1、专题二 压轴解答题第二关 以解析几何中离心率、最值、范围为背景解答题【名师综述】解析几何中的范围、最值和离心率问题仍是高考考试的重点与难点，试题难度较大注意分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想等的应用，如解析几何中的最值问题往往需建立求解目标函数，通过函数的最值研究几何中的最值类型一 离心率问题典例1【2019江苏南京模拟】设双曲线与直线相交于两个不同的点求双曲线的离心率的取值范围【答案】【解析】由双曲线C与直线l相交于两个不同的点，知方程组有两个不同的实数解消去y并整理得：，所以，解得且所以双曲线的离心率因为且，所以且，故离心率e的取值范围为【名师指点】本题考查双曲线的几何性质及其应
2、用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)【举一反三】已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为_【答案】类型二 最值、范围问题典例2【2019江苏扬州第一学期期末检测】在平面直角坐标系中，椭圆M：(ab0)的离心率为，左右顶点分別为A，B，线段AB的长为4P在椭圆M上且位于第一象限，过点A，B分别作l
3、1PA，l2PB，直线l1，l2交于点C（1）若点C的横坐标为1，求P点的坐标；（2）直线l1与椭圆M的另一交点为Q，且，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意得，解得a2，c1，b2a2c23，椭圆M的方程是1，且A（2，0），B（2，0），设P（x0，y0），则kPA，l1PA，直线AC的方程为y（x+2），同理：直线BC的方程为y（x2）联立方程，解得，又y0，点C的坐标为（x0，y0），点C的横坐标为1，x01，又P为椭圆M上第一象限内一点y0P点的坐标为（2）设Q（xQ，yQ），解得：，点Q在椭圆M上，又，整理得：，解得：x02或，P为椭圆M上第一象限内一点，解得：，
4、故的取值范围为（，）【名师指点】求最值、范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围例3【2019江苏清江中学第二次调研】在平面直角坐标系中，已知点F为抛物线的焦点，点A在抛物线E上，点B在x轴上，且是边长为2的等边三角形（1）求抛物线E的方程；（2）设C是抛物线E上的动点，直线为抛物线E在点C处的切线，求点B到直线距离的最小值，并求此时点C的坐标【答案
5、】（1）（2）最小值为2，【解析】（1）因为是边长为2的等边三角形，所以，将代入得，解得或（舍去）所以抛物线的方程(2)设点，直线的方程为，由，得，因为直线为抛物线在点处的切线，所以，解得，所以直线的方程为，所以点到直线的距离为，当且仅当，即时取得最小值2，此时学-【举一反三】1【2019江苏南通三县第一学期期末联考】如图，A是椭圆的左顶点，点P，Q在椭圆上且均在x轴上方（1）若直线AP与OP垂直，求点P的坐标；（2）若直线AP，AQ的斜率之积为，求直线PQ的斜率的取值范围【答案】(1) (2) 【解析】（1）设，则，因为直线AP与OP垂直，所以，即，得 又点P在椭圆上，所以由得或-2（舍去）
6、，代入得，因为点P在x轴上方，所以（2）由于直线AP，AQ的斜率之积为，点P，Q在椭圆上且均在x轴上方所以可设直线AP，AQ的斜率分别为，则，所以直线AP的方程为，联立得，设，则，即，同理可得，所以直线PQ的斜率为，因为，所以，注意到，点P，Q不重合，所以等号不成立，所以，所以直线PQ的斜率的取值范围为2已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，且与抛物线的焦点重合（1）求椭圆的标准方程；（2）若过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，求的最小值-网【答案】（1）椭圆的标准方程为；（2）的最小值为【解析】（1）抛物线的焦点为，所以，又因为，所以，所以，所以椭圆的标准方程为 易知的斜率为，所以
7、 来源：来源：ZxxkCom当，即时，上式取等号，故的最小值为（ii）当直线的斜率不存在或等于零时，易得综上：的最小值为类型三 面积问题典例3【2019江苏锡期末考】在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：的离心率为，且过点 (，)，点 P 在第四象限，A 为左顶点，B 为上顶点，PA 交 y 轴于点 C，PB 交 x 轴于点 D(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 求 PCD 面积的最大值【答案】（1）； （2）【解析】（1）由已知得，点（，）代入1可得来源:代入点（，）解得b21，a=2，椭圆C的标准方程：（2）可得A（2，0），B（0，1）设P（m，n），m0，n0，且PA：，PB
8、：，可得C（0，），D（）由，可设则令，则，则又，当时，取得最大值，最大值为1【名师指点】对于平面图形的面积问题，可以直接表示或者可以利用割补的办法，将面积科学有效表示，其中通过设直线和曲线的交点，利用韦达定理是解决该种问题的关键本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆和直线相交所形成的三角形的面积计算及面积最大值的求法，考查利用三角换元求最大值，综合性较强，属于较难的题目求解椭圆中三角形的面积问题，一方面要利用几何关系表示面积，另一方面求出面积的表达后，要选择合适的方法来求最值典例4【2019江苏如东中学模拟二】已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率，且椭圆的短轴长为2（1）求椭圆的标
9、准方程；（2）已知直线l1，l2过右焦点F2，且它们的斜率乘积为1，设l1，l2分别与椭圆交于点A，B和C，D求ABCD的值；设AB的中点M，CD的中点为N，求OMN面积的最大值【答案】（1）（2）【解析】（）由题意得2b=2，b=1，a2=b2+c2，a=，c=1，椭圆的方程为（2）由题意知k0，右焦点 设 ： 设A（ ）B()， 来源:，因为l1，l2的斜率乘积为1，所以 ，所以= +=3，过定点 可通过特殊情形猜想，若有定点，则在x 轴上在k0，k1的情况下，设直线l的方程为：x=ky+1，直线l的方程为：，由（2）得，y= ，故，即M（，），则N()（12分）可得直线MN的方程：，即，
10、则，即y=，故直线MN过定点（或令y=0，即得x=），易验证当k=0，k=1时，结论仍成立综上，直线MN过定点，所以S= = ，所以面积最大【举一反三】已知是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且离心率为(1)求椭圆的方程；(2)若的角平分线所在的直线与椭圆的另一个交点为为椭圆上的一点，当面积最大时，求点的坐标【答案】(1) (2) 【解析】(1)由椭圆经过点，离心率，可得，解得，所以椭圆的标准方程为直线的方程为，设过点且平行于的直线为来源:Z|xx|k.Com由，整理得由，解得，因为为直线在轴上的截距，依题意，故解得，所以点的坐标为【精选名校模拟】1【2019江苏如皋第一学期调研三】在平面直角坐标
11、系中，已知定点，点在轴上运动，点在轴上运动，点为坐标平面内的动点，且满足，（1）求动点的轨迹的方程；（2）过曲线第一象限上一点（其中）作切线交直线于点，连结并延长交直线于点，求当面积取最大值时切点的横坐标【答案】（1）；（2）【解析】（1）设，因为，所以，所以（2）切线：，将代入得，直线：，将代入得，因为在抛物线上且在第一象限，所以，所以，设，2【2019江苏七市联考】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 的左焦点为，右顶点为，上顶点为（1）已知椭圆的离心率为，线段中点的横坐标为，求椭圆的标准方程；（2）已知外接圆的圆心在直线上，求椭圆的离心率的值【答案】（1）（2）【解析】（1）因为椭圆 的
12、离心率为，所以，则因为线段中点的横坐标为，所以所以，则，所以椭圆的标准方程为（2）因为，所以线段的中垂线方程为：又因为外接圆的圆心C在直线上，所以因为，所以线段的中垂线方程为：由C在线段的中垂线上，得，整理得，即因为，所以，所以椭圆的离心率3【2019江苏南京期末调研】如图，在平面直角坐标系中，分别为椭圆的左、右焦点动直线过点，且与椭圆相交于，两点（直线与轴不重合）（1）若点的坐标为，求点坐标；（2）点，设直线，的斜率分别为，求证：；（3）求面积最大时的直线的方程【答案】(1) (2)见证明；(3) 【解析】（1）因为直线经过点，所以直线的方程为由解得或所以（3）方法一：的面积 由（2）知，故
13、 ，设函数因为，所以在上单调递增，所以当，即时，取最小值10来源:Zxxk.Com即当时，的面积取最大值，此时直线的方程为方法二：的面积 由（2）知，故 ，因为，所以，所以，即时，的面积取最大值因此，的面积取最大值时，直线的方程为学-4【2019江苏清江中学模拟】如图，设点为椭圆的右焦点，圆过且斜率为的直线交圆于两点，交椭圆于点两点，已知当时，（1）求椭圆的方程（2）当时，求的面积【答案】（1）；（2）【解析】(1)因为直线过点，且斜率所以直线的方程为，即，所以圆心到直线的距离为，又因为，圆的半径为，所以，即，解之得，或（舍去）所以，所以所示椭圆的方程为(2)由(1)得，椭圆的右准线方程为，离
14、心率，则点到右准线的距离为，所以，即，把代入椭圆方程得，因为直线的斜率，所以， 因为直线经过和，所以直线的方程为，联立方程组得，解得或，所以，所以的面积5【2019江苏泰州上学期期末考】如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：的左顶点为A，点B是椭圆C上异于左、右顶点的任一点，P是AB的中点，过点B且与AB垂直的直线与直线OP交于点Q，已知椭圆C的离心率为，点A到右准线的距离为6（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点Q的横坐标为，求的取值范围【答案】（1）（2）（4，8）【解析】（1）依题意，有：，即，又6，所以，6，解得：2，c1，b，所以，椭圆C的方程为：，6【2019江苏连云港第一学期期末
15、考】已知椭圆的离心率，且经过点，为椭圆的四个顶点（如图），直线过右顶点且垂直于轴（1）求该椭圆的标准方程；（2）为上一点（轴上方），直线，分别交椭圆于，两点，若，求点的坐标【答案】（1）（2）【解析】（1）因的离心率，且经过点，所以解得，所以椭圆标准方程为（2）由（1）知椭圆方程为，所以直线方程为，设，则直线的方程为，联立方程组消得，所以点的横坐标为；又直线的方程为联立方程组消得，所以点的横坐标为由得，则有，则，化简得，解得，因为，所以，所以点的坐标为7【2019江苏七校联盟期中联考】已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点为椭圆上位于轴上方的动点，直线与直线分别交于两点（1）
16、求椭圆的方程；（2）求证：直线AS与BS的斜率的乘积为定值；（3）求线段MN的长度的最小值【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为 故椭圆的方程为 （2）设 （3）（常规方法，函数思想）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而 由得0设则得，从而即又由得 故又当且仅当，即时等号成立时，线段的长度取最小值8【2019江苏如皋第一学期调研一】已知椭圆T的焦点分别为F1(1，0)、F2(1，0)，且经过点P(，)（1）求椭圆T的标准方程；（2）设椭圆T的左右顶点分别为A、B，过左焦点的直线与椭圆交于点C、D，ABD和ABC的面积分别为S1、S2，求的最
17、大值；（3）设点M在椭圆T外，直线ME、MF与椭圆T分别相切于点E、F，若MEMF，求证：点M在定圆上【答案】（1）（2）点M在定圆上【解析】（1）设所求的方程为，其中，且，解得，椭圆T的标准方程为（2）点A、B的坐标分别为、，设点C、D的坐标为、，因为要构成三角形，又直线CD过焦点，则C、D分别在x轴两侧，所以，不妨设，则，直线CD过焦点，且斜率不为0，设直线CD方程为，与椭圆方程联立消元得，、是该方程的两个异号实根，当时，当时，当且仅当，即时取等号，综上，的最大值为（3）当直线ME、MF斜率分别不存在和为0时，ME、MF分别垂直于坐标轴，点M坐标为或或或，则（定值），其中O是坐标原点，点M
18、在定圆上当直线ME、MF斜率存在且不为0时，设点M坐标为，设直线ME、MF的方程分别为、，可以统一为的形式，并与椭圆方程联立消元得：，直线ME、MF与椭圆相切，则直线ME、MF与椭圆相切，则展开化简得：（且），、可以看作是这个方程的两根，由得，即，并且此时方程中的判别式恒成立，点M也在定圆上综上，点M在定圆上9【2019江苏苏北四市第一学期期末考】如图，在平面直角坐标系中，已知直线：，抛物线： （）（1）若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程；（2）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和求证：线段PQ的中点坐标为；求的取值范围【答案】（1）（2）见证明；【解析】（1）抛物线： （）的焦点为，由
19、点在直线：上得，即，所以抛物线的方程为 （2）设、，线段的中点因为点和关于直线对称，所以直线垂直平分线段，于是的方程可设为由得（），因为和是抛物线上相异两点，所以，从而，化简得，方程（）的两根为，从而因为在直线上，所以，因此，线段的中点坐标为 因为在直线上，所以，即由知，于是，所以，即的取值范围为10【2019江苏明德实验学校12月调研】把半椭圆（x0）与圆弧（xc）2+y2=a2（x0）合成的曲线称作“曲圆”，其中F（c，0）为半椭圆的右焦点如图，A1，A2，B1，B2分别是“曲圆”与x轴、y轴的交点，已知B1FB2=，扇形FB1A1B2的面积为（1）求a，c的值；学- （2）过点F且倾斜角
20、为的直线交“曲圆”于P，Q两点，试将A1PQ的周长L表示为的函数；（3）在（2）的条件下，当A1PQ的周长L取得最大值时，试探究A1PQ的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出面积的取值范围-【答案】（1）a=2，c=1；（2）见解析；（3）【解析】（1）根据椭圆的性质有，根据扇形面积公式得，由于，故（2）由（1）知，故半椭圆方程为，圆弧的方程为且恰好是椭圆的左焦点显然直线的斜率不能为，故设的方程为当时，分别在圆弧和半椭圆上，为腰为的当腰三角形，故的周长当时，分别圆弧和半椭圆上，同理可求得的周长当时，都在半椭圆上，此时的周长（3）由（2）知，当都在半椭圆上时，的周长取得最大值将直线
21、的方程代入椭圆方程并化简得，所以，由弦长公式得，点到直线的距离，故三角形的面积，令，而在上递增，故，所以11【2019江苏前黄高级中学、溧阳中学检测二】在平面直角坐标系中，已知椭圆的左右顶点为，右焦点为，一条准线方程是，点为椭圆上异于的两点，点为的中点（1）求椭圆的标准方程；来源:Z#xx#k.Com（2）直线交直线于点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值；（3）若，求直线斜率的取值范围【答案】（1）；（2）见解析；（3）【解析】（1）设椭圆焦距为，右焦点为， 一条准线方程是，椭圆的标准方程为；（3）设直线，代入，消去整理得 ，由，得，直线，同理可得 ，点为的中点，又，设，则，当时，当时，或，或综上可知直线斜率的取值范围是