1、专题三 压轴解答题第五关 以函数、不等式与导数相结合的综合问题为解答题【名师综述】1.本专题在高考中的地位导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出来源:ZXXK2本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题(4)考查数形结合思想的应用来源:ZXXK类型一用导数研究函数的性质典例1 【山东省恒台第
2、一中学2019届高三上学期诊断性考试】已知函数来源:ZXXK（1）讨论函数的单调区间；（2）若函数的极小值大于，求实数的取值范围【名师指点】利用导数可以研究函数的单调性、函数图像、极值点、最值、零点等性质，常用的到的方法为：1、利用对于确定函数求单调区间问题，先求定义域，然后解不等式和定义域求交集得单调递增区间；解不等式和定义域求交集得单调递减区间.2、对于含参数的函数求单调区间问题，转化为判断导函数符号，可结合函数图象判断.3、求函数的极值，先求的根，再和函数定义域比较，如果落在定义域外或者落在定义域端点，此时函数单调，无极值；当落在定义域内时，将定义域分段，分别考虑两侧导数是否异号，从而判
3、断是否有极值.4、求函数的最值和求极值类似，先求的根，如果落在定义域外或者落在定义域端点，此时函数单调，利用单调性求最值；当落在定义域内时，将定义域分段，分别考虑两侧导数是否异号，从而判断函数大致图象，从而求最值.【举一反三】【福建省泉州市2019届高三1月单科质检】已知函数（1）当时，证明在单调递减；（2）当时，讨论的零点个数.类型2 导数、函数与不等式典例2 已知函数（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；（2）令，是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）当时，证明：【名师指点】证明不等式成立，可以构造函数，通过证明函数的最小值大
4、于等于零即可，可是有时候利用导数求函数最小值不易，可以通过特例法，即证明的最小值大于等于的最大值即可【举一反三】【湖南省郴州市一中2018届高三十二月月考理科】设函数.（1）当时，求的极值；（2）当时，证明： .类型三、恒成立及求参数范围问题典例3 【广东省2018-2019学年高三年级第一学期期末质量检测】已知函数。（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，设，若恒成立，求实数的取值范围。【名师指点】将已知恒成立的不等式由等价原理把参数和变量分离开，转化为一个已知函数的最值问题处理，关键是搞清楚哪个是变量哪个是参数，一般遵循“知道谁的范围，谁是变量；求谁的范围，谁是参数”的原则常用方法
5、有参变分离法和构造函数法【举一反三】【湖北省十堰市2019届高三年级元月调研考试】设函数，.（1）讨论函数的单调性，并指出其单调区间；（2）若对恒成立，求的取值范围.【精选名校模拟】1【湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测】已知函数，其中，设为导函数.+网（）设，若恒成立，求的范围；（）设函数的零点为，函数的极小值点为，当时，求证：.2【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测】已知函数.（1）证明：当时，的导函数的最小值不小于0；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.3【北京市海淀区2019届高三上学期期末考试】已知函数，其中.（）当时，求曲线在点处的切线方程； （）求证: 当时，
6、.4【北京市丰台区2018-2019学年度高三第一学期期末】设函数（）当时，求证：；（）如果恒成立，求实数的最小值5【宁夏六盘山高级中学2019届高三上学期期末】已知函数（）若时，求的单调区间和极值；（）当时，若函数有两个极值点，求的最大值.6【贵州省遵义市2019届高三年级第一次联考试卷】设为实数，函数。(1)求的单调区间与极值；(2)求证：当且时，。7【四川省2017-2018年度高三“联测促改”活动理科数学试题】已知函数.（1）求函数在上的最小值；（2）若对任意恒有，求实数的取值范围.8【福建省宁德市2018-2019学年度第一学期期末高三质量检测】已知函数，曲线在原点处的切线斜率为-2
7、.来源:ZXXK（）求实数，的值；（）若，求证：当时，.9【湖北省宜昌市2019届高三年级元月调考理科】已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.10【2018安徽马鞍山联考】已知函数.（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；（2）设函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.来源:Zxxk.Com11【安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测】已知函数.（）设是的极值点，求的值；学_（）在（）的条件下，在定义域内恒成立，求的取值范围；（）当时，证明：.+网12【山东省德州市2019届高三期末联考】已知函数.（1）当时，求函数的极小值；（2）若在恒成立，求实数的取值范围.13【北京市朝阳区2018-2019学年度高三期末】已知函数.（）当时，求函数的极小值；（）当时，讨论的单调性；（）若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.14【河北省张家口市2019届高三上学期期末考试】已知函数 .（1）若，使得恒成立，求的取值范围.（2）设，为函数图象上不同的两点，的中点为，求证：.