1、专题三 压轴解答题第二关 以解析几何中与椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系类型一 中点问题典例1 【山东省济南市2018届高三上
2、学期期末考试】已知点在椭圆上，动点都在椭圆上，且直线不经过原点，直线经过弦的中点.（1）求椭圆的方程和直线的斜率；（2）求面积的最大值.【解析】1）将代入，得， ，椭圆方程为设直线， ， ， 的中点为由得， ，直线经过弦的中点，则， ， 设，则 求得，所以.【名师指点】本题考查直线和椭圆、圆的综合运用，考查数形结合思想、转化与化归等思想的运用，中点问题往往的处理办法有两种：一是点差法，设端点坐标带入曲线方程，作差结果涉及中点坐标和直线的斜率；二是利用韦达定理，舍尔不求【举一反三】【2019四川省宜宾市质检】设椭圆的左焦点为，左顶点为，已知，其中为坐标原点，为椭圆的离心率. （1）求椭圆的方程；
3、（2）是否存在斜率为的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点时，能在直线y=上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.【解析】（1）由题意知：，来源:又因为，,解得故椭圆的方程为（2）椭圆上不存在这样的点.设直线的方程为,联立，得,，得.设，则，.由知为平行四边形,设为的中点,则它也是的中点.于是设,则,即，可得.因为,所以.若在椭圆上，则，矛盾.因此,不存在满足条件的点学)类型二 垂直问题典例2 【天津市部分区2018届高三上学期期末考试】设椭圆的左焦点为，离心率为， 为圆的圆心.（1）求椭圆的方程；（2）已知过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，过且与垂直的直
4、线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围.【解析】（1）由题意知，则， 圆的标准方程为，从而椭圆的左焦点为，即，所以，又，得 所以椭圆的方程为： . （iii）当l与x轴不垂直时，设l的方程为 ，并设， .由得. 显然，且， . 所以. 过且与l垂直的直线，则圆心到的距离为，所以. 故四边形面积： .可得当l与x轴不垂直时，四边形面积的取值范围为(12, ). 综上，四边形面积的取值范围为【名师指点】直线与直线的垂直关系，首先可以利用垂直关系得斜率之间的关系；其次可以利用向量数量积为0处理，再可以联系圆中的有关知识，利用直径所对的圆周角为直角处理【举一反三】【山东省恒台第一中学2019届高三上学
5、期诊断性考试】已知O为坐标原点，椭圆的两个焦点分别为.点在椭圆C上，且P到的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程。(2)若过点的直线l与椭圆C交于A,B两点，以AB为直径的圆过O，求直线l的方程【解析】（1） 到的距离之和为，椭圆经过点 椭圆的方程为（2）设，由已知得，斜率存在，设 ，得，以为直径的圆过，。类型三 面积问题典例3 【广东省肇庆市2019届高三第二次（1月)统一检测】已知椭圆经过点，左焦点，直线与椭圆交于两点，是坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求面积的最大值.【解析】（1） 依题意可得解得，右焦点，所以，来源:所以椭圆的标准方程为. （2）设，由得 由得，到的距离 当且仅当
6、，即时，得，面积取得最大值【名师指点】对于平面图形的面积问题，可以直接或者利用割补的办法表示面积，若含有多个变量可通过变量间的关系，将其转化为一个变量的函数，利用函数思想其值域，其中往往会涉及中点、弦长、垂直、共线问题，韦达定理是转化桥梁【举一反三】【2019吉林省长春市重点中学联合模拟考】已知椭圆的短轴长为，离心率为，点， 是上的动点， 为的左焦点.（）求椭圆的方程；（）若点在轴的右侧，以为底边的等腰的顶点在轴上，求四边形面积的最小值.【解析】（）依题意得解得椭圆的方程是类型四 范围与定值问题典例4 【湖南省长沙市2019届高三上学期统一检测】已知椭圆 的离心率，左、右焦点分别为、，为椭圆上
7、一点，且 .（）求椭圆的方程；（）设椭圆的左、右顶点为、，过、分别作轴的垂直、，椭圆的一条切线与、交于、两点，求证：的定值.【解析】（），得.又，解得，故所求椭圆的标准方程为.（）由题可知，的方程为，的方程为.直线与直线、联立得、，所以，.所以.联立得.因为直线椭圆相切，所以 ，化简得.所以，所以，故为定值._网（注：可以先通过计算出此时，再验证一般性）【名师指点】对于定值问题，可以通过特殊位置、特殊图形、特殊数学来寻求定值再证明，或者可以直接通过运算求解求得；而范围问题需将所求量用变量表示，利用函数与方程思想求解【举一反三】【福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查】已知椭圆的左、
8、右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于两点，的周长为8，直线被椭圆截得的线段长为. （1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上两动点，线段的中点为，的斜率分别为（为坐标原点），且，求的取值范围.【解析】（1）根据题意，.把代入椭圆方程得，因为直线被椭圆截得的线段长为，所以，解得，所以椭圆的方程为.（2）设，由，得，当的斜率不存在时，又，这时.当的斜率存在时，设直线，由得：，由得，结合得由知且，综上的取值范围为.【精选名校模拟】1【湖北省宜昌市2019届高三年级元月调研】已知椭圆：的离心率为，短轴长为.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于、两点，是椭圆的上焦点.问：是否存在直线，使得？若存在，
9、求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【解析】（1），且有， 解得，椭圆的方程为. （2）由题可知的斜率一定存在，设为，设，联立 ，为线段的中点， 将代入解得 将代入得 将代入解得 将式代入式检验成立， ，即存在直线：或合题意.2【福建省厦门市2019届高三年级第一学期期末质检】在平面直角坐标系中，点，是平面内一点，直线的斜率之积为.（1）求点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为曲线，过点的直线与相交于两点，以线段为直径的圆过点，求直线的方程【解析】（1）设，因为直线的斜率，的斜率（）由已知得（），化简得点的轨迹方程为（）.（2）解法一：设直线的方程为，由得，因为以线段为直径的圆过点，所以，得，又因
10、为，得，所以 ，所以，解得，所以直线的方程为，即或解法二：当直线的斜率不存在时，的方程为，不妨设，故舍去.当直线的斜率存在时，设的方程为（），由得，因为以线段为直径的圆过点，所以，得，又因为，得，所以，解得 ，所以直线的方程为，即或综上，直线的方程为或. 3【湖北省宜昌市2019届高三年级元月调考】已知椭圆：的焦距为，且经过点._网（1）求椭圆的标准方程；（2）斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，若椭圆上存在点，使得四边形为平行四边形（其中是坐标原点），求平行四边形的面积.（2）设直线的方程为，由，消去得.设，则有，即，又，. 因为四边形为平行四边形，所以，故， ，所以， 由点在椭圆上可得，化
11、简得 而 .又因为，所以，所以，所以. 又点到直线的距离，故的面积. 所以平行四边形的面积为. 4. 【广东省2018-2019学年高三年级第一学期期末质量检测】已知椭圆：的左、右焦点分别为，是椭圆上的点，且的面积为。（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为且在轴上的截距为的直线与椭圆相交于两点，若椭圆上存在点，满足，其中是坐标原点，求的值。【解析】（1）PF1F2的面积为，2c，即c1，由，解得a22，b21，椭圆C的方程为+y21；（2）由题意可得l：yk（x2），设点A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），由，消y可得（1+2k2）x28kx+8k220，64k24（1+2k2）（8
12、k22）0，可得k2，x1+x2，x1x2，33（），即（+），（x，y）（x1+x2，y1+y2），x（x1+x2）yk（x1+x2）4k，Q（，），点Q在椭圆C上，+22，9k21+2k2，解得k5. 【山东省德州市跃华中学2017-2018学年下学期高三模拟】设椭圆的离心率是，A、B分别为椭圆的左顶点、上顶点，原点O到AB所在直线的距离为.（I）求椭圆C的方程；（）已知直线与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的端点），垂足为H，且，求证：直线恒过定点.（）设M（x1，y1），N（x2，y2）联立，化为：（3+4k2）x2+8kmx+4m2120，64k2m24（3+4k2）（4m21
13、2）0，（*）x1+x2，x1x2，AHMN，垂足为H，且2，AMAN（x1+2）（x2+2）+y1y2（x1+2）（x2+2）+（kx1+m）（kx2+m）（2+km）（x1+x2）+（1+k2）x1x2+4+m20，（2+km）（1+k2）4+m2，4k216km+7m20，解得km，或m满足（*）直线l方程为：ym（x+1），或ym直线ym（x+1）恒过定点A（2，0），舍去直线ym恒过定点（，0），直线l恒过定点（，0）6. 设圆的圆心为A，直线过点B（1,0）且与x轴不重合，设P为圆A上一点，线段PB的垂直平分线交直线PA于E（1）证明为定值，并写出E的轨迹方程；（2）设点M的轨迹为
14、曲线C1，直线交C1于M,N两点，问：在轴上是否存在定点D使直线DM与DN的倾斜角互补，若存在求出D点的坐标，否则说明理由。【解析】（I）E为线段PB的垂直平分线上一点， 点E的轨迹是以A,B为焦点的椭圆，2a=4.c=1, E的轨迹方程。（II）由于直线过点B（1,0）且与x轴不重合，所以可设方程为 联立消去x得 ，设 ，则令,若直线DM与DN的倾斜角互补，则 , 即所以存在使直线DM与DN的倾斜角互补.来源:Zxxk.Com7. 【湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，与轴相交于，.（）求椭圆的方程；（）设椭圆的左、右顶点为、，过、
15、分别作轴的垂线、，椭圆的一条切线与、交于、两点，求证：.【解析】（）连接，由题意得，所以为的中位线，又因为，所以，且，又，得，故所求椭圆的标准方程为.（）由题可知，的方程为，的方程为.直线与直线、联立得、，所以，所以.联立得.因为直线椭圆相切，所以，化简得.所以，所以，故为定值.同理，所以，.故. 8. 【北京市通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试】已知椭圆：过点，且椭圆的离心率为()求椭圆的方程；()斜率为的直线交椭圆于，两点，且若直线上存在点P，使得是以为顶角的等腰直角三角形，求直线的方程【解析】（）由题意得 解得 所以椭圆的方程为 （）设直线l的方程为y=x+m， 由得.
16、 令，得 ，因为是以为顶角的等腰直角三角形，所以平行于轴 过做的垂线，则垂足为线段的中点设点的坐标为，则由方程组解得，即 而， 所以直线的方程为y=x-19. 【2019湖北省重点中学联考】已知椭圆的离心率，且经过点.（1）求椭圆方程；（2）过点的直线与椭圆交于两个不同的点，求线段的垂直平分线在轴截距的范围【解析】（1） （2）的斜率不存在时， 的垂直平分线与轴重合，没有截距，故的斜率存在. 设的方程为，代入椭圆方程得： 与椭圆有两个不同的交点，即，即或设的中点则的垂直平分线的方程为在轴上的截距为 设，则，时， 恒成立时， 时的垂直平分线在轴上的截距的范围是10. 【湖南省湘潭市2019届高三
17、上学期第一次模拟检测】已知点是椭圆的一个焦点，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且（为坐标原点），求直线斜率的取值范围.（2）当直线的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，不符合题意.故设直线的方程为，联立，可得.所以而，由，可得.来源:所以，又因为，所以.综上，.11. 【山东省寿光市2018届高三上学期期末考试】已知椭圆的左右焦点分别为， 上的动点到两焦点的距离之和为4，当点运动到椭圆的上顶点时，直线恰与以原点为圆心，以椭圆的离心率为半径的圆相切.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左右顶点分别为，若交直线于两点.问以为直径的圆是否过定点？若过定点，请求出该定点
18、坐标；若不过定点，请说明理由.【解析】试题解析：（1）由椭圆定义可知， ，直线，故，故椭圆的标准方程为： .（2）设，点，则， ，由，得： ，直线方程为： ，令，则，故；直线方程为： ，令，则，故；因为，故以为直径的圆与轴交于两点，设为，在以为直径的圆中应用相交弦定理得：，因为，所以，从而以为直径的圆恒过两个定点， .12. 【北京市海淀区2019届高三上学期期末考试】已知点和椭圆. 直线与椭圆交于不同的两点. () 求椭圆的离心率；() 当时，求的面积；（）设直线与椭圆的另一个交点为，当为中点时，求的值 .【解析】（）因为，所以 所以离心率 （）设 若，则直线的方程为 由，得解得 设，则 （
19、）法一：设点，因为，所以又点，都在椭圆上，所以解得或所以 或 法二：设显然直线有斜率，设直线的方程为由， 得 所以 又解得 或 所以 或 所以或13. 【宁夏六盘山高级中学2019届高三上学期期末考试】已知椭圆的离心率为，长轴长为4，直线与椭圆交于两点且为直角，为坐标原点.（）求椭圆的方程；（）求长度的最大值.【解析】（I）由， 所以椭圆方程为（II）设 ，把代入，得 ，来源:ZXXK， ，则当时，14. 【湖北省十堰市2019届高三年级元月调研考试】设是圆上的任意一点，是过点且与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）
20、已知直线与曲线交于，两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过定点.【解析】（1）设，因为，在直线上，所以，.因为点在圆上运动，所以.将式代入式即得曲线的方程为.（2）设，则，联立，得，所以，.因为直线的斜率，所以为.令，得 ，所以直线过定点.15. 【北京市西城区2018届高三上学期期末考试】已知椭圆过， )两点学!(I)求椭圆的方程及离心率；()设点在椭圆上试问直线上是否存在点，使得四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由【解析】（）由题意得， ， 所以椭圆的方程为 设椭圆的半焦距为，则 ， 所以椭圆的离心率 此时 ，或经检验，符合四边形是平行四边形，所以存在 ，或满足题意