1、专题二 压轴解答题第一讲 以解析几何中定点、定值为背景的解答题【名师综述】解析几何中的定值、定点、定线问题仍是高考考试的重点与难点，都是探求变中有不变的量一般运用函数与方程、转化与化归、数形结合、分类讨论、特殊到一般、相关点法、设而不求、换元、消元等基本思想方法类型一 定值问题来源:典例1【2019江苏镇江上学期期末考】已知椭圆：的长轴长为4，两准线间距离为设为椭圆的左顶点，直线过点，且与椭圆相交于，两点（1）求椭圆的方程；（2）若的面积为，求直线的方程；（3）已知直线，分别交直线于点，线段的中点为，设直线和的斜率分别为，求证：为定值【答案】（1）；（2）； （3）见解析【解析】（1）由题意可
2、知，解得，因为，解得，所以椭圆的方程为（2）因为，所以，所以，设直线：，代入椭圆，整理得，所以，即，解得，即，所以直线的方程为【名师指点】本题主要考查了椭圆的简单性质，转化思想及方程思想，一元二次方程求根公式，还考查了韦达定理及中点坐标公式、两点斜率公式，考查计算能力，属于难题【举一反三】1【2019江苏南京模拟】平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆上一动点的直线，过F2与x轴垂直的直线记为，右准线记为；设直线与直线相交于点M，直线与直线相交于点N，证明恒为定值，并求此定值 若
3、连接并延长与直线相交于点Q，椭圆的右顶点A，设直线PA的斜率为，直线QA的斜率为，求的取值范围【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题意知，则，又 可得，所以椭圆C的标准方程为 （2）M N 点（），点Q，= 点P在椭圆C上，=，的取值范围是2【2019江苏昆山第一学期期中考】如图，已知圆O的方程为，过点的直线与圆O交于点、，与负半轴交于点设，（1）若，求出、两点坐标来源:Zxxk.Com（2）当直线绕点转动时，试探究是否为定值【答案】（1）；（2）学-【解析】（1）设，因为，所以，所以，因此，由得（2）设，因为，所以因此，类型二 定点问题典例2【2019苏北三市第一次质量检测】如图，在平面
4、直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到右准线的距离为1过轴上一点 为常数，且的直线与椭圆交于两点，与交于点，是弦的中点，直线与交于点（1）求椭圆的标准方程；（2）试判断以为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由【答案】（1）（2）经过定点【解析】（1）由题意，得，解得，所以，所以椭圆C的标准方程为（2）由题意，当直线的斜率不存在或为零时显然不符合题意；所以设的斜率为，则直线的方程为，又准线方程为，所以点的坐标为，由得，即，所以，所以，从而直线的方程为，（也可用点差法求解），所以点的坐标为，所以以为直径的圆的方程为，即，因为该式对恒成立，令，得，所以以为直径的圆经过定
5、点【名师指点】圆锥曲线中定点问题的常见解法（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意【举一反三】1【2019江苏南通市如皋调研三】如图所示，抛物线的焦点为（1）求抛物线的标准方程；（2）过的两条直线分别与抛物线交于点，与，（点，在轴的上方）若，求直线的斜率；设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求证：直线过定点【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）因为，所以p=2，所以方程为（2）法一：，得，代入得，则，法二：由 得，代入求，而，
6、得法三：利用抛物线的定义转化为到准线的距离，得 （3），得，同理 代入得，又有， ，而， 当存在时，设直线：， 得：，得，过定点 当不存在时，检验得过定点综上所述，直线过定点2【2019江苏如东中学模拟二】如图，已知顶点，动点分别在轴，轴上移动，延长至点，使得，且（1）求动点的轨迹；（2）过点分别作直线交曲线于两点，若直线的倾斜角互补，证明：直线的斜率为定值；（3）过点分别作直线交曲线于两点，若，直线是否经过定点？若是，求出该定点，若不是，说明理由【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）【解析】（1）设，由，得，即因为，所以，所以所以动点的轨迹为抛物线，其方程为（2）证明：设点，若直线的倾斜角
7、互补，则两直线斜率互为相反数，又，所以，整理得，所以（3）因为，所以，即，直线的方程为：，整理得：，将代入得，即，当时，即直线经过定点类型三 定线问题典例3【2019江苏如皋中学10月月考】在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，两个顶点分别为，过点的直线交椭圆于，两点，直线与的交点为(1)求椭圆的标准方程； (2)求证：点在一条定直线上【答案】（1）；（2）见解析 (2)由题意知，直线与直线的斜率存在，故设直线的方程为，直线的方程为来源:Zxxk.Com联立方程组，消去y得，解得点同理，解得点由M，D，N三点共线，有，化简得由题设可知与同号，所以联立方程组，解得交点将代入点G的横坐标，得所以
8、，点G恒在定直线上【名师指点】（1）在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围（2）定点的探索与证明问题：探索直线过定点时，需考虑斜率存在不存在，斜率存在可设出直线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于直线系的思
9、想找出定点；从特殊情况入手，先探求定点再证明与变量无关【举一反三】1如图，已知是椭圆的长轴顶点，是椭圆上的两点，且满足，其中、分别为直线AP、QB的斜率（1）求证：直线和的交点在定直线上；（2）求证：直线过定点；（3）求和面积的比值【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2【解析】（1）根据题意，可设直线的方程为，直线的方程为，则直线和的交点的横坐标满足：，即因此直线和的交点在定直线上（2）由（1），可设点的坐标为，则直线的方程为，直线的方程为，联立方程，得消去得，设，则根据根与系数的关系，得，即，代入直线的方程得，故联立方程，得消去得，设，则，即，代入直线的方程得，故，当，即时，直线与轴的
10、交点为，当，即时，下证直线过点，故直线过定点（3）由题意知，再结合（2）中相关结论知，故2如图，设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，的面积为（1）求该椭圆的标准方程；学-（2）是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）存在满足条件的圆，其方程为【解析】从而，由得，因此所以，故因此，所求椭圆的标准方程为：【精选名校模拟】1【2019江苏南京期末调研】如图，在平面直角坐标系中，分别为椭圆的左、右焦点动直线过点，且与椭圆相交于，两点（直线与轴不重合）（1）若点的坐标为，
11、求点坐标；（2）点，设直线，的斜率分别为，求证：；（3）求面积最大时的直线的方程【答案】(1) (2)见证明；(3) 【解析】（1）因为直线经过点，所以直线的方程为由解得或所以（2）因为直线与轴不重合，故可设直线的方程为设，由得，所以，因为，在直线上，所以，所以，从而 因为，所以 （3）方法一：的面积 由（2）知，故 ，设函数因为，所以在上单调递增，所以当，即时，取最小值10即当时，的面积取最大值，此时直线的方程为2【2019江苏如东中学二模】已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率，且椭圆的短轴长为2（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线l1，l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为1，设l
12、1，l2分别与椭圆交于点A，B和C，D求ABCD的值；设AB的中点M，CD的中点为N，求OMN面积的最大值【答案】（1）；（2）；【解析】（）由题意得2b=2，b=1，a2=b2+c2，a=，c=1，椭圆的方程为（2）由题意知k0，右焦点 设 ： 设A（ ）B() 因为l1，l2的斜率乘积为1，所以 ，所以= +=3，过定点 可通过特殊情形猜想，若有定点，则在x 轴上在k0，k1的情况下，设直线l的方程为：x=ky+1，直线l的方程为：，由（2）得，y= ，故，即M（，），则N()（12分）可得直线MN的方程：，来源:Zxxk.Com即，则，即y=，故直线MN过定点（或令y=0，即得x=），易
13、验证当k=0，k=1时，结论仍成立综上：直线MN过定点，所以S= = ，所以面积最大3【2019江苏七校期中联考】已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点为椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点（1）求椭圆的方程；（2）求证：直线AS与BS的斜率的乘积为定值；（3）求线段MN的长度的最小值【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为，故椭圆的方程为 （2）设， （3）（常规方法，函数思想）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而，由得0，设则得，从而，即又由得 ，故又，当且仅当，即时等号成立时，线段的长度取最小值4【2019江
14、苏如皋第一学期调研一】已知椭圆T的焦点分别为F1(1，0)、F2(1，0)，且经过点P(，)（1）求椭圆T的标准方程；（2）设椭圆T的左右顶点分别为A、B，过左焦点的直线与椭圆交于点C、D，ABD和ABC的面积分别为S1、S2，求的最大值；（3）设点M在椭圆T外，直线ME、MF与椭圆T分别相切于点E、F，若MEMF，求证：点M在定圆上【答案】（1）（2）点M在定圆上【解析】（1）设所求的方程为，其中，且，解得，椭圆T的标准方程为（2）点A、B的坐标分别为、，设点C、D的坐标为、，因为要构成三角形，又直线CD过焦点，则C、D分别在x轴两侧，所以，不妨设，则，直线CD过焦点，且斜率不为0，设直线C
15、D方程为，与椭圆方程联立消元得，、是该方程的两个异号实根，当时，；当时，；当且仅当，即时取等号综上，的最大值为（3）当直线ME、MF斜率分别不存在和为0时，ME、MF分别垂直于坐标轴，点M坐标为或或或，则（定值），其中O是坐标原点，点M在定圆上当直线ME、MF斜率存在且不为0时，设点M坐标为，设直线ME、MF的方程分别为、，可以统一为的形式，并与椭圆方程联立消元得：，直线ME、MF与椭圆相切，则，直线ME、MF与椭圆相切，则，展开化简得：（且），、可以看作是这个方程的两根，由得，即，并且此时方程中的判别式恒成立，点M也在定圆上综上，点M在定圆上5【2019江苏泰州姜堰中学期中考】已知椭圆C：的
16、左右顶点为A、B，右焦点为F，一条准线方程是，短轴一端点与两焦点构成等边三角形，点P、Q为椭圆C上异于A、B的两点，点R为PQ的中点求椭圆C的标准方程；直线PB交直线于点M，记直线PA的斜率为，直线FM的斜率为，求证：为定值；=网若，求直线AR的斜率的取值范围【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】椭圆的一条准线方程是，可得，短轴一端点与两焦点构成等边三角形，可得，解得，即有椭圆方程为；证明：由，设直线PB的方程为，联立椭圆方程，可得，解得或，即有，则，即为定值由，可得，即，设AP的方程为，代入椭圆方程，可得，解得或，即有，将t换为可得，则R的坐标为，即有直线AR的斜率，可令，则，则，当时，当
17、且仅当时上式取得等号，同样当时，时，则AR的斜率范围为6【2019江苏南通市如皋上学期调研三】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左右顶点分别是，为直线上一点（点在轴的上方），直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为（1）若的面积是的面积的，求直线的方程；（2）设直线与直线的斜率分别为，求证：为定值；（3）若的延长线交直线于点，求线段长度的最小值【答案】（1）；（2）见解析（3）【解析】（1） ，即为的中点，代入椭圆方程得：，直线方程为： （3）， 得， ，当且仅当时取最小值7【2019江苏南京上学期期中考】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆离心率是，焦点到相应准线的距离是3（1）求椭圆
18、的方程；（2）如图，设A是椭圆的左顶点，动圆过定点E（1，0）和F（7，0），且与直线x4交于点P，Q求证：AP，AQ斜率的积是定值；设AP，AQ分别与椭圆交于点M，N，求证：直线MN过定点【答案】（1）；（2）见解析；见解析【解析】（1）设椭圆的焦距为，由题意可得，所以，因为椭圆的焦点到相应准线的距离为，得c=1，所以，因此，椭圆的方程为（2）设动圆的圆心坐标为，则圆的方程为，设点，令，可得，则AP、AQ的斜率之积为（定值）设直线MN的方程为，设点将直线MN的方程代入椭圆方程并化简得，由韦达定理可得因为A、M、P三点共线，则，由于，所以，则，同理可得，由来源:，解得t=1，因此，直线MN过定
19、点（1，0）8【2019江苏南通一中期中考】已知椭圆上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连接交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；（3）在（2）的条件下，过点的直线与椭圆交于两点，求的取值范围【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）【解析】（1）由题意可得解得，椭圆C的方程为（2）如图所示：设直线PB的方程为yk（x4），B（x1，y1），E（x2，y2），则A（x1，y1）联立，消去y化为方程（1+2k2）x216k2x+32k240，直线PB与椭圆有两个不同的交点，（16k2）24（1+2k2）（32k24）0（*）x1+x2，直线AE的方程为，令y0，则故直线AE过定点Q（1，0）!网（3）当直线MN与x轴重合时，（2，0）（2，0）4当直线MN与x轴不重合时，设直线MN的方程为myx1，联立消去x化为方程（2+m2）y2+2my30，可知0，可得yM+yN，yMyNxMxN+yMyN（myM+1）（myN+1）+yMyN（1+m2）yMyN+m（yM+yN）+14+，m20，的取值范围是综上可知：的取值范围是