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2018-2019学年湖南省益阳市赫山区高一(上)期中数学试卷(含详细解答)

1、2018-2019学年湖南省益阳市赫山区箴言中学高一(上)期中数学试卷一、选择题(每小题有且只有一个正确答案,每小题4分,共40分)1(4分)下列四个集合中,是空集的是()Ax|x+33B(x,y)|y2x2,x,yRCx|x20Dx|x2x+10,xR2(4分)函数f(x)ax与g(x)axa的图象有可能是图中的()ABCD3(4分)下列四组函数中,表示相等函数的一组是()Af(x)|x|,B,C,g(x)x+1D,4(4分)若函数yf(x)的定义域为1,2,则yf(x+1)的定义域为()A2,3B0,1C1,0D3,25(4分)已知0a1,logamlogan0,则()A1nmB1mnCm

2、n1Dnm16(4分)如果奇函数f(x)在区间3,7上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间7,3上是()A增函数且最小值为5B增函数且最大值为5C减函数且最小值为5D减函数且最大值为57(4分)下列判断正确的是()A函数是奇函数B函数是偶函数C函数是非奇非偶函数D函数f(x)1既是奇函数又是偶函数8(4分)已知xln,ylog52,则()AxyzBzxyCzyxDyzx9(4分)已知是R上的增函数,那么a的取值范围是()A(1,+)B(,3)C,3)D(1,3)10(4分)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,

3、当截取的矩形面积最大时,矩形两边长x、y应为()Ax15,y12Bx12,y15Cx14,y10Dx10,y14二、填空(每小题5分,共25分)11(5分)已知集合A1,3,a,B1,a2a+1且BA,则a 12(5分)当a1,1,3时,幂函数yxa的图象不可能经过第 象限13(5分)已知函数f(x),则不等式f(x)1的解集为 14(5分)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)2f(x1)2x+17,则函数f(x)的解析式 15(5分)关于函数有以下四个结论:定义域为(,3)(1,+);递增区间为1,+);最小值为1;图象恒在x轴的上方其中正确结论的序号是 三、解答题:(5道大题,共5

4、5分)16(10分)(1);计算:;(2)计算:17(10分)设集合Ax|x23x40,Bx|2axa+2()若AB,求实数a的取值范围;()若ABB,求实数a的取值范围18(10分)设a0且a1,函数ya2x+2ax1在1,1的最大值是14,求a的值19(12分)已知f(x)是定义在(0,+)内的增函数,且满足f(xy)f(x)+f(y),f(2)1(1)求f(8);(2)求不等式f(x)+f(x2)3的解集20(13分)已知二次函数f(x)ax(x+2),且f(x)最小值是1,函数g(x)与f(x)的图象关于原点对称(1)求f(x)和g(x)的解析式;(2)若h(x)f(x)g(x)在区间

5、1,1上是增函数,求实数的取值范围2018-2019学年湖南省益阳市赫山区箴言中学高一(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(每小题有且只有一个正确答案,每小题4分,共40分)1(4分)下列四个集合中,是空集的是()Ax|x+33B(x,y)|y2x2,x,yRCx|x20Dx|x2x+10,xR【分析】根据空集的定义,分别对各个选项进行判断即可【解答】解:根据题意,由于空集中没有任何元素,对于选项A,x0;对于选项B,(0,0)是集合中的元素;对于选项C,由于x0成立;对于选项D,方程无解故选:D【点评】本题考查了集合的概念,是一道基础题2(4分)函数f(x)ax与g(x)axa的图

6、象有可能是图中的()ABCD【分析】分别讨论参数a的各种取值与对应图象的关系A中0a1,B中a1,C中0a1,D中1【解答】解:A由指数函数的图象可知,0a1此时直线g(x)axa的斜率应为正,所以A错误B由指数函数的图象可知,a1此时直线g(x)axa的斜率应为正,纵截距为a0,所以B错误C由指数函数的图象可知,0a1此时直线g(x)axaa(x1)的斜率应为正,过定点(1,0),且斜率0k1而C中直线的斜率k1,所以C错误D由指数函数的图象可知,a1此时直线g(x)axa的斜率应为正,纵截距为a0,所以D有可能故选:D【点评】本题考查指数函数的图象与性质,以及直线的斜率与截距问题在判断过程

7、中应先确定一个图象中a的取值范围,然后在比较一下另一个图象是否对应3(4分)下列四组函数中,表示相等函数的一组是()Af(x)|x|,B,C,g(x)x+1D,【分析】分别判断两个函数定义域和对应法则是否一致即可【解答】解:A函数g(x)|x|,两个函数的对应法则和定义域相同,是相等函数B函数f(x)|x|,g(x)x,两个函数的对应法则和定义域不相同,不是相等函数C函数f(x)x+1的定义域为x|x1,两个函数的定义域不相同,不是相等函数D由,解得x1,即函数f(x)的定义域为x|x1,由x210,解得x1或x1,即g(x)的定义域为x|x1或x1,两个函数的定义域不相同,不是相等函数故选:

8、A【点评】本题主要考查判断两个函数是否为相等函数,判断的标准是判断两个函数的定义域和对应法则是否完全相同4(4分)若函数yf(x)的定义域为1,2,则yf(x+1)的定义域为()A2,3B0,1C1,0D3,2【分析】根据函数的定义域的定义,自变量的取值范围为函数的定义域由函数yf(x)的定义域为1,2,得到1x+12求解【解答】解:函数yf(x)的定义域为1,2,1x+120x1yf(x+1)的定义域为0,1故选:B【点评】本题主要考查抽象函数的定义域,要紧扣函数定义域的定义5(4分)已知0a1,logamlogan0,则()A1nmB1mnCmn1Dnm1【分析】本题考查对数函数的性质,基

9、础题【解答】解:由logamlogan0loga1得mn1,故选:A【点评】本题主要考查对数比较大小的问题,要注意对数函数的单调性,即当底数大于1时单调递增,当底数大于0小于1时单调递减6(4分)如果奇函数f(x)在区间3,7上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间7,3上是()A增函数且最小值为5B增函数且最大值为5C减函数且最小值为5D减函数且最大值为5【分析】由题意结合奇函数的对称性和所给函数的性质即可求得最终结果【解答】解:奇函数的函数图象关于坐标原点中心对称,则若奇函数f(x)在区间3,7上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间7,3上是增函数且最大值为5故选:B【点评】本题考查

10、了奇函数的性质,函数的对称性及其应用等,重点考查学生对基础概念的理解和计算能力,属于中等题7(4分)下列判断正确的是()A函数是奇函数B函数是偶函数C函数是非奇非偶函数D函数f(x)1既是奇函数又是偶函数【分析】先考虑函数的定义域是否关于原点对称,再验证f(x)与f(x)的关系,即可得到结论【解答】解:A、函数的定义域为(,2)(2,+),不关于原点对称,故非奇非偶;B、函数的定义域为1,1),不关于原点对称,故非奇非偶;C、函数的定义域为(,11,+),故非奇非偶;D、函数f(x)1,图象关于y轴对称,是偶函数,但不是奇函数故选:C【点评】本题考查函数的奇偶性,解题的关键是掌握函数奇偶性的判

11、定步骤,属于中档题8(4分)已知xln,ylog52,则()AxyzBzxyCzyxDyzx【分析】利用xln1,0ylog52,1z,即可得到答案【解答】解:xlnlne1,0log52log5,即y(0,);1e0,即z(,1),yzx故选:D【点评】本题考查不等式比较大小,掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键,属于基础题9(4分)已知是R上的增函数,那么a的取值范围是()A(1,+)B(,3)C,3)D(1,3)【分析】由题意结合函数的解析式逐段考查函数的单调性即可求得最终结果【解答】解:首先逐段考查函数的解析式:当x1时,一次函数单调递增,则:3a0,解得:a3,x1时,对数函

12、数单调递增,则:a1,且当x1时,应满足:(3a)14aloga1,解得:,综上可得实数a的取值范围是(1,3)故选:D【点评】本题考查了一次函数的单调性,对数函数的单调性,分段函数的单调性等,重点考查学生对基础概念的理解和计算能力,属于中等题10(4分)某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长x、y应为()Ax15,y12Bx12,y15Cx14,y10Dx10,y14【分析】由直角三角形相似得,得x(24y),化简矩形面积Sxy的解析式为(y12)2+180,再利用二次函数的性质

13、求出S 的最大值,以及取得最大值时x、y的值【解答】解:由直角三角形相似得,得x(24y),矩形面积Sxy(y12)2+180,当y12时,S有最大值,此时x15故选:A【点评】本题主要考查三角形中的几何计算、二次函数的性质的应用,属于中档题二、填空(每小题5分,共25分)11(5分)已知集合A1,3,a,B1,a2a+1且BA,则a1或2【分析】根据题意,分析可得:若BA,必有a2a+13或a2a+1a,分2种情况讨论可得答案【解答】解:BA,a2a+13或a2a+1a由a2a+13得a2a20解得a1或a2当a1时,A1,3,1,B1,3,满足BA,当a2时,A1,3,2,B1,3,满足B

14、A由a2a+1a得a22a+10,解得a1,当a1时,A1,3,1不满足集合元素的互异性,综上,若BA,则a1或a2;答案为1或2【点评】本题考查集合间包含关系的运用,注意分情况讨论时,不要漏掉情况12(5分)当a1,1,3时,幂函数yxa的图象不可能经过第二、四象限【分析】当a1,1,3时进行逐一取值判定幂函数yxa的图象不可能经过的象限,然后求出它们都不进过的象限即可【解答】解:yx1的图象不可能经过第二、四象限的图象不可能经过第二、三、四象限yx的图象不可能经过第二、四象限yx3的图象不可能经过第二、四象限综上所述,当a1,1,3时,幂函数yxa的图象不可能经过第二、四象限故答案为二、四

15、【点评】本题主要考查了幂函数的图象,以及分类讨论的数学思想,属于基础题13(5分)已知函数f(x),则不等式f(x)1的解集为(1,)【分析】由已知中分段函数的解析式,分当x0时,和当x0时,两种情况分别解不等式f(x)1,最后综合讨论结果,可得答案【解答】解:当x0时,由3x+11得:x+10,解得:x1,1x0; 当x0时,由1得:0x,0x,综上所述,不等式f(x)1的解集为(1,),故答案为:(1,)【点评】本题考查的知识点是指数不等式和对数不等式,分段函数,熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解答的关键14(5分)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)2f(x1)2x+17,则

16、函数f(x)的解析式f(x)2x+7【分析】由题意设f(x)ax+b,利用f(x)满足3f(x+1)2f(x1)2x+17,利用恒等式的性质即可得出【解答】解:由题意设f(x)ax+b,(a0)f(x)满足3f(x+1)2f(x1)2x+17,3a(x+1)+b2a(x1)+b2x+17,化为ax+(5a+b)2x+17,解得f(x)2x+7故答案为:f(x)2x+7【点评】本题考查了“待定系数法”求一次函数的解析式和恒等式的性质,属于基础题15(5分)关于函数有以下四个结论:定义域为(,3)(1,+);递增区间为1,+);最小值为1;图象恒在x轴的上方其中正确结论的序号是【分析】由函数求得定

17、义域为R,判断错误;求得增区间为1,+),判断正确;求得最小值为1,判断错误;判断函数的图象在x轴的上方,正确【解答】解:对于函数,令x22x+30,解得xR,所以函数的定义域为R,错误;tx22x+3,对称轴是x1,增区间为1,+),正确;复合对数函数f(t)log2t是关于t的增函数,t取最小值时f(t)最小,由函数tx22x+3在x1处取得最小值为2,求得f(2)log221,所以函数ylog2(x22x+3)的最小值为1,错误;由结论知函数的最小值为1,函数的图象在x轴的上方,正确综上,正确的结论是故答案为:【点评】本题主要考查对数函数的定义与性质的应用问题,也考查了复合函数的单调区间

18、,最值求法,是基础题三、解答题:(5道大题,共55分)16(10分)(1);计算:;(2)计算:【分析】(1)利用对数运算性质及其lg2+lg51即可得出(2)利用指数幂的运算性质即可得出【解答】解:(1)原式3lg5lg2+3lg5+3lg223lg2+3lg53(2)原式b(ab)【点评】本题考查了对数与指数幂的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题17(10分)设集合Ax|x23x40,Bx|2axa+2()若AB,求实数a的取值范围;()若ABB,求实数a的取值范围【分析】()求出A中不等式的解集确定出A,根据AB,求出实数a的取值范围即可;()根据A与B的交集为B,确定出a的

19、范围即可【解答】解:()由A中不等式变形得:(x4)(x+1)0,解得:x4或x1,即Ax|x4或x1,Bx|2axa+2,且AB,2a1或a+24,且2aa+2,解得:a或a2,则实数a的取值范围为a或a2;()ABB,BA,a+21或2a4,解得:a3或a2【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键18(10分)设a0且a1,函数ya2x+2ax1在1,1的最大值是14,求a的值【分析】令tax(a0,a1),则原函数化为yt2+2t1(t+1)22(t0),分类当0a1时,当a1时,利用单调性求解即可【解答】解:令tax(a0,a1),则原函数转化为yt2

20、+2t1(t+1)22(t0)当0a1时,x1,1,taxa,此时f(x)在xa,上为增函数,所以f(x)maxf()(+1)2214 所以a(舍去)或a,x1,1,taxa,当a1时此时f(t),t,a上为增函数,所以f(x)maxf(a)(a+1)2214,所以a5(舍去)或a3,综上a或a3【点评】本题考查了指数函数的性质的应用,难度较大,属于中档题,注意复合函数的单调性的运用19(12分)已知f(x)是定义在(0,+)内的增函数,且满足f(xy)f(x)+f(y),f(2)1(1)求f(8);(2)求不等式f(x)+f(x2)3的解集【分析】(1)利用赋值法,由f(2)1令xy2,可得

21、f(4)2,令x4,y2,即可求解f(8)3;(2)由f(8)3,那么不等式f(x)+f(x2)f(8),利用关系式和单调性脱去“f”转化为不等式求解【解答】解:(1)由题意,f(2)1令xy2,可得f(4)f(2)+f(2)2,令x4,y2,可得f(8)f(4)+f(2)3;(2)由f(8)3,那么不等式f(x)+f(x2)f(8),即f(x22x)f(8),f(x)是定义在(0,+)内的增函数,解得:x4不等式的解集为(4,+)【点评】本题考查抽象函数的应用,函数的单调性的应用,考查计算能力以及转化思想的应用20(13分)已知二次函数f(x)ax(x+2),且f(x)最小值是1,函数g(x

22、)与f(x)的图象关于原点对称(1)求f(x)和g(x)的解析式;(2)若h(x)f(x)g(x)在区间1,1上是增函数,求实数的取值范围【分析】(1)根据题意,由二次函数的性质可得f(1)1,解可得a的值,又由函数g(x)的图象与f(x)的图象关于原点对称,可得g(x)f(x)x2+2x,即可得答案;(2)根据题意,可得h(x)x2+2x(x2+2x)(+1)x2+2(1)x,对的值分情况讨论,结合二次函数的性质分析即可得答案【解答】解:(1)依题意,设f(x)ax(x+2)ax2+2ax(a0)f(x)图象的对称轴是x1,f(1)1,即a2a1,得a1f(x)x2+2x由函数g(x)的图象与f(x)的图象关于原点对称,g(x)f(x)x2+2x(2)由(1)得h(x)x2+2x(x2+2x)(+1)x2+2(1)x当1时,h(x)4x满足在区间1,1上是增函数;当1时,h(x)图象的对称轴是x,则1,又1,解得1;当1时,同理则需1,又1,解得10综上,满足条件的实数的取值范围是(,0【点评】本题考查二次函数的性质,关键是求出二次函数的解析式,属于基础题