1、2018-2019学年湖南省湘潭一中高一（下）开学数学试卷（2月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合U1，2，3，4，5，6，M1，2，3，N3，4，5，则UMUN（）A1，2，3，4，5B1，2，4，5，6C1，2，6D62（5分）已知集合Ax|2x4，Bx|x24x+30，则AB（）Ax|1x4Bx|1x4Cx|2x3Dx|2x33（5分）函数y的图象大致为（）ABCD4（5分）下列函数中，既是奇函数又在（0，+）上是增函数的是（）Af（x）2xBf（x）x3Cf（x）lgxDf（x）sinx5（5分）已知是
2、R上的单调递增函数，那么a的取值范围是（）A（1，2）BCD（1，+）6（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a，b，c依次为，则输出的x为（）A（cos）cosB（sin）sinC（sin）cosD（cos）sin7（5分）若函数yf（x）是奇函数，且函数F（x）af（x）+bx+2在（0，+）上有最大值8，则函数yF（x）在（，0）上有（）A最小值8B最大值8C最小值4D最小值68（5分）已知函数f（x）的定义域为（4a3，32a2），aR，且yf（2x3）是偶函数，又g（x）x3+ax2+，存在x0（k，k+），kZ，使得g（x0）x0，则满足条件的实数k的个数为（）A3B2C4D19
3、（5分）已知（1，2，3），（2，1，2），（1，1，2），点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）ABCD10（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：当x0时有，且当0x3时，f（x）2|x2|，则函数的零点个数是（）A6个B7个C8个D无数个11（5分）下列函数中，是奇函数且存在零点的是（）Ayx3+xBylog2xCy2x23D12（5分）用二分法求方程的近似解，求得f（x）x3+2x9的部分函数值数据如表所示：x121.51.6251.751.8751.8125f（x）632.6251.4590.141.34180.5793则当精确度为0.1时，方程x3+2x90的近似
4、解可取为（）A1.6B1.7C1.8D1.9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知函数有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a的值为 14（5分）若f（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，f（x），若方程f（x）kx恰有3个不同的根，则实数k的取值范围是 15（5分）已知x，y（0，+），aR，若x3+lnx+2a20，则 16（5分）x（0，）时，4xlogax恒成立，则a的取值范围是 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1722题为必考题，每个试题考生都必须作答17（10分）已知集合Ax|ylg（x+3）+ln（2x），Bx|2
5、x8，Cx|2a1xa+5（1）求AB；（2）若BCB，求a的取值范围18（12分）已知函数（1）写出f（x）的单调区间，不需要说明理由；判断f（x）的奇偶性；（2）若，求实数x的取值范围19（12分）已知函数f（x）（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，+）上是减函数20（12分）已知抛物线yx22（m1）x+（m27）与x轴有两个不同的交点（1）求m的取值范围；（2）若抛物线与x轴的两个交点为A，B，且点B的坐标为（3，0），求出点A的坐标，抛物线的对称轴和顶点坐标21（12分）举世瞩目的大国工程港珠澳大桥历时9年的建设，于2018年1
6、0月24正式开通运营，它总长约55千米，跨越伶仃洋，连接珠海、香港和澳门，是“一国两制”下港珠澳三地首次合作共建的超大型跨海交通工程一辆货车以速度v，km/h从香港某地经过港珠澳大桥到珠海某地，共行驶了80千米，大桥车速不得超过100km/h，每小时的运输成本包括油费和人工费用，经过测算货车每小时用油升，假设油费每升7元，人工费每小时28元，大桥通行费120元/次（1）当v70时，这次行车的总费用y为多少元？并求行车的总费用y（单位：元）与速度v之间的函数解析式（2）当v为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用（结果保留2位小数，）22（12分）已知函数f（x）x2+2mx+7（）已知函
7、数y（x）在区间1，3上的最小值为4，求m的值；（）若不等式f（x）x26x+11在区间1，2上恒成立，求实数m的取值范围2018-2019学年湖南省湘潭一中高一（下）开学数学试卷（2月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合U1，2，3，4，5，6，M1，2，3，N3，4，5，则UMUN（）A1，2，3，4，5B1，2，4，5，6C1，2，6D6【分析】进行补集、交集的运算即可【解答】解：UM4，5，6，UN1，2，6；UMUN6故选：D【点评】考查列举法的定义，以及补集、交集的运算2（5分）已知
8、集合Ax|2x4，Bx|x24x+30，则AB（）Ax|1x4Bx|1x4Cx|2x3Dx|2x3【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出AB【解答】解：集合Ax|2x4，Bx|x24x+30x|1x3，ABx|2x3故选：C【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3（5分）函数y的图象大致为（）ABCD【分析】判断函数的奇偶性和对称性，结合特殊值的符号是否一致，利用排除法进行求解即可【解答】解：函数的定义域为x|x0，则f（x）ln|x|ln|x|f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除B，当x+时，y+，排除A，f（2）ln
9、2ln20，函数在x0时，存在负值，排除C，故选：D【点评】本题主要考查函数的识别和判断，利用函数奇偶性和图象对称性的关系，利用特殊值法以及排除法是解决本题的关键4（5分）下列函数中，既是奇函数又在（0，+）上是增函数的是（）Af（x）2xBf（x）x3Cf（x）lgxDf（x）sinx【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）2x，是指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于B，f（x）x3，为幂函数，既是奇函数又在（0，+）上是增函数，符合题意；对于C，f（x）lgx，是对数函数，不是奇函数，不符合题意；对于D，f（
10、x）sinx，是正弦函数，在（0，+）上不是增函数；故选：B【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性5（5分）已知是R上的单调递增函数，那么a的取值范围是（）A（1，2）BCD（1，+）【分析】根据分段函数单调性的性质进行转化求解即可【解答】解：若函数f（x）是R上的单调递增函数，则满足，即，得a2，即实数a的取值范围是，2），故选：C【点评】本题主要考查分段函数单调性的性质，结合每一个分段函数的单调性以及端点处函数值的大小关系是解决本题的关键6（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a，b，c依次为，则输出的x为（）A（cos）cosB（sin）sinC
11、（sin）cosD（cos）sin【分析】由程序框图的功能是输出三个函数值中最大值，用特殊值代入验证即可得出结论【解答】解：由程序框图的功能是输出的最大值，用特殊值，代入验证得出，即（cos）sin（sin）sin（sin）cos，则输出的x为（sin）cos故选：C【点评】本题考查了利用程序框图比较函数值大小的应用问题，是基础题7（5分）若函数yf（x）是奇函数，且函数F（x）af（x）+bx+2在（0，+）上有最大值8，则函数yF（x）在（，0）上有（）A最小值8B最大值8C最小值4D最小值6【分析】由已知中f（x）和x都是奇函数，结合函数奇偶性的性质，可得F（x）2af（x）+bx也为奇
12、函数，进而根据F（x）af（x）+bx+2，在（0，+）上有最大值8，我们可得af（x）+bx在（0，+）上有最大值6，由奇函数的性质可得af（x）+bx在（，0）上有最小值6，进而得到F（x）af（x）+bx+2在（，0）上有最小值4【解答】解：yf（x）和yx都是奇函数，af（x）+bx也为奇函数，又F（x）af（x）+bx+2在（0，+）上有最大值8，af（x）+bx在（0，+）上有最大值6，af（x）+bx在（，0）上有最小值6，F（x）af（x）+bx+2在（，0）上有最小值4，故选：C【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的最值及其几何意义，其中根据函数奇偶性的性质，构造
13、出F（x）2af（x）+bx也为奇函数，是解答本题的关键8（5分）已知函数f（x）的定义域为（4a3，32a2），aR，且yf（2x3）是偶函数，又g（x）x3+ax2+，存在x0（k，k+），kZ，使得g（x0）x0，则满足条件的实数k的个数为（）A3B2C4D1【分析】令2x134a3，2x2332a2，再由yf（2x3）是偶凼数可得a1；从而令h（x）x3x2+，从而由零点的判定定理求解【解答】解：令2x134a3，2x2332a2，从而可得，x12a，x23a2，故3a2+2a0；解得，a3或a1；当a3时，4a39，32a215；不成立；当a1时，成立；令h（x）x3x2+，h（x）
14、3x22x3（x）（x）；且h（1）11+0，h（）+0；h（0）0，h（）+0；h（1）11+0，h（）+0；从而可知，k可以取1，0，1三个数，故选：A【点评】本题考查了导数的综合应用及零点的判定定理的应用，属于基础题9（5分）已知（1，2，3），（2，1，2），（1，1，2），点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）ABCD【分析】可先设Q（x，y，z），由点Q在直线OP上可得Q（，2），则由向量的数量积的坐标表示可得2（328+5），根据二次函数的性质可求，取得最小值时的，进而可求Q【解答】解：设Q（x，y，z）由点Q在直线OP上可得存在实数使得，则有Q（，2），当（1
15、）（2）+（2）（1）+（32）（22）2（328+5）根据二次函数的性质可得当时，取得最小值此时Q故选：C【点评】本题主要考查了平面向量的共线定理的应用，解题的关键是由点Q在直线OP上可得存在实数使得，进而有Q（，2），然后转化为关于的二次函数，根据二次函数知识求解最值，体现了转化思想在解题中的应用10（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：当x0时有，且当0x3时，f（x）2|x2|，则函数的零点个数是（）A6个B7个C8个D无数个【分析】根据条件求出函数f（x）的解析式，结合函数与方程之间的关系转化为两个函数图象交点个数问题，利用数形结合进行判断即可【解答】解：当x0时有，当x3时，f（
16、x）f（x3）若3x6，则0x33，则f（x）f（x3）2|x32|x5|，若6x9，则3x36，则f（x）f（x3）|x35|x8|，f（x）是偶函数，作出函数f（x）的图象如图：由0得f（x）x+，作出函数h（x）x+，图象如图：则f（3）f（3）2h（3）3，则当x3时，两个函数没有交点，由图象知两个函数有7个交点，故函数g（x）的零点个数为7个，故选：B【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，结合条件求出函数的解析式，作出两个函数的图象利用数形结合是解决本题的关键考查学生的转化能力11（5分）下列函数中，是奇函数且存在零点的是（）Ayx3+xBylog2xCy2x23D【分析】由函数的
17、奇偶性及函数的零点可判断yx3+x为奇函数，且存在零点为x0，yiog2x为非奇非偶函数，y2x23为偶函数，y不存在零点，故得解【解答】解：对于选项A：yx3+x为奇函数，且存在零点为x0，与题意相符，对于选项B：yiog2x为非奇非偶函数，与题意不符，对于选项C：y2x23为偶函数，与题意不符，对于选项D：y不存在零点，与题意不符，故选：A【点评】本题考查了函数的奇偶性及函数的零点，属简单题12（5分）用二分法求方程的近似解，求得f（x）x3+2x9的部分函数值数据如表所示：x121.51.6251.751.8751.8125f（x）632.6251.4590.141.34180.5793
18、则当精确度为0.1时，方程x3+2x90的近似解可取为（）A1.6B1.7C1.8D1.9【分析】由二分法及函数零点的判定定理可知【解答】解：由表格可得，函数f（x）x3+2x9的零点在（1.75，1.825）之间；结合选项可知，方程方程x3+2x90的近似解可取为（精确度为0.1）可以是1.8；故选：C【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用及二分法的应用，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）已知函数有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a的值为或1【分析】利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数交点问题，结合分段函数的性质进行转化求解即
19、可【解答】解：函数0，得|x+a|a3，设g（x）|x+a|a，h（x）3，则函数g（x），不妨设f（x）0的3个根为x1，x2，x3，且x1x2x3，当xa时，由f（x）0，得g（x）3，即x3，得x23x40，得（x+1）（x4）0，解得x1，或x4；若 a1，即a1，此时 x21，x34，由等差数列的性质可得x16，由f（6）0，即g（6）3得6+2a3，解得a，满足f（x）0在（，a上有一解若1a4，即4a1，则f（x）0在（，a上有两个不同的解，不妨设x1，x2，其中x34，所以有x1，x2是x2a3的两个解，即x1，x2是x2+（2a+3）x+40的两个解得到x1+x2（2a+3）
20、，x1x24，又由设f（x）0的3个根为x1，x2，x3成差数列，且x1x2x3，得到2x2x1+4，解得：a1+（舍去）或a1a4，即a4时，f（x）0最多只有两个解，不满足题意；综上所述，a，或1【点评】本题主要考查函数与方程的应用，结合函数零点个数，转化为分段函数，利用分段函数零点个数进行讨论是解决本题的关键综合性较强，难度极大14（5分）若f（x）是定义在R上的偶函数，当x0时，f（x），若方程f（x）kx恰有3个不同的根，则实数k的取值范围是，）（，【分析】利用周期与对称性得出f（x）的函数图象，根据交点个数列出不等式得出k的范围【解答】解：当x2时，f（x）f（x1），f（x）在（
21、1，+）上是周期为1的函数，作出yf（x）的函数图象如下：方程f（x）kx恰有3个不同的根，yf（x）与ykx有三个交点，若k0，则，解得k，若k0，由对称性可知k故答案为：，）（，【点评】本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数周期与奇偶性的应用，属于中档题15（5分）已知x，y（0，+），aR，若x3+lnx+2a20，则2【分析】根据x3+lnx+2a20，求出x2y，求出的值【解答】解：x，y（0，+），x3+lnx+2a20，4y3+ln+ln+a20，8y3+lny+ln2+2a20，（2y）3+ln（2y）+2a20，x2y，2故答案为：2【点评】本题考查两数比值的求法，是基础题
22、，解题时要认真审题，注意对数的运算性质的合理运用16（5分）x（0，）时，4xlogax恒成立，则a的取值范围是，1）【分析】当a1时，当x大于0趋近于0时，4x趋近于1，logax趋近于负无穷，不等式不成立；当0a1时，构造函数利用函数单调性可解决【解答】解：当a1时，当x大于0趋近于0时，4x趋近于1，logax趋近于负无穷，不等式不成立；当0a1时，f（x）4xlogax在（0，）上单调递增，f（x）0恒成立f（）0，即4loga，解得a，又0a1，a1，故答案为：，1）【点评】本题考查了不等式恒成立属中档题三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1722题为必考题，
23、每个试题考生都必须作答17（10分）已知集合Ax|ylg（x+3）+ln（2x），Bx|2x8，Cx|2a1xa+5（1）求AB；（2）若BCB，求a的取值范围【分析】（1）求解一元一次不等式组确定集合A、B，然后直接利用交集运算得答案；（2）由BCB，得即可求a的取值范围【解答】解：（1），3x2，A（3，2）2x8，1x3，B1，3）AB1，2）（2）BCB，BC，2a0，a的取值范围为2，0）【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题18（12分）已知函数（1）写出f（x）的单调区间，不需要说明理由；判断f（x）的奇偶性；（2）若，求实数x的取值范围【分析】（1）根据复合函数的单调性知f（
24、x）在定义域上为增函数，根据奇偶性定义判断出f（x）为奇函数；（2）根据函数的奇偶性和单调性以及函数定义域可解得【解答】解：（1）f（x）的递增区间为（，），f（x）log3（x）log3（+x）f（x）所以f（x）为奇函数（2）f（x）+f（）0f（x）f（）f（x）f（），解得【点评】本题考查了奇偶性与单调性得综合，属中档题19（12分）已知函数f（x）（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，+）上是减函数【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行证明即可；（2）根据函数单调性的定义进行证明即可【解答】解：（1）函数的定义域x|x0，则f（x
25、）f（x），则函数f（x）是偶函数，（2）当x0时，设0x1x2，则f（x1）f（x2），0x1x2，0x1+x2，x2x10，则f（x1）f（x2）0，则f（x1）f（x2），即函数f（x）在（0，+）上是减函数【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键20（12分）已知抛物线yx22（m1）x+（m27）与x轴有两个不同的交点（1）求m的取值范围；（2）若抛物线与x轴的两个交点为A，B，且点B的坐标为（3，0），求出点A的坐标，抛物线的对称轴和顶点坐标【分析】（1）结合二次函数的性质得到0，求出m的范围即可；（2）代入b的坐标，求出m的值，求
26、出抛物线的解析式，求出A的坐标以及抛物线的对称轴和顶点坐标【解答】（1）抛物线yx22（m1）x+（m27）与x轴有两个不同的交点，方程x22（m1）x+（m27）0有两个不相等的实数根，4（m1）24（m27）8m+320，m4（2）抛物线yx22（m1）x+（m27）经过点B（3，0），96（m1）+m270，m26m+80，解得m2或m4由（1）知m4，m2抛物线的解析式为yx22x3令y0，得x22x30，解得x11，x23，点A的坐标为（1，0）又yx22x3（x1）24，顶点坐标为（1，4），对称轴为直线x1【点评】本题考查了二次函数的性质，考查对称性，抛物线的对称轴和顶点坐标，是
27、一道常规题21（12分）举世瞩目的大国工程港珠澳大桥历时9年的建设，于2018年10月24正式开通运营，它总长约55千米，跨越伶仃洋，连接珠海、香港和澳门，是“一国两制”下港珠澳三地首次合作共建的超大型跨海交通工程一辆货车以速度v，km/h从香港某地经过港珠澳大桥到珠海某地，共行驶了80千米，大桥车速不得超过100km/h，每小时的运输成本包括油费和人工费用，经过测算货车每小时用油升，假设油费每升7元，人工费每小时28元，大桥通行费120元/次（1）当v70时，这次行车的总费用y为多少元？并求行车的总费用y（单位：元）与速度v之间的函数解析式（2）当v为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低
28、费用（结果保留2位小数，）【分析】（1）求出行驶时间，再计算费用；（2）根据基本不等式即可求出最低费用及对应的速度【解答】解：（1）当v70时，行驶时间为小时，y7（3+）+28+120288元y与v的函数解析式为：y7（3+）+28+120+120（0v100）（2）y+1202+120112+120278.37当且仅当即v3549.49时取等号当v49.49时，这次行车的总费用最低，最低费用为278.37元【点评】本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算，属于中档题22（12分）已知函数f（x）x2+2mx+7（）已知函数y（x）在区间1，3上的最小值为4，求m的值；（）若不等式f（x）x26x+11在区间1，2上恒成立，求实数m的取值范围【分析】（）利用函数的性质可求得最值；（）利用函数的最值可解决此问题【解答】解：（）函数对称轴xm，当m2时，ymin32+6m+74m1；当m2时，ymin12+2m+74m1（舍）；m1；（）不等式f（x）x26x+11在区间1，2上恒成立x2+2mx+7x26x+11在区间1，2上恒成立即mx3+m（x+3）minm23【点评】本题考查函数的性质