1、专题二 压轴解答题第四关 以极值为背景的解答题【名师综述】极值点不同于零点，极值点不仅导数值为零（中学只研究可导函数），而且在其附近导数值要变号因此以极值为背景的解答题，不仅要考虑等量关系，更要注意不等量关系，这也是考查分类讨论思想的一个常见的载体类型一 求函数极值或单调区间或最值问题典例1【2019江苏扬州第一学期期末检测】已知函数，（e是自然对数的底数，e2718）（1）求函数的极值；（2）若函数在区间1，2上单调递增，求a的取值范围；（3）若函数在区间(0，)上既存在极大值又存在极小值，并且的极大值小于整数b，求b的最小值【答案】（1）见解析；（2）；（3）4【解析】（1），令，解得，列
2、表：2+0-极大值当时，函数取得极大值，无极小值（2）由，得 ，令，函数在区间上单调递增等价于对任意的，函数恒成立，解得（3），令，在上既存在极大值又存在极小值，在上有两个不等实根，即在上有两个不等实根当时，单调递增，当时，单调递减则，解得，在上连续且，在和上各有一个实根函数在上既存在极大值又存在极小值时，有，并且在区间上存在极小值，在区间上存在极大值，且， 令，当时，单调递减，即，则的极大值小于整数，满足题意的整数的最小值为4【名师指点】以导函数为研究对象，考查函数的极值，考查实数的取值范围的求法，考查函数的单调性，考查导数性质、构造法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于难
3、题典例2【2019江苏无锡模拟】已知函数，（1）当a1时，求：函数在点P(1，)处的切线方程；函数的单调区间和极值；（2）若不等式恒成立，求a的值【答案】（1）切线方程；单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为，无极小值；（2）1【解析】（1），所以，又，所以切线方程为，即，得+0-递增极大值递减可得函数的单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为，无极小值（）若，则在上，即单调递增，在上，即单调递减，又，所以恒成立，符合；学-（）若，则在上，即单调递减，又，所以在上，不符合综上可得的值为1【举一反三】已知函数当时，求函数的极值；若存在与函数，的图象都相切的直线，求实数的取值范围【答案】（1）当
4、时，函数取得极小值为，无极大值；（2）【解析】所以 所以当时，当时，所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，所以当时，函数取得极小值为，无极大值； （2）设函数上点与函数上点处切线相同，则 所以 所以，代入得： 设，则不妨设则当时，当时，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，代入可得： 设，则对恒成立，所以在区间上单调递增，又所以当时，即当时，又当时 因此当时，函数必有零点；即当时，必存在使得成立；即存在使得函数上点与函数上点处切线相同又由得： 所以单调递减，因此所以实数的取值范围是类型二 由极值确定参数取值范围问题典例3【2019江苏盐城南京一模】若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的
5、极值点设函数（1）若函数在上无极值点，求的取值范围；（2）求证：对任意实数，在函数的图象上总存在两条切线相互平行；（3）当时，若函数的图象上存在的两条平行切线之间的距离为4，问；这样的平行切线共有几组？请说明理由【答案】（1）或 （2）详见解析（3）3组【解析】（1）由函数，得，由，得，或，因函数在上无极值点，所以或，解得或（2）由（1）知，令，则，所以，即对任意实数，总有两个不同的实数根，所以不论为何值，函数在两点，处的切线平行设这两条切线方程为分别为和，若两切线重合，则，即，即，而=，化简得，此时，与矛盾，所以，这两条切线不重合，综上，对任意实数，函数的图象总存在两条切线相互平行（3）当时
6、，由（2）知时，两切线平行设，不妨设，过点的切线方程为所以，两条平行线间的距离，化简得，令，则，即，即，显然为一解，有两个异于的正根，所以这样的有3解，而，所以有3解，所以满足此条件的平行切线共有3组【名师指点】本题考查导数极值点的概念，以及函数切线方程题型较新，题意需要转换下可以解决，计算较难，计算量大，难度较高解题时注意问题的转化，第（2）题即为方程必有两个不等实根，可取为特殊值如1；第（3）题设出切点坐标，由得，写出两切线方程，求出两切线间距离由，可化简为，此方程解的个数即为题平行线组的组数这里转化较难【举一反三】已知函数恰有两个极值点，且（1）求实数的取值范围；=网（2）若不等式恒成立
7、，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）（2）由（1）得，两式相加得，故，两式相减可得，故所以等价于，所以，所以，即，所以，因为，令，所以，即，令，则在上恒成立，令，当时，所以在上单调递减，所以在上单调递增，所以符合题意当时，所以在上单调递增，故在上单调递减，所以不符合题意；当时，所以在上单调递增，所以所以在上单调递减，故不符合题意来源:Zxxk.Com综上所述，实数的取值范围是#网类型三 利用极值证明不等式问题典例4【2019江苏清江中学调研二】设函数为的导函数（1）若曲线与曲线相切，求实数的值；（2）设函数若为函数的极大值，且求的值； 求证：对于【答案】（1）（2）k=1，见证明【解析】（
8、1） ，设切点为，则曲线在点处的切线方程为，即，结合题设得所以所以实数的值为(2)：，所以，由，得，即两根为，因此，0+0极小值极大值结合题设，有，易知函数在区间是减函数，因此，时，即，证明：由由，所以，所以，所以在是减函数，所以时，由，时，所以，即对于成立典例5【2019江苏无锡上学期期末考】已知函数 f(x) = ax(a 0)(1) 当 a = 1 时，求证：对于任意 x 0，都有 f(x) 0 成立；(2) 若函数 y = f(x) 恰好在 x = x1 和 x = x2 两处取得极值，求证： e【解析】（1）因为，所以令得，x = -1，当时，；当时，所以函数的极小值点为x = -1
9、，不存在极大值点 （3）设函数，则，令得，当时，所以为（0，+）上单调增函数，至多1个零点，不符，舍去；当a 0时，得，由（1）知，为（-1，+）上单调增函数，所以在（0，+）上有唯一解，记为，即的根为当时，单调递减；当时，单调递增因为函数的零点个数为2下证：a e时，函数在（0，+）上的零点个数为2因为，根据的单调性结合零点存在性定理知，函数在（，x1）上存在一个零点，在（x1，2a）上存在一个零点，故函数在（0，+）上的零点个数为2，所以a e11【2019江苏南通调研】已知函数，(为常数)(1)若求函数在区间上的最大值及最小值学-若过点可作函数的三条不同的切线，求实数的取值范围(2)当时
10、，不等式恒成立，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】(1)因为，所以，从而令，解得或，列表：所以，设曲线切线的切点坐标为，则，故切线方程为，因为切线过点，所以，即，令，则，所以，当时，此时单调递增，当时，此时单调递减，所以，要使过点可以作函数的三条切线，则需，解得（2）当时，不等式等价于，令，则，所以，当时，此时函数单调递减；当时，此时函数单调递增，故若，则，此时；若，则，从而；综上可得12【2019江苏南京六校12月联考】已知函数(1)求的极大值；(2)当时，不等式恒成立，求的最小值；(3)是否存在实数，使得方程在上有唯一的根，若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由【答案】（1）；（
11、2）-1；（3）存在，且当符合题意【解析】（1），令，得当时，则在上单调递增，当时，则在上单调递减，故当时，的极大值为（2）不等式恒成立，即恒成立，记，则，当时，令，得，当时，此时单调递增，当时，此时单调递减，则，即，8分则，记，则，令，得当时，此时单调递减，当时，此时 单调递增，故的最小值为（3）记，由，故存在，使在上有零点，下面证明唯一性： 当时，故，在上无解当时，而，此时，单调递减，所以当符合题意13【2019江苏南京金陵中学第一学期期中考】设函数，其中x0，k为常数，e为自然对数的底数（1）当k0时，求的单调区间；（2）若函数在区间(1，3)上存在两个极值点，求实数k的取值范围；（3）
12、证明：对任意给定的实数k，存在()，使得在区间(，)上单调递增【答案】（1）单调递减区间为（0，3），单调递增区间为；（2）；（3）证明见解析【解析】，（1）当时，对任意的都成立所以，当时，；当时，所以，的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（2）由函数在区间（1，3）上存在两个极值点，得在区间（1，3）上至少有两个解，即在区间（1，3）至少有两个解令，则所以，当时，；当，所以在区间（1，2）上单调递减，在区间（2，3）上单调递增又，所以，且，即此时，存在x1(1，2)，x2(2，3)使得且当x(1，x1)时，当x(x1，x2)时，当x(x2，3)，满足条件所以k的取值范围为14【2019
13、江苏常州上学期期中调研】已知函数，若是函数的极值点，求曲线在点处的切线方程；若函数在区间上为单调递减函数，求实数a的取值范围；设m，n为正实数，且，求证：【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】，是函数的极值点，解得，经检验，当时，是函数的极小值点，符合题意此时切线的斜率为，切点为，则所求切线的方程为由知因为函数在区间上为单调递减函数，所以不等式在区间上恒成立即在区间上恒成立，当时，由可得，设，当且仅当时，即时，又因为函数在区间上为单调递减，在区间上为单调递增，且，所以当时，恒成立，即，也即则所求实数a的取值范围是，n为正实数，且，要证，只需证即证只需证设，来源:Z&xx&k.Com则在上
14、恒成立，即函数在上是单调递增，又，即成立，也即成立15【2019江苏常州上学期期中】已知函数若函数在内有且只有一个零点，求此时函数的单调区间；当时，若函数在上的最大值和最小值的和为1，求实数a的值【答案】（1）见解析；（2）【解析】，由，得到，当时，在区间上恒成立，即函数在区间上单调递增，又因为函数的图象过点，即，所以函数在内没有零点，不合题意，当时，由得，即函数在区间上单调递增，由得，即函数在区间在上单调递减，且过点，要使函数在内有且只有一个零点，则须，即，解得，综上可得函数在内有且只有一个零点时，此时函数的单调递增区间为，单调递减区间为当时，函数在，上单调递增，在上单调递减，此时函数有两个
15、极值点，极大值为，极小值为，且，若，即，也即时，此时，又，由可得，即，符合题意若，即，也即时，此时，由可得，即，不符合题意舍去，又，若，即，也即时，此时，由可得，即，不符合题意舍去若，即，也即时，此时，由可得，即，不符合题意舍去，综上所述可知所求实数a的值为16【2019江苏镇江上学期期中考】已知函数（1）若函数为奇函数，求实数a的值；学-（2）若对任意的1，1，不等式在1，1恒成立，求实数m的取值范围；（3）若在处取得极小值，且(0，3)，求实数a的取值范围【答案】（1）a=0（2）m17（3）【解析】（1）为奇函数，则，求得a=0（2）若，则令，对恒成立，则对恒成立，令，令则0+，1713
16、，m17（3），在处取得极小值且时，时，实数a的取值范围为17【2019江苏常州上学期期中考】设函数，其中， 若，求曲线在点处的切线方程； 若，求的极值； 若曲线与直线有三个互异的公共点，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）见解析；（3）【解析】（1）当，时，又，曲线在点处的切线方程为，即（2）当时，令，解得或；当变化时，的变化情况如下表：+00+单调增极大值单调减极小值单调增由上表可得，当时，函数有极大值，且极大值为，当时，函数有极小值，且极小值为（3）由，得，令，可得设函数，则曲线与直线有三个互异的公共点等价于函数有三个不同的零点； 又，（）当时，恒成立，此时在上单调递增，不合题意； （
17、）当时，令，解得，； 在上单调递增，在上单调递减，在上也单调递增； 的极大值为；极小值为； 若，由的单调性可知，函数至多有两个零点，不合题意；若，即，解得，此时，且，从而由的单调性可知，在区间，内各有一个零点，符合题意综上可得的取值范围是18【2019江苏泰州姜堰中学期中考】已知函数若，试证明：当时，；若对任意，均有两个极值点，试求b应满足的条件；当时，证明：【答案】（1）见解析（2），见解析，设，则，故在递减，在递增，故至多有2个零点；当时，且，又，由可知，是R上的连续函数，在，上各有1个零点，此时，为函数的2个不同的极值点，故符合题意；当时，取，则在递减，在递增，故，故时，故函数递增，没有极值点，不合题意，综上，当时，对任意，均有2个极值点；由知，为的两个实数根，在递减，下面先证，只需证明，得，设，学_则，故在递减，来源:又，时，在递减，问题转化为只需证明，即证明，设函数，则，设，则，在递增，即，在递增，当时，则，