1、北师大版2019-2020九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（共10小题）1（3分）已知，则下面结论成立的是ABCD2（3分）下列线段中，能成比例的是A、B、C、D、3（3分）如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是4（3分）若，且，则的值是A14B42C7D5（3分）如图，与相交于点，若，则的长为A4B10C11D126（3分）如图，则的值是ABCD7（3分）下列说法正确的是A矩形都是相似图形B各角对应相等的两个五边形相似C等边三角形都是相似三角形D各边对应成比例的两个六边形相似8（3分）如图，在中，点是边上的一点，若，的面积为3，则的面积为A12B9C6
2、D39（3分）有一块直角边，的的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为ABCD10（3分）如图，点是边长为的正方形的对角线上的动点，过点分别作于点，于点，连接并延长，交射线于点，交射线于点，连接交于点，当点在上运动时（不包括、两点），以下结论中：；的最小值是其中正确结论是ABCD二、填空题（共6小题）11（3分）若，则 12（3分）一个诺大的舞台，当主持人站在黄金分割点处时，不仅看起开美观，而且音响效果也非常好，若舞台的长度为10米，那么，主持人到较近的一侧应为米13（3分）如图，要使，需补充的条件是 （只要写出一种）14（3分）兴趣小组的同学要测量树的高度在
3、阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为 15（3分）如图，在矩形中，截去一个正方形后，使剩下的矩形对开后与原矩形相似，那么原矩形中 16（3分）如图，在直线上摆放着三个三角形：、，已知，、分别是、的中点，设图中三个平行四边形的面积依次是，若，则三、解答题（共9小题）17计算：18化简：19如图， 已知： 在正方形中，是边上一定点， 连接 请用尺规作图法， 在上作一点，使 （不 写作法， 保
4、留作图痕迹）20已知、为的三边长，且，求三边的长21如图，已知，它们依次交直线、于点、和、若，（1）求的长（2）如果，求的长22如图，四边形四边形，试求出及的大小23已知，如图，在四边形中，延长、相交于点求证：（1）；（2）24如图，河对岸有一路灯杆，在灯光下，小亮在点处测得自己的影长，沿方向从后退4米到处，测得自己的影长，如果小亮的身高为，求路灯杆的高度25问题1：如图，在中，是上一点（不与，重合），交于点，连接设的面积为，的面积为（1）当时，；（2）设，请你用含字母的代数式表示问题2：如图，在四边形中，是上一点（不与，重合），交于点，连接设，四边形的面积为，的面积为请你利用问题1的解法或结
5、论，用含字母的代数式表示参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）1（3分）已知，则下面结论成立的是ABCD【分析】根据比例的性质，可得答案【解答】解：、，正确；、，错误；、，错误；、，错误；故选：【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键2（3分）下列线段中，能成比例的是A、B、C、D、【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段【解答】解：根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段所给选项中，只有符合，故选【点评】理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等
6、进行判断3（3分）如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是【分析】设各小正方形的边长为1，根据勾股定理分别表示出已知阴影三角形的各边长，同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两三角形相似可得出左图中的阴影三角形与已知三角形相似的选项【解答】解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为，2，、因为三边分别为：，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；、因为三边分别为：1，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似；、因为三边分别为：1，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；、因为
7、三边分另为：2，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似，故选：【点评】此题考查了相似三角形的判定以及勾股定理的运用；相似三角形的判定方法有：1、二对对应角相等的两三角形相似；2、两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；3、三边长对应成比例的两三角形相似；4、相似三角形的定义本题利用的是方法34（3分）若，且，则的值是A14B42C7D【分析】根据比例的基本性质，把比例式转换为等积式后，能用其中一个字母表示另一个字母，达到约分的目的即可【解答】解：设，则，又，则，得，即，所以故选【点评】根据已知条件得到关于未知数的方程，从而求得各个字母，再进一步计算代数式的值5（3分）如图，与相交
8、于点，若，则的长为A4B10C11D12【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出，即可求出答案【解答】解：，故选：【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据平行线分线段成比例定理得出比例式是解此题的关键6（3分）如图，则的值是ABCD【分析】过点作交于，如图，利用平行线分线段成比例定理，由得到，则，由得到，则，然后计算的值【解答】解：过点作交于，如图，而，则，则，故选：【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例7（3分）下列说法正确的
9、是A矩形都是相似图形B各角对应相等的两个五边形相似C等边三角形都是相似三角形D各边对应成比例的两个六边形相似【分析】根据相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等对各选项分析判断后利用排除法求解【解答】解：矩形对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项错误； 各角对应相等的两个五边形相似，对应角相等，对应边不一定成比例，所以不一定是相似图形，故本选项错误； 等边三角形对应角相等，对应边成比例，所以是相似三角形，故本选项正确； 各边对应成比例的六边形对应角不一定相等，所以不一定是相似六边形，故本选项错误；故选：【点评】本题考查了相似图形的定义，熟记定义是解题的关键，要注意从边与
10、角两个方面考虑解答8（3分）如图，在中，点是边上的一点，若，的面积为3，则的面积为A12B9C6D3【分析】由、可得出，根据相似三角形的性质结合，可求出的值，将其代入中即可求出结论【解答】解：，故选：【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求出的值是解题的关键9（3分）有一块直角边，的的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为ABCD【分析】过点作，垂足为，交于，三角形的面积公式求出的长度，由相似三角形的判定定理得出，设边长，根据相似三角形的对应边成比例求出的长度可得【解答】解：如图，过点作，垂足为，交于，设，则有：，解得，故选：【点评】本
11、题主要考查把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出边长，熟练掌握对应高的比等于相似比是关键10（3分）如图，点是边长为的正方形的对角线上的动点，过点分别作于点，于点，连接并延长，交射线于点，交射线于点，连接交于点，当点在上运动时（不包括、两点），以下结论中：；的最小值是其中正确结论是ABCD【分析】错误，正确想办法证明即可；正确只要证明，可得，推出，根据对称性可知：，可得；错误利用矩形的性质可知，当时，的值最小，最小值为1；【解答】解：错误因为当点与中点重合时，显然；正确连接交于根据对称性可知，四边形是矩形，正确，根据对称性可知：，错误四边形是矩形，当
12、时，的值最小，此时、共线，的最小值为1，的最小值为1；故选：【点评】本题考查正方形的性质、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题二、填空题（共6小题）11（3分）若，则2【分析】去掉分母，然后整理求解即可【解答】解：，故答案为：2【点评】本题考查了比例的性质，比较简单，用含的式子表示出分子是解题的关键12（3分）一个诺大的舞台，当主持人站在黄金分割点处时，不仅看起开美观，而且音响效果也非常好，若舞台的长度为10米，那么，主持人到较近的一侧应为米【分析】根据黄金比为进行计算，即可得到答案【解答】解：如图，设舞台的长度为10米
13、，是黄金分割点，则米，米，故答案为：【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值0.618叫做黄金比13（3分）如图，要使，需补充的条件是或或（只要写出一种）【分析】要使两三角形相似，已知有一组公共角，则可以再添加一组角相等或添加该角的两边对应成比例【解答】解：当或或时，【点评】这是一道考查相似三角形的判定方法的开放性的题，答案不唯一14（3分）兴趣小组的同学要测量树的高度在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落
14、在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为11.8米【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似据此可构造出相似三角形【解答】解：根据题意可构造相似三角形模型如图，其中为树高，为树影在第一级台阶上的影长，为树影在地上部分的长，的长为台阶高，并且由光沿直线传播的性质可知即为树影在地上的全长；延长交于，则，物高：影长又，即树高为11.8米【点评】本题考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中光的传播原理，构造直角三角形是解决本题关键，属于中等题目1
15、5（3分）如图，在矩形中，截去一个正方形后，使剩下的矩形对开后与原矩形相似，那么原矩形中或2【分析】用和表示出，然后分两种情况利用相似多边形对应边成比例列式计算即可得解【解答】解：四边形是正方形，剩下的矩形对开后与原矩形相似，即，整理得，解得，（舍去），或，整理得，综上所述，或2故答案为：或2【点评】本题考查了相似多边形的性质，主要利用了相似多边形对应边成比例的性质，难点在于要分情况讨论16（3分）如图，在直线上摆放着三个三角形：、，已知，、分别是、的中点，设图中三个平行四边形的面积依次是，若，则8【分析】根据题意，证明与两个平行四边形的高相等，长是的2倍，与的长相等，高是的一半，把和用来表示
16、，从而计算出的值【解答】解：由已知三个平行四边形得：，设与交于，与交于，是的中点，与两个平行四边形的高相等，是的中点，与的底相等，与两个平行四边形的底的比是，与的高的比为，故答案为：8【点评】本题考查了面积及等积变换、三角形中位线定理和平行线等分线段定理及平行四边形的面积求法，平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积即其中可以是平行四边形的任何一边，必须是边与其对边的距离，即对应的高三、解答题（共9小题）17计算：【分析】先进行二次根式的乘法运算，再利用绝对值的意义和零指数幂的意义计算，然后合并即可【解答】解：原式【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，
17、然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍18化简：【分析】先将括号内分式通分、除式的分母因式分解，再计算减法，最后除法转化为乘法后约分即可得【解答】解：原式【点评】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则19如图， 已知： 在正方形中，是边上一定点， 连接 请用尺规作图法， 在上作一点，使 （不 写作法， 保留作图痕迹）【分析】过点作，利用相似三角形的判定解答即可 【解答】解： 如图所示， 点即为所求：，【点评】此题考查作图相似变换， 关键是根据相似三角形的判定解
18、答 20已知、为的三边长，且，求三边的长【分析】根据等式的性质，可用表示，根据解方程，可得答案【解答】解：设，得，解得，【点评】本题考查了比例的性质，利用等式的性质得出，是解题关键21如图，已知，它们依次交直线、于点、和、若，（1）求的长（2）如果，求的长【分析】（1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出，即可求出的长；（2）过点作交于点，交于点，得出，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出，即可得出结果【解答】解：（1），（2）过点作交于点，交于点，如图所示：又，【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用
19、平行线分线段成比例求出是解决问题的关键22如图，四边形四边形，试求出及的大小【分析】根据四边形四边形相似的性质，得出对应边的比相等，对应角相等即可【解答】解四边形四边形，四边，【点评】本题考查了相似四边形的性质，掌握相似四边形的性质对应边的比相等，对应角相等是解题的关键23已知，如图，在四边形中，延长、相交于点求证：（1）；（2）【分析】（1）根据邻补角的定义得到，即可得到结论；（2）根据相似三角形的性质得到，由于，得到，由相似三角形的性质得到，等量代换得到，即可得到结论【解答】证明：（1），；（2），【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，邻补角的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题
20、的关键24如图，河对岸有一路灯杆，在灯光下，小亮在点处测得自己的影长，沿方向从后退4米到处，测得自己的影长，如果小亮的身高为，求路灯杆的高度【分析】利用及得到相关比例式，求得的值，进而代入和有关的比例式，求得的值即可【解答】解：，同理可得，解得，解得答：路灯杆高【点评】考查相似三角形的应用；利用相似三角形的知识得到的长是解决本题的关键25问题1：如图，在中，是上一点（不与，重合），交于点，连接设的面积为，的面积为（1）当时，；（2）设，请你用含字母的代数式表示问题2：如图，在四边形中，是上一点（不与，重合），交于点，连接设，四边形的面积为，的面积为请你利用问题1的解法或结论，用含字母的代数式表
21、示【分析】问题（1）先根据平行线分线段成比例定理可得：，由同高三角形面积的比等于对应底边的比，则，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得：，可得结论；（2）解法一：同理根据（1）可得结论；解法二：作高线、，根据三角形面积公式可得：，分别表示和的值，代入可得结论；问题解法一：如图2，作辅助线，构建，证明，得，由问题1的解法可知：，根据相似三角形的性质得：，可得结论；解法二：如图3，连接交于，根据，可得，得：，由问题1的结论可知：，证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，根据面积和可得结论【解答】解：问题（1），即，故答案为：；（2）解法一：，即；解法二：如图1，过点作于，过作于，则，即；问题2：如图，解法一：如图2，分别延长、交于点，由问题1的解法可知：，即；解法二：如图3，连接交于，且，由问题1的结论可知：，【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定、平行线分线段成比例定理，熟练掌握相似三角形的性质：相似三角形面积比等于相似比的平方是关键，并运用了类比的思想解决问题，本题有难度