1、2017-2018学年湖南师大附中高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共11个小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）若，是平面内任意三个向量，R，下列关系式中，不一定成立的是（）A+B（+）+C（+）+（+）D2（5分）下列命题正确的是（）A若、都是单位向量，则B若，则A、B、C、D四点构成平行四边形C若两向量、相等，则它们是始点、终点都相同的向量D与是两平行向量3（5分）cos12cos18sin12sin18（）ABCD4（5分）函数f（x）的最小正周期为（）ABCD25（5分）设，是非零向量，则下列不等式中不恒成立的是（）A|+|+|
2、B|+|C|+|D|+|6（5分）函数f（x）Asin（x+）（A，为常数，A0，0，|）的部分图象如图所示，则f（）（）ABCD7（5分）如图，角，均以Ox为始边，终边与单位圆O分别交于点A，B，则（）Asin（）Bsin（+）Ccos（）Dcos（+）8（5分）已知，且sincos，则sincos的值是（）ABCD9（5分）已知（0，），cos（+），则sin的值等于（）ABCD10（5分）将函数y3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A在区间（，）上单调递减B在区间（，）上单调递增C在区间（，）上单调递减D在区间（，）上单调递增11（5分）设O是平面上一定点，
3、A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足，0，+），则点P的轨迹经过ABC的（）A外心B内心C重心D垂心二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分12（5分）已知直线x是函数f（x）sin（2x+）的图象上的一条对称轴，则实数的最小正值为 13（5分）已知sin+cos1，cos+sin0，则sin（+） 14（5分）已知，|1，点P为线段BC上一点，满足+若点Q为ABC外接圆上一点，则的最大值等于 三、解答题：本大题共3个小题，共30分15（8分）已知1（1）求tan的值；（2）求tan的值16（10分）已知向量，（1）若角的终边过点（3，
4、4），求的值；（2）若，求锐角的大小17（12分）已知f （x）sin（x）sinxcos2x（1）求f（x）最小正周期及最大值（2）讨论f（x）在，上的单调性一、填空题：本大题共2个小题，每小题6分18（6分）两等差数列an和bn，前n项和分别为Sn，Tn，且，则等于 19（6分）设函数f（x）的最大值为M，最小值为m，则M+m 二、解答题：本大题共3个小题，共38分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点（1）证明：BEDC；（2）求直线BE
5、与平面PBD所成角的正弦值；（3）求二面角ABDP的余弦值21（13分）在四边形ABCD中，ADBC，AB，A120，BD3（1）求AD的长；（2）若BCD105，求四边形ABCD的面积22（13分）已知函数f（x）x|xa|+bx（a，bR）（1）当b1时，函数f（x）恰有两个不同的零点，求实数a的值；（2）当b1时，若对于任意x1，3，恒有，求a的取值范围；若a0，求函数f（x）在区间0，2上的最大值g（a）2017-2018学年湖南师大附中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共11个小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5
6、分）若，是平面内任意三个向量，R，下列关系式中，不一定成立的是（）A+B（+）+C（+）+（+）D【分析】直接根据向量的交换律可判定选项A，根据向量具有数乘的分配律可判定选项B，根据向量的结合律可判定选项C，不一定共线可判定选项D【解答】解：选项A，根据向量的交换律可知正确；选项B，向量具有数乘的分配律，可知正确；选项C，根据向量的结合律可知正确；选项D，不一定共线，不一定成立，故D不正确故选：D【点评】本题主要考查了平行向量与共线向量，以及向量的运算律，属于基础题2（5分）下列命题正确的是（）A若、都是单位向量，则B若，则A、B、C、D四点构成平行四边形C若两向量、相等，则它们是始点、终点都
7、相同的向量D与是两平行向量【分析】由向量相等知必须要方向相同且长度相等，故A不对，由平行向量的定义知，相等向量和相反向量一定是共线向量，故D正确【解答】解：A、单位向量长度相等，但方向不一定相同，故A不对；B、A、B、C、D四点可能共线，故B不对；C、只要方向相同且长度相等，则这两个向量就相等，与始点、终点无关，故C不对；D、因和方向相反，是平行向量，故D对故选：D【点评】本题考查了向量相等和平行向量的定义，考查了对向量基础概念的理解和应用3（5分）cos12cos18sin12sin18（）ABCD【分析】直接利用两角和与差的余弦函数化简求解即可【解答】解：cos12cos18sin12si
8、n18cos（12+18）故选：A【点评】本题考查两角和与差的三角函数，考查计算能力4（5分）函数f（x）的最小正周期为（）ABCD2【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论【解答】解：函数f（x）sin2x的最小正周期为，故选：C【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，正弦函数的周期性，属于基础题5（5分）设，是非零向量，则下列不等式中不恒成立的是（）A|+|+|B|+|C|+|D|+|【分析】由向量模的不等关系|+|+|，可得|+|+|、|+|成立，进而可得A、B、C正确；再令+0可知|+|不一定成立【解答
9、】解：由向量模的不等关系可得：|+|+|+|+|故A恒成立|+|故B恒成立|+|+|，故C恒成立令（2，0），（2，0），则|2，|+|0，则D不成立故选：D【点评】本题主要考查向量模运算的不等关系，属基础题6（5分）函数f（x）Asin（x+）（A，为常数，A0，0，|）的部分图象如图所示，则f（）（）ABCD【分析】首先根据函数的图象确定A、，的值，最后根据函数的解析式求函数的值【解答】解：根据函数的图象A由图象得：所以当x时，f（）sin（2+）0解得：所以：f（x）则：f（）故选：D【点评】本题考查的知识要点：利用函数的图象确定函数的解析式，主要确定A、，的值，利用解析式求函数的值，属
10、于基础题型7（5分）如图，角，均以Ox为始边，终边与单位圆O分别交于点A，B，则（）Asin（）Bsin（+）Ccos（）Dcos（+）【分析】根据题意，由任意角三角函数的定义可得A、B的坐标，由数量积的计算公式可得coscos+sinsin，由和差公式分析可得答案【解答】解：根据题意，角，均以Ox为始边，终边与单位圆O分别交于点A，B，则A（cos，sin），B（cos，sin），则有coscos+sinsincos（）；故选：C【点评】本题考查三角函数中和差公式的应用，涉及向量数量积的坐标计算公式，属于基础题8（5分）已知，且sincos，则sincos的值是（）ABCD【分析】根据sin
11、2+cos21、完全平方差公式（ab）2a22ab+b2解答sincos的值，并作出选择【解答】解：（sincos）2sin22sincos+cos2（sin2+cos2）2sincos；又sin2+cos21，sincos，（sincos）212；得sincos；由，知，故有sincos0则sincos的值是：故选：B【点评】本题主要考查了同角三角函数的关系，解题时借助于完全平方差公式的变形形式求得sincos的值，属于基础题9（5分）已知（0，），cos（+），则sin的值等于（）ABCD【分析】由已知求得sin（+），结合sinsin（），展开两角差的正弦求解【解答】解：（0，），（，）
12、，由cos（+），得sin（+），则sinsin（）sin（）coscos（）sin故选：C【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，关键是“拆角配角”思想的应用，是基础题10（5分）将函数y3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A在区间（，）上单调递减B在区间（，）上单调递增C在区间（，）上单调递减D在区间（，）上单调递增【分析】根据左加右减上加下减的原则，即可直接求出将函数y3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数的解析式，进而利用正弦函数的单调性即可求解【解答】解：将函数y3sin（2x+）的图象向右平移个单位
13、长度，所得函数的解析式：y3sin2（x）+3sin（2x）令2k2x2k+，kZ，可得：k+xk+，kZ，可得：当k0时，对应的函数y3sin（2x）的单调递增区间为：（，）故选：B【点评】本题主要考查三角函数的平移，正弦函数的单调性，三角函数的平移原则为左加右减上加下减注意x前面的系数的应用，属于基础题11（5分）设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足，0，+），则点P的轨迹经过ABC的（）A外心B内心C重心D垂心【分析】可先根据数量积为零得出与（+）垂直，可得点P在BC的高线上，从而得到结论【解答】解：，（+）又（+）|+|0与（+）垂直，即，点P在BC的高线上，
14、即P的轨迹过ABC的垂心故选：D【点评】本题主要考查了向量在几何中的应用、空间向量的加减法、轨迹方程、以及三角形的五心等知识，解答关键是得出与（+）垂直，属于中档题二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分12（5分）已知直线x是函数f（x）sin（2x+）的图象上的一条对称轴，则实数的最小正值为【分析】根据正弦型函数的对称性，即可求出的最小正值【解答】解：直线x是函数f（x）sin（2x+）的图象上的一条对称轴，2+k，kZ；解得k，kZ；实数的最小正值为故答案为：【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题13（5分）已知sin+cos1，cos+sin0，则sin
15、（+）【分析】把已知等式两边平方化简可得2+2（sincos+cossin）1，再利用两角和差的正弦公式化简为2sin（+）1，可得结果【解答】解：sin+cos1，两边平方可得：sin2+2sincos+cos21，cos+sin0，两边平方可得：cos2+2cossin+sin20，由+得：2+2（sincos+cossin）1，即2+2sin（+）1，2sin（+）1sin（+）故答案为：【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题14（5分）已知，|1，点P为线段BC上一点，满足+若点Q为ABC外接圆上一点，则的最大值等于【分析】建立坐
16、标系，设出B，C的坐标，表示出，的坐标，从而求出其最大值即可【解答】解：，|1，以A为圆心建立坐标系，如图所示：，设B（，0），C（0，t），（，0），（0，t），则+t（，0）+（0，t）（1，），故P（1，），P为线段BC上一点，可设，从而有（1，t）（1，），即，解得：t，B（2，0），C（0，），显然P（1，）为BC中点，点P为ABC的外接圆圆心，Q在ABC的外接圆上，又当AQ过点P时|有最大值为2|，此时与的夹角为0，（）max，故答案为：【点评】本题考查了平面向量问题，考查数形结合思想以及对应思想，是一道综合题三、解答题：本大题共3个小题，共30分15（8分）已知1（1）求tan的
17、值；（2）求tan的值【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式化简求解即可（2）利用两角和与差的三角函数求出tan2，然后通过两角和与差的三角函数求解即可【解答】解：（1）由题意，cos0，由1，可得，即5tan11+tan，解得tan（2）由（1）得tan2，tan7【点评】本题考查三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数的应用是基本知识的考查16（10分）已知向量，（1）若角的终边过点（3，4），求的值；（2）若，求锐角的大小【分析】（1）由三角函数的定义求出sin、cos，再根据平面向量数量积的定义计算的值；（2）根据，列方程求出的三角函数值以及锐角的值【解答】解：（1）角的终边过点（3
18、，4），r5，sin，cos；sin+sin（+）sin+sincos+cossin+；（2）若，则，即，sin2+sincos1，sincos1sin2cos2，对锐角有cos0，tan1，锐角【点评】本题考查了三角函数求值与平面向量的数量积计算问题，是中档题17（12分）已知f （x）sin（x）sinxcos2x（1）求f（x）最小正周期及最大值（2）讨论f（x）在，上的单调性【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的最大值、周期性得出结论（2）利用正弦函数的单调性，求得f（x）在，上的单调性【解答】解：（1）f （x）sin（x）sinxcos2xcosxsinx
19、sin2xcos2xsin（2x），故该函数的最大值为1，它的最小正周期为，（2）令2k2x2k+，求得kxk+，可得函数的增区间为为k，k+，kZ；再结合x，可得函数的增区间为，令2k+2x2k+，求得k+xk+，可得函数的增区间为为k+，k+，kZ；再结合x，可得函数的减区间为，【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的最大值、周期性和单调性，属于中档题一、填空题：本大题共2个小题，每小题6分18（6分）两等差数列an和bn，前n项和分别为Sn，Tn，且，则等于【分析】利用，即可得出结论【解答】解：故答案为：【点评】本题考查等差数列的性质与求和公式的运用，比较基础19（6分）设函数f（x
20、）的最大值为M，最小值为m，则M+m2【分析】函数可化为f（x），令，则为奇函数，从而函数的最大值与最小值的和为0，由此可得函数f（x）的最大值与最小值的和【解答】解：函数可化为f（x），令，则为奇函数，的最大值与最小值的和为0函数f（x）的最大值与最小值的和为1+1+02即M+m2故答案为：2【点评】本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，解题的关键是将函数化简，转化为利用函数的奇偶性解题二、解答题：本大题共3个小题，共38分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤20（12分）如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点（1）证
21、明：BEDC；（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（3）求二面角ABDP的余弦值【分析】（1）取PD中点M，连接EM，AM，推导出四边形ABEM为平行四边形，CD平面PAD，由此能证明BEDC（2）连接BM，推导出PDEM，PDAM，从而直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，EBM为直线BE与平面PBD所成的角，由此能求出直线BE与平面PDB所成角的正弦值（3）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角ABDP的余弦值【解答】证明：（1）如图，取PD中点M，连接EM，AME，M分别为PC，PD的中点，EMDC，且EMDC，又由已知，可得
22、EMAB，且EMAB，四边形ABEM为平行四边形，BEAMPA底面ABCD，ADAB，ABDC，CD平面PAD，CDAM，BEDC解：（2）连接BM，由（1）有CD平面PAD，得CDPD，而EMCD，PDEM又ADAP，M为PD的中点，PDAM，PDBE，PD平面BEM，平面BEM平面PBD直线BE在平面PBD内的射影为直线BM，BEEM，EBM为锐角，EBM为直线BE与平面PBD所成的角依题意，有PD2，而M为PD中点，AM，BE在直角三角形BEM中，sinEBM，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为（3）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，B（1，0，0），
23、D（0，2，0），P（0，0，2），（1，2，0），（1，0，2），设平面BDP的法向量（x，y，z），则，取x2，得（2，1，1），平面ABD的法向量（0，0，1），设二面角ABDP的平面角为，则cos二面角ABDP的余弦值为【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养21（13分）在四边形ABCD中，ADBC，AB，A120，BD3（1）求AD的长；（2）若BCD105，求四边形ABCD的面积【分析】（1）由余弦定理得能求出AD的长（2）由正弦定理得，从而BC3，DC，过A作AEBD，交BD于E，过C
24、作CFBD，交BD于F，则AE，CF，四边形ABCD的面积：SSABD+SBDC，由此能求出结果【解答】解：（1）在四边形ABCD中，ADBC，AB，A120，BD3由余弦定理得：cos120，解得AD（舍去AD2），AD的长为（2）ADBC，AB，A120，BD3，AD，BCD105，DBC30，BDC45，解得BC3，DC，如图，过A作AEBD，交BD于E，过C作CFBD，交BD于F，则AE，CF，四边形ABCD的面积：SSABD+SBDC【点评】本题考查三角形的边长的求法，考查四边形的面积的求法，考查余弦定理、正弦定理、三角形性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化
25、思想、函数与方程思想，是中档题22（13分）已知函数f（x）x|xa|+bx（a，bR）（1）当b1时，函数f（x）恰有两个不同的零点，求实数a的值；（2）当b1时，若对于任意x1，3，恒有，求a的取值范围；若a0，求函数f（x）在区间0，2上的最大值g（a）【分析】（1）当b1时，f（x）x|xa|xx（|xa|1），求解x，结合函数f（x）恰有两个不同的零点，即可求实数a的值；（2）当b1时，f（x）x|xa|+x，对于任意x1，3，恒有，转化为|xa|，可得，令t换元，然后利用配方法求得a的取值范围；，然后对a分类讨论即可求得函数f（x）在区间0，2上的最大值g（a）【解答】解：（1）当
26、b1时，f（x）x|xa|xx（|xa|1），由f（x）0，解得x0或|xa|1，由|xa|1，解得xa+1或xa1f（x）恰有两个不同的零点且a+1a1，a+10或a10，得a1；（2）当b1时，f（x）x|xa|+x，对于任意x1，3，恒有，即，即|xa|，x1，3时，即恒有，令t，当x1，3时，t，xt21，综上，a的取值范围是0，；当0a1时，这时yf（x）在0，2上单调递增，此时g（a）f（2）62a； 当1a2时，0a2，ff（x）在0，上单调递增，在，a上单调递减，在a，2上单调递增，g（a）maxf（），f（2），f（2）62a，而，当1a时，g（a）f（2）62a；当a2时，g（a）f（）； 当2a3时，2a，这时yf（x）在0，上单调递增，在，2上单调递减，此时g（a）f（）； 当a3时，2，yf（x）在0，2上单调递增，此时g（a）f（2）2a2综上所述，x0，2时，【点评】本题考查函数零点的判定，考查恒成立问题的求解方法，体现了数学转化、分类讨论等数学思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是难题