1、2018-2019学年湖南省岳阳市岳阳县一中、汨罗一中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12道小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡中对应的位置.1（5分）已知集合，M1，0，1，2，3，4，N2，2，则下列结论成立的是（）ANMBMNMCMNNDMN22（5分）方程x2+y2ax+by+c0表示圆心为（1，2），半径为1的圆，则a、b、c的值依次为（）A2，4，4B2，4，4C2，4，4D2，4，43（5分）已知则a，b，c的大小关系是（）AabcBcbaCbacDcab4（5分）下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）
2、ABCDf（x）2x2x5（5分）已知m，n是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下面四个结论中正确的是（）A若m，n，mn则B若m，mn则nC若m，m则D若m，m则6（5分）函数yx2+ln|x|的图象大致为（）ABCD7（5分）函数f（x）ln（x+2）+ln（4x）的单调递减区间是（）A（2，4）B（2，1）C（1，4）D（1，2）8（5分）一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（）AABCDBAB与CD相交CABCDDAB与CD所成的角为609（5分）已知空间四边形ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则判断：MN（AC+BD）；MN（AC
3、+BD）；MN（AC+BD）；MN（AC+BD）其中正确的是（）ABCD10（5分）过原点的直线l与圆C：x2+y26x+50相交于A、B两点，若三角形ABC为正三角形，则直线l的斜率为（）ABCD11（5分）已知函数f（x），则使函数g（x）f（x）+xm有零点的实数m的取值范围是（）A0，1）B（，1）C（，1（2，+）D（，0（1，+）12（5分）已知ABC的顶点A（1，2），AB边上的中线CM所在的直线方程为x+2y10，ABC的平分线BH所在直线方程为yx，则直线BC的方程为（）A2x3y10B2x+3y10C3x2y10D3x2y+10二、填空题：本大题包括4小题，每小题5分，共2
4、0分，把正确答案填在答题卡中的横线上.13（5分）函数y3ax2+1（a0且a1）的图象必经过点 14（5分）直线yx与圆（x1）2+（y1）24相交于点A，B，则弦AB的长为 15（5分）已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为，则该直四棱柱的侧面积为 16（5分）若函数在区间（m1，m+2）内不单调，则实数m的取值范围是 三、解答题题：本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）（1）化简与求值：；（2）已知定义域为R的函数是奇函数，求使不等式成立的x取值范围18（12分）已知两条直线l1：axby+40，l2：（a1）x+y+b0，求满足下
5、列条件的a，b值（）l1l2且l1过点（3，1）；（）l1l2且原点到这两直线的距离相等19（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB90，ACBCAA1，D是棱AA1的中点（）证明：DC1平面BDC（）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比（）画出平面BDC1与平面ABC的交线20（12分）国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝
6、一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如图，该函数近似模型如下：，又已知刚好过1小时时测得酒精含量值为44.42毫克/百毫升，根据上述条件，解答以下问题：（1）试计算喝1瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？（2）试计算喝1瓶啤酒后多少小时后才可以驾车？（时间以整分钟计算）21（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y2x4，设圆C的半径为1，圆心C在直线l上（1）过点A作圆C的切线AP且P为切点，当切线AP最短时，求圆C的标准方程；（2）若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围22（12分）已知f（x）x|xa|（a0），（
7、1）当a2时，求函数f（x）在1，3上的最大值；（2）对任意的x1，x21，1，都有|f（x1）f（x2）|4成立，求实数a的取值范围2018-2019学年湖南省岳阳市岳阳县一中、汨罗一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12道小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填在答题卡中对应的位置.1（5分）已知集合，M1，0，1，2，3，4，N2，2，则下列结论成立的是（）ANMBMNMCMNNDMN2【分析】利用集合的交集运算可得结论【解答】解：M1，0，1，2，3，4，N2，2，MN2故选：D【点评】本题考查集合的包含
8、关系判断及应用，考查集合的运算，属于基础题2（5分）方程x2+y2ax+by+c0表示圆心为（1，2），半径为1的圆，则a、b、c的值依次为（）A2，4，4B2，4，4C2，4，4D2，4，4【分析】根据题意，由圆的一般方程分析可得，解可得a、b、c的值，即可得答案【解答】解：根据题意，方程x2+y2ax+by+c0表示圆心为（1，2），半径为1的圆，则，解可得：a2，b4，c4，故选：B【点评】本题考查圆的一般方程，注意由圆的一般方程求圆心坐标、半径的方法，属于基础题3（5分）已知则a，b，c的大小关系是（）AabcBcbaCbacDcab【分析】由0a0.320.301，blog20.3l
9、og210，c20.3201，能比较a，b，c的大小关系【解答】解：0a0.320.301，blog20.3log210，c20.3201，cab故选：D【点评】本题考查对数值大小的比较，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化4（5分）下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（）ABCDf（x）2x2x【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x），是幂函数，在R上是奇减函数，但在R上为增函数，不符合题意；对于B，f（x），是反比例函数，不是减函数，不符合题意；对于C，f（x），是奇函数，在不是减函数，不
10、符合题意；对于D，f（x）2x2x，既是奇函数又是减函数，符合题意；故选：D【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性、奇偶性5（5分）已知m，n是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，下面四个结论中正确的是（）A若m，n，mn则B若m，mn则nC若m，m则D若m，m则【分析】在A中，与相交或平行；在B中，n与相交、平行或n；在C中，与相交或平行；在D中，由面面平行的判定定理得【解答】解：由m，n是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，知：在A中，若m，n，mn，则与相交或平行，故A错误；在B中，若m，mn，则n与相交、平行或n，故B错误；在C中，若m，m，则与相交
11、或平行，故C错误；在D中，若m，m，则由面面平行的判定定理得，故D正确故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题6（5分）函数yx2+ln|x|的图象大致为（）ABCD【分析】先求出函数为偶函数，再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断【解答】解：f（x）x2+ln|x|f（x），yf（x）为偶函数，yf（x）的图象关于y轴对称，故排除B，C，当x0时，y，故排除D，或者根据，当x0时，yx2+lnx为增函数，故排除D，故选：A【点评】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性和函数值的变化趋势，
12、属于基础题7（5分）函数f（x）ln（x+2）+ln（4x）的单调递减区间是（）A（2，4）B（2，1）C（1，4）D（1，2）【分析】根据题意，先由函数的解析式求出函数的定义域，令tx2+2x+8，则ylnt；由复合函数单调性的判定方法分析可得：若函数f（x）为减函数，则tx2+2x+8为减函数，由二次函数的性质分析tx2+2x+8的递减区间，即可得答案【解答】解：根据题意，根据题意，函数f（x）ln（x+2）+ln（4x），有，解可得2x4，即函数的定义域为（2，4）；则f（x）ln（x+2）+ln（4x）ln（x2+2x+8），令tx2+2x+8，2x4，则t0，则ylnt，为增函数，若
13、函数f（x）ln（x+2）+ln（4x）ln（x2+2x+8）为减函数，则tx2+2x+8为减函数，其对称轴为x1，则其递减区间为1，4）；则函数函数f（x）ln（x+2）+ln（4x）的单调递减区间是1，4）；故选：C【点评】本题考查复合函数的单调性的判定以及单调区间的计算，注意函数的定义域，属于基础题8（5分）一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（）AABCDBAB与CD相交CABCDDAB与CD所成的角为60【分析】还原成正方体，能推导出在原来的正方体中AB与CD所成的角为60【解答】解：一个正方体的展开图如右图所示，A、B、C、D为原正方体的顶
14、点，还原成正方体如下图，ABDE，CDE是AB与CD所成角，CDDECE，CDE60，在原来的正方体中AB与CD所成的角为60故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题9（5分）已知空间四边形ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则判断：MN（AC+BD）；MN（AC+BD）；MN（AC+BD）；MN（AC+BD）其中正确的是（）ABCD【分析】取BC中点P，构建三角形PMN，利用三角形三边关系判断MN与（AC+BD）的大小【解答】解：如图，取BC中点P，连接PM，PN，MN，M，N分别为AB，CD的中点，MPAC，
15、NPBD，在MNP中，MNMP+NP，MN（AC+BD）正确的判断是故选：B【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题10（5分）过原点的直线l与圆C：x2+y26x+50相交于A、B两点，若三角形ABC为正三角形，则直线l的斜率为（）ABCD【分析】根据题意，分析圆C的圆心与半径，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为ykx，即kxy0，由等边三角形的性质分析可得圆心C到直线l的距离d，则有，解可得k的值，即可得答案【解答】解：根据题意，圆C：x2+y26x+50即（x3）2+y24，圆心C为（3，0），半径r2，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为ykx，即k
16、xy0，若直线l与圆C相交于A、B两点且三角形ABC为正三角形，则圆心C到直线l的距离d，则有，解可得：k；故选：C【点评】本题考查直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式，属于基础题11（5分）已知函数f（x），则使函数g（x）f（x）+xm有零点的实数m的取值范围是（）A0，1）B（，1）C（，1（2，+）D（，0（1，+）【分析】作出函数的图象并根据图象的交点及函数零点的判定定理即可得出【解答】解：函数g（x）f（x）+xm的零点就是方程f（x）+xm的根，作出h（x）f（x）+x的图象，观察它与直线ym的交点，得知当m0时，或m1时有交点，即函数g（x）f（x）+xm有零点故选：D【点
17、评】数形结合并掌握函数零点的判定定理是解题的关键12（5分）已知ABC的顶点A（1，2），AB边上的中线CM所在的直线方程为x+2y10，ABC的平分线BH所在直线方程为yx，则直线BC的方程为（）A2x3y10B2x+3y10C3x2y10D3x2y+10【分析】先设出B的坐标，代入直线CM，求出m的值，从而求出B的坐标即可，设出A关于yx的对称点，表示出AB的方程，即BC的方程，整理即可【解答】解：（1）由题意可知，点B在角平分线yx上，可设点B的坐标是（m，m），则AB的中点（，）在直线CM上，+210，解得：m1，故点B（1，1）设A关于yx的对称点为A（x0，y0），则有 ，即A（2
18、，1）则由A在直线BC上，可得BC的方程为 ，即3（y+1）2（x+1），即2x3y10，故选：A【点评】本题主要考查点关于直线对称的性质，三角形的中线、高线的性质，属于中档题二、填空题：本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上.13（5分）函数y3ax2+1（a0且a1）的图象必经过点（2，4）【分析】令指数等于零，求得x、y的值，可得指数函数的图象经过定点的坐标【解答】解：对于函数y3ax2+1（a0且a1），令x20，求得x2，y4，可得它的图象经过定点（2，4），故答案为：（2，4）【点评】本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，属于基础题14（5分）直线
19、yx与圆（x1）2+（y1）24相交于点A，B，则弦AB的长为【分析】求出圆（x1）2+（y1）24的圆心（1，1）到直线yx的距离d，圆半径r2，利用勾股定理即可求出弦|AB|的长【解答】解：圆（x1）2+（y1）24的圆心（1，1）到直线yx的距离d，圆半径r2，弦|AB|的长：|AB|2故答案为：【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，是基础题15（5分）已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为，则该直四棱柱的侧面积为16【分析】根据题意画出图形，结合图形求出侧棱长，再计算四棱柱的侧面积【解答】解：如图所示，直四棱柱底面ABCD是边长为2的菱形，侧面对
20、角线的长为，侧棱长为CC12；该直四棱柱的侧面积为S42216故答案为：16【点评】本题考查了空间几何体的性质与面积的计算问题，是基础题16（5分）若函数在区间（m1，m+2）内不单调，则实数m的取值范围是1，3）【分析】根据题意，求出函数的导数，分析导函数的符号，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得函数单调区间，进而可得m12m+2且m10，解可得m的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，y+，其导数y，分析可得：在（0，2）上，y0，函数y+为减函数，在（2，+）上，y0，函数y+为增函数，则函数y+的极值点为x2，若函数在区间（m1，m+2）内不单调，必有m12m+2且m10，解可
21、得：1m3，即m的取值范围为1，3）；故答案为：1，3）【点评】本题考查函数单调性的判定以及单调性区间的求法，注意分析函数y+的单调性三、解答题题：本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（10分）（1）化简与求值：；（2）已知定义域为R的函数是奇函数，求使不等式成立的x取值范围【分析】（1）进行分数指数幂和对数式的运算即可；（2）根据f（x）为R上的奇函数，即可得出f（0）0，从而求出a1，从而得出，由即可得出，解该不等式即可【解答】解：（1）原式；（2）f（x）是R上的奇函数；解得a1；由f（x）得，；解得x1；x的取值范围为（1，+）【点评】考查分数指数幂
22、和对数式的运算，奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，以及指数函数的单调性18（12分）已知两条直线l1：axby+40，l2：（a1）x+y+b0，求满足下列条件的a，b值（）l1l2且l1过点（3，1）；（）l1l2且原点到这两直线的距离相等【分析】（）通过l1l2的充要条件得到关系式，l1过点（3，1）得到方程，然后求出a，b的值；（）利用l1l2得到，通过原点到这两直线的距离相等即可求出a，b【解答】解（）l1l2，a（a1）+（b）10（1）又l1过点（3，1），则3a+b+40（2）联立（1）（2）可得，a2，b2 （6分）（）依题意有，且，解得a2，b2或 （1
23、2分）【点评】本题是中档题，考查直线与直线的位置关系，平行与垂直的条件的应用，考查计算能力19（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB90，ACBCAA1，D是棱AA1的中点（）证明：DC1平面BDC（）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比（）画出平面BDC1与平面ABC的交线【分析】（）由题设知BCCC1，BCAC，从而BC平面ACC1A1，进而DC1BC，由此能证明平面BDC1平面BDC（）设棱锥BDACC1的体积为V1，AC1，由题意得，由此能示出平面BDC1分此棱柱所得两部分的体积的比（）延长C1D、CA，交于点E，连结BE，直线BE就是平面BDC1
24、与平面ABC的交线【解答】（）证明：由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC，BC平面ACC1A1，又DC1平面ACC1A1，DC1BC，由题设知A1DC1ADC45，CDC190，即DC1DC，又DCBCC，DC1平面BDC，又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC（）解：设棱锥BDACC1的体积为V1，AC1，由题意得，又三棱锥ABCA1B1C1的体积V1，（VV1）：V11：1，平面BDC1分此棱柱所得两部分的体积的比为1：1（）解：延长C1D、CA，交于点E，连结BE，直线BE就是平面BDC1与平面ABC的交线【点评】本题考查直线与平面垂直的证明，考查面棱柱得到两部分体积的比的
25、求法，考查平面与平面的交线的画法解题时要注意空间思维能力的培养20（12分）国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如图，该函数近似模型如下：，又已知刚好过1小时时测得酒精含量值为44.42毫克/百毫升，根据上述条件，解答以下问题：（1）试计算喝1瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？（2）试计算喝
26、1瓶啤酒后多少小时后才可以驾车？（时间以整分钟计算）【分析】（1）由图知函数f（x）取得最大值时对应的解析式，代入（1，44.42）求得f（x）的解析式，再计算f（x）的最大值；（2）由题意列不等式求出x的取值范围，即可得出结论（注：如果根据图象猜出正确答案，可给结果分）【解答】解：（1）由图可知，当函数f（x）取得最大值时，0x2；此时，（1分）又f（1）44.42，所以a+47.4244.42，解得a12；（2分）所以，当时，函数f（x）取得最大值为ymax47.42，故喝一瓶啤酒1.5小时血液中的酒精含量达到最大值47.42毫克/百毫升；（4分）（2）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精
27、小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时x2；由54.27e0.3x+10.1820，得，（7分）两边取自然对数，得，（8分）即0.3xln9.82ln54.27，所以x5.7；（11分）故喝啤酒后需5小时42分钟后才可以合法驾车 （12分）注：如果根据图象猜6个小时，可给结果分（2分）【点评】本题考查了分段函数模型应用问题，是中档题21（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y2x4，设圆C的半径为1，圆心C在直线l上（1）过点A作圆C的切线AP且P为切点，当切线AP最短时，求圆C的标准方程；（2）若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围【分析】（1）根据
28、题意，分析可得要使切线AP最短，则只要线段AC最短，又圆心C在直线l上，分析可得直线AC的方程，求出两直线的交点，即可得圆心的坐标，分析可得答案；（2）设M（x，y），有MA2MO得，化简整理成x2+（y+1）24，分析可得两圆必有交点；据此可得，解可得x的取值范围，即可得答案【解答】解：（1）根据题意，点A作圆C的切线AP且P为切点，则，则要使切线AP最短，则只要线段AC最短，又圆心C在直线l上，所以直线AC与l垂直，直线AC的方程为：，由和y2x4得C的坐标为；故所求圆C的标准方程为；（2）动圆C的坐标为（a，2a4），半径为1设M（x，y），则MA2MO得化简整理成x2+（y+1）24，
29、点M在以（0，1）为圆心2为半径的圆上，又点M在圆C上，所以两圆必有交点；故有解得所以圆心C的横坐标a的取值范围为【点评】本题考查直线与圆的方程，涉及直线与圆的位置关系，属于综合题22（12分）已知f（x）x|xa|（a0），（1）当a2时，求函数f（x）在1，3上的最大值；（2）对任意的x1，x21，1，都有|f（x1）f（x2）|4成立，求实数a的取值范围【分析】（1）化为分段函数，画出图象，根据图象可求出最大值，（2）化为分段函数，画出图象，即对任意的x1，x21，1，都有|f（x1）f（x2）|4成立转化为f（x）maxf（x）min4成立，分类讨论即可求出a的范围【解答】解：（1）当
30、a2时，f（x）x|x2|，结合图象可知，函数f（x）在1，1上是增函数，在（1，2为减函数，在（2，3上为增函数，f（1）1，f（3）3，函数f（x）在1，3上的最大值为f（3）3，（2）f（x）x|xa|，（a0），由题意可得f（x）maxf（x）min4成立，当1时，即a2时，函数f（x）在1，1上为增函数，f（x）maxf（1）a1，f（x）minf（1）a1，从而（a1）+a+12a4，解得a2，故a2，f（），由x（xa）得4x24axa20，解得xa，或xa0（舍去），当1a时，即2（1）a2，此时f（x）maxf（），f（x）minf（1）a1，从而+a+1（a+2）24成立，故2（1）a2，当1a时，即a2（1），此时f（x）maxf（1）1a，f（x）minf（1）a1，从而1a+a+124成立，故a2（1），综上所述a的取值范围（0，2【点评】本题考查了函数恒成立的问题，以及分段函数的问题，考查了转化能力和运算能力以及分类讨论的能力，属于难题