锥的体积为_12【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测】已知球的半径为4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为，若球心到这两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为_13【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三上学期期末考试】如图，直三棱柱中,， ，外接球的球心为，点是侧棱上的一个动点.有下列判断： 直线与直线是异面直线；一定不垂直； 三棱锥的体积为定值； 的最小值为.其中正确的序号序号是_.学+14【2019广东高三年级第一学期期末质量检测】已知正方体的棱长为，交于，是棱的中点，则直线被正方体外接球所截得的线段长度为_。