1、2017-2018学年湖南省衡阳八中高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共12个小题，每小题5分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知集合Ax|x10，B0，1，2，则AB（）A0B1C1，2D0，1，22（5分）已知向量（1，2），（x，4），若，则实数x的值为（）A8B2C2D83（5分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）AycosxBysinxCylnxDyx2+14（5分）等差数列an的前n项和为Sn若a21，a33，则S4（）A12B10C8D65（5分）已知四边形ABCD中，G为CD的中点，则等于（）ABCD6（5分）已知函数f（x
2、）sin2x（xR），下面结论错误的是（）A函数f（x）的最小正周期为B函数f（x）是奇函数C函数f（x）的图象关于直线对称D函数f（x）在区间上是增函数7（5分）点（2，3）到直线l：3x+4y+30的距离是（）A2BCD8（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，则这个四棱锥的侧棱长为（）A3B4C5D69（5分）化简（）ABCD10（5分）在各项均为正数的等比数列bn中，若b7b83，则log3b1+log3b2+log3b14等于（）A5B6C8D711（5分）为了得到函数ysin（2x）的图象，只需把函数ysin2x的图象上所有的点（）A向左平行移动个单位长度B向右平行移动个单位长度C向左
3、平行移动个单位长度D向右平行移动个单位长度12（5分）在下列各函数中，最小值等于2的函数是（）Ayx+Bycosx+（0x）CyDy二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共12分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13（5分）圆x2+y24x50的圆心坐标是 14（5分）已知，则cos2 15（5分）若实数x，y满足不等式组，则z2xy的最小值为 16（5分）已知a0，且a1，函数f（x）+ln（x），x1，1，设函数f（x）的最大值为M，最小值为N，则M+N 三、解答题（本大题共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
4、17（10分）已知向量，（1）若，求tanx的值；（2）设函数，求f（x）的值域18（12分）等比数列an中，a11，a54a3（1）求an的通项公式；（2）记Sn为an的前n项和若Sm63，求m19（12分）如图，在三棱锥ABCD中，AB平面BCD，BCBD，BC3，BD4，直线AD与平面BCD所成的角为45，点E，F分别是AC，AD的中点（1）求证：EF平面BCD；（2）求三棱锥ABCD的体积20（12分）在ABC中，a7，b8，（）求A；（）求ABC的面积21（12分）在等差数列an中，a11，a2+a35（1）求an；（2）设，求数列bn的前n项和Tn22（12分）已知O为坐标原点点P
5、（1，）在圆M：x2+y24x+ay+10上（1）求实数a的值；（2）求过圆心M且与直线OP平行的直线的方程；（3）过点O作互相垂直的直线l1，l2，l1与圆M交于A，B两点，l2与圆M交于C，D两点求|AB|CD|的最大值2017-2018学年湖南省衡阳八中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（本大题共12个小题，每小题5分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1（5分）已知集合Ax|x10，B0，1，2，则AB（）A0B1C1，2D0，1，2【分析】求解不等式化简集合A，再由交集的运算性质得答案【解答】解：Ax|x10x|x1，B0，1，2，ABx|
6、x10，1，21，2故选：C【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题2（5分）已知向量（1，2），（x，4），若，则实数x的值为（）A8B2C2D8【分析】根据向量平行的坐标公式建立方程进行求解即可【解答】解：，42x0，得x2，故选：B【点评】本题主要考查向量共线的应用，根据向量共线的坐标公式建立方程是解决本题的关键3（5分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）AycosxBysinxCylnxDyx2+1【分析】利用函数奇偶性的判断方法以及零点的判断方法对选项分别分析选择【解答】解：对于A，定义域为R，并且cos（x）cosx，是偶函数并且有无数个零点；对于B，sin（x）sinx，是
7、奇函数，由无数个零点；对于C，定义域为（0，+），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；对于D，定义域为R，为偶函数，都是没有零点；故选：A【点评】本题考查了函数的奇偶性和零点的判断求函数的定义域；如果定义域关于原点不对称，函数是非奇非偶的函数；如果关于原点对称，再判断f（x）与f（x）的关系；相等是偶函数，相反是奇函数；函数的零点与函数图象与x轴的交点以及与对应方程的解的个数是一致的4（5分）等差数列an的前n项和为Sn若a21，a33，则S4（）A12B10C8D6【分析】由等差数列的前n项和得到，求前四项的和要用第一项和第四项的和，根据等差数列的性质第一项和第四项的和等于第二项与第三项的和，
8、得到结果【解答】解：由等差数列的性质可得：a1+a4a2+a3，a21，a33，s42（1+3）8故选：C【点评】若已知等差数列的两项，则等差数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解5（5分）已知四边形ABCD中，G为CD的中点，则等于（）ABCD【分析】利用向量平行四边形法则、三角形法则即可得出【解答】解：由平行四边形法则可得：，故选：A【点评】本题考查了向量平行四边形法则、三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6（5分）已知函数f（x）sin2x（xR），下面结论错误的是（）A函数f（x）的最小正周期为B函数f（x）是奇函数C函数f（x）的图象关于直线对称D函数
9、f（x）在区间上是增函数【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，得出结论【解答】解：对于函数f（x）sin2x（xR），它的最小正周期为，故A正确；再根据它是奇函数，可得B正确；由2xk+，kZ，可得对称轴为x+，kZ，可得函数f（x）的图象关于直线对称，故C正确；在区间上，2x0，函数f（x）sin2x（xR）没有单调性，故D错误，故选：D【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题7（5分）点（2，3）到直线l：3x+4y+30的距离是（）A2BCD【分析】利用点到直线的距离公式直接求解【解答】解：点（2，3）到直线l：3x+4y+30的距离d故选：B【点评】本题考查点到直线的距离
10、的求法，考查点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题8（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，则这个四棱锥的侧棱长为（）A3B4C5D6【分析】由已知中由已知中正四棱锥PABCD的主视图是边长为1的正三角形，故棱锥的侧高为1，底面棱长为1，根据侧棱与底面棱长及侧高的关系，可得答案【解答】解：由已知中正四棱锥PABCD的主视图是边长为6，4，4的三角形，故棱锥的侧高为4，底面边长为6，故这个四棱锥的侧棱长为5，故选：C【点评】本题考查的知识点是简单几何体的三视图，棱锥的几何特征，难度中档9（5分）化简（）ABCD【分析】直接利用二倍角公式以及同角三角函数的基本关系
11、式化简求解即可【解答】解：故选：A【点评】本题考查二倍角公式的应用，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力，是基础题10（5分）在各项均为正数的等比数列bn中，若b7b83，则log3b1+log3b2+log3b14等于（）A5B6C8D7【分析】根据等比中项的性质可知b1b14b2b13b3b12b7b83，代入log3b1+log3b2+log3b14，根据对数的运算法则即可求的答案【解答】解：数列bn为等比数列b1b14b2b13b3b12b7b83，log3b1+log3b2+log3b14log3（b1b14b2b13b7b8）log3377故选：D【点评】本题考查等比数列的
12、性质和对数的运算性质，等比中项的性质若 m、n、p、qN*，且m+np+q，则amanapaq是一个基础题，11（5分）为了得到函数ysin（2x）的图象，只需把函数ysin2x的图象上所有的点（）A向左平行移动个单位长度B向右平行移动个单位长度C向左平行移动个单位长度D向右平行移动个单位长度【分析】由条件根据函数yAsin（x+）的图象变换规律，可得结论【解答】解：把函数ysin2x的图象向右平移个单位长度，可得函数ysin2（x）sin（2x）的图象，故选：D【点评】本题主要考查函数yAsin（x+）的图象变换规律，属于基础题12（5分）在下列各函数中，最小值等于2的函数是（）Ayx+By
13、cosx+（0x）CyDy【分析】通过取x0时，A显然不满足条件对于B：ycosx+2，当 cosx1时取等号，但0x，故cosx1，B 显然不满足条件对于C：不能保证 ，故错；对于D：ex0，ex+22 22，从而得出正确选项【解答】解：对于选项A：当x0时，A显然不满足条件选项B：ycosx+2，当 cosx1时取等号，但0x，故cosx1，B 显然不满足条件对于C：不能保证 ，故错；对于D：ex0，ex+22 22，故只有D 满足条件，故选：D【点评】本题考查基本不等式的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法此题考查学生掌握基本不等式求函数最小值所满足
14、的条件，是一道综合题二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共12分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13（5分）圆x2+y24x50的圆心坐标是（2，0）【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得圆心的坐标【解答】解：圆x2+y24x50，即圆（x2）2+y2 9，表示以（2，0）为圆心，以3为半径的圆，故答案为：（2，0）【点评】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属于基础题14（5分）已知，则cos2【分析】由，可求得sin，从而可求得cos2【解答】解：，sin，cos212sin2；故答案为：【点评】本题考查二倍角的余弦，关键在于灵活掌握与应用公式，属于基础题15（5分）若实数
15、x，y满足不等式组，则z2xy的最小值为2【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z2xy的最小值【解答】解：由z2xy，得y2xz，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y2xz，由平移可知当直线y2xz，经过点A时，直线y2xz的截距最大，此时z取得最小值，由，解得A（0，2）将A（0，2）坐标代入z2xy，得z022，即目标函数z2xy的最小值为2故答案为：2【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法16（5分）已知a0，且a1，函数f（x）+ln（x），x1，1，设函数f（x）的最大值为
16、M，最小值为N，则M+N6【分析】将f（x）分解成f（x）h（x）+g（x），分别求出g（x）和h（x）的最大值、最小值的和，从而求出M+N的值即可【解答】解：f（x）+ln（x），令g（x）ln（x），x1，1，由g（x）ln（+x）lnln（x）g（x），可知g（x）g（x），故g（x）函数的图象关于原点对称，g（x）max+g（x）min0由5，令h（x）5，h（x）在1，1具有单调性，h（x）max+h（x）minh（1）+h（1）5+5101046，f（x）的最大值与最小值的和为6+06，即M+N6故答案为：6【点评】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查函数的最值问题，是一道中档
17、题三、解答题（本大题共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知向量，（1）若，求tanx的值；（2）设函数，求f（x）的值域【分析】（1）根据向量相等，即可求得tanx1；（2）根据向量的坐标运算，利用正弦函数的性质，即可求得f（x）的值域【解答】解：（1）由题意可知：，则sinx，cosx，则tanx1；（2）sinx+cosx+2sin（x+）+2，由sin（x+）1，1，则f（x）1，3，f（x）的值域1，3【点评】本题考查向量的坐标运算，正弦函数的性质，考查转化思想，属于基础题18（12分）等比数列an中，a11，a54a3（1）求an的通项公式；（2）记S
18、n为an的前n项和若Sm63，求m【分析】（1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比q2，由此能求出an的通项公式（2）当a11，q2时，Sn，由Sm63，得Sm63，mN，无解；当a11，q2时，Sn2n1，由此能求出m【解答】解：（1）等比数列an中，a11，a54a31q44（1q2），解得q2，当q2时，an2n1，当q2时，an（2）n1，an的通项公式为，an2n1，或an（2）n1（2）记Sn为an的前n项和当a11，q2时，Sn，由Sm63，得Sm63，mN，无解；当a11，q2时，Sn2n1，由Sm63，得Sm2m163，mN，解得m6【点评】本题考查等比数列的通项公式的求
19、法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题19（12分）如图，在三棱锥ABCD中，AB平面BCD，BCBD，BC3，BD4，直线AD与平面BCD所成的角为45，点E，F分别是AC，AD的中点（1）求证：EF平面BCD；（2）求三棱锥ABCD的体积【分析】（1）由中位线定理可得EFCD，故EF平面BCD；（2）以BCD为底面，则棱锥的高为AB，代入体积公式计算即可【解答】解：（1）点E，F分别是AC，AD的中点，EFCD，又EF平面BCD，CD平面BCD，EF平面BCD（2）AB平面BCD，ADB为直线AD与平面BCD所成的角，ADB45，ABBD4，BCB
20、D，SBCD6三棱锥ABCD的体积V8【点评】本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于基础题20（12分）在ABC中，a7，b8，（）求A；（）求ABC的面积【分析】（）直接利用正弦定理求出结果（）直接利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果【解答】解：（）ABC中，a7，b8，所以：sinB，利用正弦定理得：，解得：sinA，由于，所以：，利用三角形内角和，所以：；（）利用余弦定理：b2a2+c22accosB，解得：c3所以：【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用21（12分）在等差数列an中，a11，a2+a35（1）求an；（2）设，求数列bn的
21、前n项和Tn【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式（2）利用乘公比错位相减法求出数列的和【解答】解：（1）等差数列an中，a11，a2+a35则：，解得d1故an1+n1n（2）由于，所以：，则，得：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用22（12分）已知O为坐标原点点P（1，）在圆M：x2+y24x+ay+10上（1）求实数a的值；（2）求过圆心M且与直线OP平行的直线的方程；（3）过点O作互相垂直的直线l1，l2，l1与圆M交于A，B两点，l2与圆M交于C，D两点求|AB|CD|的最大值【分析】（1）将P的坐标代入圆方程可得a；
22、（2）求得M的坐标和直线OP的斜率，可得所求直线的斜率，由点斜式方程可得所求直线方程；（3）设直线l1的方程为ykx，直线l2的方程为yx，求得M到两直线的距离，再由弦长公式和配方法，结合二次函数的最值，可得所求最大值【解答】解：（1）点P（1，）在圆M：x2+y24x+ay+10上，可得1+24+a+10，解得a0；（2）圆M：x2+y24x+10，可得M（2，0），直线OP的斜率为，可得所求直线的方程为y（x2），即为xy20；（3）设直线l1的方程为ykx，直线l2的方程为yx，可得圆M的圆心（2，0），半径为3，到直线l1的距离为，M到直线l2的距离为，可得|AB|22，|CD|22，则|AB|CD|4，可令1+k2t（t1），则k2t1，可得|AB|CD|44，当t2，即k1时，|AB|CD|的最大值为4【点评】本题考查直线和圆的方程和位置关系，以及相交的弦长公式，考查两直线平行、垂直的条件，以及配方法和二次函数的最值的求法，属于中档题