1、专题一 压轴填空题第四关 以三角形为背景的填空题【名师综述】三角形在高中数学中有专题研究，即解三角形近年来，高考对三角形的命题，除充分体现自身知识结构体系的命题形式多样化，主要把三角形作为载体，注重研究与函数或平面解析几何或不等式或平面向量相结合的命题思路，呈现出“综合应用，融会贯通”的特色，充分彰显三角形的交汇价值类型一 以三角形中点、线位置关系考查不等式或函数最值典例1【2019江苏如皋一模】在ABC中，D为AB的中点，若，则的最小值是_【答案】【解析】根据D为AB的中点，若，得到，化简整理得，即，根据正弦定理可得，进一步求得，所以，求导可得当时，式子取得最大值，代入求得其结果为，故答案为
2、【名师点睛】该题考查的是有关三角函数值的最值的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有向量的加减运算，向量的数量积的定义式，正弦定理，正切函数的和角公式以及诱导公式，最后应用导数研究函数的最大值，正确应用公式是解题的关键【举一反三】中，角的对边分别为，若，则外接圆面积的最小值为_【答案】【解析】由条件及正弦定理得，整理得在中，由余弦定理得，当且仅当时等号成立，设外接圆的半径为，则，故故外接圆面积的最小值为类型二 综合考查三角形中边与角关系典例2【201高考江苏卷】在中，角所对的边分别为，的平分线交与点，且，则的最小值为 【答案】9【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”
3、等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误学-【举一反三】在锐角三角形ABC中，的最小值为_【答案】25【解析】如图，不妨设CD=1，AD=m，BD=n，tanA=，tanB=，（m0，n0），tanC=-tan（A+B）=， ， ，当且仅当，即 时取等号类型三 以向量数量积考查三角形有关心的性质来源:ZXXK典例3【2019江苏扬州中学10月月考】已知点在所在平面内，且则取得最大值时线段的长度是_【答案】【解析】由易得：O为的外心，且半径为3，过圆上一点引圆的切线且与AB垂直相交于E
4、点，当C为切点时，由数量积几何意义不难发现取得最大值，取AB的中点为，连接OF，此时，故答案为：【名师点睛】本题考查了平面向量数量积的几何意义，考查了三角形外心的概念，考查了数形结合的思想方法，属于中档题典例4已知是锐角的外接圆圆心，则实数的值为_【答案】由正弦定理及上式得，因为，所以，所以= =【名师指点】本题考查了向量的分解、垂径定理、数量积等内容本题属于中等题【举一反三】已知正三角形ABC的边长为2，圆O是该三角形的内切圆，P是圆O上的任意一点，则的最大值为_【答案】1【解析】在正三角形ABC中，内切圆半径r21，AOBO2，AOB120，POD(0，()()2()222212cos4c
5、os1202cos1 ()max1【精选名校模拟】1【2019江苏盐城一模】在ABC中，tanA3，ABC的面积SABC1，P0为线段BC上一定点，且满足CP0BC，若P为线段BC上任意一点，且恒有，则线段BC的长为_【答案】2在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3a2-b2+3abcosC=0，则的最小值为_【答案】2【解析】，整理可得：，当且仅当时等号成立，即的最小值为2，故答案为23【2019江苏如皋调研三】如图，已知为等腰直角三角形，其中，且，光线从边上的中点出发，经，反射后又回到点（反射点分别为，），则光线经过的路径总长_【答案】【解析】以A为坐标原点，AB、AC分别
6、为x轴y轴建立平面直角坐标系，因为为等腰直角三角形，其中，且，则，点，所以点关于轴的对称点为，设点关于直线的对称点为，则且，解得，则4【2019江苏镇江期末考】已知是边长为2的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为_学-【答案】【解析】点，分别是边，的中点，且，所以：，所以=，又是边长为2的等边三角形，则，所以=5【2019江苏省南通市启东中学模拟】在锐角中，内角的对边分别为，且，则的周长的取值范围为_【答案】【解析】因为，所以，由正弦定理可得，sinA=， ，故答案为6如图，中，延长到，使，当点在线段上移动时，若，则的最大值是 【答案】3【解析】设=，0k1；又；t
7、=3k，0k1；k=1时t取最大值3，即t=的最大值为37已知的三顶点坐标分别为，则的垂心的轨迹方程_来源:【答案】【解析】设P（x，y），由垂心定义可得：所以，消元、整理得：8在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设S是ABC的面积，若，则角A的值为_【答案】来源:Z#X#X#K9【2019江苏扬州中学10月考】在中，若则的最大值为_【答案】【解析】已知等式即 ，来源:Zxxk.Com即，可得，即，即所以，sinA，故答案为：10已知点为内一点，且，则，的面积之比等于 【答案】3：2：1【解析】，所以为AB三等分点（靠近B），如图，所以即，的面积之比等于11【2019江苏连云港期中
8、考】在三角形中，是的角平分线，则=_【答案】【解析】由角平分线定理得所以，所以【名师点睛】本小题考查三角形角平分线定理的应用，考查向量数量积在三角形中的处理方法角平分线定理是一个平面几何的定理，在不少题目中都会运用到对于三角形中的向量运算，往往都化为已知的同起点的向量来运算如本题中的，就转化为两个向量的线性和来处理这样处理后就可以利用已知条件来求解了12【2019湖北山东一联】已知中，点是边的中点，线段，的面积，则的取值范围是_【答案】【解析】根据题意得设BC=a，因为三角形ABC为等腰三角形，又因为 是AC的中点，做DF垂直于BC于点F，做AE垂直于BC于点E，则DF等于 AE的一半，F点是
9、靠近C点的四等分点，根据的面积，得到，在三角形DBF中 ，时等号成立故答案为：13【2019江苏常州武进区中考】已知不等边（三条边都不相等的三角形）的内角的对边分别为，若，则的弧度数为_【答案】【解析】，即，整理得，由题意得，即由余弦定理的推论得，又，故答案为【名师点睛】本题考查余弦定理的应用、考查计算能力，由于解题中需要用到大量的化简、计算，所以在解题时要注意运算的合理性和准确性，属于基础题14【2019安徽合肥一模】在锐角中，则中线AD长的取值范围是_【答案】【解析】设，对运用正弦定理，得到，解得，结合该三角形为锐角三角形，得到不等式组，解得，故，结合二次函数性质，得到，运用向量得到，所以
10、，结合bc的范围，代入，得到的范围为15【2019江苏清江中学二模】在中，设角的对边分别是若成等差数列，则的最小值为_【答案】【解析】由题得，所以，所以因为所以 故答案为：16【2019四川成都一诊】已知为的重心，过点的直线与边分别相交于点若，则当与的面积之比为时，实数的值为_【答案】或【解析】设，三点共线可设， ，为的重心， ， ， ，两式相乘得 ，代入即解得或即或，故答案为：或17【2018陕西彬州一模】如图所示，已知点是的重心，过点作直线分别交两边于两点，且，则的最小值为_来源:【答案】【解析】根据条件：，又，又M，G，N三点共线，1，x0，y0，3x+y（3x+y）（）2；3x+y的最小值为当且仅当时“=”成立，故答案为18在三角形中，是的中点，设当时，_【答案】tansin（+）sincos+cossinsin，cos2+cos2，解得cos，或cos（舍），sin，sinBAC，cosBAC，BC，故答案为