1、2017-2018学年湖南省郴州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）已知集合AxN|1x4，B2，2，AB（）A1，2B2C2，2D22（4分）当0a1时，在同一坐标系中，函数y与ylogax的图象是（）ABCD3（4分）在空间直角坐标系中，点A（2，2，4）与点B（2，2，4）关于（）对称A原点Bx轴Cy轴Dz轴4（4分）下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（）Ayx2By2xCyxD5（4分）设a30.1，blog90.1，c0.30.2，则（）AacbBabcCbacDbca6（4分
2、）设l是一条直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A若l，则lB若l，则lC若l，则lD若l，则l7（4分）中国古代数学名著九章算术中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）A1.2B1.6C1.8D2.48（4分）将正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，则直线BD和平面ABC所成的角的大小为（）A30B45C60D909（4分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在0，+）上是增函数，若实数a满足3f（log2a）+f（log2a）2f（1），则实数a的取值范围是（）A（0，2B（
3、，2C2，+）D1，+）10（4分）已知函数f（x）是定义在R的奇函数，且当x0时，则函数f（x）的零点个数是（）A1B2C3D4二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11（4分）.若幂函数yxa的图象过点（2，8），则a 12（4分）已知函数，e为自然对数的底数，则ff（e） 13（4分）如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，侧棱长，则异面直线A1B1与BD1的夹角大小等于 14（4分）直线ykx+1与圆（x2）2+y21有交点，则实数k的取值范围是 15（4分）函数f（x）的定义域为A，若x1，x
4、2A且f（x1）f（x2）时总有x1x2，则称f（x）为和谐函数例如，函数f（x）x+1（xR）是和谐函数下列命题：函数f（x）x+1（xR）是和谐函数；函数是和谐函数；若f（x）是和谐函数，x1，x2A且x1x2，则f（x1）f（x2）若函数f（x）在定义域内某个区间D上具有单调性，则f（x）一定是和谐函数其中真命题是 （写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共5小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16（8分）已知函数f（x）（）画出函数f（x）的大致图象；（）写出函数f（x）的最大值和单调递减区间17（8分）设UR，Ax|2x31，Bx|2x5，Cx|a
5、xa+1（a为实数）（）求AB；（）若BCB，求a的取值范围18（8分）如图，四棱锥中PABCD中，PA底面ABCD底面ABCD为梯形，ABDC，ABBC，ACDC2AB2，点E在棱PB上，且PE2EB（）求证：平面PAB平面PCB；（）求三棱锥ABCE的体积19（8分）已知方程x2+y22x6y+m0（）若此方程表示圆，求实数m的取值范围；（）若（）中的圆与直线x+2y40相交于M、N两点，且OMON（O为坐标原点）求实数m的值；（）在（）的条件下，求以MN为直径的圆的方程20（8分）已知函数是R上的奇函数（）求a的值；（）判断并证明f（x）的单调性；（）若对任意实数，不等式ff（x）+f（
6、3m）0恒成立，求m的取值范围2017-2018学年湖南省郴州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（4分）已知集合AxN|1x4，B2，2，AB（）A1，2B2C2，2D2【分析】先求出集合A，由此能求出AB【解答】解：集合AxN|1x41，2，3，4，B2，2，AB2故选：D【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题2（4分）当0a1时，在同一坐标系中，函数y与ylogax的图象是（）ABCD【分析】利用指数函数以
7、及对数函数的图象与性质判断即可【解答】解：当0a1时，函数y是增函数，过（0，1），函数ylogax是减函数，过（1，0）由题意可得两个函数的图象是选项C故选：C【点评】本题考查指数函数与对数函数的图象与性质的应用，基本知识的考查3（4分）在空间直角坐标系中，点A（2，2，4）与点B（2，2，4）关于（）对称A原点Bx轴Cy轴Dz轴【分析】在空间直角坐标系中，点A（a，b，c）与点（a，b，c）关于y轴对称【解答】解：在空间直角坐标系中，点A（2，2，4）与点B（2，2，4）关于y轴对称故选：C【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，
8、考查数形结合思想，是基础题4（4分）下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（）Ayx2By2xCyxD【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，yx2，为二次函数，是偶函数，不符合题意；对于B，y2x，为指数函数，既不是奇函数也不是偶函数，符合题意；对于C，yx，为正比例函数，是奇函数，不符合题意；对于D，y，为反比例函数，是奇函数，不符合题意；故选：B【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题5（4分）设a30.1，blog90.1，c0.30.2，则（）AacbBabcCbacDbca【分析】利
9、用指数函数与对数函数的单调性即可得出【解答】解：a30.11，blog90.10，c0.30.2（0，1）acb故选：A【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6（4分）设l是一条直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A若l，则lB若l，则lC若l，则lD若l，则l【分析】在A中，l与相交、平行或l；在B中，l或l；在C中，l；在D中，由线面垂直的判定定理得l【解答】解：由l是一条直线，是两个不同的平面，知：在A中，若l，则l与相交、平行或l，故A错误；在B中，若l，则l或l，故B错误；在C中，若l，则l，故C 错误；在D中，若l，则由线面垂
10、直的判定定理得l，故D正确故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题7（4分）中国古代数学名著九章算术中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）A1.2B1.6C1.8D2.4【分析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成利用体积求出x【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成由题意得：（5.4x）31+（）2x12.6，解得：x1.6故选：B【点评】本题考查三视图，考查体积的计算，确定直观图是关键8（4分）将正方形A
11、BCD沿对角线AC折起成直二面角，则直线BD和平面ABC所成的角的大小为（）A30B45C60D90【分析】当平面BAC平面DAC时，取AC的中点E，则BE平面DAC，故直线BD和平面ABC所成的角为DBE，由此能求出结果【解答】解：如图，当平面BAC平面DAC时，取AC的中点E，则BE平面DAC，故直线BD和平面ABC所成的角为DBE，cosDBE，DBE45故选：B【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养9（4分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在0，+）上是增函数，若实数a满足3f（log2a）+f（log2a）2f（1），则实数a的取值范
12、围是（）A（0，2B（，2C2，+）D1，+）【分析】根据题意，分析可得f（x）在R上增函数，由函数的奇偶性可得3f（log2a）+f（log2a）2f（1）f（log2a）f（1），结合函数的单调性可得log2a1，解可得a的取值范围，即可得答案【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在0，+）上是增函数，则f（x）在（，0在R上为增函数，则f（x）在R上增函数，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则3f（log2a）+f（log2a）3f（log2a）f（log2a）2f（log2a），则3f（log2a）+f（log2a）2f（1）f（log2a）f（1），又由函数f（x
13、）为R上的增函数；则3f（log2a）+f（log2a）2f（1）log2a1，解可得：a2，即实数a的取值范围为2，+）；故选：C【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意得到关于x的不等式，属于基础题10（4分）已知函数f（x）是定义在R的奇函数，且当x0时，则函数f（x）的零点个数是（）A1B2C3D4【分析】由奇函数在R上f（0）0，作出y2x，y1+x的图象，结合奇函数的图象关于原点对称，可得所求零点个数【解答】解：函数f（x）是定义在R的奇函数，可得f（0）0，且f（x）的图象关于原点对称，由x0时，f（x）0，即为2x1+x，由f（0）0，f（1）0.5+0.510，可
14、得x0时，f（x）只有有个零点；x0时，f（x）只有一个零点则f（x）共有3个零点故选：C【点评】本题考查函数的奇偶性和零点的个数，注意运用方程思想和转化思想，考查数形结合思想方法，属于基础题二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11（4分）.若幂函数yxa的图象过点（2，8），则a3【分析】由幂函数yxa的图象过点（2，8），推导出2a8，由此能求出a的值【解答】解：幂函数yxa的图象过点（2，8），2a8，解得a3故答案为：3【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题12（4分）已知函数，e为自然对数的底数，则ff（e）3【分
15、析】根据题意，由函数的解析式计算f（e）的值，进而计算ff（e）的值，即可得答案【解答】解：根据题意，函数，则f（e）lne1，则ff（e）f（1）3；故答案为：3【点评】本题考查分段函数的求值，注意分段函数解析式的形式，属于基础题13（4分）如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，侧棱长，则异面直线A1B1与BD1的夹角大小等于【分析】根据异面直线所成角的定义，证明已知角为异面直线所成的角，再解三角形求角即可【解答】解：连接BC1，A1B1C1D1，BD1C1为异面直线A1B1与BD1所成的角，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，C1D1平面BC
16、C1B1，C1D1BC1， 在RtBC1D1中，BC1，tanBD1C1，BD1C1故答案是【点评】本题考查异面直线所成的角异面直线所成的角的求法是：1、作角（作平行线）；2、证角（符合定义）；3、求角（解三角形）14（4分）直线ykx+1与圆（x2）2+y21有交点，则实数k的取值范围是，0【分析】由已知圆的方程求得圆心坐标与半径，再由圆心到直线的距离小于等于半径列式求得实数k的取值范围【解答】解：圆（x2）2+y21的圆心坐标为（2，0），半径为1由圆心到直线ykx+1的距离d1，解得k0实数k的取值范围是，0故答案为：，0【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线的距离公式，是
17、基础题15（4分）函数f（x）的定义域为A，若x1，x2A且f（x1）f（x2）时总有x1x2，则称f（x）为和谐函数例如，函数f（x）x+1（xR）是和谐函数下列命题：函数f（x）x+1（xR）是和谐函数；函数是和谐函数；若f（x）是和谐函数，x1，x2A且x1x2，则f（x1）f（x2）若函数f（x）在定义域内某个区间D上具有单调性，则f（x）一定是和谐函数其中真命题是（写出所有真命题的编号）【分析】由和谐函数的定义即可判断；由f（2）f（1）1，结合和谐函数的定义即可判断；由原命题和其逆否命题等价可判断；考虑的函数可判断【解答】解：函数f（x）x+1（xR）满足f（x1）f（x2）时总有
18、x1x2，故f（x）是和谐函数，故正确；函数，由x2，f（x）递减，x2时f（x）递增，且f（2）f（1）1，故f（x）不是和谐函数，故错误；若f（x）是和谐函数，x1，x2A且x1x2，则f（x1）f（x2），故正确；若函数f（x）在定义域内某个区间D上具有单调性，比如函数，由x2，f（x）递减，x2时f（x）递增，则f（x）不一定是和谐函数，故错误故答案为：【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查函数的单调性，主要是对数函数的单调性，考查判断能力，属于基础题三、解答题：本大题共5小题，共40分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16（8分）已知函数f（x）（）画出函数f（x）的大致图
19、象；（）写出函数f（x）的最大值和单调递减区间【分析】（）根据解析式和定义域范围画图即可；（）通过图象即可写出函数f（x）的最大值和单调递减区间【解答】解：（）函数f（x）的大致图象如图所示（）由函数f（x）的图象得出，f（x）的最大值为2其单调递减区间为2，4或（2，4【点评】本题考查了函数图象作图能力和对图象单调性的认识，是基础题17（8分）设UR，Ax|2x31，Bx|2x5，Cx|axa+1（a为实数）（）求AB；（）若BCB，求a的取值范围【分析】（）先确定集合A，然后直接利用交集运算得答案；（）由BCB得CB得即2a4【解答】解：（）2x31x3，ABx|2x3；（）由BCB得CB
20、，即2a4，a（2，4）【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用集合的关系是解决本题的关键18（8分）如图，四棱锥中PABCD中，PA底面ABCD底面ABCD为梯形，ABDC，ABBC，ACDC2AB2，点E在棱PB上，且PE2EB（）求证：平面PAB平面PCB；（）求三棱锥ABCE的体积【分析】（）证明BCPA，结合BCAB，推出BC面PAB，即可证明面PBC面PAB，（）过点E，在平面PAB内作EF垂直于AB，垂足为F通过VABCEVEABC转化求解即可【解答】（）证明：PA面ABCD，BCPA，又BCAB，且ABPAABC面PAB，又BC面PBC，面PBC面PAB，（）解：过点E，在平面
21、PAB内作EF垂直于AB，垂足为F由（）可知EF底面ABCD，又VABCEVEABC【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力19（8分）已知方程x2+y22x6y+m0（）若此方程表示圆，求实数m的取值范围；（）若（）中的圆与直线x+2y40相交于M、N两点，且OMON（O为坐标原点）求实数m的值；（）在（）的条件下，求以MN为直径的圆的方程【分析】（）根据题意，方程x2+y22x6y+m0，变形可得（x1）2+（y3）210m，由圆的标准方程形式分析可得10m0，解可得m的值，（）设M（x1，y1），N（x2，y2），由M、N在直线上分
22、析可得x142y1，x242y2，则x1x2168（y1+y2）+4y1y2，又由OMON，分析可得168（y1+y2）+5y1y20，联立直线与圆的方程，分析可得5y218y+m+80，结合根与系数的关系分析可得，代入式中分析可得答案；（）由已知直径端点的圆的方程的形式分析可得要求圆的方程为（xx1）（xx2）+（yy1）（yy2）0，变形可得答案【解答】解（）根据题意，方程x2+y22x6y+m0，变形可得（x1）2+（y3）210m，若此方程表示圆，必有10m0，解可得：m10；（）设M（x1，y1），N（x2，y2），则x142y1，x242y2，x1x2168（y1+y2）+4y1y
23、2又由OMON，则x1x2+y1y20即168（y1+y2）+5y1y20由得5y218y+m+80，所以，代入得，（）以MN为直径的圆的方程为（xx1）（xx2）+（yy1）（yy2）0，即x2+y2（x1+x2）x（y1+y2）y0，所以所求圆的方程为【点评】本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，注意将圆的一般方程的形式，属于综合题20（8分）已知函数是R上的奇函数（）求a的值；（）判断并证明f（x）的单调性；（）若对任意实数，不等式ff（x）+f（3m）0恒成立，求m的取值范围【分析】（）利用函数是奇函数，通过f（0）0，求a的值；（）利用函数的单调性的定义判断并证明f（x）的单调性；（）若对任意实数，不等式ff（x）+f（3m）0恒成立，按照m集项，通过函数的单调性，转化求m的取值范围【解答】解：（）f（x）为R上的奇函数，f（0）0，即，由此得a1（）由（1）知f（x）为R上的增函数证明，设x1x2，则x1x2，f（x1）f（x2）f（x）为R上的增函数（）f（x）为R上的奇函数原不等式可化为ff（x）f（3m），即ff（x）f（m3）又f（x）为R上的增函数，f（x）m3，由此可得不等式对任意实数x恒成立由m2【点评】本题考查函数恒成立条件的应用，考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，转化思想的应用