1、2018-2019学年湖南省张家界市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合A1，1，2，集合B2，1，则集合AB（）A2，1，1，1，2B2，1，1，2C2，1，2D12（5分）sin20cos10+cos20sin10（）ABCD3（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上单调递增的函数是（）AylgxByexCysinxDy|x|4（5分）已知函数，则f（f（2）（）A4B8C16D325（5分）在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD为（）A平行四边形或梯形B梯形C菱形D平行四
2、边形6（5分）要得到函数ysin（2x+）的图象，需要把函数ysin2x的图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位7（5分）函数的零点所在的区间是（）ABC（）D8（5分）若，则（）AB2C2D9（5分）已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）f（x），当x（0，2）时，f（x）2x2，则f（2 019）等于（）A2B2C98D9810（5分）已知向量与单位向量的夹角为，且，则实数m的值为（）ABCD11（5分）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，设直角三角形中较小的锐角为，大正
3、方形的面积是1，小正方形的面积是若，则（）A2BCD12（5分）已知函数的图象上关于y轴对称的点至少有5对，则实数a的取值范围是（）A.BCD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13（5分）函数f（x）ax2+3（a0且a1）的图象过定点P，则点P的坐标为 14（5分）已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为 15（5分）已知sin（+），则cos（） 16（5分）定义符号函数sgn，f1（x）x+（x）2（1x），若设f（x）f1（x）+f2（x），x0，1，则函数f（x）的最大值为 三、解答题：本大题共6小题，满分70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）已
4、知集合Ax|a1x2a+1，函数ylg（xx2）的定义域为B（1）若a1，求集合A（RB）；（2）若AB，求实数a的取值范围18（12分）已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|），的部分图象如图所示是函数f（x）图象上的两点，（1）求函数f（x）的解析式；（2）若点是平面上的一点，且，求实数k的值19（12分）已知函数（1）若点是角终边上一点，求的值；（2）若，求函数的最小值20（12分）已知向量，（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）已知当时，不等式f（x）3m+10恒成立，求实数m的取值范围21（12分）习近平总书记在十九大报告中指出，“要着力解决突出环境问题，持续
5、实施大气污染防治行动”为落实好这一精神，市环保局规定某工厂产生的废气必须过滤后才能排放已知在过滤过程中，废气中的污染物含量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系式为：（e为自然对数的底数，P0为污染物的初始含量）过滤1小时后检测，发现污染物的含量为原来的（1）求函数P（t）的关系式；（2）要使污染物的含量不超过初始值的，至少还需过滤几小时？（参考数据：lg20.3）22（12分）已知aR，当x0时，f（x）log2（+a）（1）若函数f（x）过点（1，1），求此时函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）f（x）+2log2x只有一个零点，求实数a的范围；（3）设a0，若
6、对任意实数t，1，函数f（x）在t，t+1上的最大值与最小值的差不大于1，求实数a的取值范围2018-2019学年湖南省张家界市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知集合A1，1，2，集合B2，1，则集合AB（）A2，1，1，1，2B2，1，1，2C2，1，2D1【分析】进行并集的运算即可【解答】解：A1，1，2，B2，1；AB2，1，1，2故选：B【点评】考查列举法表示集合的定义，以及并集的运算2（5分）sin20cos10+cos20sin10（）ABCD【分析】由条件
7、利用本题主要考查两角和差的正弦公式，求得所给式子的值【解答】解：sin20cos10+cos20sin10sin（20+10）sin30，故选：A【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，属于中档题3（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上单调递增的函数是（）AylgxByexCysinxDy|x|【分析】容易看出ylgx和yex都是非奇非偶函数，而ysinx是奇函数，从而判断出A，B，C都错误，只能选D【解答】解：ylgx和yex都是非奇非偶函数，ysinx是奇函数，A，B，C都错误；y|x|是偶函数，且在（0，+）上单调递增，D正确故选：D【点评】考查偶函数图象的对称性，非奇非偶
8、函数、奇函数和偶函数的定义，以及一次函数的单调性4（5分）已知函数，则f（f（2）（）A4B8C16D32【分析】推导出f（2）（2）24，从而f（f（2）f（4），由此能求出结果【解答】解：函数，f（2）（2）24，f（f（2）f（4）2416故选：C【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题5（5分）在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD为（）A平行四边形或梯形B梯形C菱形D平行四边形【分析】根据可知，四边形ABCD有一组对边平行，从而可判断出四边形ABCD的形状【解答】解：；四边形ABCD有一组对边平行；四边形ABCD为平行四边形或梯形故选：A【点
9、评】考查向量平行的概念，平行四边形和梯形的定义6（5分）要得到函数ysin（2x+）的图象，需要把函数ysin2x的图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D向右平移个单位【分析】利用函数yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：要得到函数ysin（2x+）sin2（x+）的图象，需要把函数ysin2x的图象向左平移个单位，故选：C【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，属于基础题7（5分）函数的零点所在的区间是（）ABC（）D【分析】连续函数在（0，+）上单调递增且f（）0，f（）0，根据函数的零点的判定定理可求【解答】解：连续函数在（0，+）上
10、单调递增，f（）0，f（）0，函数的零点所在的区间为（，），故选：B【点评】本题主要考查了函数零点 定义及判定 的应用，属于基础试题8（5分）若，则（）AB2C2D【分析】根据题意和两角和的正弦函数化简条件，由商的关系化简所求的式子，整体代入求值即可【解答】解：由题意得，所以，则，所以，故选：D【点评】本题考查两角和的正弦函数，以及商的关系的应用，考查化简、变形能力9（5分）已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）f（x），当x（0，2）时，f（x）2x2，则f（2 019）等于（）A2B2C98D98【分析】求出函数的周期，转化所求函数值为已知条件，求解即可【解答】解：f（x）在R上是
11、奇函数，且满足f（x+4）f（x），可得函数的周期为：4，f（2 019）f（2016+3）f（3）f（1）f（1）当x（0，2）时，f（x）2x2，f（2 019）f（1）2122故选：A【点评】本题考查抽象函数的应用，函数值的求法，考查转化思想以及计算能力10（5分）已知向量与单位向量的夹角为，且，则实数m的值为（）ABCD【分析】由已知有则|3，则|1，6m，由数量积表示两个向量的夹角得：，解关于m的方程即可【解答】解：因为向量，则|3，由单位向量，则|1，6m，由数量积表示两个向量的夹角得：，则m0且64m29，解得：m，故选：C【点评】本题考查了数量积表示两个向量的夹角，属简单题11
12、（5分）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，设直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是若，则（）A2BCD【分析】由题意小正方形的边长为cossin，由（cossin）2，得sin+cos，把化为2（sin+cos）（cossin）可得结果【解答】解：由题意得：直角三角形的长直角边为cos，短直角边为sin，小正方形的边长为cossin，（cossin）2，2sincos，（sin+cos）2，sin+cos，cossin，sin（2+）+cos（2+）2sin（2+）2cos22（sin+co
13、s）（cossin）2故选：D【点评】本题考查了三角函数的运算，sin、cos的和、积、差知一求二，本题表示出小正方形的边长是关键12（5分）已知函数的图象上关于y轴对称的点至少有5对，则实数a的取值范围是（）A.BCD【分析】求出函数f（x）sin（x）1，（x0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论【解答】解：若x0，则x0，x0时，f（x）sin（x）1，f（x）sin（x）1sin（x）1，则若f（x）sin（x）1，（x0）关于y轴对称，则f（x）sin（x）1f（x），即ysin（x）1，x0，设g（x）sin（x）1，x0作出函数g（x）的图象，要使ysin（x）1，x
14、0与f（x）logax，x0的图象至少有5个交点，则0a1且满足f（9）g（9），即2loga9，即loga9logaa2，则9，解得0a，故选：C【点评】本题主要考查分段函数的应用，作出函数关于y轴对称的图象，利用数形结合的思想是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13（5分）函数f（x）ax2+3（a0且a1）的图象过定点P，则点P的坐标为（2，4）【分析】利用a01（a0），取x2，得f（2）4，即可求函数f（x）的图象所过的定点【解答】解：当x2时，f（2）a22+3a0+34，函数f（x）ax2+3的图象一定经过定点（2，4）故答案
15、为（2，4）【点评】本题考查了含有参数的函数过定点的问题，自变量的取值使函数值不含参数即可求出其定点14（5分）已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的面积为2【分析】根据扇形的弧长公式求出半径，再计算扇形的面积【解答】解：扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的半径为r4，面积为Slr42故答案为：2【点评】本题考查了扇形的弧长与面积的计算问题，是基础题15（5分）已知sin（+），则cos（）【分析】直接利用诱导公式化简求值即可【解答】解：sin（+）cos（）cos（），cos（）故答案为：【点评】本题考查诱导公式的应用，三角函数打火机求值，基本知识的考查16（5分）定义符号函数sgn，f1（x）x
16、+（x）2（1x），若设f（x）f1（x）+f2（x），x0，1，则函数f（x）的最大值为【分析】对不等式分类讨论，即x、x、x，分别求出f（x），【解答】解：f1（x）x+（x）2（1x），f（x）f2（x）+f2（x），当x1时，f（x）（x+）+（22x）1x，此时f（x）f（）1，当x时，f（x）（x+）+（22x）（x），当0x时，f（x）（x+）+（22x）x+，此时f（x）f（）综上所述：当x0，1，则函数f（x）的最大值为，故答案为：【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数解析式的求法，方程思想，难度中档三、解答题：本大题共6小题，满分70分解答应写出文字说明、证明过程或
17、演算步骤17（10分）已知集合Ax|a1x2a+1，函数ylg（xx2）的定义域为B（1）若a1，求集合A（RB）；（2）若AB，求实数a的取值范围【分析】（1）可解出Bx|0x1，a1时，可得出Ax|0x3，然后进行交集、补集的运算即可；（2）由AB可知，需讨论A是否为空集：A时，a12a+1；A时，解出a的取值范围即可【解答】解：（1）Bx|0x1；且a1时，Ax|0x3；RBx|x0，或x1；A（RB）x|1x3；（2）AB；若A，则a12a+1；a2；若A，则；解得或a2；综上：a的取值范围是【点评】考查描述法的定义，函数定义域的概念及求法，对数函数的定义域，以及交集、补集的运算，空集
18、的定义18（12分）已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|），的部分图象如图所示是函数f（x）图象上的两点，（1）求函数f（x）的解析式；（2）若点是平面上的一点，且，求实数k的值【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式（2）根据两个向量坐标形式的运算法则，两个向量垂直的性质，求得k的值【解答】解：（1）根据函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|）的部分图象，可得A2，求得2，再根据五点法作图可得2+，故有 （2）由题意可得，（2，k2），（，2），22（k2）0，求得k+2【点评】本题主要考查由函数yAsin（x+）的部分图象
19、求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，属于中档题19（12分）已知函数（1）若点是角终边上一点，求的值；（2）若，求函数的最小值【分析】（1）由三角函数定义求出sin，tan，代入化简后的所求式即可；（2）把所求式转化到sinx上，把sinx看成自变量，根据二次函数求最小值【解答】解：（1）点是角终边上一点，sin，tan，f（）2sin，2sin+tan2；（2）f（x+）2sinx，g（x）cos2x2sinx+sin2x2sinx+3（sinx1）2+2，（10分）所以，当sinx1，即时，g（x）有最小值2
20、【点评】本题考查三角函数的有界性，二次函数的最值，考查转化思想以及计算能力20（12分）已知向量，（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）已知当时，不等式f（x）3m+10恒成立，求实数m的取值范围【分析】首先得，（ 1 ）f（x）的最小正周期是，把2x代入正弦函数的减区间可得f（x）的单调减区间；（2）由题意，3mf（x）+1在上恒成立，然后求出f（x）+1的最大值即可【解答】解：（ 1 ），f（x）的最小正周期是，设，解得故f（x）的单调减区间为：（2）由题意，3mf（x）+1在上恒成立，3m3，m1【点评】本题考查了函数yAsin（x+）的性质，本题把函数化成yAsin（x
21、+）的形式是关键21（12分）习近平总书记在十九大报告中指出，“要着力解决突出环境问题，持续实施大气污染防治行动”为落实好这一精神，市环保局规定某工厂产生的废气必须过滤后才能排放已知在过滤过程中，废气中的污染物含量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系式为：（e为自然对数的底数，P0为污染物的初始含量）过滤1小时后检测，发现污染物的含量为原来的（1）求函数P（t）的关系式；（2）要使污染物的含量不超过初始值的，至少还需过滤几小时？（参考数据：lg20.3）【分析】（1）由题意代入点（1，P0），求得函数P（t）的解析式；（2）根据函数P（t）的解析式，列不等式求出t的取值
22、范围即可【解答】解：（1）根据题设，得，（2分）所以函数；（6分）（2）由，得，两边取以10为底的对数，并整理，得t（13lg2）3，解得t30； （11分）因此，至少还需过滤30小时 （12分）【点评】本题考查了指数函数模型的应用问题，是中档题22（12分）已知aR，当x0时，f（x）log2（+a）（1）若函数f（x）过点（1，1），求此时函数f（x）的解析式；（2）若函数g（x）f（x）+2log2x只有一个零点，求实数a的范围；（3）设a0，若对任意实数t，1，函数f（x）在t，t+1上的最大值与最小值的差不大于1，求实数a的取值范围【分析】（1）由f（1）log2（1+a）1，解得a
23、1，由此能求出此时函数f（x）的解析式（2）g（x）log2（x+ax2），由函数g（x）只有一个零点，从而h（x）ax2+x1在（0，+）上只有一个解，由此能求出a（3）f（x），由题意，得f（t）f（t+1）1，从而a，设Q（t），Q（t），由此利用导数性质能求出实数a的取值范围【解答】解：（1）aR，当x0时，f（x）log2（+a）函数f（x）过点（1，1），f（1）log2（1+a）1，解得a1，此时函数f（x）log2（+1）（x0）（2）g（x）f（x）+2log2x+2log2xlog2（x+ax2），函数g（x）f（x）+2log2x只有一个零点，g（x）f（x）+2log2
24、xlog2（x+ax2）0（+a）x21化为ax2+x10h（x）ax2+x1在（0，+）上只有一个解，当a0时，h（x）x1，只有一个零点，可得x1；当a0时，h（x）ax2+x1在（0，+）上只有一个零点，当a0时，成立；当a0时，令1+4a0解得a，可得x2综上可得，a0或a（3）f（x），f（x），当x0时，f（x）0，f（x）在t，t+1上的最大值与最小值分别是f（t）与f（t+1），由题意，得f（t）f（t+1）1，2，整理，得a，设Q（t），Q（t），当t，1时，Q（t）0，则aQ（t），aQ（），解得a实数a的取值范围是，+）【点评】本题考查函数解析式的求法，考查实数值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用