1、 专题三 压轴解答题第一关 以立体几何中探索性问题为背景的解答题【名师综述】利用空间向量解决探索性问题立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法下面借“题”发挥，透视有关立体几何中的探索性问题的常见类型及其求解策略，希望读者面对立体几何中的探索性问题时能做到有的放矢，化解自如1. 以“平行”为背景的存在判断型问题典例1 如图，四棱锥的底面是菱形， ， 平面， 是的中点.（1）求证：平面平
2、面；（2）棱上是否存在一点，使得平面？若存在，确定的位置并加以证明；若不存在，请说明理由.【解析】（1）连接，因为底面是菱形， ,所以为正三角形.因为是的中点, 所以, 来源:因为面, ，因为， ， ,所以.又, 所以面面. 所以 ， 又面， 面，面，结论得证. 学_【名师指点】本题是直线和平面平行的存在性问题，这种问题可以利用空间直角坐标系，通过建系设点，利用空间向量求解，如果利用传统立体几何的方法，就需利用分析法，利用直线和平面平行的性质定理寻求点的位置【举一反三】如图所示,在四棱锥中,四边形是正方形,点分别是线段的中点.（1）求证：;（2）线段上是否存在一点,使得面面,若存在，请找出点并
3、证明;若不存在,请说明理由.【解析】（1）证明：由四边形为正方形可知，连接必与相交于中点 故面 面（2）线段上存在一点满足题意，且点是中点 理由如下：由点分别为中点可得： 面面 由（1）可知，面且来源:故面面类型2 以“垂直”为背景的存在判断型问题典例2 如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，为中点,（1）求证：平面；（2）若是正三角形，且. ()当点在线段上什么位置时，有平面 ？()在()的条件下，点在线段上什么位置时，有平面平面？ ()当时，有平面平面过作于，由()知，平面，所以平面平面易得【名师指点】以直线和平面垂直、直线和直线垂直为背景的垂直问题，可以通过建立空间直角坐标系，通过直线的
4、方向向量与平面的法向量共线或者直线方向向量垂直求得，也可以利用传统立体几何知识利用分析的方法，确定线、面垂直关系来求解【举一反三】【北京市通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试】如图，在三棱柱中，底面，ABC是边长为的正三角形，D，E分别为AB，BC的中点（）求证：平面； （）求二面角的余弦值；（）在线段上是否存在一点M，使平面？说明理由.【解析】（）证明：在三棱柱中，因为底面，CD平面ABC， 所以 又为等边三角形，为的中点，所以因为， 所以平面； （）取中点，连结，则因为，分别为， 的中点，所以由（）知，如图建立空间直角坐标系由题意得， ,， ， 设平面 法向量， 则即 令，
5、则，即 平面BAE法向量因为，所以 由题意知二面角为锐角，所以它的余弦值为. （）解：在线段上不存在点M，使平面理由如下假设线段上存在点M，使平面则，使得来源:因为，所以 又，所以由（）可知，平面法向量，平面，当且仅当，即，使得所以 解得这与矛盾所以在线段上不存在点M，使平面类型3 以“角”为背景的探索性问题典例3 如图所示，在棱长为2的正方体中， 分别为和的中点.(1)求证： 平面；(2)在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.【解析】(1)证明：如图所示，分别以所在的直线为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，由已知得， ， ， ， ， ， ， ，平面的
6、一个法向量是，又，而平面，平面.(2)解：设点，平面的一个法向量为，则， ，取，则， ，平面的一个法向量，依题意知， 或，即，解得或 (舍)，在棱上存在一点，当的长为时，二面角的大小为.【名师指点】与“两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角”有关的存在性问题，常利用空间向量法解决，可以避开抽象、复杂地寻找角的过程，只要能够准确理解和熟练应用夹角公式，就可以把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等事实说明，空间向量法是证明立体几何中存在性问题的强有力的方法学_【举一反三】【山东省德州市跃华中学2017-2018学年下学期高三模拟】如图所示，正四棱椎P-ABCD
7、中，底面ABCD的边长为2，侧棱长为.（I）若点E为PD上的点，且PB平面EAC.试确定E点的位置；（）在（I）的条件下，点F为线段PA上的一点且，若平面AEC和平面BDF所成的锐二面角的余弦值为，求实数的值.【解析】（）设BD交AC于点O，连结OE，PB平面AEC，平面AEC平面BDPOE，PBOE，又O为BD的中点，在BDP中，E为PD中点（）连结OP，由题意得PO平面ABCD，且ACBD，以O为原点，OC、OD、OP所成直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，OP，A（，0，0），B（0，0），C（，0，0），D（0，0），P（0，0，），则E（0，），（，0，0），（，），（0，0），
8、设平面AEC的法向量（x，y，z），则，令z1，得平面AEC的一个法向量（0，1），设平面BDF的法向量（x，y，z），由，得F（，0，），（，），令z1，得（，0，1），平面AEC和平面BDF所成的锐二面角的余弦值为，cos，解得【精选名校模拟】1. 【黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三上学期期末考试】如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱上的动点，且.（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的正切值【解析】设AEBFx以D为原点建立空间直角坐标系，得下列坐标：D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），A1（2，0，2），
9、B1（2，2，2），C1（0，2，2），E（2，x，0），F（2x，2，0）（1）因为，所以所以A1FC1E（2）因为，所以当SBEF取得最大值时，三棱锥B1BEF的体积取得最大值因为，所以当x1时，即E，F分别是棱AB，BC的中点时，三棱锥B1BEF的体积取得最大值，此时E，F坐标分别为E（2，1，0），F（1，2，0）设平面B1EF的法向量为，则得取a2，b2，c1，得显然底面ABCD的法向量为设二面角B1EFB的平面角为，由题意知为锐角因为，所以，于是所以，即二面角B1EFB的正切值为2. 【湖北省2019届高三1月联考测试】如图，在四棱锥中，且PC=BC=2AD=2CD=2，.（1）平
10、面；（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由._网（2）方法一：在线段上取点，使 则又由（1）得平面 平面又平面 作于又，平面，平面平面 又平面 又 是二面角的一个平面角设 则，这样，二面角的大小为即 即满足要求的点存在，且方法二：取的中点，则、三条直线两两垂直可以分别以直线、为、轴建立空间直角坐标系且由（1）知是平面的一个法向量设 则，设是平面的一个法向量则 令，则，它背向二面角又平面的法向量，它指向二面角这样，二面角的大小为即 即满足要求的点存在，且3. 【福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查】如图，四边形是边长为2的正方形，
11、平面平面，且.（1）证明：平面平面；（2）当，且与平面所成角的正切值为时，求二面角的正弦值.【解析】（1）由题设知，平面平面，交线为.因为，平面，所以平面，因此，又，所以平面.而平面，所以平面平面.（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系，则有， 过点作于，设，则.因为，所以，由题设可得，即，解得或，因为，所以，所以，.由，知是平面的法向量，.设平面的法向量为，则取得，设二面角为，则，因为，.综上，二面角的正弦值为.4. 【福建省厦门市2019届高三年级第一学期期末质检】如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且，.（1）证明：平面；（2）当直线与平面所成角的正切值为时
12、，求二面角的余弦值.【解析】（1）证明：由已知，得，在中，即，平面，平面，又，平面，平面，平面（2）平面，为直线与平面所成角，在中，取的中点，连结，则，平面，平面，又，平面，平面，平面，以点为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，取，解得，又平面的法向量为，.二面角的余弦值为.5. 【北京市朝阳区2018-2019高三数学期末考试】如图，三棱柱的侧面是平行四边形，平面平面，且分别是的中点.（1）求证：平面； （2）当侧面是正方形，且时， （）求二面角的大小；（）在线段上是否存在点，使得？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.【解析】证明：（1）取中点，连，连.在中，
13、因为分别是中点， 所以，且.在平行四边形中，因为是的中点，所以，且.所以，且.所以四边形是平行四边形. 所以.又因为平面，平面，所以平面. （2）因为侧面是正方形，所以.又因为平面平面，且平面平面，所以平面.所以.又因为，以为原点建立空间直角坐标系，如图所示.设，则，.（）设平面的一个法向量为.由得即令，所以.又因为平面，所以是平面的一个法向量. 所以.由图可知，二面角为钝角，所以二面角的大小为.（）假设在线段上存在点，使得. 设，则.因为 ，又，所以.所以.故点在点处时，有6. 如图，在多面体中，四边形为直角梯形， ， ， ， ，四边形为矩形.（1）求证：平面平面；（2）线段上是否存在点，使
14、得二面角的大小为？若存在，确定点的位置并加以证明.【解析】（1）证明：由平面几何的知识，易得， ，又，所以在中，满足，所以为直角三角形，且. 因为四边形为矩形，所以. 由， ， ，可得 . 又，所以平面 平面. （2）存在点，使得二面角为大小为，点为线段的中点.事实上，以为原点， 为轴， 为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， 则, ， 设,由，即，得. 设平面的一个法向量为，则，即，不妨设，取. 平面的一个法向量为. 二面角为大小为于是. 解得 或（舍去）. 所以当点为线段的中点时，二面角为大小为. 7. 在三棱锥中， ， 为的中点， 平面，垂足落在线段上，已知.（1）证明： ；（2
15、）在线段上是否存在一点，使得二面角为直二面角？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.法二：如图，以为原点，分别以过点与共线同向的向量， ， 方向上的单位向量为单位正交基建立空间直角坐标系，则（2）假设点存在，设， ，则，设平面的法向量为，平面的法向量为由得，令，可得，由得，令，可得，若二面角为直二面角，则，得，解得，来源:Z_X_X_K故线段上是否存在一点，满足题意， 的长为.8. 【安徽省江南十校2019届高三第二次大联考】如图，已知四边形中，对角线，为等边三角形.（1）求面积的最大值；（2）当的面积最大时，将四边形沿折起成直二面角，在上是否存在点使直线与平面所成的角满足：，若不存在，说明
16、理由；若存在，指出点的位置.【解析】（1）在中，记，则由余弦定理： ，（当且仅当时，上式取等号）此时，的面积的最大值为.（2）由（1）知，设存在，在三棱锥中，取的中点，连接，易知.作于，由平面平面平面.故在平面上的投影为.与平面所成的角为，由 .设，得，故 .故存在，且，满足题意.（2）另解：由（1），设存在，则在三棱锥中，取的中点，连接，易求.以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，平面的法向量为，设，得，得，又 .由 .故存在，且，满足题意.9. 【云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，是棱上的一点.（1）若平面，证明：；_网（2）
17、在（1）的条件下，棱上是否存在点，使直线与平面所成角的大小为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）连接交于，连接，则是平面与平面的交线.因为平面，平面，所以.又因为是中点，所以是的中点.所以.（2）由已知条件可知，所以，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.则，.假设在棱上存在点，设，得，.记平面的法向量为，则即取，则，所以.要使直线与平面所成角的大小为，则，即，解得.所以在棱上存在点使直线与平面所成角的大小为.此时.10. 【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试】如图所示，是边长为2的正方形，平面，且.（）求证：平面平面；（）线段上是否存在一点，使二面角所成
18、角的余弦值为？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由.【解析】（）平面，平面，平面，又，平面，又平面，平面平面.（）如图所示，建立空间直角坐标系，.假设线段上存在一点满足题意，易知：平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，由，得，取，得，.点为线段的中点时，二面角所成角的余弦值为.11.如图，五面体中，底面是正三角形，四边形是矩形，二面角为直二面角（1）在上运动，当在何处时，有平面，并说明理由；（2）当平面时，求二面角余弦值【解析】（1）当为中点时，有平面证明：连结交于，连结，四边形是矩形，为中点，又为中点，从而，平面，平面，平面（2）建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以，设为平面的
19、法向量，则有即令，可得平面的一个法向量为，而平面的一个法向量为，所以，故二面角的余弦值为12. 如图，已知平面四边形中，为的中点，且将此平面四边形沿折成直二面角，连接，设中点为（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由（3）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）详见解析；（2）点存在，且为线段上靠近点的一个四等分点；（3）.（2）解法一：由（1）的分析易知，则以为原点建立空间直角坐标系如图所示结合已知数据可得，则中点.来源:平面，故可设，则，平面，又，由此解得，即，易知这样的点存在，且为线段上靠近点的一个四等分点； （8分）解法二
20、：（略解）如图所示，在中作，交于，因为平面平面，则有平面在中，结合已知数据，利用三角形相似等知识可以求得，故知所求点存在，且为线段上靠近点的一个四等分点； .（8分）解法二：（略解）如上图中，因为，所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角，由此，在中作于，易证平面，连接，则为直线与平面所成角，结合题目数据可求得，故所求角的正弦值为. .（12分）13. 四棱锥中，为矩形，平面平面.（1）求证：（2）若问为何值时，四棱锥的体积最大？并求此时平面与平面夹角的余弦值.ABCDP【答案】（1）详见解析，（2）时，四棱锥的体积P-ABCD最大. 平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为【解析】试题分析：（1
21、）先将面面垂直转化为线面垂直：ABCD为矩形，故ABAD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以AB平面PAD，再根据线面垂直证线线垂直：因为PD平面PAD，所以ABPD学_试题解析：（1）证明：ABCD为矩形，故ABAD，又平面PAD平面ABCD平面PAD平面ABCD=AD所以AB平面PAD，因为PD平面PAD，故ABPD（2）解：过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连接PG.故PO平面ABCD，BC平面POG,BCPG在直角三角形BPC中，设，则，故四棱锥P-ABCD的体积为因为故当时，即时，四棱锥的体积P-ABCD最大.建立如图所示的空间直角坐标系，故设平面BPC的法向量，则由,得解得同理可求出平面DPC的法向量，从而平面BPC与平面DPC夹角的余弦值为14.如图，在四棱锥中，平面， ，为的中点（1）求异面直线，所成角的余弦值；（2）点在线段上，且，若直线与平面所成角的正弦值为，求的值【解析】试题解析：（1）因为平面，且平面，所以，又因为，所以两两互相垂直分别以为轴建立空间直角坐标系，则由，可得，又因为为的中点，所以所以，2分所以 ，所以异面直线，所成角的余弦值为5分（2）因为，所以，则，设平面的法向量为，则 即 令，解得，所以是平面的一个法向量7分因为直线与平面所成角的正弦值为，学!所以，解得，所以的值为10分