1、 专题二 压轴填空题 第五关 以数列求和或者通项公式为背景的填空题【名师综述】1.数列的通项公式及递推公式的应用也是命题的热点，根据an与Sn的关系求通项公式以及利用构造或转化的方法求通项公式也是常考的热点.2.数列的求和问题多以考查等差、等比数列的前n项和公式、错位相减法和裂项相消法为主，且考查频率较高，是高考命题的热点.1求数列通项公式的常见类型及方法(1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法(2)已知Sn与an的关系，利用an求an.(3)累加法：数列递推关系形如an1anf(n)，其中数列f(n)前n项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法)
2、(4)累乘法：数列递推关系形如an1g(n)an，其中数列g(n)前n项积可求，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法) 2活用数列求和的四种方法(1)公式法：适合求等差数列或等比数列的前n项和对等比数列利用公式法求和时，注意q1或q1两种情况(2)错位相减法：这是推导等比数列的前n项和公式时常用的方法，主要用于求数列anbn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列(3)裂项相消法：把数列的各项分别裂开后，前后抵消从而计算和的方法，适用于求通项为的数列的前n项和，其中an为等差数列，则.(4)分组求和法：一个数列如果既不是等差数列又不是等比数列，但它可以拆成两个数列，而这两个数列是等
3、差或等比数列，那么就可分组求和，这种方法叫分组求和法+网类型一 将递推式转换为项间的关系式处理的问题典例1 【辽宁葫芦岛普高协作体2017届高三上学期第二次考试，16】已知数列的前项和为，则的最小值为 学-【答案】【名师指点】本题主要考查数列前项和、等比数列；3、基本不等式，属于较难题型.使用基本不等式公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图象，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型. 【举一反三】【山东省德州市2019届高三期末联考】已知数列的前项和为，满足
4、，数列满足，则数列的前10项和是_【答案】【解析】数列bn前n项和为Sn满足Sn2bn1（nN*），n1时，b12b11，解得b11n2时，bnSnSn12bn1（2bn11），化为：bn2bn1数列bn为等比数列，首项为1，公比为2bn2n-1将bn2n-1代入中得an2n-1,则，则故答案为：类型二 可转化为前n项和间的递推式的问题典例2 已知数列的前项和为，当时，则=（ ）【答案】1008【名师指点】由已知条件，将已知递推式利用转化为间的递推式，通过对递推式的处理知数列是等差数列，进而利用等差数列通项公式求【举一反三】【安徽省淮南市2018届高三第一次（2月）模拟】已知正项数列的前项和为
5、，当时， ，且，设，则的最小值是_.【答案】9【解析】当 时， ，即 ，展开化为： 正项数列的前项和为 数列是等比数列，首项为1，公比为4 来源:Z#xx#k.Com 则 则 当且仅当即时等号成立.故答案为9类型三 通过若干项观察归纳总结的问题典例3 【贵州省贵阳第一中学、云南师大附中、广西南宁三中2019届高三“333”高考备考诊断联考】已知数列的首项，函数为奇函数，记为数列的前项和，则的值为_【答案】【解析】是奇函数，如此继续，得， .【名师指点】通过计算数列前几项,得出该数列所具有的特殊性质，然后利用该性质作为一般规律去解题，是数学中常用的方法，体现了从特殊到一般的数学思想方法【举一反三
6、】数列满足，其前项积为，则 【答案】【解析】由可得，因为，所以，所以数列是周期为的周期数列，且，又因为，所以来源:Z_X_X_K【精选名校模拟】1【宁夏银川一中2019届高三第五次月考】已知，数列的前项和为，数列的通项公式为，则的最小值为_【答案】-4【解析】由，可知，数列的前项和为Sn（1）+（）+（）1又bnn8，bnSn 104，当且仅当n+1，即n2时等号成立，2【河南省名校联考2019届高三上学期联考】已知数列的前项和为，其中为常数，若，则数列中的项的最小值为_【答案】【解析】,时，-化为，所以是公比为2的等比数列，由，可得，解得，即中的项的最小值为，故答案为.3【皖江名校2018届
7、高三12月份大联考】已知数列， 是其前项的和且满足，则_【答案】【解析】当时， ， ，当时， ， -得： ，即， ，又数列是以为首项， 为公比的等比数列，得，代入得： 。答案为： 4【内蒙古鄂尔多斯西部四校2018届高三下学期期中联考】在正项无穷等差数列中，为其前项和，若，则的最小值为_.【答案】【解析】设公差为，由已知得，所以.解得或（舍去），所以.所以，令所以，有单调递减，单调递增.所，所以的最小值为0.故答案为：0.5【吉林省普通中学2018届高三第二次调研测试】已知数列中，前项和为，且，则的最大值为_【答案】2【解析】当时， ，即数列单调递减当时最大故答案为26【2019河南省洛阳市高
8、三第一次统一考试】数列首项，且，令，则的前2019项的和_【答案】【解析】由于，故，故数列是以为首项，公比为的等比数列，故，所以.则，故.7数列an中，a11，an3an13n4(nN*，n2)，若存在实数，使得数列为等差数列，则_.【答案】28【辽宁省丹东市五校协作体2018届高三上学期联考】设数列的前n项和为若 且 则的通项公式_【答案】.【解析】，,，即。又，解得。故。数列从第二项起是公比为3的等比数列，故当时， 。来源:ZXXK。答案： 9. 【湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考】已知数列满足：，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是_【答案】【解析】由题意，数列满足 ，取
9、倒数可得，即，所以数列表示首项为2，公比为2的等比数列，所以，所以，因为数列是单调递增数列，所以当时，即；当时，因此.10在数列中， ，则该数列的通项公式= 来源:Zxxk.Com【答案】学-11【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟】已知数列的前项和为，数列的前项和为，满足，且.若存在，使得成立，则实数的最小值为_【答案】【解析】3Sn（n+m）an，3S13a1（1+m）a1，解得m2，3Sn（n+2）an，当n2时，3Sn1（n+1）an1，由可得3an（n+2）an（n+1）an1，即（n1）an（n+1）an1，累乘可得ann（n+1），经检验a12符合题意，ann（n+1），
10、nN*，anbnn，bn，来源:Zxxk.Com令BnT2nTn，则Bn+1Bn0，数列Bn为递增数列，BnB1，存在nN*，使得+TnT2n成立，B1，来源:Zxxk.Com故实数的最小值为，故答案为：12【湖北省宜昌市2019届高三年级元月调考】已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，点、均在函数的图象上，的横坐标为，的横坐标为，直线的斜率为.若，则数列的前项和_【答案】【解析】由题意可知：，解得，得，所以，整理得故答案为：13若数列是正项数列，且，则_.学!【答案】【解析】令，得，所以当时，与已知式相减，得，所以，时，适合所以，所以，14已知函数的三个零点成等比数列，则_.【答案】【解析】试题分析:由题意设三个零点分别为,由正弦曲线的对称性可知,由此可得,故,所以,故应填.15【福建省龙岩市2018-2019学年第一学期期末高三教学质量检查】已知数列的前项和为，则的值为_【答案】231