1、 专题二 压轴解答题第五关 以子数列或生成数列为背景的解答题【名师综述】中学研究的特殊数列只有等差数列与等比数列，一个是线性数列，一个是类指数数列，但数列性质却远远不止这些，因此新数列的考查方向是多样的、不定的，不仅可考查函数性质，而且常对整数的性质进行考查明确考查方向是解决以新数列为背景的解答题的前提，恰当运用对应性质是解决问题思想方法类型一 排序数列分类讨论问题典例1已知数列、满足，其中，则称为的“生成数列”（1）若数列的“生成数列”是，求；（2）若为偶数，且的“生成数列”是，证明：的“生成数列”是；（3）若为奇数，且的“生成数列”是，的“生成数列”是，依次将数列，的第项取出，构成数列探究
2、：数列是否为等比数列，并说明理由【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】试题分析：（1）解：，同理，；（2）只需按照定义证明即可，证明：，为偶数，将上述个等式中第2，4，6，这个式子两边取倒数，再将这个式子相乘得： ，因为，所以根据“生成数列”的定义，数列是数列的“生成数列”；（3）因为，所以所以欲证成等差数列，只需证明成等差数列即可试题解析：（1）解：，同理，4分（写对一个得1分，总分4分）（3）证明：因为，所以所以欲证成等差数列，只需证明成等差数列即可12分对于数列及其“生成数列”为奇数，将上述个等式中第2，4，6，这个式子两边取倒数，再将这个式子相乘得：因为，数列的“生成数列”
3、为，因为所以成对比数列同理可证，也成等比数列即是等比数列所以成等差数列16分【名师指点】由于新数列依赖于顺序，因此项数与项的对应关系是解决问题的关键，而项数与项对应关系往往需要讨论，因此分类标准的正确选择是考查的难点学-【举一反三】1对于数列，把作为新数列的第一 项，把或作为新数列的第 项，数列称为数列的一个生成数列例如，数列 的一个生成数列是已知数列为数列的生成数列，为数列的前项和（1）写出的所有可能值；（2）若生成数列满足，求数列的通项公式【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知，由于可能值为 （2），当时，当时，是的生成数列，在以上各种组合中，当且仅当时才成立2已知数列满足，其中，为非
4、零常数（1）若，求证： 为等比数列，并求数列的通项公式；（2）若数列是公差不等于零的等差数列求实数，的值；数列的前项和构成数列，从中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列试问：是否存在首项为的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由学-来源:【答案】（1）（2），【解析】为2为首项，3为公比的等比数列，（2）设 ，由得 ， ， 对任意恒成立令，2，3，解得，经检验，满足题意综上，由知设存在这样满足条件的四元子列，观察到2017为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数1若三个奇数一个偶数，设，是满足条件的四
5、项，则 ， ，这与1007为奇数矛盾，不合题意舍去2若一个奇数三个偶数，设，是满足条件的四项，则 ，由504为偶数知，中一个偶数两个奇数或者三个偶数1）若，中一个偶数两个奇数，不妨设，则 ，这与251为奇数矛盾2）若，均为偶数，不妨设，则，继续奇偶分析知，中两奇数一个偶数，不妨设，则 因为，均为偶数，所以为奇数，不妨设，当时， ，检验得，当时， ，检验得，当时， ，检验得，即，或者，或者，满足条件，综上所述，为全部满足条件的四元子列类型二 不定子数列性质探究问题典例2记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令（）若，请写出的值；（）求证：“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充要条件； （）若
6、，求证：存在，使得，有 【答案】（1），； （2）见解析； (3)见解析【解析】（）因为，所以，所以，（充分性）当数列是等差数列时，设其公差为因为，根据，的定义，有以下结论：，且两个不等式中至少有个取等号当，则必有，所以，所以是一个单调递增数列，所以，所以所以，即为等差数列当时，则必有，所以所以是一个单调递减数列，所以，所以所以，即为等差数列当，因为，中必有一个为0，根据上式，一个为0，则另一个亦为0，所以，所以为常数数列，所以为等差数列综上，结论得证（）假设结论不成立因为，即或者，所以对任意，一定存在，使得，符号相反所以在数列中存在，其中且 ，因为，即，注意，且有且仅有一个等号成立，所以必有
7、 ，所以，所以因为，所以，所以所以所以所以所以所以所以，这与矛盾，所以假设错误，所以存在，使得，有【名师指点】从原数列抽出子数列，其性质往往发生变化，但子数列在原数列中，因此需要结合原数列的性质（如单调性、奇偶性），进行分析子数列的性质【举一反三】已知数列的前项和，对任意正整数，总存在正数使得，恒成立：数列的前项和，且对任意正整数，恒成立（1）求常数的值；（2）证明数列为等差数列；（3）若，记 ，是否存在正整数，使得对任意正整数，恒成立，若存在，求正整数的最小值，若不存在，请说明理由【答案】（1）（2）见解析（3）正整数的最小值为4【解析】为正数-网又，且（2）当时，-得： ，即，又+得： ，
8、即来源:Z+X+X+K为等差数列（3），由（2）知为等差数列又由（1）知， ，又 ， ，令得，解得，时，即，时，即此时，即，的最大值为若存在正整数，使得对任意正整数，恒成立，则，正整数的最小值为4类型三 新数列中定义理解与应用问题典例3【2019江苏苏州上学期期末】定义：对于任意，仍为数列中的项，则称数列为“回归数列”（1）己知()，判断数列是否为“回归数列”，并说明理由；（2）若数列为“回归数列”，且对于任意，均有成立求数列的通项公式；求所有的正整数s，t，使得等式成立【答案】（1）不是“回归数列”，说明见解析（2），使得等式成立的所有的正整数s，的值是s1，t3【解析】（1）假设是“回归数
9、列”则对任意，总存在，使成立，即，即，此时等式左边为奇数右边为偶数，不成立，所以假设不成立所以不是“回归数列”；（2）因为，所以，所以且，又因为为“回归数列”，所以，即，所以数列为等差数列又因为所以所以，所以s无解当时，式整理，因为，所以s1综合所述，使得等式成立的所有的正整数s，的值是s1，t3【名师指点】本题三个难点，一是数列新定义，利用新定义确定等比数列首项，再代入等比数列通项公式求解，二是利用放缩法求证不等式，放缩目的，是将非特殊数列转化为特殊数列，从而可利用特殊数列性质，以算代征，三是结论含义的应用，实质又是一个新定义，只不过是新定义的性质应用【举一反三】设数列A：， ()如果对小于
10、()的每个正整数都有 ，则称是数列A的一个“G时刻”记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；（2）证明：若数列A中存在使得，则 ；（3）证明：若数列A满足- 1（n=2，3，N），则的元素个数不小于 -【答案】（1）的元素为和；（2）详见解析；（3）详见解析【解析】（3）当时，结论成立只要证明当时仍然成立即可试题解析：（1）的元素为和（2）因为存在使得，所以记，则，且对任意正整数因此，从而（3）当时，结论成立以下设由（）知设，记则对，记如果，取，则对任何从而且又因为是中的最大元素，所以从而对任意，特别地，对因此所以【精选名校模拟】1若数列中
11、不超过的项数恰为（），则称数列是数列的生成数列，称相应的函数是数列生成的控制函数学-（1）已知，且，写出、；（2）已知，且，求的前项和；（3）已知，且（），若数列中，是公差为（）的等差数列，且，求的值及的值【答案】（1） （2）（3），或【解析】（1），则 ；，则， ，则， （2）为偶数时，则，则；为奇数时，则，则；，为偶数时，则；为奇数时，则；，（3）依题意：，设，即数列中，不超过的项恰有项，所以，同理：即故由得，为正整数 ， 当时， 不合题意，舍去；当时， 不合题意，舍去；当时，适合题意，此时， 为整数 或， 当时， 无解当时， 无解当时， 当时， 无解 或综上：，或 2【20192019
12、上海浦东新区一模】已知平面直角坐标系xOy，在x轴的正半轴上，依次取点，并在第一象限内的抛物线上依次取点，使得都为等边三角形，其中为坐标原点，设第n个三角形的边长为求，并猜想不要求证明)；令，记为数列中落在区间内的项的个数，设数列的前m项和为，试问是否存在实数，使得对任意恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；已知数列满足：，数列满足：，求证：【答案】，；详见解析【解析】，猜想，由， 对任意恒成立证明：，记，则，记，则，当时，可知：，3【2019江苏南师大附中第一学期期中考】已知，都是各项为正数的数列，且，对任意的正整数n，都有，成等差数列，成等比数列（1）求数列和的通项公式；（2
13、）若存在p0，使得集合M恰有一个元素，求实数的取值范围【答案】（1）ann(n1)，bn(n1)（2）见解析 （2）令cn，则，当p3，数列cn单调递减，因为集合M中只有一个元素，所以c2c1， 即 ； 当p3，c1c2c3c4，M中不可能只有一个元素，所以不符合题意； 当0p1，数列cn单调递增，M中不可能只有一个元素，所以不符合题意；当1p3，令kN，即k是小于等于的最大整数，则p1若p1时，则c1c2ckck1ck2ck3，M中不可能只有一个元素，所 以不符合题意； 若1p时，则c1c2ckck1ck2ck3，且ck2ck，所以ck+2ck1，即；若p1时，则c1c2ckck1ck2ck
14、3，且ck2ck，所以ckck1，即；综上，当p3时，；当1p3时，取kN，（i）若1p时，； （ii）若p1时，4【2019苏北三市一模】已知数列满足对任意的，都有，且，其中，记（1）若，求的值；（2）设数列满足 求数列的通项公式； 若数列满足，且当时，是否存在正整数，使，成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由【答案】（1）1011（2）；，满足题意【解析】（1）当时，由，得，又，所以，又，所以（2）由，得，又，所以，又因为，所以，所以， ，所以由题意，得，因为，成等比数列，所以，即，所以，即由于，所以，即当时，得当时，由(*)，得为奇数，所以，即，代入(*)得，即，此时无正整
15、数解综上，5【2019江苏徐州2019届高三第一学期期中】设数列的各项均为不等的正整数，其前项和为，我们称满足条件“对任意的，均有”的数列为“好”数列（1）试分别判断数列，是否为“好”数列，其中，并给出证明；（2）已知数列为“好”数列 若，求数列的通项公式；来源:Z*xx*k.Com 若，且对任意给定正整数（），有成等比数列，求证：【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）若，则，所以，而，所以对任意的均成立，即数列是“好”数列； 若，取，则，此时，即数列不是“好”数列（2）因为数列为“好”数列，取，则，即恒成立当，有，两式相减，得（），即（），所以（），所以，即，即（），当时，有，即，
16、所以对任意，恒成立，所以数列是等差数列设数列的公差为， 若，则，即，因为数列的各项均为不等的正整数，所以，所以，所以 若，则，由成等比数列，得，所以，即化简得，即因为是任意给定正整数，要使，必须，不妨设，由于是任意给定正整数，所以6【2019江苏徐州一中上学期第一次月考】各项均为正数的数列中，设，且(1)设，证明：数列是等比数列；(2)设，求集合【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】(1)当时，即，解得(负值舍去)因为，所以 当时， 得，即，即，所以因为数列的各项均为正数，所以数列为递减数列，所以，所以因为，所以，所以数列是首项为1、公比为的等比数列(2)由(1)知，所以，又当时，两式相减得
17、 (对也成立)，即，由，得又当时，所以数列从第2项开始依次递减(i)当时，若，则，式不成立，所以，即令，则，所以，即存在满足题设的数组 7【2019北京通州第一学期期末考】一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则称这个数为质数质数的个数是无穷的设由所有质数组成的无穷递增数列的前项和为，等差数列1，3，5，7，中所有不大于的项的和为（）求和； ()判断和的大小，不用证明；（）设，求证：，使得【答案】()11，36 ()见解析；（）见解析【解析】()，； （）因为，所以当时，使得；当时，使得；当时，使得；当时，使得所以时，命题成立 当时，设是使得成立的最大自然数，只需证因为
18、，由()可知，当时，所以，从而所以，即综上可知，命题成立8【2019北京丰台第一学期期末】将阶数阵记作（其中，当且仅当时，）如果对于任意的，当时，都有，那么称数阵具有性质（）写出一个具有性质的数阵，满足以下三个条件：，数列是公差为2的等差数列，数列是公比为的等比数列；-网（）将一个具有性质A的数阵的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的阶数阵，记作数阵试判断数阵是否具有性质A，并说明理由【答案】（）（答案不唯一）； （）见解析【解析】（）（答案不唯一）来源:（）数阵具有性质A只需证明，对于任意的，都有，其中下面用反证明法证明：假设存在，则都大于，即在第列中，至少有个数大于，且
19、根据题意，对于每一个，都至少存在一个 ，使得，即在第列中，至少有个数小于所以，第列中至少有个数，这与第列中只有个数矛盾所以假设不成立所以数阵具有性质A9【2019上海静安高三上学期期末质检】将个数，的连乘积记为，将个数，的和记为（）（1）若数列满足，设，求；（2）用表示不超过的最大整数，例如，若数列满足，求的值；（3）设定义在正整数集上的函数满足：当（）时，问是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由（已知）【答案】（1）；（2）；（3）存在，且【解析】（1）由，得，或且，所以又，所以，从而=1（2）由，因为，所以，所以，因为，所以（3）若存在正整数n，则由已知得，且，因此所求
20、和的最后一项必定出现在1+2+3+17=153项之后，且，共有个，所以，所以，解得所以存在正整数n=166，使得10定义为n个正数的“均倒数”已知正项数列an的前n项的“均倒数”为（1）求数列an的通项公式（2）设数列的前n项和为，若4对一切恒成立试求实数m的取值范围(3)令，问：是否存在正整数k使得对一切恒成立，如存在求出k值，否则说明理由【答案】（1）；（2）；（3）存在正整数k=10使得对一切恒成立【解析】(1)设数列的前n项和为，由于数列an的前n项的“均倒数”为，所以，=，当，当，（对当成立），(2)=，=，对一切恒成立，解之得，即m的取值范围是(3)解法一：=，由于=，时，时，时取
21、得最大值，即存在正整数k=10使得对一切恒成立解法二：=，假设存在正整数k使得则为数列中的最大项，由得，又，k=10，即存在正整数k=10使得对一切恒成立学_11【2019上海华东师范大学第二附属中10月模拟】设数列an的前n项和为Sn若，则称an是“紧密数列”（1）已知数列an是“紧密数列”，其前5项依次为1、，求x的取值范围（2）若数列an的前n项和Sn=，判断an是否是“紧密数列”；并说明理由（3）设数列an是公比为q的等比数列，若数列an与Sn都是“紧密数列”，求q的取值范围【答案】（1） （2）是 （3）【解析】因为数列是“紧密数列”，则由题意得解得由可得：，两式相减可得当时，取到最
22、大值，则，则成立由题意可得，等比数列的公比为当时，则，数列与都是“紧密数列”，解得，当时，则，满足“紧密数列”的条件，故的取值范围为12【2019重庆綦江区实验中学模拟】已知曲线，过曲线上一点（异于原点）作切线（I）求直线与曲线的另一交点的坐标（结果用表达）；（II）在（I）的结论中，求出的递推关系若，求数列的通项公式；（III）在（II）的条件下，记，问是否存在自然数使得不等式对一切 恒成立，若存在，求出的最小值；否则请说明理由【答案】（）；（）；（III）2【解析】（I）y=， （II） （III）得： 此时M=2，m=013已知等差数列an、等比数列bn满足a1+a2=a3，b1b2=b
23、3，且a3，a2+b1，a1+b2成等差数列，a1，a2，b2成等比数列（1）求数列an和数列bn的通项公式；（2）按如下方法从数列an和数列bn中取项：第1次从数列an中取a1，第2次从数列bn中取b1，b2，第3次从数列an中取a2，a3，a4，第4次从数列bn中取b3，b4，b5，b6，第2n1次从数列an中继续依次取2n1个项，第2n次从数列bn中继续依次取2n个项，由此构造数列cn：a1，b1，b2，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12，记数列cn的前n项和为Sn，求满足Sn22014的最大正整数n【答案】(
24、) an=n，bn=2n；（）4037故an=n，bn=2n；（2）将a1，b1，b2记为第1组，a2，a3，a4，b3，b4，b5，b6记为第2组，a5，a6，a7，a8，a9，b7，b8，b9，b10，b11，b12记为第3组，；以此类推，则第n组中，有2n1项选取于数列an，有2n项选取于数列bn，前n组共有n2项选取于数列an，有n2+n项选取于数列bn，记它们的总和为Pn，并且有；则当时，当时，可得到符合Sn22014的最大的n=452+2012=403714若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质（1）若具有性质，且，求；（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，
25、判断是否具有性质，并说明理由；（3）设是无穷数列，已知求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”【答案】（1）（2）不具有性质（3）见解析【解析】（3）从充分性、必要性两方面加以证明，其中必要性用反证法证明试题解析：（1）因为，所以，于是，又因为，解得（2）的公差为，的公比为，所以，但，所以不具有性质（3）证充分性：当为常数列时，对任意给定的，只要，则由，必有充分性得证必要性：用反证法证明假设不是常数列，则存在，使得，而下面证明存在满足的，使得，但设，取，使得，则，故存在使得取，因为（），所以，依此类推，得但，即所以不具有性质，矛盾必要性得证综上，“对任意，都具有性质”的充要条件为“是
26、常数列”15已知数列满足数列 前项和为() 求数列的通项公式；（）若，求正整数的值；（）是否存在正整数，使得恰好为数列中的一项？若存在，求出所有满足条件的值，若不存在，说明理由www2【答案】() （）（III）或故4分（II）由，若，则 即，即 若，即 即，为正整数为正整数，即，即，但此时式为不合题意综上，9分（III）若为中的一项，则为正整数又，故若为中的某一项只能为，若无解；若，显然不符合题意，符合题意，当时，设，则即为增函数，故，即为增函数，故，故当时方程无解，即是方程唯一解；若即，综上所述，或16分16已知数列各项均为正数，且对任意恒成立，记的前项和为（1）若，求的值；（2）证明：对
27、任意正实数，成等比数列；（3）是否存在正实数，使得数列为等比数列若存在，求出此时和的表达式；若不存在，说明理由【答案】（1）（2）见解析（3）存在使数列为等比数列，此时，【解析】设公比分别为，则，又，即，设，则，且恒成立，数列是首项为，公比为的等比数列，问题得证；（3）在（2）中令，则数列是首项为3，公比为的等比数列， ，且，数列为等比数列，即即解得（舍去），从而对任意有，此时，为常数，满足成等比数列，当时，又，综上，存在使数列为等比数列，此时，17设首项为1的正项数列的前n项和为，且（1）求证：数列为等比数列；（2）数列是否存在一项，使得恰好可以表示为该数列中连续项的和？请说明理由；（3）设
28、试问是否存在正整数使成等差数列？若存在，求出所有满足条件的数组；若不存在，说明理由【答案】()见解析 （）不存在（3）（3）假设存在正整数数组，使成等差数列，则 9分所以，易知为方程（*）的一组解 11分来源:当时，故数列为递减数列 于是，所以此时方程（*）无正整数解 综上，存在唯一正整数数对，使成等差数列18记对数列和的子集T，若，定义；若，定义例如：时，现设是公比为3的等比数列，且当时，（1）求数列的通项公式；（2）对任意正整数，若，求证：；（3）设，求证：【答案】（1）（2）详见解析（3）详见解析【解析】（1）由已知得，于是当时，又，故，即，所以数列的通项公式为（2）因为，所以因此，（3）下面分三种情况证明-网若是的子集，则若是的子集，则若不是的子集，且不是的子集令，则，于是，进而由，得设是中的最大数，为中的最大数，则由（2）知，于是，所以，即又，故，从而，故，所以，即综合得，