1、专题二 压轴解答题第三关 以函数零点为背景的解答题【名师综述】以函数零点为背景的解答题主要考察函数与方程思想，不仅要研究单调性，确定至多一解，而且要考虑零点存在定理，确定至少有一解，从两方面确保解的个数的充要性类型一 零点个数问题典例1【2019江苏镇江上学期期末】已知函数（1）若的定义域为（是自然对数的底数），求函数的最大值和最小值；（2）求函数的零点个数【答案】（1），（2）2个【解析】（1）由于的定义域为，则设，则在上单调递减，在上单调递增，所以，因为，则（2）函数，因为 ，所以是偶函数当时，在上连续不间断，且单调递增，又，则函数在上存在唯一的零点由于函数为偶函数，则函数在上也存在唯一的
2、零点综上，函数在定义域内零点的个数为个【名师指点】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路典例2已知函数，在处取极大值，在处取极小值(1)若，求函数的单调区间和零点个数；(2)在方程的解中，较大的一个记为；在方程的解中，较小的一个记为，证明：为定值；(3)证明：当时，【答案】（1）单调增区间为；单调减区间为；3个零点（2）-1(3)见解析【解析】解(1)当时，；当时，或；当时，；即函数的
3、单调增区间为；单调减区间为；又，所以有3个零点(3)要证，即要证设，则；当时，；当时，；可知；再设，则；当时，；当时，；可知，因为，所以，且和分别在和2处取最大值和最小值，因此恒成立，即当时，(3)另证：一方面，易证；（略）另一方面，当 时，；又；所以，且不存在正数，使得其中等号同时成立，故【举一反三】已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值设如何取值时，函数存在零点，并求出零点 【答案】当时，函数有一零点；当()，或（）时，函数有两个零点；当时，函数有一零点【解析】由()，得 来源：当时，方程有一解，函数有一零点；当时，方程有二解，若，函数有两个零点，即；若，函数有两个零点，即
4、；类型二 由零点个数确定参数取值范围问题典例3【2019江苏苏州上学期期末】已知函数(a，bR)（1）当ab1时，求的单调增区间；学-（2）当a0时，若函数恰有两个不同的零点，求的值；（3）当a0时，若的解集为(m，n)，且(m，n)中有且仅有一个整数，求实数b的取值范围来源:Zxxk.Com【答案】（1）f（x）的单调增区间是和；（2） ；（3）【解析】（1）当ab1时，令，解得或所以f（x）的单调增区间是和（2）法一：，令，得或，因为函数f（x）有两个不同的零点，所以或，当时，得a0，不合题意，舍去：当时，代入得即，所以法二：由于，所以，由得，设，令，得，当时，h(x)递减：当时，递增当时
5、，单调递增当时，的值域为R故不论取何值，方程有且仅有一个根；当时，来源:Z|xx|k.Com所以时，方程恰有一个根2，此时函数恰有两个零点-2和1（3）当时，因为，所以设，则，当时，因为，所以在上递增，且，所以在上，不合题意：当时，令，得，所以在递增，在递减，所以，要使有解，首先要满足，解得 又因为，要使的解集（m，n）中只有一个整数，则即解得 设，则，当时，递增：当时，递减所以，所以，所以由和得，【名师指点】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建
6、不等式求解典例4【2019江苏南通如皋调研（三)】已知为常数，函数（1）当时，求关于的不等式的解集；（2）当时，若函数在上存在零点，求实数的取值范围；（3）当时，对于给定的，且，证明：关于的方程在区间内有一个实根【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【解析】（1）当时，；当时，；当时，(2) 因为所以 因为，所以当时，解得符合题意当时，解得符合题意综上，实数的取值范围为【举一反三】设函数（其中为自然对数的底数，），曲线在点处的切线方程为（1）求；（2）若对任意，有且只有两个零点，求的取值范围来源：Z，xx，kCom【答案】（1）；（2）实数的取值范围为【解析】（2）由（1）得，当时，由得，
7、由得，此时在上单调递减，在上单调递增，（或当时，亦可）要使得在上有且只有两个零点，则只需，即， 6分当时，由得或；由得此时在上单调递减，在和上单调递增，此时，此时在至多只有一个零点，不合题意， 9分当时，由得或，由得，此时在和上单调递增，在上单调递减，且，在至多只有一个零点，不合题意综上所述，实数的取值范围为 12分类型三 由零点条件证明不等式问题典例5已知（1）若，求方程的解；（2）若关于x的方程在（0，2）上有两个解，求k的取值范围，并证明【答案】（1）或；（2）k的取值范围为，证明见解析【解析】（1）当k=2时，当，即x1或x-1时，方程化为，解得，因为，舍去，所以；当，即-1x1时，方
8、程化为2x+1=0，解得：；由得，当k=2时，方程f(x)=0的解为或（2）不妨设，因为，所以f(x)在（0，1是单调函数，故f(x)=0在（0，1上至多一个解，若，则0，故不符题意，因此；由，得，所以k-1；由，得，所以； 故当时，方程f(x)=0在(0，2)上有两个解； 因为，所以，消去k，得，即，因为x22，所以【名师指点】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式（2）根据条件，寻找目标函数一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数【举一反三
9、】已知函数f(x)ax4x2，x(0，)，g(x)f(x)f(x)若a1，记g(x)的两个零点为x1，x2，求证：4x1x2a4证明： g(x)f(x)f(x)ax4x2(4ax3x)ax44ax3x2x，因为(x)对称轴为x，所以(0)0，所以x0，所以(x0)ax00又(x)ax34ax2x1ax2(x8)x(ax21)1，设，8中的较大数为M，则(M)0，故a1时，g(x)在(0，)上恰有两个零点x1，x2，不妨设x1x2，因为(0)10，(67a)0，所以0x1因为(4)10，(81a10)0，所以4x2，所以4x1x25a4【精选名校模拟】1已知函数f(x)x22exm1，(1)若y
10、g(x)m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根【答案】（1）；（2）【解析】（1）g（x）=x+2=2e；（当且仅当x=，即x=e时，等号成立）若使函数y=g（x）m有零点，则m2e；故m的取值范围为2e，+）；（2）令F（x）=g（x）f（x）=x+x22exm+1，F（x）=1+2x2e=（xe）（+2）；故当x（0，e）时，F（x）0，x（e，+）时，F（x）0；故F（x）在（0，e）上是减函数，在（e，+）上是增函数，故只需使F（e）0，即e+e+e22e2m+10；故m2ee2+1学-来源:2【2019江苏南京外国语学校期中考】已知函数
11、， 若有零点，求 m 的取值范围； 确定 m 的取值范围，使得有两个相异实根【答案】(1) ；(2) ；【解析】(1) 在x0有根，当时则或m-2e(舍)，当时，f(0)=e2，则f(0)0无解，则m2e(2)记，则可以证明h(x)在(0，e)上单调递减，在(e，+)上单调递增，证明如下：任取，令由于所以，所以函数在(0，e)上单调递减；同理可证得在(e，+)上单调递增，所以h(e)为函数最小值，根据零点定理h(e)0，解得，以下说明必存在函数值大于零：首先说明(e，+)上，当m2e时，当时，；所以在(e，+)上只有一个零点再说明(0，e)上，所以取即中中较小值，当即时，；当即时，；所以在(0
12、，e)上只有一个零点综上，3已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若方程在区间(0，+)上有实数解，求实数a的取值范围；（3）若存在实数，且，使得，求证：【答案】（1）函数的单调减区间为和，单调增区间为（2）（3）见解析【解析】（1）当时，当时，则，令，解得或（舍），所以时，所以函数在区间上为减函数当时，令，解得，当时，当时，所以函数在区间上为减函数，在区间上为增函数，且 综上，函数的单调减区间为和，单调增区间为（2）设，则，所以，由题意，在区间上有解，等价于在区间上有解记，则， 令，因为，所以，故解得，当时，当时，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故函数在处取得最小值 要使方
13、程在区间上有解，当且仅当，综上，满足题意的实数a的取值范围为 （3）由题意，当时，此时函数在上单调递增，由，可得，与条件矛盾，所以 令，解得，当时，当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增若存在，则介于m，n之间，不妨设，因为在上单调递减，在上单调递增，且，所以当时，由，可得，故，又在上单调递减，且，所以所以，同理 即解得，所以 4已知和是函数的两个零点（1）求实数的值；（2）设函数，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）若有三个不同的实数解，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1），j即 （3）原方程可化为，令则 有两个不等实根且或，记 ，则或，两不等式组解集分别为
14、与，的取值范围是5【2019江苏省前黄高级中学、溧阳中学质检】若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点设函数，（1）若有两个极值点，且满足，求的值及的取值范围；（2）若在处的切线与的图象有且只有一个公共点，求的值；（3）若，且对满足“函数与的图象总有三个交点”的任意实数，都有成立，求满足的条件【答案】（1），的取值范围为或；（2）；（3）应满足条件且【解析】（1）由，因函数有两个极值点，两个不等的实数根，=，即，又，或此时+00+极大值极小值是极大值点，是极小值点，满足题意（2），在处的切线方程为，联立方程组，即，整理得，解得或，切线与的图象只有一个公共点，解得（3）联立方程组，化简得
15、，方程必有一根，函数与的图象总有三个交点，有两个不等实根，且三个交点满足，实数根满足，或，或，为满足与有三个交点的任意实数，令，则，解得，当时，得，即有，此时，再令，则，解得，不满足与，故不符题意；同理也不符题意； 当时，由，得，此时总满足，为此只需有两个不等的实根即可，化简得，综上所述，应满足条件且6已知函数，m是实数（1）若在区间(2，+)为增函数，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，函数有三个零点，求m的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】(1)，因为在区间为增函数，所以在区间恒成立，所以，即恒成立，由，得所以的取值范围是(2)，所以，令，解得或，时，在上是增函数，不合题意，时，令
16、，解得或，令，解得，所以在递增，在递减，所以极大值为极小值为，要使有3个零点，需，解得所以的取值范围是学-7已知函数f(x)lnx2x6(1)证明：函数f(x)在其定义域上是增函数；(2)证明：函数f(x)有且只有一个零点；(3)求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过【答案】（1）函数的单调递增区间为，没有单调递减区间（2） （3）见解析【解析】（1）若k=-1，则，所以由于=16-480，所以函数的单调递增区间为，没有单调递减区间（2）因，因在区间上不单调，所以在上有实数解，且无重根，由得 令有，记则，所以在 上，h(t)单调递减，在 上，h(t)单调递增，所以有，于是得而当时有在
17、上有两个相等的实根，故舍去所以（3）因为所以，当=，即时函数在R上单调递增故在R上不可能有三个不同零点所以，若在R上有三个不同零点，则必有，即是在R上有三个不同零点的必要条件而当，时，满足但即此时只有两个不同零点同样，当时，满足，但即此时也只有两个不同零点故k7是在R上有三个不同零点的必要不充分条件8已知函数（1）当时，求在上的值域；（2）试求的零点个数，并证明你的结论【答案】（1）（2）当时，只有一个零点；当时，有两个零点【解析】当时，递增；当时，递减；所以，当时，取极大值，也是最大值，即，所以，在上的值域为（2）令，得，显然不是方程的根，那么原方程等价于实根的个数，令，原命题也等价于在上的
18、零点个数；又因为，所以在和上都是单调递增的；（I）若，则当时，恒成立，则没有零点；当时，又在上单调递增的，所以有唯一的零点（II）若，则当时，恒成立，则没有零点；当时，又在上单调递增的，所以有唯一的零点（III）若，则当时，由 ，则，则取，则，又，所以在有唯一的零点，当时，又在上单调递增的，所以有唯一的零点综上所述，当时，只有一个零点；当时，有两个零点9已知，且，函数，其中为自然对数的底数：（1）如果函数为偶函数，求实数的值，并求此时函数的最小值；（2）对满足，且的任意实数，证明函数的图像经过唯一的定点；（3）如果关于的方程有且只有一个解，求实数的取值范围【答案】（1） 的最小值为2（2）见解
19、析（3），或【解析】又，当且仅当时取等号，的最小值为2（2）假设过定点，则对任意，且恒成立令得： ；令得： ，解得唯一解经检验当时，函数的图像经过唯一定点（3）令为上连续函数，且，则方程存在一个解当时，为增函数，此时只有一解当时，令 ，解得因为，令 ，为增函数 网所以当时，所以，为减函数；当时，所以，为增函数所以，又定义域为，所以若，在上为减函数，而所以时，至少存在另外一个零点，矛盾！若，在上为增函数，而，所以在存在另外一个解，矛盾！当，则，解得，此时方程为，由（1）得，只有唯一解，满足条件综上，当，或时，方程有且只有一个解10已知函数，(1)若曲线的一条切线经过点，求这条切线的方程(2)若关
20、于的方程有两个不相等的实数根x1，x2求实数a的取值范围； 证明： 【答案】（1）或（2）见解析来源:【解析】解法二 由题意得曲线的切线的斜率一定存在，设所求的切线方程为，由 ，得， 因为切线与抛物线相切，所以，解得，所以所求的切线方程为或 （2）由，得设，则，由题意得函数恰好有两个零点 （i）当，则，只有一个零点1 （ii）当时，由得，由得，即在上为减函数，在上为增函数，而，所以在上有唯一零点，且该零点在上取且，则所以在上有唯一零点，且该零点在上，所以恰好有两个零点 （iii）当时，由得，若，所以在上至多有一个零点若，则，当时，即在上单调递减又，所以在上至多有一个零点当时，在上单调递增，在上
21、为减函数，又，所以h(x)在上无零点 若，则，又当时，所以不存在零点在上无零点故当时，；当时，因此在上单调递增，在上单调递减又所以在无零点，在至多有一个零点综上，的取值范围为 学_ 不妨设，由知，且，在单调递减，所以等价于，即由于，且，所以 设，则，当时，所以而，故当时，从而，故11已知，（1）求函数的增区间； （2）若函数有两个零点，求实数的取值范围，并说明理由；（3）设正实数，满足，当时，求证：对任意的两个正实数，总有(参考求导公式： )【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析【解析】 综合以上：当时，函数的增区间；若增区间为（2）由（1）知：若函数在的上为增函数，函数有至多有一个零点，
22、不合题意若 当，函数在的上为减函数当 ，函数在的上为增函数要使得函数有两个零点，则 下证明： 函数有两个零点而，所以在存在惟一零点； 又令 所以在上递增，所以的 所以在也存在惟一零点； 综上： 函数有两个零点方法2：(先证： 有) 而，所以在也存在惟一零点；综上： ，函数有两个零点（3）证明：不妨设，以为变量令，则令，则因为，所以；即在定义域内递增又因为且所以即，所以；又因为，所以 所以在单调递增；因为所以即12已知函数f（x）=（2a）（x1）2lnx，g（x）= （aR，e为自然对数的底数）（）当a=1时，求f（x）的单调区间；（）若函数f（x）在 上无零点，求a的最小值；（）若对任意给定
23、的x0（0，e，在（0，e上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，求a的取值范围【答案】(1) f（x）的单调减区间为（0，2，单调增区间为2，+）；(2) 函数f（x）在 上无零点，则a的最小值为24ln2；（3）a的范围是【解析】（2）因为f（x）0在区间上恒成立不可能，故要使函数上无零点，只要对任意的，f（x）0恒成立，即对恒成立令，则，再令，则，故m（x）在上为减函数，于是，从而，l（x）0，于是l（x）在上为增函数，所以，故要使恒成立，只要a24ln2，+），综上，若函数f（x）在 上无零点，则a的最小值为24ln2；（3）g（x）=e1xxe1x=（1
24、x）e1x，当x（0，1）时，g（x）0，函数g（x）单调递增；当x（1，e时，g（x）0，函数g（x）单调递减又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=ee1e0，所以，函数g（x）在（0，e上的值域为（0，1当a=2时，不合题意；当a2时，f（x）=，x（0，e当x=时，f（x）=0由题意得，f（x）在（0，e上不单调，故，即此时，当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下：x（0，） （，ef（x）0+f（x）最小值又因为，当x0时，2a0，f（x）+，所以，对任意给定的x0（0，e，在（0，e上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，当且仅当a满足下列条
25、件：即令h（a）=，则h，令h（a）=0，得a=0或a=2，故当a（，0）时，h（a）0，函数h（a）单调递增；当时，h（a）0，函数h（a）单调递减所以，对任意，有h（a）h（0）=0，即对任意恒成立由式解得：综合可知，当a的范围是 时，对任意给定的x0（0，e，在（0，e上总存在两个不同的xi（i=1，2），使f（xi）=g（x0）成立13已知函数f(x)alnx(aR)(1) 求f(x)的单调区间；(2) 试求f(x)的零点个数，并证明你的结论解：(1) 由函数f(x)alnx(aR)，得f(x)(lnx2)(2分)令f(x)0，得xe2列表如下：x(0，e2)e2来源:ZXXK(e2，
26、)f(x)0f(x)极小值因此，函数f(x)的单调增区间为(e2，)，单调减区间为(0，e2)(5分)(2) 由(1)可知，fmin(x)f(e2)a2e1(6分)() 当a2e1时，由f(x)f(e2)a2e10，得函数f(x)的零点个数为0(8分)() 当a2e1时，因f(x)在(e2，)上单调递增，在(0，e2)上单调递减，故x(0，e2)(e2，)时，f(x)f(e2)0此时，函数f(x)的零点个数为1(10分)() 当a2e1时，fmin(x)f(e2)a2e10 a0时，因为当x(0，e2时，f(x)alnxa0，所以函数f(x)在区间(0，e2上无零点；另一方面，因为f(x)在e
27、2，)上单调递增，且f(e2)a2e10，又e2a(e2，)，且f(e2a)a(12ea)0，此时，函数f(x)在(e2，)上有且只有一个零点所以，当a0时，函数f(x)零点个数为1(13分) 0a2e1时，因为f(x)在e2，)上单调递增，且f(1)a0，f(e2)a2e10，所以函数f(x)在区间(e2，)上有且只有1个零点；另一方面，因为f(x)在(0，e2上单调递减，且f(e2)a2e10，又e(0，e2)，且faa0(当x0时，exx2成立)，此时函数f(x)在(0，e2)上有且只有1个零点所以，当0a2e1时，函数f(x)的零点个数为2综上所述，当a2e1时，f(x)的零点个数为0
28、；当a2e1，或a0时，f(x)的零点个数为1；当0a2e1时，f(x)的零点个数为2(16分)14设函数f(x)xexasinxcosx(aR，其中e是自然对数的底数)(1) 当a0时，求f(x)的极值；(2) 若对于任意的x，f(x)0恒成立，求a的取值范围；(3) 是否存在实数a，使得函数f(x)在区间上有两个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由解：(1) 当a0时，f(x)xex，f(x)ex(x1)，令f(x)0，得x1(2分)列表如下：x(，1)1(1，)f(x)0f(x) 极小值 所以函数f(x)的极小值为f(1)，无极大值(4分)(2) 当a0时，由于对于任意x
29、，有sinxcosx0，所以f(x)0恒成立，当a0时，符合题意；(6分) 当0a1时，因为f(x)ex(x1)acos2xe0(01)acos01a0，所以函数f(x)在上为增函数，所以f(x)f(0)0，即当0a1时，符合题意；(8分) 当a1时，f(0)1a0，fe0，所以，存在，使得f()0，且在(0，)内，f(x)0，所以f(x)在(0，)上为减函数，所以f(x)f(0)0，即当a1时，不符合题意综上所述，a的取值范围是(，1(10分)故g(x)在上存在唯一的零点x0，(14分)即方程f(x)0在上存在唯一解x0且当x(0，x0)时，f(x)0；当x时，f(x)0，即函数f(x)在(0，x0)上单调递减，在上单调递增当x(0，x0)时，f(x)f(0)0，即f(x)在(0，x0)上无零点；当x时，由于f(x0)f(0)0，fe0，所以f(x)在上有唯一零点所以，当a1时，f(x)在上有一个零点综上所述，不存在实数a，使得函数f(x)在区间上有两个零点(16分)15已知函数有两个零点，求a的取值范围；【答案】又，取满足且，则，故存在两个零点学-