1、北师大版2019-2020学年年级（上）第二次月考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1（3分）如图所示，该几何体的主视图是ABCD2（3分）已知是方程的一个根，则方程的另一个根是A1B2CD3（3分）如图， 一小鸟受伤后， 落在阴影部分的概率为A B C D 14（3分）方程的解是AB，C，D5（3分）下列命题中，不正确的是A菱形的四条边相等B对角线相等的平行四边形是矩形C平行四边形邻边相等D正方形对角线相等且互相垂直平分6（3分）下列四条线段中，不能成比例的是A，B，C，D，7（3分）一元二次方程的根的情况为A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C只有一个实数根D没
2、有实数根8（3分）如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于ABCD9（3分）某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为，则可列方程为ABCD10（3分）如图所示，中若，则下列比例式正确的是ABCD二、填空题（每题4分，共16分）11（4分）若，则 12（4分）若，则13（4分）如图，四边形与四边形位似，位似中心点是，则 14（4分）如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米若设道路宽为米，则根据题意可列出方程为 三、解答题（本大题共6个小题，共5
3、4分）15（12分）解方程：（1）（2）16（6分）已知关于的一元二次方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根（2）如果方程的两实数根为，且，求的值17（8分）如图，在等腰三角形中，点是边上的一个动点（不与、重合），在上取一点，使（1）求证：；（2）设，求关于的函数关系式并写出自变量的取值范围18（8分）阅读下文并解答问题：（1）小丽袋子中卡片上分标有1，2，3，4；小兵袋子中卡片上分别标有1，2，3分别用、表示小冬从小丽、小兵袋子中抽出的卡片上标有的数字，请用树状图法或列表法写出的所有取值情况；（2）求概率19（10分）小明想用镜子测量一棵松树的高度，但因树旁有一条河，不能测量镜子与树之间的
4、距离，于是他两次利用镜子，如图所示，第一次他把镜子放在点，人在点时正好在镜子中看到树尖；第二次把镜子放在点，人在点正好看到树尖已知小明的眼睛距离地面，量得，请你求出松树的高20（10分）如图1，点为正方形的边上一点，于点，交于点，交于点，在上取一点，使连接（1）求证：；（2）如图2，连接交于点，连接，交于试判断与的位置关系，并说明理由；若，求的长四、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）21（4分）已知分别是线段上的两个黄金分割点，且，则 22（4分）已知，是方程的两根，则的值等于23（4分）菱形的一条对角线长为6，边的长是方程的一个根，则菱形的周长为 24（4分）如图，正方形中，为中点，
5、两个动点和分别在边和上运动且，若与以、为顶点的三角形相似，则25（4分）如图，中，正方形、正方形公共顶点记为点，其余的各个顶点都在的边上，若，则 五、解答题（共3小题，满分30分）26（8分）关于的方程有两个不相等的实数根（1）求的取值范围（2）是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由27（10分）科技驱动新零售商业变革的时代已经来临，无人超市的经营模式已在全国各地兴起，某家无人超市开业以来，经测算，为销售型商品每天需固定支出的费用为400元，若型商品每件的销售利润不超过9元，每天销售型商品的数量为280件，若型商品每件的销售利润超过9元，则每超过1
6、元，每天销售型商品的数量减少10件，设该家无人超市型商品的销售利润为元件，型商品的日净收入为元（日净收入型商品每天销售的总利润型商品每天固定的支出费用）（1）试求出该超市型商品的日净收入为（元与型商品的销售利润（元件）之间的关系式；（2）该超市能否实现型商品的销售日净收入3000元的目的？如能实现，求出型商品的销售利润为多少元件？如不能实现，请说明理由；（3）请问该超市型商品的销售利润为多少元件时，能获得型商品的最大日净收入？28（12分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，点坐标，点在轴正半轴上，且，点从原点出发，以每秒一个单位长度的速度沿轴正方向移动，移动时间为秒，过点作平行于轴的直
7、线，直线扫过四边形的面积为（1）求点坐标（2）求关于的函数关系式（3）在直线移动过程中，上是否存在一点，使以、为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1（3分）如图所示，该几何体的主视图是ABCD【分析】根据主视图的概念求解可得【解答】解：主视图为，故选：【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键2（3分）已知是方程的一个根，则方程的另一个根是A1B2CD【分析】根据根与系数的关系得出，即可得出另一根的值【解答】解：是方程的一个根，则方程的另一个根是：，故选：【点评
8、】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键3（3分）如图， 一小鸟受伤后， 落在阴影部分的概率为A B C D 1【分析】阴影部分面积与长方形总面积之比即落在阴影部分的概率 【解答】解： 落在阴影部分的概率为 故选【点评】用到的知识点为： 概率相应的面积与总面积之比 4（3分）方程的解是AB，C，D【分析】移项，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可【解答】解：，故选：【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键5（3分）下列命题中，不正确的是A菱形的四条边相等B对角线相等的平行四边形是矩形C平行
9、四边形邻边相等D正方形对角线相等且互相垂直平分【分析】由菱形的性质得出选项正确；由矩形的判定得出选项正确；由平行四边形的性质得出选项不正确；由正方形的性质得出选项正确；即可得出结论【解答】解：菱形的四条边相等；正确；对角线相等的平行四边形是矩形；正确；平行四边形邻边相等；不正确；正方形对角线相等且互相垂直平分；正确；故选：【点评】本题考查了命题与定理的知识；熟练掌握菱形、平行四边形、正方形的性质、矩形的判定是解题的关键6（3分）下列四条线段中，不能成比例的是A，B，C，D，【分析】若，成比例，即有只要代入验证即可【解答】解：、，则，即，成比例；、，则故，成比例；、四条线段中，任意两条的比都不相
10、等，因而不成比例；、，即，故，成比例故选：【点评】本题主要考查了成比例的定义，并且注意叙述线段成比例时，各个线段的顺序，难度适中7（3分）一元二次方程的根的情况为A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C只有一个实数根D没有实数根【分析】先计算判别式得到，然后根据判别式的意义判断方程根的情况【解答】解：根据题意，所以方程有两个不相等的实数根故选：【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根8（3分）如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于ABCD【分析】根据正方形的对角线平分一组对角求出，根据菱形的对角线平分一组对角
11、可得，计算即可得解【解答】解：是正方形的对角线，是菱形的对角线，故选：【点评】本题主要考查了正方形的对角线平分一组对角，菱形的对角线平分一组对角的性质，熟记性质是解题的关键9（3分）某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为，则可列方程为ABCD【分析】三月份的营业额一月份的营业额增长率），把相关数值代入即可【解答】解：二月份的营业额为，三月份的营业额为，即所列的方程为，故选：【点评】考查列一元二次方程；得到三月份的营业额的关系是解决本题的关键10（3分）如图所示，中若，则下列比例式正确的是ABCD【分析】用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得
12、到答案【解答】解：，四边形是平行四边形，；，故选：【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理的理解及运用找准对应关系，避免错选其他答案二、填空题（每题4分，共16分）11（4分）若，则【分析】根据，求出，代入求出即可【解答】解：，故答案为：；【点评】本题考查了比例的性质的应用，能求出是解此题的关键12（4分）若，则2【分析】因为，所以根据等式的基本性质可知：，即可求解【解答】解：，故故答案为：2【点评】本题主要考查了运用公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解决本题的关键13（4分）如图，四边形与四边形位似，位似中心点是，则【分析】直接利用位似图形的性质得出，进而得出答案【解答】解：如图所示：
13、四边形与四边形位似，故答案为：【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键14（4分）如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米若设道路宽为米，则根据题意可列出方程为【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程【解答】解：设道路的宽应为米，由题意有，故答案为：【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键三、解答题（本大题共6个小题，
14、共54分）15（12分）解方程：（1）（2）【分析】（1）根据直接开方法即可求出答案；（2）根据配方法即可求出答案；【解答】解：（1），或；（2），；【点评】本题一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型16（6分）已知关于的一元二次方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根（2）如果方程的两实数根为，且，求的值【分析】根据根与系数的关系即可求出答案【解答】解：（1）由题意可知：，方程有两个不相等的实数根（2），或【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型17（8分）如图，在等腰三角形中，点是边上的一个动
15、点（不与、重合），在上取一点，使（1）求证：；（2）设，求关于的函数关系式并写出自变量的取值范围【分析】（1）根据两角相等证明：；（2）如图1，作高，根据直角三角形的性质求的长，根据勾股定理求的长，则可得的长，根据（1）中的相似列比例式可得函数关系式，并确定取值；【解答】证明：（1）是等腰三角形，且，；（2）如图1，过作于，则，化简得：；【点评】本题是相似形的综合题，考查了三角形相似的性质和判定、等腰三角形的性质、直角三角形角的性质，本题的几个问题全部围绕，解决问题；难度适中18（8分）阅读下文并解答问题：（1）小丽袋子中卡片上分标有1，2，3，4；小兵袋子中卡片上分别标有1，2，3分别用、表
16、示小冬从小丽、小兵袋子中抽出的卡片上标有的数字，请用树状图法或列表法写出的所有取值情况；（2）求概率【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图即可求得所有等可能的结果；（2）从所列12种等可能结果中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得【解答】解：（1）画树状图得：所有的情况为，；（2）由（1）知共有12种等可能结果，其中的有6种结果，的概率为【点评】此题考查了树状图与列表法求概率此题难度不大，注意概率所求情况数与总情况数之比19（10分）小明想用镜子测量一棵松树的高度，但因树旁有一条河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，如图所示，第一次他把镜子放在点，人在点时正好
17、在镜子中看到树尖；第二次把镜子放在点，人在点正好看到树尖已知小明的眼睛距离地面，量得，请你求出松树的高【分析】根据反射定律可以推出，所以可得、，再根据相似三角形的性质解答【解答】解：根据反射定律可以推出，、，设，解得答；这棵古松的高约为10.2米【点评】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题20（10分）如图1，点为正方形的边上一点，于点，交于点，交于点，在上取一点，使连接（1）求证：；（2）如图2，连接交于点，连接，交于试判断与的位置关系，并说明理由；若，求的长【分析】（1）如图1，根据同角的余角相等可得：，证明
18、，即可得出；（2）根据同位角相等，两直线平行，由，则，则；如图2，先证明，则，可知、是的三等分点，则，根据勾股定理得：，由平行线分线段成比例定理的比例式，计算和的长，由勾股定理可得的长，由，则，列比例式可得结论【解答】（1）证明：四边形是正方形，；（2）解：，理由如下：，是等腰直角三角形，；在和中，由勾股定理得：，是等腰直角三角形，【点评】本题考查了四边形综合题，其中涉及到了正方形的性质、全等三角形的判定与性质及平行线分线段成比例定理等知识，解答（3）时，注意分段计算和、的长，利用平行线的性质证得三角形相似是解题的关键四、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）21（4分）已知分别是线段上的
19、两个黄金分割点，且，则【分析】根据黄金比值是，求出、的长，根据代入计算得到答案【解答】解：、是上的两个黄金分割点，故答案为：【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割22（4分）已知，是方程的两根，则的值等于5【分析】将、分别代入已知方程，求得、的值，然后将其代入所求的代数式并求值即可【解答】解：，是方程的两根，即的值等于5故答案是：5【点评】本题主要考查了方程的解的定义方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值23（4分）菱形的一条对角线长为6，边的长是方程的一个根，则菱形的周长为16【分析】边的长是方程的一个根，解方程求得
20、的值，根据菱形的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形的周长【解答】解：解方程得：或4对角线长为6，不能构成三角形；菱形的边长为4菱形的周长为【点评】由于菱形的对角线和两边组成了一个三角形，根据三角形两边的关系来判断出菱形的边长是多少，然后根据题目中的要求进行解答即可24（4分）如图，正方形中，为中点，两个动点和分别在边和上运动且，若与以、为顶点的三角形相似，则或【分析】根据勾股定理求出，分和两种情况，根据相似三角形的性质计算即可【解答】解：正方形中，为中点，由勾股定理得，当时，即，解得，同理，当时，为或，故答案是：或【点评】本题考查的是相似三角形的性质、正方形的
21、性质，掌握相似三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键25（4分）如图，中，正方形、正方形公共顶点记为点，其余的各个顶点都在的边上，若，则【分析】过作垂线，垂足为，可证，设，则，可列二元一次方程组：，求出、的值，代入求出即可【解答】解：在中，由勾股定理得：，过作于，四边形和四边形是正方形，同理，在、中，同理，设，则，可列一元二次方程组：解得：，故答案为：【点评】本题考查了正方形性质，相似三角形的性质和判定，三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，有一定的难度五、解答题（共3小题，满分30分）26（8分）关于的方程有两个不相等的
22、实数根（1）求的取值范围（2）是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【分析】（1）由二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围；（2）假设存在，设方程的两根分别为、，根据根与系数的关系结合，即可得出关于的方程，解之即可得出的值，再根据（1）的结论即可得出不存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0【解答】解：（1）关于的方程有两个不相等的实数根，解得：且（2）假设存在，设方程的两根分别为、，则，且，不符合题意，舍去假设不成立，即不存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0【点评】本题考查了根的判别式以及根与系
23、数的关系，解题的关键是：（1）根据二次项系数非零结合根的判别式，找出关于的一元一次不等式组；（2）根据根与系数的关系结合，列出关于的方程27（10分）科技驱动新零售商业变革的时代已经来临，无人超市的经营模式已在全国各地兴起，某家无人超市开业以来，经测算，为销售型商品每天需固定支出的费用为400元，若型商品每件的销售利润不超过9元，每天销售型商品的数量为280件，若型商品每件的销售利润超过9元，则每超过1元，每天销售型商品的数量减少10件，设该家无人超市型商品的销售利润为元件，型商品的日净收入为元（日净收入型商品每天销售的总利润型商品每天固定的支出费用）（1）试求出该超市型商品的日净收入为（元与
24、型商品的销售利润（元件）之间的关系式；（2）该超市能否实现型商品的销售日净收入3000元的目的？如能实现，求出型商品的销售利润为多少元件？如不能实现，请说明理由；（3）请问该超市型商品的销售利润为多少元件时，能获得型商品的最大日净收入？【分析】（1）根据题意可以列出相应的函数解析式；（2）根据（1）中的函数解析式即可解答本题；（3）根据（1）中的函数解析式即可求得的最大值【解答】解：（1）由题意可得，当时，当时，由上可得，该超市型商品的日净收入为（元与型商品的销售利润（元件）之间的关系式是：；（2）当时，令代入，解得，答：该超市能实现型商品的销售日净收入3000元的目的，型商品的销售利润为17
25、元件或20元件；（3）当时，当时，且为整数，当或19时，取得最大值，此时，答：该超市型商品的销售利润为18元件或19元件时，能获得型商品的最大日净收入【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答28（12分）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，点坐标，点在轴正半轴上，且，点从原点出发，以每秒一个单位长度的速度沿轴正方向移动，移动时间为秒，过点作平行于轴的直线，直线扫过四边形的面积为（1）求点坐标（2）求关于的函数关系式（3）在直线移动过程中，上是否存在一点，使以、为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在
26、，请说明理由【分析】（1）在中，设，根据，可得，推出或（舍弃），求出菱形的边长即可解决问题；（2）如图1中，当时，直线扫过的图象是四边形，如图2中，当时，直线扫过的图形是五边形分别求解即可解决问题；（3）分三种情形分解求解即可解决问题；【解答】解：（1）在中，设，或（舍弃），四边形是菱形，（2）如图1中，当时，直线扫过的图象是四边形，如图2中，当时，直线扫过的图形是五边形（3）如图3中，当，当，时，；当，时，；综上所述，满足条件的点坐标为，或或【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题