1、北师大版2019-2020学年九年级（上）第二次月考数学模拟试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1（3分）若，则的值是ABCD52（3分）如图，直线，另两条直线分别交、于点、及点、，且，则ABCD3（3分）（易错题）如图，中，是延长线上一点，交于点，交于点，则下列结论中错误的是ABCD4（3分）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学九章算术中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为A1.25尺B57.5尺C6.25尺D56.5尺5（3分）如图，在中，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是ABCD6（3分）
2、如图， 已知和，点在边上， 点在边上， 边和边相交于点 如果，那么添加下列一个条件后， 仍无法判定与一定相似的是A B C D 7（3分）如图，正方形中，为上一点，交的延长线于点若，则的长为A18BCD8（3分）在平行四边形中，点在上，且，的延长线与的延长线交于点，则为ABCD9（3分）如图，在正方形网格中，和相似，则关于位似中心与相似比叙述正确的是A位似中心是点，相似比是B位似中心是点，相似比是C位似中心在点，之间，相似比为D位似中心在点，之间，相似比为10（3分）如图，在中，的平分线相交于点，过点作交于点，则的长为ABCD二、填空题（每小题3分，共12分）11（3分）有一块多边形草坪，在设
3、计图纸上的面积为，其中一条边的长度为，经测量，这条边的实际长度为，则这块草坪的实际面积是12（3分）在中，点在边上，且，点在边上，当 时，以、为顶点的三角形与相似13（3分）如图，在五角星中，且、两点都是的黄金分割点，则的长是14（3分）如图，三个正方形的边长分别为2，6，8；则图中阴影部分的面积为 三、解答题（共78分）15（12分）解下列方程：（1）（2）（3）（4）16（6分）如图，在中，点是边上的一点，交于点，过点作，交于点求证：17（6分）如图，、为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞工程人员为了计算工程量，必须计算、两点之间的直线距离，选择测
4、量点、，点、分别在、上，现测得千米、千米，米、米、米，求、两点之间的直线距离18（6分）我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为的条件下生长最快的新品种如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度随时间（小时）变化的函数图象，其中段是双曲线的一部分请根据图中信息解答下列问题：（1）恒温系统在这天保持大棚内温度的时间有多少小时？（2）求的值；（3）当时，大棚内的温度约为多少度？19（6分）关于的方程（1）试证明无论取何实数这个方程都是一元二次方程；（2）当时，解这个方程20（8分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每
5、天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？21（8分）如图，矩形中，、的平分线、分别交边、于点、（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当为多少度时，四边形是菱形？请说明理由22（8分）如图，在中，点在边上移动（点不与点，重合），满足，且点、分别在边、上（1）求证：；（2）当点移动到的中点时，求证：平分23（8分）如图，有四张背面完全相同的纸牌、，其正面分别画有四个不同的几
6、何图，这四张纸牌背面朝上洗匀（1）从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则如下：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形，则小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏公平吗？请用列表或画树状图的方法说明（纸牌用、24（10分）某兴趣小组开展课外活动如图，两地相距12米，小明从点出发沿方向匀速前进，2秒后到达点，此时他在某一灯光下的影长为，继续按原速行走2秒到达点，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点，此时他在同一
7、灯光下的影长为（点，在一条直线上）（1）请在图中画出光源点的位置，并画出他位于点时在这个灯光下的影长（不写画法）；（2）求小明原来的速度参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1（3分）若，则的值是ABCD5【分析】根据比例设，再用表示出，然后代入比例式进行计算即可得解【解答】解：，设，故选：【点评】本题考查了比例的性质，利用“设法”分别表示出、可以使计算更加简便2（3分）如图，直线，另两条直线分别交、于点、及点、，且，则ABCD【分析】易知直线，根据平行线分线段成比例定理对各选项分析即可【解答】解：，故选【点评】本题考查平行线分线段成比例定理的运用3（3分）（易错题）如图，中，是
8、延长线上一点，交于点，交于点，则下列结论中错误的是ABCD【分析】本题中可利用平行四边形中两对边平行的特殊条件来进行求解【解答】解：四边形是平行四边形（第一个正确），（第二个正确），（第三个正确）第四个无法证得，故选【点评】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似4（3分）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学九章算术
9、中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为A1.25尺B57.5尺C6.25尺D56.5尺【分析】根据题意可知，根据相似三角形的性质可求，进一步得到井深【解答】解：依题意有，即，解得，尺故选：【点评】考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是得到5（3分）如图，在中，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是ABCD【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可【解答】解：、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似
10、，故本选项正确、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选：【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键6（3分）如图， 已知和，点在边上， 点在边上， 边和边相交于点 如果，那么添加下列一个条件后， 仍无法判定与一定相似的是A B C D 【分析】利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可由得到；利用或可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似先判断，再利用有两组角对应相等的两个三角形相似判定，从而得到，于是可对各选项进行判断 【解答】解： 当时， 则，而，所以；当，则，而，所以，又因为，所以，而，所以，所以；
11、当，则，而，所以，又因为，所以，而，所以，所以故选：【点评】本题考查了相似三角形的判定： 两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似 7（3分）如图，正方形中，为上一点，交的延长线于点若，则的长为A18BCD【分析】先根据题意得出，故可得出的长，再求出的长，根据即可得出结论【解答】解：四边形是正方形，即，解得，即，解得故选：【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键8（3分）在平行四边形中，点在上，且，的延长线与的延长线交于点，则为ABCD【分析】利用平行四边形的性质得出，进而利用相似三角形的性质得出，进而得
12、出答案【解答】解：在平行四边形中，故选：【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，得出是解题关键9（3分）如图，在正方形网格中，和相似，则关于位似中心与相似比叙述正确的是A位似中心是点，相似比是B位似中心是点，相似比是C位似中心在点，之间，相似比为D位似中心在点，之间，相似比为【分析】在正方形网格中，和相似，连接，即可得到位似中心在点，之间，相似比为【解答】解：如图，在正方形网格中，和相似，连接，位似中心在点，之间，又，相似比为，故选：【点评】本题考查了正方形的性质、位似图形，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做
13、位似图形，这个点叫做位似中心10（3分）如图，在中，的平分线相交于点，过点作交于点，则的长为ABCD【分析】延长交于点，作、作，由可证四边形是矩形，由角平分线可得、，从而知四边形是正方形，再证、得、，设，则、，由可得，即、，再证可得，据此得出【解答】解：如图，延长交于点，作于点，作于点，、，四边形是矩形，平分、平分，四边形是正方形，在和中，同理，设，则、，解得：，即，解得：，则，故选：【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及正方形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质和正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键二、填空题（每小题3分，共12分）11（3分）
14、有一块多边形草坪，在设计图纸上的面积为，其中一条边的长度为，经测量，这条边的实际长度为，则这块草坪的实际面积是【分析】根据面积比是比例尺的平方比，即可求得实际面积【解答】解：由题意可知，设草坪的实际面积为，又图纸与实际的比例为，所以有所以草坪的实际面积为故答案为：【点评】本题考查了相似多边形的性质的应用，能根据相似多边形的性质得出方程是解此题的关键，注意：相似多边形的面积比等于相似比的平方12（3分）在中，点在边上，且，点在边上，当或时，以、为顶点的三角形与相似【分析】若，为顶点的三角形与相似时，则或，分情况进行讨论后即可求出的长度【解答】解：当时，此时；当时，此时；故答案为：或【点评】本题考
15、查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，解题的关键是分两种情况进行讨论13（3分）如图，在五角星中，且、两点都是的黄金分割点，则的长是【分析】利用黄金分割的定义得到，然后利用进行计算【解答】解：、两点都是的黄金分割点，即，故答案为【点评】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点 其中，并且线段的黄金分割点有两个14（3分）如图，三个正方形的边长分别为2，6，8；则图中阴影部分的面积为21【分析】根据正方形的性质来判定，再根据相似三角形的对应线段成比例求得的值；同理，求得，即；然后再来求梯形的面积即可【解答】解：如图
16、，根据题意，知，又，；同理得，；所以，则图中阴影部分的面积为21【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定及性质、以及梯形面积的计算，解决本题的关键是利用三角形的性质定理与判定定理三、解答题（共78分）15（12分）解下列方程：（1）（2）（3）（4）【分析】（1）利用十字相乘法进行因式分解；（2）利用因式分解法得到两个一元一次方程相乘等于0求解；（3）把方程整理成，然后方程左边加上一次项系数一半的平方，利用配方法解方程即可；（4）把方程整理成，然后利用因式分解法得到两个一元一次方程相乘等于0求解【解答】解：（1），或，；（2），或，；（3）整理得：，；（4）整理得：，【点评】本题考查了一元二次
17、方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法16（6分）如图，在中，点是边上的一点，交于点，过点作，交于点求证：【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明【解答】证明：，【点评】本题考查相似三角形的判定、平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型17（6分）如图，、为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞工程人员为了计算工程量，必须计算、两点之间的直线距离，选择测量点、，点、分别在、上，现测得千米、千米，米、米、米，求、两点之间的直线距离【分析】先
18、根据相似三角形的判定得出，再利用相似三角形的性质解答即可【解答】解：在与中，又，即，解得：米，答：、两点之间的直线距离是1500米；【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质；熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键18（6分）我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为的条件下生长最快的新品种如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度随时间（小时）变化的函数图象，其中段是双曲线的一部分请根据图中信息解答下列问题：（1）恒温系统在这天保持大棚内温度的时间有多少小时？（2）求的值；（3）当时，大棚内的温度约为多少度？【分析】（1）根据图象直接得出大棚温度的
19、时间为（小时）；（2）利用待定系数法求反比例函数解析式即可；（3）将代入函数解析式求出的值即可【解答】解：（1）恒温系统在这天保持大棚温度的时间为小时（2）点在双曲线上，解得：（3）当时，所以当时，大棚内的温度约为【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键19（6分）关于的方程（1）试证明无论取何实数这个方程都是一元二次方程；（2）当时，解这个方程【分析】（1）要证明无论取何实数这个方程都是一元二次方程，只要说明无论为什么值时的值都不是0，可以利用配方法来证明；（2）当时，就可以求出方程的具体形式，解方程就可求出方程的解【解答】解：（1），无论取何实数关于的方程都是
20、一元二次方程；（2）当时，原方程变为，解得【点评】本题主要理解配方法，证明一个二次三项式大于或小于0的方法20（8分）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【分析】（1）设每千克核桃降价元，利用销售量每件利润元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折【解
21、答】（1）解：设每千克核桃应降价元 分 根据题意，得 分 化简，得 解得，分答：每千克核桃应降价4元或6元 分（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元 因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元 此时，售价为：（元，设按原售价的折出售，则有：，解得答：该店应按原售价的九折出售【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程21（8分）如图，矩形中，、的平分线、分别交边、于点、（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当为多少度时，四边形是菱形？请说明理由【分析】（1）由矩形可得，结合平分、平分得，即可知，根据即可得证；（2）当时，四边形是菱形，由角平分线
22、知、，结合可得，即，即可得证【解答】证明：（1）四边形是矩形，、，平分、平分，又，四边形是平行四边形；（2）当时，四边形是菱形，平分，四边形是矩形，又四边形是平行四边形，四边形是菱形【点评】本题主要考查矩形的性质、平行四边形、菱形，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定与菱形的判定是解题的关键22（8分）如图，在中，点在边上移动（点不与点，重合），满足，且点、分别在边、上（1）求证：；（2）当点移动到的中点时，求证：平分【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和和平角的定义得到，于是得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到，等量代换得到，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】解
23、：（1），；（2），点是的中点，平分【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键23（8分）如图，有四张背面完全相同的纸牌、，其正面分别画有四个不同的几何图，这四张纸牌背面朝上洗匀（1）从中随机摸出一张，求摸出的牌面图形是中心对称图形的概率（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则如下：先由小明随机摸出一张纸牌，不放回，再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形都是轴对称图形，则小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏公平吗？请用列表或画树状图的方法说明（纸牌用、【分析】（1）首先根据题意结合概率公式可得答案；（2）首先根据已知列表，
24、求得摸出两张牌面图形的形状，继而求得小明赢与小亮赢的概率，比较概率的大小，即可知这个游戏是否公平【解答】解：（1）共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有2种，所以摸到正面是中心对称图形的纸牌的概率是；（2）列表得：共产生12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两张牌都是轴对称图形的有6种，（两张都是轴对称图形），因此这个游戏公平【点评】本题考查的是游戏公平性的判断，以及概率判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平24（10分）某兴趣小组开展课外活动如图，两地相距12米，小明从点出发沿方向匀速前进，2秒后到达点，此时他在某一灯光下的影长为，继续按原速行走2秒到达点，此
25、时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点，此时他在同一灯光下的影长为（点，在一条直线上）（1）请在图中画出光源点的位置，并画出他位于点时在这个灯光下的影长（不写画法）；（2）求小明原来的速度【分析】（1）利用中心投影的定义画图；（2）设小明原来的速度为，则，根据相似三角形的判定方法得到，则，所以，即，然后解方程解决【解答】解：（1）如图，（2）设小明原来的速度为，则，点，在一条直线上，即，解得，经检验为方程的解，小明原来的速度为答：小明原来的速度为【点评】本题考查了相似三角形的应用：从实际问题中抽象出几何图形，然后利用相似比计算相应线段的长也考查了中心投影