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2018-2019学年湖南省郴州市高一(上)期末数学试卷(含详细解答)

1、2018-2019学年湖南省郴州市高一(上)期末数学试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(4分)已知M1,2,3,4,Nx|3x782x,则MN()Ax|x3B1,2C2,3D3,42(4分)幂函数f(x)xa的图象经过点(2,4),则f()()ABCD23(4分)函数f(x),的定义域为()Ax|x3且x1Bx|x3且x1Cx|x1Dx|x34(4分)函数f(x)2x的图象与函数g(x)x+6的图象的交点个数为()A0个B1个C2个D3个5(4分)已知alog23.4,blog20.3,c23.1,则a,b,c的大小关系是

2、()AbacBabcCbcaDcba6(4分)已知直线l1:x+my+40,l2:(m1)x+2y80,若l1l2,则m的值是()ABC2D17(4分)若m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题中正确的是()A若m,m,则B若mn,n,则mC若mn,m,则nD若m,m,则8(4分)以C(1,0)为圆心,并且与圆x2+y24x+30外切的圆的方程是()A(x+1)2+y22B(x+1)2+y24C(x1)2+y22D(x1)2+y249(4分)空间直角坐标系Oxyz中,点M(1,1,2)在xOy,xOz,yOz平面上的射影分别为A,B,C,则三棱锥MABC的外接球的表面积为()A4B

3、5C6D710(4分)已知a0且a1,函数f(x),满足对任意实数x1,x2(x1x2),都有0成立,则实数a的取值范围是()A(1,2B(2,3C(2,)D(2,3)二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分请把答案直接写到答题卡相应位置上11(4分)若函数f(x)(x1)(xa)为偶函数,则a   12(4分)正方体ABCDA1B1C1D1中,异面直线A1B与AD1所成角的大小为   13(4分)已知函数f(x),则f(f()   ,14(4分)九章算术是我国数学史上堪与欧几里得几何原本相媲美的数学名著,其第五卷商功中有如下问题:“今有圆堡,周四丈八尺,

4、高一丈一尺,问积几何?这里所说的圆堡就是圆柱体,其底面周长是4丈8尺,高1丈1尺,问它的体积是多少,若取3,请你估算该圆堡的体积是   立方尺(1丈等于10尺)15(4分)点P(x,y)是直线kx+y+30上一动点,PA,PB是圆C:x2+y24y+30的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB面积的最小值为2,则k的值为   三、解答题:本大题共5小题,共40分解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤16(6分)计算下列各式子的值(1)25+8;(2)log43log964ln17(8分)如图,四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形,PAPD2,AD2,AB4,平面PAD平而

5、ABCDO为BD的中点,E为PC的中点(1)求证:OE平面PAD;(2)求四棱锥PABCD的体积18(8分)已知点A(1,0),B(1,0),圆C的方程为x2+y26x8y+160,点P为圆上的动点,过点A的直线l被圆C截得的弦长为2(1)求直线l的方程;(2)求PAB面积的最大值19(8分)为落实国家“精准扶贫”政策,让市民吃上放心蔬菜,某企业于2017年在其扶贫基地投入100万元研发资金,用于蔬菜的种植及开发,并计划今后十年内在此基础上,每年投入的资金比上一年增长10%(1)写出第x年(2018年为第一年)该企业投入的资金数y(万元)与x的函数关系式,并指出函数的定义域;(2)该企业从第几

6、年开始(2018年为第一年),每年投入的资金数将超过200万元?(参考数据lg0.110.959,lgl.10.041,lgl11.041,lg20.301)20(10分)已知函数f(x)ax2+bx+c(a0)满足:f(1)3,f(1)1,f()f(+x)且x0时,g(x)(1)若方程g(x)+2m0在x,3时有解,求实数m的取值范围;(2)是否存在实数t使函数h(x)4x2t(g(2x)+1)+4x在1,+)上的最小值为2?若存在,则求出实数t的值;若不存在,请说明理由2018-2019学年湖南省郴州市高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40

7、分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1(4分)已知M1,2,3,4,Nx|3x782x,则MN()Ax|x3B1,2C2,3D3,4【分析】可解出集合N,然后进行交集的运算即可【解答】解:M1,2,3,4,Nx|x3;MN3,4故选:D【点评】考查描述法、列举法的定义,以及交集的运算2(4分)幂函数f(x)xa的图象经过点(2,4),则f()()ABCD2【分析】根据幂函数的图象过点(2,4)求出函数解析式,再计算f()的值【解答】解:幂函数f(x)xa的图象经过点(2,4),则2a4,解得a2;f(x)x2,f()故选:B【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题,是基础题3(

8、4分)函数f(x),的定义域为()Ax|x3且x1Bx|x3且x1Cx|x1Dx|x3【分析】可看出,要使得函数f(x)有意义,则需满足,解出x的范围即可【解答】解:要使f(x)有意义,则:;解得x3,且x1;f(x)的定义域为:x|x3,且x1故选:A【点评】考查函数定义域的定义及求法,描述法表示集合的方法4(4分)函数f(x)2x的图象与函数g(x)x+6的图象的交点个数为()A0个B1个C2个D3个【分析】在同一个坐标系中分别画出函数f(x)2x的图象与函数g(x)x+6的图象,数形结合可得它们的图象的交点个数【解答】解:在同一个坐标系中分别画出函数f(x)2x的图象与函数g(x)x+6

9、的图象,如图所示,结合图象可得它们的图象的交点个数为 1,故选:B【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征,体现了数形结合的数学思想,属于基础题5(4分)已知alog23.4,blog20.3,c23.1,则a,b,c的大小关系是()AbacBabcCbcaDcba【分析】利用有理指数幂及对数的运算性质分别比较a,b,c与0和2的大小得答案【解答】解:0log21alog23.4log242,blog20.3log210,c23.1238,bac故选:A【点评】本题考查对数值的大小比较,考查有理指数幂及对数的运算性质,是基础题6(4分)已知直线l1:x+my+40,l2:(m1)x+2y80,若

10、l1l2,则m的值是()ABC2D1【分析】根据两条直线垂直的条件,列方程求出m的值【解答】解:直线l1:x+my+40,l2:(m1)x+2y80,若l1l2,则1(m1)+2m0,解得m故选:A【点评】本题考查了直线方程垂直的应用问题,是基础题7(4分)若m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题中正确的是()A若m,m,则B若mn,n,则mC若mn,m,则nD若m,m,则【分析】利用图示容易否定A,B,C,故选D【解答】解:A如图可否定A;B如图可否定B;C如图可否定C;故选:D【点评】此题考查了线面位置关系,难度较小8(4分)以C(1,0)为圆心,并且与圆x2+y24x+30

11、外切的圆的方程是()A(x+1)2+y22B(x+1)2+y24C(x1)2+y22D(x1)2+y24【分析】根据题意,设圆C的半径为R,分析圆x2+y24x+30的圆心与半径,结合圆与圆的位置关系分析可得答案【解答】解:根据题意,设圆C的半径为R,圆x2+y24x+30,即(x2)2+y21,其圆心为(2,0),半径r1,设M(2,0),若圆C圆M外切,则有R+r|MC|3,则R4,则要求圆的方程为(x+1)2+y24;故选:B【点评】本题考查圆与圆的位置关系,注意两圆外切时,圆心距与半径的关系,属于基础题9(4分)空间直角坐标系Oxyz中,点M(1,1,2)在xOy,xOz,yOz平面上

12、的射影分别为A,B,C,则三棱锥MABC的外接球的表面积为()A4B5C6D7【分析】作出图形,根据得出A、B、C三点的坐标,证明MA平面MBC,利用勾股定理计算出MBC的外接圆直径BC,再利用公式可计算出外接球的直径,最后利用球体表面积公式可得出答案【解答】解:如下图所示,由题意知,A(1,1,0)、B(1,0,2)、C(0,1,2),且MA、MB、MC两两垂直,由于MBMCM,MA平面MBC,直角MBC的外接圆直径为,所以,三棱锥MABC的外接球直径为,因此,三棱锥MABC的外接球的表面积为4R2(2R)26故选:C【点评】本题考查球体表面积的计算,解决本题的关键在于找出合适的模型计算球体

13、的半径,考查计算能力与推理能力,属于中等题10(4分)已知a0且a1,函数f(x),满足对任意实数x1,x2(x1x2),都有0成立,则实数a的取值范围是()A(1,2B(2,3C(2,)D(2,3)【分析】由题意可得函数f(x)为增函数,再求出每段函数的上的最值即可求出a的范围【解答】解:对任意实数x1,x2(x1x2),都有0成立,函数f(x)在R上为增函数,当x0时,f(x)loga(x+1),则a1,且f(x)f(0)0,当x0时,f(x)|x+2a4|,当2a40时,即a2时,函数f(x)的对称轴x42a0,此时函数f(x)在(,42a)上单调递增,在(42a,0单调递减,不满足题意

14、,当2a40时,即0a2且a1时,函数f(x)的对称轴x42a0,此时函数f(x)在(,0)上单调递增,即f(x)maxf(0)|2a4|2a40,解得0a2且a1, 综上所述a的值范围为(1,2,故选:A【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用,正确理解分段函数的单调性,是解答的关键二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,共20分请把答案直接写到答题卡相应位置上11(4分)若函数f(x)(x1)(xa)为偶函数,则a1【分析】根据函数f(x)(x1)(xa)为偶函数,则f(x)f(x),建立等式,使之恒成立,求出a的值【解答】解:f(x)(x1)(xa)为偶函数f(x)f(x),即f(x)(

15、x1)(xa)(x1)(xa)得a1故答案为:1【点评】本题主要考查函数的奇偶性的运用,直接利用f(x)f(x)进行求解,属基础题12(4分)正方体ABCDA1B1C1D1中,异面直线A1B与AD1所成角的大小为60【分析】连接BC1,证明A1BC1为异面直线A1B和直线AD1所成的角,在A1BC1中求A1BC1【解答】解:连接A1C1,BC1,AD1BC1,A1BC1为异面直线A1B和直线AD1所成的角,在正方体ABCDA1B1C1D1中,设棱长为1,则A1C1BC1BA1,A1BC1为等边三角形,A1BC160故答案是60【点评】本题主要考查了空间两异面直线及其所成的角的求法,根据异面直线

16、所成角的定义,寻找平行线是解决本题的关键13(4分)已知函数f(x),则f(f()2,【分析】推导出f()()2,从而f(f()f(),由此能求出结果【解答】解:函数f(x),f()()2,f(f()f()2故答案为:2【点评】本题考查函数值的求法,考查函数的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题14(4分)九章算术是我国数学史上堪与欧几里得几何原本相媲美的数学名著,其第五卷商功中有如下问题:“今有圆堡,周四丈八尺,高一丈一尺,问积几何?这里所说的圆堡就是圆柱体,其底面周长是4丈8尺,高1丈1尺,问它的体积是多少,若取3,请你估算该圆堡的体积是2112立方尺(1丈等于1

17、0尺)【分析】由圆柱体底面周长是4丈8尺,高1丈1尺,得到2R48,求出R8(尺),由此能估算该圆堡的体积【解答】解:今有圆堡,周四丈八尺,高一丈一尺,即圆柱体底面周长是4丈8尺,高1丈1尺,2R48,解得R8(尺),估算该圆堡的体积:VR211364112112(尺)故答案为:2112【点评】本题考查圆堡的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题15(4分)点P(x,y)是直线kx+y+30上一动点,PA,PB是圆C:x2+y24y+30的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB面积的最小值为2,则k的值为2【分析】依题意分析

18、得PCl,PC为圆心到直线l的距离时,四边形的面积最小【解答】解:圆C:x2+(y2)21,C(0,2),半径AC1SPACB2SPAC2|PA|AC|PA|,|PC|的最小值是圆心到直线的距离d,()214,解得k2,故答案为:2【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,属中档题三、解答题:本大题共5小题,共40分解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤16(6分)计算下列各式子的值(1)25+8;(2)log43log964ln【分析】利用指数、对数的性质、运算法则直接求解【解答】解:(1)25+85+2+(2)log43log964ln1【点评】本题考查指数式、对数式化简求值,考查指数、对数的

19、性质、运算法则等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题17(8分)如图,四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形,PAPD2,AD2,AB4,平面PAD平而ABCDO为BD的中点,E为PC的中点(1)求证:OE平面PAD;(2)求四棱锥PABCD的体积【分析】(1)连结AC,推导出OEPA,由此能证明OE平面PAD(2)取AD的中点F,连结PF,推导出PF平面ABCD,PF为四棱锥PABCD的高,由此能求出四棱锥PABCD的体积【解答】证明:(1)连结AC,底面ABCD中矩形,O为BD的中点,AC与BD交于O点,且O为AC的中点,E是PC的中点,OEPA,又PA平面PAD,OE平

20、面PAD,OE平面PAD解:(2)取AD的中点F,连结PF,PAPD,PFAD,平面PAD平面ABCDAD,PF平面ABCD,PF为四棱锥PABCD的高,又PAPD2,PF,四棱锥PABCD的体积:【点评】本题考查圆锥的体积的求法及应用,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题18(8分)已知点A(1,0),B(1,0),圆C的方程为x2+y26x8y+160,点P为圆上的动点,过点A的直线l被圆C截得的弦长为2(1)求直线l的方程;(2)求PAB面积的最大值【分析】(1)先讨论直线l的斜率是否存在,利用22(R为圆的半径,d为圆心到直线的

21、距离)列方程解得直线l的斜率,再由点斜式写方程;(2)|AB|2为定值,只需求出点P到直线AB的最大值即可【解答】解:(1)当直线l的斜率不存在时,l的方程为x1,易知此直线满足题意;当直线l的斜率存在时,设l的方程为yk(x1),圆C:(x3)2+(y4)29的圆心C(3,4),半径r3,2,解得k,所以所求的直线方程为3x4y30;综上所述,所求的直线方程为3x4y30或x1(2)由题意|AB|2,点P到AB的距离得最大值为7,PAB的面积的最大值为7【点评】本题考查了直线与圆的位置关系,属中档题19(8分)为落实国家“精准扶贫”政策,让市民吃上放心蔬菜,某企业于2017年在其扶贫基地投入

22、100万元研发资金,用于蔬菜的种植及开发,并计划今后十年内在此基础上,每年投入的资金比上一年增长10%(1)写出第x年(2018年为第一年)该企业投入的资金数y(万元)与x的函数关系式,并指出函数的定义域;(2)该企业从第几年开始(2018年为第一年),每年投入的资金数将超过200万元?(参考数据lg0.110.959,lgl.10.041,lgl11.041,lg20.301)【分析】(1)根据题意可得y100(1+10%)x万元,其定义域为xN*|x10,(2)由100(1+10%)x200,解得即可【解答】解:(1)第一年投入的资金数为100(1+10%)万元,第二年投入的资金数为100

23、(1+10%)+100(1+10%)10%100(1+10%)2万元,第x年(2018年为第一年)该企业投入的资金数y(万元)与x的函数关系式y100(1+10%)x万元,其定义域为xN*|x10(2)由100(1+10%)x200可得1.1x2,即x7.3,即企业从第8年开始(2018年为第一年),每年投入的资金数将超过200万元【点评】本题考查了函数的应用,对数的运算性质、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题20(10分)已知函数f(x)ax2+bx+c(a0)满足:f(1)3,f(1)1,f()f(+x)且x0时,g(x)(1)若方程g(x)+2m0在x,3时有解,求实数m

24、的取值范围;(2)是否存在实数t使函数h(x)4x2t(g(2x)+1)+4x在1,+)上的最小值为2?若存在,则求出实数t的值;若不存在,请说明理由【分析】(1)利用待定系数法求出函数f(x)的解析式,结合方程有解进行转化求最值即可(2)求出函数h(x)的解析式,利用换元法结合一元二次函数最值的性质进行求解判断即可【解答】解:(1)f(x)满足:f(1)3,f(1)1,f()f(+x)函数的对称轴为x,即,得,即f(x)x2x+1,g(x)x+1,若方程g(x)+2m0在x,3时有解,则x+12m即x+2m+1,在x,3时有解,yx+在,1上递减,则1,3上递增,则x+2,即12m2,得m,(2)由(1)知,g(x)x+1,h(x)4x2t(2x+2x)+4x(2x+2x)22t(2x+2x)2x1,2x2,2x+2x设n2x+2x,则n则h(x)等价为(n)n22tn2(nt)22t2,若t,(n)min()5t22,得t,满足条件若t,(n)min(t)2t22,此时方程无解,综上存在实数t,使函数h(x)4x2t(g(2x)+1)+4x在1,+)上的最小值为2【点评】本题主要考查函数与方程的应用,利用待定系数法求出函数的解析式,以及利用换元法转化为一元二次函数,借助一元二次函数最值性质是解决本题的关键