1、2018-2019学年湖南省株洲市醴陵二中、醴陵四中高一（上）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1（5分）直线ykx与直线y2x+1垂直，则k等于（）A2B2CD2（5分）已知空间两点P（1，2，3），Q（3，2，1），则P、Q两点间的距离是（）A6B2C36D23（5分）如图，ABCDA1B1C1D1为正方体，异面直线AD与CB1所成的角是（）A30B45C60D904（5分）若M（x0，y0）为圆x2+y2r2（r0）上一点，则直线x0x+y0yr2与该圆的位置关系为（）A相切B相交C相离D相切或相交5（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角AD1C1C的大小等于（）
2、A300B450C600D9006（5分）设a，b，c是空间的三条直线，给出以下三个命题：若ab，bc，则ac；若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面；若ab，bc，则ac其中正确命题的个数是（）A0B1C2D37（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A10B12C14D168（5分）圆x2+y24x4y+70上的动点P到直线yx的最小距离为（）A21B2CD19（5分）直线l的方程为：（a2）y（3a1）x1，若直线l不经过第二象限，则实数a的取
3、值范围为（）Aa2B2a3Ca2Da410（5分）已知H是球O的直径AB上的一点，AH：HB1：2，AH平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为（）ABCD11（5分）过点M（1，2）的直线l与圆C：（x3）2+（ y4）225交于A、B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程是（）Ax2y+30B2x+y40Cxy+10Dx+y3012（5分）如图，在正三棱锥PABC中，APBBPCCPA30，PAPBPC2一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是（）ABCD二、填空题（每小题5分，共20分）13（5分）如图所示正方形O'
4、;A'B'C'的边长为2cm，它是一个水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是 14（5分）已知圆x2+y21与圆x2+y26x8y+m0相离，则m的取值范围 15（5分）已正知方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点P是平面AA1D1D的中心，点Q是B1D1上一点，且PQ平面AB1D，则线段PQ长为 16（5分）如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若x，y分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（x，y）是点M的“距离坐标”已知常数p0，q0，给出下列三个命题：若pq0，则“距离
5、坐标”为（0，0）的点有且只有1个；若pq0，且p+q0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且只有2个；若pq0则“距离坐标”为（p，q）的点有且只有4个上述命题中，正确命题的是 （写出所有正确命题的序号）三、解答题（6小题，共70分）17（10分）已知直线l：（2+m）x+（12m）y+43m0（）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点；（）过点M（1，2）作一条直线l1，使l1夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程18（12分）如图1是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图和三视图（单位：cm）（1）求该多面体的体积；（2）在所给直观图中连结BC，证明：BC平面EF
6、G19（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABC与A1B1C1都为正三角形且AA1面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点求证：（1）平面AB1F1平面C1BF； （2）平面AB1F1平面ACC1A120（12分）已知圆C的圆心在直线yx+1上，半径为，且圆C经过点P（3，6）和点Q（5，6）求圆C的方程过点（3，0）的直线l截图所得弦长为2，求直线l的方程21（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD是菱形，BAD60，AB2，PD，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点（）证明：平面EAC平面PBD；（）若PD平面EAC，
7、求三棱锥PEAD的体积22（12分）已知圆心在x轴正半轴上的圆C与直线5x+12y+210相切，与y轴交于M，N两点，且MCN120（）求圆C的标准方程；（）过点P（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点D，E，若时，求直线l的方程；（）已知Q是圆C上任意一点，问：在x轴上是否存在两定点A，B，使得？若存在，求出A，B两点的坐标；若不存在，请说明理由2018-2019学年湖南省株洲市醴陵二中、醴陵四中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1（5分）直线ykx与直线y2x+1垂直，则k等于（）A2B2CD【分析】由于直线y2x+1的斜率为2，所以直线ykx的斜率
8、存在，两条直线垂直，利用斜率之积为1，直接求出k的值【解答】解：直线ykx与直线y2x+1垂直，由于直线y2x+1的斜率为2，所以两条直线的斜率之积为1，所以k故选：C【点评】本题考查两条直线垂直的斜率关系，考查计算能力，是基础题2（5分）已知空间两点P（1，2，3），Q（3，2，1），则P、Q两点间的距离是（）A6B2C36D2【分析】直接利用空间两点的距离公式求解即可【解答】解：空间两点P（1，2，3），Q（3，2，1），则P、Q两点间的距离是：6故选：A【点评】半桶水基础题，考查空间两点的距离公式的应用，考查计算能力3（5分）如图，ABCDA1B1C1D1为正方体，异面直线AD与CB1所
9、成的角是（）A30B45C60D90【分析】由ADBC，知BCB1是异面直线AD与CB1所成的角，由此能求出异面直线AD与CB1所成的角的大小【解答】解：ABCDA1B1C1D1为正方体中，ADBC，BCB1是异面直线AD与CB1所成的角，BCB145，异面直线AD与CB1所成的角为45故选：B【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养4（5分）若M（x0，y0）为圆x2+y2r2（r0）上一点，则直线x0x+y0yr2与该圆的位置关系为（）A相切B相交C相离D相切或相交【分析】根据题意，求出圆的圆心与半径，由点到直线的距离公式分析可得圆心到直线的距离
10、dr，由直线与圆的位置关系即可得答案【解答】解：根据题意，若M（x0，y0）为圆x2+y2r2（r0）上一点，则x02+y02r2，圆x2+y2r2（r0）的圆心为（0，0），半径为r，圆心到直线的距离dr，直线x0x+y0yr2与该圆相切；故选：A【点评】本题考查直线与圆的位置关系，注意直线与圆位置关系的判断方法，属于基础题5（5分）在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角AD1C1C的大小等于（）A300B450C600D900【分析】由题意画出图形，作出二面角AD1C1C的平面角，则答案可求【解答】解：如图，连接AD1，BC1，正方体ABCDA1B1C1D1中，D1C1平面BCC1B1
11、，D1C1C1C，D1C1C1B，则BC1C为二面角AD1C1C的平面角，等于45故选：B【点评】本题考查二面角的平面角及其求法，是基础题6（5分）设a，b，c是空间的三条直线，给出以下三个命题：若ab，bc，则ac；若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面；若ab，bc，则ac其中正确命题的个数是（）A0B1C2D3【分析】若ab，bc，则ac，由线线的位置关系判断；若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面，由线线位置关系判断；若ab，bc，则ac，由平行的传递性判断【解答】解：若ab，bc，则ac，垂直于同一直线的两条直线相交、平行、异面皆有可能，故命题不正确；若a和b共面，b和c共面，则
12、a和c也共面，线线间共面关系不具有传递性，ab，b与c相交，则a，c可以是异面关系，故命题不正确；若ab，bc，则ac，此是空间两直线平行公理，是正确命题故选：B【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系的判断，主要考查空间想像能力，空间中线面、线线位置关系的判断力7（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A10B12C14D16【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可【解答】解：由三视图可
13、画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形2（2+4）6，这些梯形的面积之和为6212，故选：B【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8（5分）圆x2+y24x4y+70上的动点P到直线yx的最小距离为（）A21B2CD1【分析】先把圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，此距离减去圆的半径即为所求【解答】解：由题意得，圆x2+y24x4y+70即（x2）2+（y2）21，圆心为（2，2），半径r1，由圆心到直线的最小距离公式可得d2，所以圆上动点到直线的最小距离为21故选：A【点评】本题考查圆的标准方程的形式及意义，直线和圆的位
14、置关系，点到直线的距离公式的应用9（5分）直线l的方程为：（a2）y（3a1）x1，若直线l不经过第二象限，则实数a的取值范围为（）Aa2B2a3Ca2Da4【分析】通过对a分类讨论即可得出【解答】解：直线l的方程为：（a2）y（3a1）x1，若直线l不经过第二象限，则a20时，0，0，或a20，3a10时，0解得：a2则实数a的取值范围为a2故选：C【点评】本题考查了直线方程、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10（5分）已知H是球O的直径AB上的一点，AH：HB1：2，AH平面，H为垂足，截球O所得截面的面积为，则球O的表面积为（）ABCD【分析】设球的半径为R，根据题意知
15、由与球心距离为R的平面截球所得的截面圆的面积是，我们易求出截面圆的半径为1，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径，进而求出球的表面积【解答】解：设球的半径为R，AH：HB1：2，平面与球心的距离为R，截球O所得截面的面积为，dR时，r1，故由R2r2+d2得R212+（R）2，R2球的表面积S4R2故选：B【点评】本题考查的知识点是球的表面积公式，若球的截面圆半径为r，球心距为d，球半径为R，则球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理11（5分）过点M（1，2）的直线l与圆C：（x3）2+（ y4）225交于A、B两点，C为圆心，当AC
16、B最小时，直线l的方程是（）Ax2y+30B2x+y40Cxy+10Dx+y30【分析】当直线AB与直线CM垂直时，ACB最小，由M与C的坐标求出直线CM的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为1求出直线AB的斜率，由M坐标与求出的斜率即可得出此时直线l的方程【解答】解：将圆的方程化为标准方程为（x3）2+（y4）225，圆心坐标C为（3，4），M（1，2），kCM1，kAB1，则此时直线l的方程为y2（x1），即x+y30故选：D【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系由d与r的大小关系来判断，当dr时，直线与圆相离；当dr时，直线
17、与圆相切；当dr时，直线与圆相交（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）根据题意得出当直线AB与直线CM垂直时ACB最小是解本题的关键12（5分）如图，在正三棱锥PABC中，APBBPCCPA30，PAPBPC2一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是（）ABCD【分析】将三棱锥的侧面展开，从A点虫子爬行绕三棱锥侧面一圈回到点A的距离中，虫子爬行的最短距离，可转化为求AA1的长度，利用勾股定理即可得到答案【解答】解：设过点A作截面AEF与PB、PC侧棱分别交于E、F两点，将三棱锥由PA展开，则APA190，AA1虫子爬行从点A沿侧面到棱PB上的点E处，
18、再到棱PC上的点F处，然后回到点A的最短距离，PA2，由勾股定理可得AA12虫子爬行的最短距离2故选：D【点评】本题考查的知识点是多面体和旋转体表面上的最短距离问题，其中将三棱锥的侧面展开，将空间问题转化为平面上两点间距离问题，是解答本题的关键二、填空题（每小题5分，共20分）13（5分）如图所示正方形O'A'B'C'的边长为2cm，它是一个水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是8cm2【分析】由已知中正方形O'A'B'C'的边长为2cm，我们易得直观图的面积为4cm2，又由它是一个水平放置的平面图形的斜二侧直观图，可以
19、根据原几何图形的面积：直观图的面积2：1，快速的计算出答案【解答】解：由于原几何图形的面积：直观图的面积2：1又正方形O'A'B'C'的边长为2cm，正方形O'A'B'C'的面积为4cm2，原图形的面积S8cm2，故答案为：8cm2【点评】本题考查的知识点是平面图形的直观图，其中原几何图形的面积：直观图的面积2：1，能够帮助我们快速的在直观图面积和原图面积之间进行转化14（5分）已知圆x2+y21与圆x2+y26x8y+m0相离，则m的取值范围（，11）（9，25）【分析】根据题意，分析两个圆的圆心与半径，由圆与圆的位置关系可得5
20、1+，即4，解可得m的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，圆x2+y21的圆心为（0，0），半径r1，圆x2+y26x8y+m0，即（x3）2+（y4）225m，圆心为（3，4），半径为，若圆x2+y21与圆x2+y26x8y+m0相离，必有51+或|1|5，即4或4，解可得：9m25或m11即m的取值范围为（，11）（9，25）；故答案为：（，11）（9，25）【点评】本题考查圆与圆的位置关系，注意分析圆的圆心与半径，属于基础题15（5分）已正知方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点P是平面AA1D1D的中心，点Q是B1D1上一点，且PQ平面AB1D，则线段PQ长为【分析】连接AD
21、1，AB1，利用中位线的性质求得PQAB1，进而求得PQ【解答】解：正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ平面AA1B1B，连结AD1，AB1，由正方体的性质，得：AD1A1DP，P是AD1的中点，PQAB1，PQAB1故答案为：【点评】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查推理论论能力、空间想象能力，是中档题16（5分）如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O，对于平面上任意一点M，若x，y分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（x，y）是点
22、M的“距离坐标”已知常数p0，q0，给出下列三个命题：若pq0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且只有1个；若pq0，且p+q0，则“距离坐标”为（p，q）的点有且只有2个；若pq0则“距离坐标”为（p，q）的点有且只有4个上述命题中，正确命题的是（写出所有正确命题的序号）【分析】题目中点到直线的距离，分别为p、q，由于p、q的范围是常数p0，q0，所以对p、q进行分类讨论，验证是否成立【解答】解：pq0，则“距离坐标”为（0，0）的点有且只有1个，此点为点O故正确；正确，p，q中有且仅有一个为0，当p为0时，坐标点在L1上，分别为关于O点对称的两点，反则在L2上也有两点，但是这两种情况不能同
23、时存在；正确，四个交点为与直线l1相距为p的两条平行线和与直线l2相距为q的两条平行线的交点；故答案为：【点评】本题解答中，有分类讨论的思想方法，又有创新意识，解题时需要注意这是一个好题，注意变形去掉p0，q0又该怎样解三、解答题（6小题，共70分）17（10分）已知直线l：（2+m）x+（12m）y+43m0（）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点；（）过点M（1，2）作一条直线l1，使l1夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程【分析】（）利用直线系列出方程组，即可得到直线l恒过一定点；（）设出直线l1的方程，求出AB坐标以及中点坐标，即可求解直线方程【解答】解：（）证明：m（
24、x2y3）+2x+y+40由题意得直线l恒过定点M（1，2） （4分）（）解：设所求直线l1的方程为y+2k（x+1），直线l1与x轴、y轴交于A、B两点，则，B（0，k2）（8分）AB的中点为M， 解得k2（10分）所求直线l1的方程为2x+y+40（12分）【点评】本题考查直线系方程的应用，直线方程的求法，考查转化思想及计算能力18（12分）如图1是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图和三视图（单位：cm）（1）求该多面体的体积；（2）在所给直观图中连结BC，证明：BC平面EFG【分析】（1）所求多面体体积VV长方体V正三棱锥，由此能求出结果（2）
25、连结AD'，则AD'BC'，AD'EG，从而EGBC'由此能证明BC'面EFG【解答】（1）解：由题意可得，所求多面体体积：VV长方体V正三棱锥；（2）证明：在长方体ABCDA'B'C'D'中，连结AD'，则AD'BC'因为E，G分别为AA'，A'D'中点，所以AD'EG，从而EGBC'又BC'平面EFG，所以BC'面EFG【点评】本题主要考查由三视图求面积、体积，求解的关键是由视图得出几何体的长、宽、高等性质，熟练掌握各种类型的几何体
26、求体积的公式；熟练掌握证明线面问题的有关定理19（12分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABC与A1B1C1都为正三角形且AA1面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点求证：（1）平面AB1F1平面C1BF； （2）平面AB1F1平面ACC1A1【分析】（1）利用面面平行的判定定理即可证明；（2）利用线面、面面垂直的判定定理即可证明【解答】（1）在正三棱柱ABCA1B1C1中，F、F1分别是AC、A1C1的中点，B1F1BF，AF1C1F又B1F1AF1F1，C1FBFF，平面AB1F1平面C1BF（2）在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面A1B1C1
27、，B1F1AA1又B1F1A1C1，A1C1AA1A1，B1F1平面ACC1A1，而B1F1平面AB1F1，平面AB1F1平面ACC1A1【点评】熟练掌握面面平行的判定定理、线面与面面垂直的判定定理和性质定理是解题的关键20（12分）已知圆C的圆心在直线yx+1上，半径为，且圆C经过点P（3，6）和点Q（5，6）求圆C的方程过点（3，0）的直线l截图所得弦长为2，求直线l的方程【分析】根据条件利用待定系数法求出圆心即可求圆C的标准方程；分类讨论，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk（x3）即kxy3k0，由点到直线的距离公式求出k值，求出直线l的方程，当直线l的斜率不存在时，直线l为x3
28、，此时弦长为2符合题意，综上即可求出直线l的方程【解答】解：由题意可知，设圆心为（a，a+1），则圆C为：（xa）2+y（a+1）22，圆C经过点P（3，6）和点Q（5，6），解得：a4则圆C的方程为：（x4）2+（y5）22；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk（x3）即kxy3k0，过点（3，0）的直线l截圆所得弦长为2，则直线l的方程为12x5y360，当直线l的斜率不存在时，直线l为x3，此时弦长为2符合题意，综上，直线l的方程为x3或12x5y360【点评】本题考查圆的标准方程，考查点到直线的距离公式的应用，是中档题21（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底
29、面ABCD是菱形，BAD60，AB2，PD，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点（）证明：平面EAC平面PBD；（）若PD平面EAC，求三棱锥PEAD的体积【分析】（）由已知得ACPD，ACBD，由此能证明平面EAC平面PBD（）由已知得PDOE，取AD中点H，连结BH，由此利用，能求出三棱锥PEAD的体积【解答】（）证明：PD平面ABCD，AC平面ABCD，ACPD四边形ABCD是菱形，ACBD，又PDBDD，AC平面PBD而AC平面EAC，平面EAC平面PBD（）解：PD平面EAC，平面EAC平面PBDOE，PDOE，O是BD中点，E是PB中点取AD中点H，连结BH，四边形ABCD是菱形
30、，BAD60，BHAD，又BHPD，ADPDD，BH平面PAD，【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养22（12分）已知圆心在x轴正半轴上的圆C与直线5x+12y+210相切，与y轴交于M，N两点，且MCN120（）求圆C的标准方程；（）过点P（0，3）的直线l与圆C交于不同的两点D，E，若时，求直线l的方程；（）已知Q是圆C上任意一点，问：在x轴上是否存在两定点A，B，使得？若存在，求出A，B两点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）设圆C的方程为（xa）2+y24a2，利用点C到直线5x+12y+210的距离为d2a，求出
31、a，即可求圆C的标准方程；（）设直线l的方程为ykx+3即kxy+30，则由题意可知，圆心C到直线l的距离d1，即可求出k的值，（）方法一：假设在x轴上存在两定点A（a，0），B（b，0），设Q（x，y）是圆C上任意一点，由题意可得则|，即可求出a，b的值，方法二：设Q（x，y）是圆C上任意一点，由得，对照圆C的标准方程（x1）2+y24即x2+y23+2x，可得，解得即可【解答】解：（）由题意知圆心C（a，0），且a0，由MCN120知RtMCO中，MCO60，|OC|a，则|CM|2a，于是可设圆C的方程为（xa）2+y24a2又点C到直线5x+12y+210的距离为d2a，所以a1或a（
32、舍），故圆C的方程为（x1）2+y24，（）设直线l的方程为ykx+3即kxy+30，则由题意可知，圆心C到直线l的距离d1，故1，解得k，又当x0时满足题意，因此所求的直线方程为yx+3或x0，（）方法一：假设在x轴上存在两定点A（a，0），B（b，0），设Q（x，y）是圆C上任意一点，则（x1）2+y24即x2+y23+2x，则|，令，解得或，因此存在A（2，0），B）5，0）或A（0，0），B（3，0）满足题意，方法二：设Q（x，y）是圆C上任意一点，由得，化简可得x2+y2x+0，对照圆C的标准方程（x1）2+y24即x2+y23+2x，可得，解得解得或，因此存在A（2，0），B（5，0）或A（0，0），B（3，0）满足题意【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，考查了运算能力和转化能力，以及分析解决问题的能力，属于中档题