1、2018-2019学年湖南省郴州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）已知M1，2，3，4，Nx|3x782x，则MN（）Ax|x3B1，2C2，3D3，42（4分）幂函数f（x）xa的图象经过点（2，4），则f（）（）ABCD23（4分）函数f（x），的定义域为（）Ax|x3且x1Bx|x3且x1Cx|x1Dx|x34（4分）函数f（x）2x的图象与函数g（x）x+6的图象的交点个数为（）A0个B1个C2个D3个5（4分）已知alog23.4，blog20.3，c23.1，则a，b，c的大小关系是
2、（）AbacBabcCbcaDcba6（4分）已知直线l1：x+my+40，l2：（m1）x+2y80，若l1l2，则m的值是（）ABC2D17（4分）若m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A若m，m，则B若mn，n，则mC若mn，m，则nD若m，m，则8（4分）以C（1，0）为圆心，并且与圆x2+y24x+30外切的圆的方程是（）A（x+1）2+y22B（x+1）2+y24C（x1）2+y22D（x1）2+y249（4分）空间直角坐标系Oxyz中，点M（1，1，2）在xOy，xOz，yOz平面上的射影分别为A，B，C，则三棱锥MABC的外接球的表面积为（）A4B
3、5C6D710（4分）已知a0且a1，函数f（x），满足对任意实数x1，x2（x1x2），都有0成立，则实数a的取值范围是（）A（1，2B（2，3C（2，）D（2，3）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分请把答案直接写到答题卡相应位置上11（4分）若函数f（x）（x1）（xa）为偶函数，则a 12（4分）正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角的大小为 13（4分）已知函数f（x），则f（f（） ，14（4分）九章算术是我国数学史上堪与欧几里得几何原本相媲美的数学名著，其第五卷商功中有如下问题：“今有圆堡，周四丈八尺，
4、高一丈一尺，问积几何？这里所说的圆堡就是圆柱体，其底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少，若取3，请你估算该圆堡的体积是 立方尺（1丈等于10尺）15（4分）点P（x，y）是直线kx+y+30上一动点，PA，PB是圆C：x2+y24y+30的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB面积的最小值为2，则k的值为 三、解答题：本大题共5小题，共40分解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤16（6分）计算下列各式子的值（1）25+8；（2）log43log964ln17（8分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PAPD2，AD2，AB4，平面PAD平而
5、ABCDO为BD的中点，E为PC的中点（1）求证：OE平面PAD；（2）求四棱锥PABCD的体积18（8分）已知点A（1，0），B（1，0），圆C的方程为x2+y26x8y+160，点P为圆上的动点，过点A的直线l被圆C截得的弦长为2（1）求直线l的方程；（2）求PAB面积的最大值19（8分）为落实国家“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2017年在其扶贫基地投入100万元研发资金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长10%（1）写出第x年（2018年为第一年）该企业投入的资金数y（万元）与x的函数关系式，并指出函数的定义域；（2）该企业从第几
6、年开始（2018年为第一年），每年投入的资金数将超过200万元？（参考数据lg0.110.959，lgl.10.041，lgl11.041，lg20.301）20（10分）已知函数f（x）ax2+bx+c（a0）满足：f（1）3，f（1）1，f（）f（+x）且x0时，g（x）（1）若方程g（x）+2m0在x，3时有解，求实数m的取值范围；（2）是否存在实数t使函数h（x）4x2t（g（2x）+1）+4x在1，+）上的最小值为2？若存在，则求出实数t的值；若不存在，请说明理由2018-2019学年湖南省郴州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40
7、分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（4分）已知M1，2，3，4，Nx|3x782x，则MN（）Ax|x3B1，2C2，3D3，4【分析】可解出集合N，然后进行交集的运算即可【解答】解：M1，2，3，4，Nx|x3；MN3，4故选：D【点评】考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算2（4分）幂函数f（x）xa的图象经过点（2，4），则f（）（）ABCD2【分析】根据幂函数的图象过点（2，4）求出函数解析式，再计算f（）的值【解答】解：幂函数f（x）xa的图象经过点（2，4），则2a4，解得a2；f（x）x2，f（）故选：B【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题3（
8、4分）函数f（x），的定义域为（）Ax|x3且x1Bx|x3且x1Cx|x1Dx|x3【分析】可看出，要使得函数f（x）有意义，则需满足，解出x的范围即可【解答】解：要使f（x）有意义，则：；解得x3，且x1；f（x）的定义域为：x|x3，且x1故选：A【点评】考查函数定义域的定义及求法，描述法表示集合的方法4（4分）函数f（x）2x的图象与函数g（x）x+6的图象的交点个数为（）A0个B1个C2个D3个【分析】在同一个坐标系中分别画出函数f（x）2x的图象与函数g（x）x+6的图象，数形结合可得它们的图象的交点个数【解答】解：在同一个坐标系中分别画出函数f（x）2x的图象与函数g（x）x+6
9、的图象，如图所示，结合图象可得它们的图象的交点个数为 1，故选：B【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，体现了数形结合的数学思想，属于基础题5（4分）已知alog23.4，blog20.3，c23.1，则a，b，c的大小关系是（）AbacBabcCbcaDcba【分析】利用有理指数幂及对数的运算性质分别比较a，b，c与0和2的大小得答案【解答】解：0log21alog23.4log242，blog20.3log210，c23.1238，bac故选：A【点评】本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂及对数的运算性质，是基础题6（4分）已知直线l1：x+my+40，l2：（m1）x+2y80，若
10、l1l2，则m的值是（）ABC2D1【分析】根据两条直线垂直的条件，列方程求出m的值【解答】解：直线l1：x+my+40，l2：（m1）x+2y80，若l1l2，则1（m1）+2m0，解得m故选：A【点评】本题考查了直线方程垂直的应用问题，是基础题7（4分）若m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A若m，m，则B若mn，n，则mC若mn，m，则nD若m，m，则【分析】利用图示容易否定A，B，C，故选D【解答】解：A如图可否定A；B如图可否定B；C如图可否定C；故选：D【点评】此题考查了线面位置关系，难度较小8（4分）以C（1，0）为圆心，并且与圆x2+y24x+30
11、外切的圆的方程是（）A（x+1）2+y22B（x+1）2+y24C（x1）2+y22D（x1）2+y24【分析】根据题意，设圆C的半径为R，分析圆x2+y24x+30的圆心与半径，结合圆与圆的位置关系分析可得答案【解答】解：根据题意，设圆C的半径为R，圆x2+y24x+30，即（x2）2+y21，其圆心为（2，0），半径r1，设M（2，0），若圆C圆M外切，则有R+r|MC|3，则R4，则要求圆的方程为（x+1）2+y24；故选：B【点评】本题考查圆与圆的位置关系，注意两圆外切时，圆心距与半径的关系，属于基础题9（4分）空间直角坐标系Oxyz中，点M（1，1，2）在xOy，xOz，yOz平面上
12、的射影分别为A，B，C，则三棱锥MABC的外接球的表面积为（）A4B5C6D7【分析】作出图形，根据得出A、B、C三点的坐标，证明MA平面MBC，利用勾股定理计算出MBC的外接圆直径BC，再利用公式可计算出外接球的直径，最后利用球体表面积公式可得出答案【解答】解：如下图所示，由题意知，A（1，1，0）、B（1，0，2）、C（0，1，2），且MA、MB、MC两两垂直，由于MBMCM，MA平面MBC，直角MBC的外接圆直径为，所以，三棱锥MABC的外接球直径为，因此，三棱锥MABC的外接球的表面积为4R2（2R）26故选：C【点评】本题考查球体表面积的计算，解决本题的关键在于找出合适的模型计算球体
13、的半径，考查计算能力与推理能力，属于中等题10（4分）已知a0且a1，函数f（x），满足对任意实数x1，x2（x1x2），都有0成立，则实数a的取值范围是（）A（1，2B（2，3C（2，）D（2，3）【分析】由题意可得函数f（x）为增函数，再求出每段函数的上的最值即可求出a的范围【解答】解：对任意实数x1，x2（x1x2），都有0成立，函数f（x）在R上为增函数，当x0时，f（x）loga（x+1），则a1，且f（x）f（0）0，当x0时，f（x）|x+2a4|，当2a40时，即a2时，函数f（x）的对称轴x42a0，此时函数f（x）在（，42a）上单调递增，在（42a，0单调递减，不满足题意
14、，当2a40时，即0a2且a1时，函数f（x）的对称轴x42a0，此时函数f（x）在（，0）上单调递增，即f（x）maxf（0）|2a4|2a40，解得0a2且a1， 综上所述a的值范围为（1，2，故选：A【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分请把答案直接写到答题卡相应位置上11（4分）若函数f（x）（x1）（xa）为偶函数，则a1【分析】根据函数f（x）（x1）（xa）为偶函数，则f（x）f（x），建立等式，使之恒成立，求出a的值【解答】解：f（x）（x1）（xa）为偶函数f（x）f（x），即f（x）（
15、x1）（xa）（x1）（xa）得a1故答案为：1【点评】本题主要考查函数的奇偶性的运用，直接利用f（x）f（x）进行求解，属基础题12（4分）正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角的大小为60【分析】连接BC1，证明A1BC1为异面直线A1B和直线AD1所成的角，在A1BC1中求A1BC1【解答】解：连接A1C1，BC1，AD1BC1，A1BC1为异面直线A1B和直线AD1所成的角，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设棱长为1，则A1C1BC1BA1，A1BC1为等边三角形，A1BC160故答案是60【点评】本题主要考查了空间两异面直线及其所成的角的求法，根据异面直线
16、所成角的定义，寻找平行线是解决本题的关键13（4分）已知函数f（x），则f（f（）2，【分析】推导出f（）（）2，从而f（f（）f（），由此能求出结果【解答】解：函数f（x），f（）（）2，f（f（）f（）2故答案为：2【点评】本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题14（4分）九章算术是我国数学史上堪与欧几里得几何原本相媲美的数学名著，其第五卷商功中有如下问题：“今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？这里所说的圆堡就是圆柱体，其底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少，若取3，请你估算该圆堡的体积是2112立方尺（1丈等于1
17、0尺）【分析】由圆柱体底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，得到2R48，求出R8（尺），由此能估算该圆堡的体积【解答】解：今有圆堡，周四丈八尺，高一丈一尺，即圆柱体底面周长是4丈8尺，高1丈1尺，2R48，解得R8（尺），估算该圆堡的体积：VR211364112112（尺）故答案为：2112【点评】本题考查圆堡的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题15（4分）点P（x，y）是直线kx+y+30上一动点，PA，PB是圆C：x2+y24y+30的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB面积的最小值为2，则k的值为2【分析】依题意分析
18、得PCl，PC为圆心到直线l的距离时，四边形的面积最小【解答】解：圆C：x2+（y2）21，C（0，2），半径AC1SPACB2SPAC2|PA|AC|PA|，|PC|的最小值是圆心到直线的距离d，（）214，解得k2，故答案为：2【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题三、解答题：本大题共5小题，共40分解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤16（6分）计算下列各式子的值（1）25+8；（2）log43log964ln【分析】利用指数、对数的性质、运算法则直接求解【解答】解：（1）25+85+2+（2）log43log964ln1【点评】本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的
19、性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题17（8分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是矩形，PAPD2，AD2，AB4，平面PAD平而ABCDO为BD的中点，E为PC的中点（1）求证：OE平面PAD；（2）求四棱锥PABCD的体积【分析】（1）连结AC，推导出OEPA，由此能证明OE平面PAD（2）取AD的中点F，连结PF，推导出PF平面ABCD，PF为四棱锥PABCD的高，由此能求出四棱锥PABCD的体积【解答】证明：（1）连结AC，底面ABCD中矩形，O为BD的中点，AC与BD交于O点，且O为AC的中点，E是PC的中点，OEPA，又PA平面PAD，OE平
20、面PAD，OE平面PAD解：（2）取AD的中点F，连结PF，PAPD，PFAD，平面PAD平面ABCDAD，PF平面ABCD，PF为四棱锥PABCD的高，又PAPD2，PF，四棱锥PABCD的体积：【点评】本题考查圆锥的体积的求法及应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题18（8分）已知点A（1，0），B（1，0），圆C的方程为x2+y26x8y+160，点P为圆上的动点，过点A的直线l被圆C截得的弦长为2（1）求直线l的方程；（2）求PAB面积的最大值【分析】（1）先讨论直线l的斜率是否存在，利用22（R为圆的半径，d为圆心到直线的
21、距离）列方程解得直线l的斜率，再由点斜式写方程；（2）|AB|2为定值，只需求出点P到直线AB的最大值即可【解答】解：（1）当直线l的斜率不存在时，l的方程为x1，易知此直线满足题意；当直线l的斜率存在时，设l的方程为yk（x1），圆C：（x3）2+（y4）29的圆心C（3，4），半径r3，2，解得k，所以所求的直线方程为3x4y30；综上所述，所求的直线方程为3x4y30或x1（2）由题意|AB|2，点P到AB的距离得最大值为7，PAB的面积的最大值为7【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题19（8分）为落实国家“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2017年在其扶贫基地投入
22、100万元研发资金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长10%（1）写出第x年（2018年为第一年）该企业投入的资金数y（万元）与x的函数关系式，并指出函数的定义域；（2）该企业从第几年开始（2018年为第一年），每年投入的资金数将超过200万元？（参考数据lg0.110.959，lgl.10.041，lgl11.041，lg20.301）【分析】（1）根据题意可得y100（1+10%）x万元，其定义域为xN*|x10，（2）由100（1+10%）x200，解得即可【解答】解：（1）第一年投入的资金数为100（1+10%）万元，第二年投入的资金数为100
23、（1+10%）+100（1+10%）10%100（1+10%）2万元，第x年（2018年为第一年）该企业投入的资金数y（万元）与x的函数关系式y100（1+10%）x万元，其定义域为xN*|x10（2）由100（1+10%）x200可得1.1x2，即x7.3，即企业从第8年开始（2018年为第一年），每年投入的资金数将超过200万元【点评】本题考查了函数的应用，对数的运算性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题20（10分）已知函数f（x）ax2+bx+c（a0）满足：f（1）3，f（1）1，f（）f（+x）且x0时，g（x）（1）若方程g（x）+2m0在x，3时有解，求实数m
24、的取值范围；（2）是否存在实数t使函数h（x）4x2t（g（2x）+1）+4x在1，+）上的最小值为2？若存在，则求出实数t的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）利用待定系数法求出函数f（x）的解析式，结合方程有解进行转化求最值即可（2）求出函数h（x）的解析式，利用换元法结合一元二次函数最值的性质进行求解判断即可【解答】解：（1）f（x）满足：f（1）3，f（1）1，f（）f（+x）函数的对称轴为x，即，得，即f（x）x2x+1，g（x）x+1，若方程g（x）+2m0在x，3时有解，则x+12m即x+2m+1，在x，3时有解，yx+在，1上递减，则1，3上递增，则x+2，即12m2，得m，（2）由（1）知，g（x）x+1，h（x）4x2t（2x+2x）+4x（2x+2x）22t（2x+2x）2x1，2x2，2x+2x设n2x+2x，则n则h（x）等价为（n）n22tn2（nt）22t2，若t，（n）min（）5t22，得t，满足条件若t，（n）min（t）2t22，此时方程无解，综上存在实数t，使函数h（x）4x2t（g（2x）+1）+4x在1，+）上的最小值为2【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用待定系数法求出函数的解析式，以及利用换元法转化为一元二次函数，借助一元二次函数最值性质是解决本题的关键