1、13.3 等腰三角形的性质,生活中的等腰三角形,生活中的等腰三角形,为什么是水平的,建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗？,有两边相等的三角形是等腰三角形,知识回顾,相等的两边叫做腰，另一边叫做底边,腰,腰,底边,两腰的夹角叫做顶角,顶角,腰与底边的的夹角叫做底角,底角,知识回顾,1等腰三角形一腰为3cm，底为4cm，则它的周长是 _；,2等腰三角形一边长为3cm，另一边长为4cm，则它的周长是 _；,3等腰三角形的一边长为3cm，另一边长为8cm，则它的周长是_,10cm,10cm或11cm,1
2、9cm,动手操作,如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折， 再把它展开，得到的ABC 有什么特点？,AB=AC,ABC 是等腰三角形,把三角形沿着折痕折叠，你能找到重合的线段和角吗？,思考,重合的线段,重合的角,AB=AC,B=C,BD=CD,ADB=ADC,AD=AD,BAD=CAD,猜一猜，除了两腰相等，等腰三角形还有什么性质呢？,猜想与证明,等腰三角形的两个底角相等,怎么证明呢？,先变成符号形式,已知：ABC 中，AB=AC,求证：B=C,如何证明两个角相等呢？,可以证明三角形全等,如何构造全等三角形呢？,AD是中线or高or角平分线？,证法一：作底边上的中线,已知：ABC 中，AB=AC
3、,求证：B=C,证明：,作底边的中线AD，则BD=CD,在BAD和CAD中,AB=AC ( 已知 ),BD=CD ( 已作 ),AD=AD (公共边), BAD CAD(SSS), B= C (全等三角形的对应角相等),D,证法二：作顶角的平分线,已知：ABC 中，AB=AC,求证：B=C,证明：,作顶角的平分线AD，则BAD=CAD,在BAD和CAD中,AB=AC ( 已知 ),BAD=CAD ( 已作 ),AD=AD (公共边), BAD CAD(SAS), B= C (全等三角形的对应角相等),D,证法三：作底边的高线,已知：ABC中，AB=AC,求证：B=C,证明：,作底边的高线AD，
4、则ADB=ADC=90,在RtBAD和RtCAD中,AB=AC ( 已知 ),AD=AD (公共边), RtBAD RtCAD(HL), B= C(全等三角形的对应角相等),D,归纳总结,等腰三角形的性质1：,等腰三角形的两个底角相等,这个性质在证明中怎么写过程呢？,在ABC 中， AC =AB（ 已知） B=C （等边对等角）,简称为“等边对等角”,思考,通过刚才的证明，除了能得到B=C，你还能发现什么？,重合的线段,重合的角,AB=AC,B=C,BD=CD,ADB=ADC,AD=AD,BAD=CAD,AD同时是底边BC上的中线，高和角平分线,猜想,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边
5、上的高相互重合,如何把这个命题转化为符号形式呢？,得写三个,（1）如图，12，ABAC 求证：ADBC，BDCD,（2）如图，BDCD，ABAC 求证：ADBC，12,（3）如图，ADBC，ABAC 求证：BDCD，12,证明,（3）如图，ADBC，ABAC 求证：BDCD，12,证明：在ABD 和ACD中,ABAC 12 ADAD,ABD ACD（SAS）,ADBADC，BDCD,又ADBADC180,ADBADC90，即ADBC,证明,（2）如图，BDCD，ABAC 求证：ADBC，12,证明：在ABD 和ACD 中,ABAC BDCD ADAD,ABD ACD（SSS）,ADBADC，1
6、2,又ADBADC180,ADBADC90，即ADBC,证明,（3）如图，ADBC，ABAC 求证：BDCD，12,证明：在RtABD 和RtACD中,ABAC ADAD,RtABD RtACD（HL）,BDCD，12,归纳总结,等腰三角形的性质2：,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合,简称为“三线合一”,这“三线”所在的直线也是等腰三角形的对称轴,注意事项,作出等腰三角形腰上的中线，角平分线，高,它们重合吗？,显然不重合,三线合一指的是底边上 的三线合一腰的三线不一定合一,书写规范,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合,“三线合一”有三种解读方式,等
7、腰三角形的顶角平分线， 既是底边上的中线，又是底边上的高,应用的时候怎么写过程呢？,ABAC，12,BDCD， ADBC,书写规范,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合,“三线合一”有三种解读方式,方式二：,等腰三角形的底边上的中线， 既是顶角平分线，又是底边上的高,应用的时候怎么写过程呢？,ABAC， BDCD,12， ADBC,书写规范,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合,“三线合一”有三种解读方式,方式三：,等腰三角形的底边上的高， 既是顶角平分线，又是底边上的中线,应用的时候怎么写过程呢？,ABAC， ADBC,12，BDCD,例题,如图，AB
8、C 中, AB =AC，A =36, 则B =_,答案：72,例题,如图，在ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求ABC各角的度数,技巧：看到等腰，就把等角标出来,练习,如图，ABC 中, AB =AC， B =36，则A =_,答案：72,练习,判断：,1等腰三角形的顶角一定是锐角,2等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角都可以,3等腰三角形的顶角平分线一定垂直底边,4等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合,5等腰三角形底边上的中线一定平分顶角,练习,已知：如图，ABC 中，ABC=50，ACB=80，延长 CB 至 D，使BD=BA，延长 BC 至 E，使 CE =
9、 CA . 连结 AD、AE . 求D、E、DAE 的度数,答案：115,练习,在ABC 中，AB=AD=DC，BAD=28 ，求B和C 的度数,答案：76或38,练习,如图，在ABC 中，D为AB上的一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，A=50 ，则CDE 的度数为_,答案：52.5,练习,答案：20,如图，AB=AC，BAC=100，若MP,NQ 分别垂直平分AB，AC，则PAQ 的度数为 ,等边对等角多解问题,已知等腰三角形的一个内角为70，则它的另外两个内角的度数分别是_,提示：要分类讨论,答案：70，40或55，55,等边对等角多解问题,等腰三角形一个角为110，它的另外
10、两个角为_,答案：35，35,怎么解“等边对等角多解问题”？,等边对等角多解问题,为什么是水平的,建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗？,由“三线合一”可知绳子一定会垂直房梁，而绳子肯定是竖直的，所以房梁是水平的,例题,已知：如图，房屋的顶角BAC=100 ,，过屋顶A的立柱ADBC ，屋椽AB=AC求顶架上B、C、BAD、CAD 的度数,答案：40，40，50，50,练习,如图，在ABC中，AB=AC，D是BC 边上的中点，B=30，求和ADC 的度数,提示：60，90,练习,如图，已知在ABC
11、 中，AB=AC，点D是BC 的中点，DEAB于E，DFAC于F求证：DEDF,提示：AD是角平分线,练习,如图，在ABC 中，AB = AC，AD 是 BC 边上的中线，BE AC 于点 E求证：CBE = BAD,提示：先把图中相等和互余的角标记出来,练习,已知，如图，ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法正确的有（ ）个,（1）AD平分EDF； （2）EBDFCD； （3）BD=CD； （4）DEAB,A.1个,B.2个,C.3个,D.4个,C,练习,1如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数,练习,2如图，ABC 是等腰直角三角形（AB =AC，BAC
12、=90），AD 是底边BC 上的高，标出B，C，BAD，DAC 的度数，并写出图中所有相等的线段 ,练习,3如图，在ABC 中，AB=AD=DC，BAD=26求B 和C 的度数,与等腰三角形有关的证明,如图，点 D，E 在ABC 的边 BC 上，AD = AE，AB = AC，求证：BD = EC,提示：证明ABD AEC 或作BC 的中线,与等腰三角形有关的证明,如图：ABC中，AB=AC，AD 和BE是高，它们相交于点H，且AE=BE求证：AH=2BD,提示：证明AHE CBE,与等腰三角形有关的证明,如图，已知ABC 中，ABAC，F 在AC上，在BA的延长线上截取AEAF求证：EDBC
13、,提示：想想图中两个等腰三角形的顶角有什么关系，底角有什么关系,大边对大角,已知：ABC 中，ABAC，求证：CB,提示：构造等腰,顶角的外角与底角的关系,如图，C，E 和 B，D，F 分别在GAH 的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF，若A=18，则GEF 的度数是_,答案：90,顶角的外角与底角的关系,如图，在第1个 中，B=20，AB= ，在 上取 一点C，延长 在 上取一点D， 延长 . ，.，按此作法进行下去，第n个 三角形的以 为顶点的内角的度数为 ,顶角差与底角差的关系,如图，已知AB = AC，AD = AE，BAD和CDE有什么关系？,提示：试一试“设而不求”的技巧,答案：BAD=2CDE,总结,这节课我们学到了什么？,等腰三角形的性质1：,等腰三角形的两个底角相等,简称为“等边对等角”,总结,这节课我们还学到了什么？,等腰三角形的性质2：,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合,简称为“三线合一”,这“三线”所在的直线也是等腰三角形的对称轴,怎么证明“等边对等角”？,怎么利用“等边对等角”的性质求角度,等边对等角,怎么证明“三线合一”？,怎么利用“三线合一”的性质求角度,等腰三角形三线合一,