1、2017-2018学年湖南省衡阳市常宁一中高一（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1（5分）早上从起床到出门需要洗脸刷牙（5min）、刷水壶（2min）、烧水（8min）、泡面（3min）、吃饭（10min）、听广播（8min）几个步骤、从下列选项中选最好的一种算法（）AS1洗脸刷牙、S2刷水壶、S3烧水、S4泡面、S5吃饭、S6听广播BS1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭、S5听广播CS1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭 同时听广播DS1吃饭 同时 听广播、S2泡面、S3烧水同时洗
2、脸刷牙、S4刷水壶2（5分）福利彩票“双色球”中，红球号码有编号为01，02，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红球的编号为（）49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 6457 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76A23B09C02D173（5分）要从容量为102的总体中用系统抽样法随机抽取一个容量为9的样本，则下
3、列叙述正确的是（）A将总体分11组，每组间隔为9B将总体分9组，每组间隔为11C从总体中剔除2个个体后分11组，每组间隔为9D从总体中剔除3个个体后分9组，每组间隔为114（5分）将函数ysin（4x）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）ABxCxDx5（5分）已知角的终边过点（2，3），则tan（）等于（）ABC5D56（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）ABCD7（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组为17.
4、5，20），20，22.5），22.5，25），25，27.5），27.5，30根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A56B60C120D1408（5分）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和小于10的概率是（）ABCD9（5分）已知，则sin2x的值为（）ABCD10（5分）已知、均为单位向量，它们的夹角为60，那么|（）ABCD411（5分）如图，设点A是单位圆上的一个定点，动点P从点A出发，在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数df（l
5、）的图象大致是（）ABCD12（5分）当时，函数的最小值是（）A4BC2D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）平面向量，中，若（4，3），|1，且5，则向量 14（5分）正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥MABCD的体积小于的概率为 15（5分）计算：的值为 16（5分）如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m+，则实数m的值为 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC的中
6、点，G为BF与DE的交点，若，试以，为基底表示、18（12分）已知cos，cos（），且0，（1）求tan2的值；（2）求19（12分）从含有两件正品a，b和一件次品c的3件产品中每次任取一件，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率（1）每次取出不放回；（2）每次取出后放回20（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以160，180），180，200），200，220），220，240），240，260），260，280），280，300）分组的频率分布直方图如图（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，220，240），2
7、40，260），260，280），280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在220，240）的用户中应抽取多少户？21（12分）已知函数f（x）asinxcosxacos2x+a+b（a0）（1）写出函数的单调递减区间；（2）设x0，f（x）的最小值是2，最大值是，求实数a，b的值22（12分）如图，现要在一块半径为1m、圆心角为60的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在上，点Q在OA上，点M、N在OB上，设BOP，平行四边形MNPQ的面积为S（1）求S关于的函数关系式；（2）求S的最大值及相应的的值2017-2018学年湖南省衡阳市常宁一中
8、高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1（5分）早上从起床到出门需要洗脸刷牙（5min）、刷水壶（2min）、烧水（8min）、泡面（3min）、吃饭（10min）、听广播（8min）几个步骤、从下列选项中选最好的一种算法（）AS1洗脸刷牙、S2刷水壶、S3烧水、S4泡面、S5吃饭、S6听广播BS1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭、S5听广播CS1刷水壶、S2烧水同时洗脸刷牙、S3泡面、S4吃饭 同时听广播DS1吃饭 同时 听广播、S2泡面、S3烧水同时洗脸刷牙、S4刷水壶【分析
9、】分别计算用时，同时主要是否符合逻辑，即可得到结论【解答】解：对于A，共用时5+2+8+3+10+836min；对于B，共用时2+8+3+10+831min；对于C，共用时2+8+3+1023min；对于D，不符合逻辑，没有热水，不能泡面，故选：C【点评】本题考查算法知识，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题2（5分）福利彩票“双色球”中，红球号码有编号为01，02，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红球的编号为（）49 54 43 54 82 17 37 9
10、3 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 6457 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76A23B09C02D17【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论【解答】解：从随机数表第1行的第6列和第7列数字35开始按两位数连续向右读编号小于等于33的号码依次为21 32 09 16 17 02，故第6个红球的编号02故选：C【点评】本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础3（5分）要从容量为102的总体中用系统抽样法随机抽取一个容量为9的样本，则下列叙述正确
11、的是（）A将总体分11组，每组间隔为9B将总体分9组，每组间隔为11C从总体中剔除2个个体后分11组，每组间隔为9D从总体中剔除3个个体后分9组，每组间隔为11【分析】因为102不能被9整除，故可以剔除3个，然后得出抽样距离，进而抽出即可【解答】解：102不能被9整除，先剔除3个，11，即将总体分成9组，其抽样距离为11故选：D【点评】本题主要考查了系统抽样，充分理解系统抽样的方法步骤是解题的关键，属于基础题4（5分）将函数ysin（4x）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）ABxCxDx【分析】利用函数yAsin（x+）的图象
12、变换，可求得变换后的函数的解析式为ysin（8x），利用正弦函数的对称性即可求得答案【解答】解：将函数ysin（4x）图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数解析式为：g（x）sin（2x），再将g（x）sin（2x）的图象向左平移个单位（纵坐标不变）得到yg（x+）sin2（x+）sin（2x+）sin（2x+），由2x+k+（kZ），得：x+，kZ当k0时，x，即x是变化后的函数图象的一条对称轴的方程，故选：A【点评】本题考查函数yAsin（x+）的图象变换，求得变换后的函数的解析式是关键，考查正弦函数的对称性的应用，属于中档题5（5分）已知角的终边过点（2，3），则tan（）等于（
13、）ABC5D5【分析】由已知求得tan，代入两角差的正切得答案【解答】解：角的终边过点（2，3），tan，则tan（）故选：B【点评】本题考查任意角的三角函数定义，考查了两角差的正切，是基础题6（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）ABCD【分析】根据程序框图，它的作用是求+ 的值，用裂项法进行求和，可得结果【解答】解：该程序框图的作用是求+ 的值，而 +（1）+（）+（）+（），故选：C【点评】本题主要考查程序框图，用裂项法进行求和，属于基础题7（5分）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数
14、据分组为17.5，20），20，22.5），22.5，25），25，27.5），27.5，30根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A56B60C120D140【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于22.5小时的频率，进而可得自习时间不少于22.5小时的频数【解答】解：自习时间不少于22.5小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）2.50.7，故自习时间不少于22.5小时的频数为：0.7200140，故选：D【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目8（5分）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，
15、4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和小于10的概率是（）ABCD【分析】先后抛掷两次，基本事件总数n6636，出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，利用列举法能求出出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有6个，由此利用对立事件概率计算公式能求出出现向上的点数之和小于10的概率【解答】解：将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，基本事件总数n6636，出现向上的点数之和小于10的对立事件是出现向上的点数之和不小于10，出现向上的点数之和不小于10包含的基本事件有6个，分别为：（4
16、，6），（6，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），出现向上的点数之和小于10的概率是：p1故选：B【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题9（5分）已知，则sin2x的值为（）ABCD【分析】解法1：利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简已知的等式，然后将化简后的等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可求出sin2x的值；解法2：令，求出x，原式变形为sin的值为，把x的值代入所求式子中，利用诱导公式化简后，再利用二倍角的余弦函数公式化简，将sin的值代入即可
17、求出值【解答】解：法1：由已知得，两边平方得，求得；法2：令，则，所以故选：D【点评】此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式及诱导公式，熟练掌握公式是解本题的关键10（5分）已知、均为单位向量，它们的夹角为60，那么|（）ABCD4【分析】求向量模的运算，一般要对模的表达式平方整理，平方后变为向量的模和两个向量的数量积，根据所给的单位向量和它们的夹角代入数据求出结果【解答】解：均为单位向量，它们的夹角为60|1，|1，cos60|故选：C【点评】启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性
18、质11（5分）如图，设点A是单位圆上的一个定点，动点P从点A出发，在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数df（l）的图象大致是（）ABCD【分析】由题意知AOPl，从而可得d2sin，从而确定函数的图象【解答】解：圆是单位圆，AOPl，P（cosl，sinl），则d2sin，结合选项可知，C正确，故选：C【点评】本题考查了单位圆的应用及三角函数的化简应用及数形结合的思想应用12（5分）当时，函数的最小值是（）A4BC2D【分析】先把函数化简，根据，可得0tanx1，设g（x）tanxtan2x，求函数的最大值即可，求出函数的最小值【解答】解：由题意，0ta
19、nx1设g（x）tanxtan2x时，g（x）tanxtan2x取得最大值函数的最小值是4故选：A【点评】本题以函数为载体，考查函数的最值，正确配方是解题的关键二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13（5分）平面向量，中，若（4，3），|1，且5，则向量（，）【分析】由，（4，3），|1，得到cos1，所以同向，所以，即可获得答案【解答】解：|5；cos；同向；故答案为（）【点评】本题考查向量数量积以及向量共线的灵活运用，对提高学生的思维能力有很好的训练14（5分）正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥MABCD的体积小于的概率为【分析】求出当
20、四棱锥MABCD的体积等于时，点M到平面ABCD的距离等于 ，可得当M到平面ABCD的距离小于 时，四棱锥MABCD的体积小于 利用长方体、正方体的体积公式和几何概型公式加以计算，可得所求概率【解答】解：正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，正方体的体积V1111当四棱锥MABCD的体积小于时，设它的高为h，则12h，解之得h则点M在到平面ABCD的距离等于的截面以下时，四棱锥MABCD的体积小于，求得使得四棱锥MABCD的体积小于的长方体的体积V'11四棱锥MABCD的体积小于的概率P故答案为：【点评】本题考查几何概型，概率的求法，给出正方体的棱长，求四棱锥的体积小于 的概率着重
21、考查了空间几何体的体积计算和几何概型计算公式等知识，属于中档题15（5分）计算：的值为2+【分析】先利用积化和差公式对分子和分母展开后，进而利用和差化积化简，最后利用诱导公式分母分子约分后求得结果为tan75，答案可得【解答】解：cot15tan752+故答案为：2+【点评】本题主要考查了利用积化和差和和差化积公式以及诱导公式化简求值的问题考查了学生对三角函数基础公式的熟练记忆16（5分）如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m+，则实数m的值为【分析】由已知中ABC中，P是BN上的一点，设 后，我们易将 表示为 的形式，根据平面向量的基本定理我们易构造关于，m的方程组，解方程组后即可得到m的
22、值【解答】解：P是BN上的一点，设 ，由 ，则 m1，解得，m故答案为：【点评】本题考查的知识点是面向量的基本定理及其意义，解答本题的关键是根据面向量的基本定理构造关于，m的方程组属于基础题三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（10分）如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，G为BF与DE的交点，若，试以，为基底表示、【分析】直接利用向量的线性运算即可【解答】解：由题意，如图，连接BD，则G是BCD的重心，连接AC交BD于点O，则O是BD的中点，点G在AC上，【点评】本题考查了向量的线性运算，属于中档题18（12分）已知cos，c
23、os（），且0，（1）求tan2的值；（2）求【分析】（1）由已知求得sin，进一步得到tan，再由二倍角的正切求解；（2）由已知求得sin（），利用coscos（），展开两角差的余弦得答案【解答】解：（1）由0，cos，可得sin，tan，则tan2；（2）由cos，cos（），且0，得sin（），可得，coscos（）coscos（）+sinsin（）【点评】本题考查两角和与差的余弦，关键是“拆角配角”思想的应用，是中档题19（12分）从含有两件正品a，b和一件次品c的3件产品中每次任取一件，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率（1）每次取出不放回；（2）每次取出后放回【分析
24、】（1）每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，可以列举出所有的事件，从列举出的事件中看出取出的两件中，恰好有一件次品的事件数，得到概率（2）根据题意用列举法解题，记两件产品中恰有一件是次品为事件A，依次列举所有的基本事件，可得其情况数目，分析可得事件A的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案【解答】解（1）每次取出不放回的所有结果有：（a，b），（a，c），（b，a），（b，c），（c，a），（c，b），其中左边的字母表示第一次取出的产品，右边的字母表示第二次取出的产品，共有6个基本事件，其中恰有一件次品的事件有4个，所以每次取出不放回，取出的两件
25、产品中恰有一件是次品的概率为（2）每次取出后放回的所有结果：（a，a），（a，b），（a，c），（b，a），（b，b），（b，c），（c，a），（c，b），（c，c）共有9个基本事件，其中恰有一件次品的事件有4个，所以每次取出后放回，取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为【点评】本题考查等可能事件的概率，涉及列举法的运用；注意本题是有放回抽样，共9种情况20（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以160，180），180，200），200，220），220，240），240，260），260，280），280，300）分组的频率分布直方图如图（1）求直方图中x的值；（2）求月
26、平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，220，240），240，260），260，280），280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在220，240）的用户中应抽取多少户？【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）201，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095+0.011）20+0.0125（a220）0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可
27、得要抽取的户数【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）201，解方程可得x0.0075，直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是230，（0.002+0.0095+0.011）200.450.5，月平均用电量的中位数在220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）20+0.0125（a220）0.5可得a224，月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为220，240）的用户有0.01252010025，月平均用电量为240，260）的用户有0.00752010
28、015，月平均用电量为260，280）的用户有0.0052010010，月平均用电量为280，300）的用户有0.0025201005，抽取比例为，月平均用电量在220，240）的用户中应抽取255户【点评】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题21（12分）已知函数f（x）asinxcosxacos2x+a+b（a0）（1）写出函数的单调递减区间；（2）设x0，f（x）的最小值是2，最大值是，求实数a，b的值【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式等于asin（2x）+b，由 2k+2x2k+，kz，求得x的范围即得函数的单调递减区间（2）根据 x0，
29、可得 2x的范围，sin（2x）的范围，根据f（x）的最小值是2，最大值是，求得实数a，b的值【解答】解：（1）f（x）asinxcosxa+ +basin（2x）+b由 2k+2x2k+，kz，解得 k+xk+，kz，故函数的单调递减区间为k+，k+，kz（2）x0，2x，sin（2x）1f（x）min2，f（x）maxa+b，解得 a2，b2+【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性和值域，化简f（x）的解析式等于asin（2x）+b，是解题的关键22（12分）如图，现要在一块半径为1m、圆心角为60的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P
30、在上，点Q在OA上，点M、N在OB上，设BOP，平行四边形MNPQ的面积为S（1）求S关于的函数关系式；（2）求S的最大值及相应的的值【分析】（1）根据题设条件合理建立方程，从而导出S关于的函数关系式（2）利用三角函数求出S的最大值及相应的值【解答】解：分别过点P、Q作PDOB，QEOB，垂足分别为D、E，则四边形QEDP是矩形PDsin，ODcos在RtOEQ中，AOB，则OEQEPD所以MNPQDEODOEcossin则SMNPD（cossin）sinsincossin2，（0，）（2）Ssin2（1cos2）sin2+cos2sin（2+）因为0，所以2+，所以sin（2+）1所以当2+，即时，S的值最大为m2即S的最大值是m2，相应的值是【点评】挖掘题设条件，合理运用三角函数是正确解题的关键